Исследовательская работа учащихся 9 кл Удвоение куба.
Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc253667118" 141. Введение 13 PAGEREF _Toc253667118 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc253667119" 142. Основная часть 13 PAGEREF _Toc253667119 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc253667120" 142.1. Формулировка и история задачи об удвоении куба 13 PAGEREF _Toc253667120 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc253667121" 142.2. Попытка решения данной задачи при помощи циркуля и линейки. 13 PAGEREF _Toc253667121 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc253667122" 142.3. Доказательство невозможности решить задачу при помощи циркуля и линейки 13 PAGEREF _Toc253667122 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc253667123" 142.4. Решения данной задачи при помощи вспомогательных средств 13 PAGEREF _Toc253667123 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc253667124" 142.4.1. Решение Гиппократа Хиосского, при помощи «вставок» 13 PAGEREF _Toc253667124 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc253667125" 142.4.2. Решение Платона 13 PAGEREF _Toc253667125 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc253667126" 142.4.3. Решения Аполлония, Филона Византийского и Герона 13 PAGEREF _Toc253667126 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc253667127" 142.4.4. Приближенное решение Буонафальче. 13 PAGEREF _Toc253667127 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc253667128" 142.4.5. Графическое решение с помощью конических сечений 13 PAGEREF _Toc253667128 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc253667129" 142.5. Более поздние решения 13 PAGEREF _Toc253667129 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc253667130" 142.5.1. Решение Виета 13 PAGEREF _Toc253667130 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc253667131" 142.5.2. Построение Ньютона 13 PAGEREF _Toc253667131 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc253667132" 143. Заключение 13 PAGEREF _Toc253667132 \h 14121515
13 LINK \l "_Toc253667133" 144. Список литературы 13 PAGEREF _Toc253667133 \h 14141515
13 LINK \l "_Toc253667134" 145. Приложения 13 PAGEREF _Toc253667134 \h 14151515
15
1. Введение
Актуальность исследования. Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три знаменитые задачи древности на построение: удвоение куба, трисекция угла и квадратура куба не поддавались их усилиям. Понадобились тысячелетия для их решения. В неразрешимости трех классических задач с помощью циркуля и линейки древнегреческие математики убедились почти сразу, но попытки найти решение данных задач, именно циркулем и линейкой увлекали многих. Большая популярность трех задач привела к тому, что для каждой из них было получено несколько решений, использующих либо специальные кривые, либо специальные инструменты. Данным задачам посвящено много книг и журнальных статей. Проблема решить данные задачи стояла во все времена, она актуальна и сегодня. С данными задачами меня впервые познакомил мой одноклассник Ишмаметьев Николай, он увлекся решением задачи о трисекции угла. А меня заинтересовала история «делосской задачи» и соответственно ее решение. В изученной мною литратуре, выделяю следующие методы решения данной задачи: решение при помощи «вставок», решение при помощи конхоиды, а также алгебраическое решение данной задачи.
В своей работе я определил следующие цели и задачи:
Цель исследования – изучение и экспериментальная проверка теоретических основ возможности построения отрезка, длина которого равна .
Объект исследования – процесс построения отрезка, длина которого равна .
Проблема исследования – возможность построения отрезка
Задача исследования. Исходя из цели и проблемы исследования, я поставил следующие задачи:
1). Изучить развитие идей построения отрезка
2). Изучить теоретические основы неразрешимости удвоения куба с помощью циркуля и линейки.
3). Изучить методы построения отрезка
4). Выбрать наиболее простой способ для решения данной задачи.
Методы исследования: сбор, изучение, анализ, обобщение экспериментального и теоретического материала, рефлексивное осмысление результатов построения выбранными методами.
2. Основная часть
2.1. Формулировка и история задачи об удвоении куба
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими
Говорят, что, находясь в темнице, философ Анаксагор скрашивал томительное бездействие размышлениями над задачей о квадратуре куба и тем, что с нею связано. Это была одна из тех задач, которые последующие поколения назвали великими. Чем же примечательна эта задача?
Об этой задаче написаны сотни работ. Сейчас же я ограничусь самыми общими словами и, прежде всего, приведу формулировку данной задачи.
Задача об удвоении куба: требуется построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного куба.
Считается, что задача об удвоении куба появилась во времена пифагорейцев, около 540 г. до н.э. Возможно, она возникла из задачи об удвоении квадрата, которую легко решить, опираясь на теорему Пифагора – надо построить квадрат на диагонали данного квадрата.
Согласно античной легенде, однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили ещё один такой же куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник также должен иметь форму куба. Также существует литературная легенда о появлении «делосской задачи». (Приложение №1)
С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку.
Также существует другая легенда. Греческий комментатор в 6 веке до н.э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею 1. В нем говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался не доволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности в итоги увеличилась в четыре, а объем в восемь раз), и тогда геометры начали пытаться решить эту задачу.
Скорее всего, древнегреческие математики достаточно быстро поняли, что задачу удвоения куба нельзя решить с помощью циркуля и линейки, хотя доказать этого они не могли и, по-видимому, даже не пытались.
2.2. Попытка решения данной задачи при помощи циркуля и линейки.
Греки еще в древности неплохо знали геометрию. Для решения задач они всегда использовали циркуль и линейку, причем циркулем пользовались только для построения окружностей, а линейкой для проведения прямых линий. Делать метки циркулем на линейке было запрещено. Непонятно, почему греки отдавали свое предпочтение именно этим инструментам.
Совершались попытки решить эту задачу при помощи циркуля и линейки.
Рассмотрим одну из них. Древние греки сравнительно легко решили задачу об удвоении квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух.
Если сторона данного квадрата равна a , а сторона искомого квадрата x , то согласно условию задачи, будем иметь: 13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы построить 13 EMBED Equation.3 1415, нужно построить гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого каждый катет равен единице. Теперь остается отрезок, равный 13 EMBED Equation.3 1415 увеличить в a, тогда и получим сторону искомого квадрата. А проще всего в качестве x взять диагональ данного квадрата, которая, по теореме Пифагора как раз и будет равняться 13 EMBED Equation.3 1415.
Обобщая задачу об удвоении квадрата, греки перешли к рассмотрению задачи об удвоении куба и также стремились решить ее при помощи циркуля и линейки. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба сводится к геометрическому построению корня кубического из двух. Действительно если ребро данного куба положить равным a, а ребро искомого x, то, согласно условию задачи будем иметь: 13 EMBED Equation.3 1415
Рис.1
Однако все старания построить 13 EMBED Equation.3 1415 циркулем и линейкой не увенчались успехом. И трудно сказать, как долго бы еще продолжались эти попытки, если бы, наконец, в первой половине 19 века не было бы доказано, что при помощи циркуля и линейки, без привлечения других вспомогательных средств, 13 EMBED Equation.3 1415 построить нельзя.
2.3. Доказательство невозможности решить задачу при помощи циркуля и линейки
Современными средствами, выходящими за пределы школьного курса математики, строго доказано, что кубическое уравнение с рациональными коэффициентами, не имеющее рациональных корней, не может быть разрешимо в квадратных радикалах, т.е. ни один из корней этого уравнения не может быть построен при помощи циркуля и линейки. В дальнейшем эту теорему будем называть «теоремой неразрешимости».
Так как решение задачи об удвоении куба сводится к решению уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415, где a есть ребро данного куба, x искомое ребро удвоенного куба.
Приняв для простоты длину ребра данного куба за 1, получим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415. Это уравнение с рациональными коэффициентами, как легко убедиться, не может иметь рациональных корней. Следовательно, по «теореме неразрешимости», задача об удвоении куба не может быть решена при помощи циркуля и линейки.
Первый из ученых, кто открыто высказал мнение, что точное построение отрезка, равного 13 EMBED Equation.3 1415 посредством циркуля и линейки неосуществимо, был знаменитый французский ученый Р. Декарт (15961650 гг.). Строгое доказательство неразрешимости задачи об удвоении куба при помощи циркуля и линейки было дано французским математиком П. Ванцелем в 1837 г.
Теорема. Предположим, что один из корней уравнения х3 + Ах2 + Вх + С=0, где А, В, Срациональные числа, выражается в квадратных радикалах. Тогда это уравнение имеет рациональный корень.
Следствие: Число 13 EMBED Equation.3 1415 нельзя выразить в квадратных радикалах.
Рассмотрим доказательство данного следствия.
У кубического уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 есть лишь один вещественный корень, а именно, 13 EMBED Equation.3 1415. Число 13 EMBED Equation.3 1415 не рационально, поэтому уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет рациональных корней. Следовательно, у этого уравнения нет корней, выражающихся в квадратных радикалах.
2.4. Решения данной задачи при помощи вспомогательных средств
Одним из вспомогательных средств для решения данной задачи являются «вставки». Необычной вставкой пользовался при решении задачи на удвоение куба Никомед. Он решал при помощи специальной кривой конхоиды. (Приложение №2). Она чертиться при помощи специального инструмента, который он изобрел сам. (Приложение № 3).
2.4.1. Решение Гиппократа Хиосского, при помощи «вставок»
Одним из первых древнегреческих геометров, сделавшим значительный шаг в решении задачи об удвоении куба, был Гиппократ Хиосский (5 в. до н. э.).
Решение стереометрической задачи, каковой является делосская задача об удвоении куба, Гиппократ Хиосский свел ее к рассмотрению планиметрической задачи, заключающейся в нахождении двух средних пропорциональных между двумя данными отрезками, из которых второй в два раза больше первого, т. е. к нахождению таких двух отрезков хиу, которые, будучи «вставлены» между двумя данными а и 2а, составили бы вместе с ними геометрическую прогрессию: а, х, у, 2а. Поскольку а, х, у, 2а – геометрическая прогрессия, то 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. Выходит, что х и есть ребро искомого куба, превосходящего по объему данный куб с ребром а в два раза.
Однако, как и следовало ожидать, Гиппократу не удалось отыскать ребро удвоенного куба x; с помощью геометрического построения, прибегая только к циркулю и линейке, но ему вполне удалось, как мы убедились выше, стереометрическую задачу свести к плоской задаче на отыскание двух «вставок» х и у между а и 2а, причем а ребро данного куба, а х искомое ребро удвоенного куба.
2.4.2. Решение Платона
Ниже приводится решение делосскои задачи, приписываемое Платону. Это решение основано на следующей лемме: Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями отрезки диагоналей образуют геометрическую прогрессию: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть теперь требуется построить х так, чтобы х3=2а3, где а – ребро данного куба, а х – ребро удвоенного куба. Для этого в полученной прогрессии достаточно положить ОС= а, ОВ = х, OA = у, OD =2а. Тогда будем иметь: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Путем несложных вычислений получается 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, х и будет ребром удвоенного куба.
Основываясь на доказанной лемме, само построение отрезка OB = х можно выполнить при помощи двух прямоугольных плотничьих наугольников. Это делается следующим образом. Берутся две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О (рис. 2). На прямой вправо от точки О отложим отрезок ОС = а, где а сторона куба, подлежащего удвоению.
На прямой вниз от точки О отложим отрезок ОD =2а. Теперь берем два прямоугольных плотничьих наугольника (на рисунке они заштрихованы) и располагаем их так, как показано на рисунке, т.е.
1) чтобы катет первого наугольника проходил через точку С, которая считается данной, а вершина его находилась на прямой n
2) чтобы катет второго наугольника проходил через точку D, которая считается также данной, а вершина находилась бы на прямой m ;
3) остальные два катета того и другого наугольника должны соприкасаться.
При таком расположении двух наугольников по данным точкам С и D найдем на прямых m и n тип точки А и В. Тогда ОВ = х, a OA = у. Следовательно, х = ОВ и есть построенное ребро удвоенного куба.
2.4.3. Решения Аполлония, Филона Византийского и Герона
Три математика древности. Аполлоний (III в. до н. э.), Филон Византийский (III в. до н. э.) и Герон (I в. н. э.) в разное время предложили фактически одно и то же решение задачи удвоения куба. Но они не указали, с помощью каких инструментов можно было бы осуществить такое построение.
Рассмотрим прямоугольник ABDC, где АВ и АС данные отрезки. Пусть Еточка пересечения диагоналей этого прямоугольника. Для решения задачи удвоения куба достаточно выполнить любое из следующих эквивалентных построений (рис. 3):
1) Провести окружность с центром Е так, чтобы точка D лежала на отрезке, соединяющем точки пересечения этой окружности с лучами АВ и АС (Аполлоний);
2) провести через точку D прямую так, чтобы описанная окружность прямоугольника А В DC и прямые АВ и АС высекали на ней равные отрезки GH и DF (Филон);
3) провести через точку D прямую так, чтобы она пересекала прямые А В и АС в точках, равноудаленных от точки Е (Герон).
Построения Аполлония и Герона, очевидно, эквивалентны. Что же касается построения Филона, то достаточно заметить, что точка Е лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DH, поэтому равенства GH=DF и GE=EF эквивалентны.
Пусть а = АС, b = AB, x = BF и y = GC. Докажем, что а:х = х:у=у:b. Из подобия треугольников CGD и BDF следует, что ху = аb. Равенство GE=EF можно записать в виде (у + а/2)2 + b2/4 = (х + b/2)2+а2/4, т. е. х(х + b)=у(у + а). Из равенства а/х=у/b следует, что (а+у)/(х + b) = a/x=y/b. Остается воспользоваться равенством х/у = =(у + а)/(х + b).
2.4.4. Приближенное решение Буонафальче.
Буонафальче дает одно из самых простых приближенных решений задачи об удвоении куба при помощи циркуля и линейки (точного решения этой задачи при помощи циркуля и линейки, как известно, дать нельзя). Пусть дан куб с ребром а и требуется найти ребро х удвоенного куба, т. е. чтобы для х выполнялось равенство 13 EMBED Equation.3 1415. Решение выполним приближенно при помощи только циркуля и линейки.
Пользуясь циркулем и линейкой, строим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной, равной а (рис. 5).
Теперь сторону 13 EMBED Equation.3 1415 делим на шесть равных частей и находим на катете ВС от точки С к точке В точку D с таким расчетом, чтобы выполнялось равенство 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Соединив А с D, получим отрезок AD, который для краткости обозначим через х. Теперь подсчитаем, чему равняется х.
По теореме Пифагора будем иметь:
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 (на самом деле 13 EMBED Equation.3 1415). Следовательно, ребро удвоенного куба приблизительно равно 13 EMBED Equation.3 1415, если ребро данного куба равно а. Таким образом, если данный куб имеет ребро а, равное отрезку АВ, то х – искомое ребро удвоенного куба – будет приблизительно равняться отрезку AD, который отличается от истинного значения искомого ребра меньше, чем на 13 EMBED Equation.3 1415.
2.4.5. Графическое решение с помощью конических сечений
2.4.5.1. Метод Менехма
а) Если рассмотреть параболы x2=ay, y2=bx, то координатами точки их пересечения (не совпадающей с началом) будут числа:
·=13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
·= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
б) Если построить два конических сечения x2=ay, xy=ab, то точка пересечения, не совпадающая с началом, имеет координаты
·=13 EMBED Equation.3 1415,
·= 13 EMBED Equation.3 1415.
в) Если рассмотреть окружность x2+y2-bx-ay=0 и параболу y2=bx, то точка пересечения, отличная от начала, имеет координаты
·=13 EMBED Equation.3 1415,
·= 13 EMBED Equation.3 1415.
Во всех трех случаях нахождение обоих средних пропорциональных сводится, таким образом, к определению точек пересечения двух конических сечений. Если, в частности, a=m, b=1, то
·=13 EMBED Equation.3 1415,
·= 13 EMBED Equation.3 1415.
Для определения 13 EMBED Equation.3 1415 можно, следовательно, применить один из трех способов а), б), в).
Для b=1 третий метод является практически наиболее удобным. В этом случае уравнение параболы имеет вид: y2=x; она, таким образом, не зависит от m и может быть поэтому начерчена раз и навсегда. Координатами центра окружности тогда будут числа: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Так как окружность проходит через начало, то нет необходимости вычислять её радиус. Сообразно с этим, следующий способ оказывается практичным, если нужно графически определить большее число корней третьей степени (рис. 5).
На бумаге, разграфленной на квадратные миллиметры (можно иметь бумагу, которая разграфлена весьма точно), чертят параболу P(y2=x), отыскивают точку М с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415 и ординатой 13 EMBED Equation.3 1415, помещают в нее одну ножку размерного циркуля и раздвигают его да начала координат. Затем определяют точку пересечения с параболой окружности, проходящей через начало.
Это может быть произведено размерным циркулем весьма точно без проведения самой окружности. Непосредственно получаемая ордината точки пересечения и будет корнем третьей степени из двух.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2.4.5.2. Построение Декарта
Пусть даны отрезки а и b и нужно построить такие отрезки х и у, что а:х = х:у=у:b, т.е. х =а2b и y3 = ab . Как мы уже говорили, Менехм строил эти отрезки, рассматривая точки пересечения кривых х2 = ау и у2 = bх. Легко проверить, что система уравнений
эквивалентна системе уравнений .
Первое уравнение задает окружность с центром (b/2, а/2), проходящую через начало координат.
Декарт предложил строить отрезки х и у, рассматривая точки пересечения параболы х2 = ау и окружности с центром (b/2, а/2), проходящей через начало координат (на рис. 6) изображен случай а 2, b=1; в этом случае получаем :
Аналогичным образом можно построить корни кубического уравнения x3=px + q. Рассмотрим для этого систему уравнений
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. либо х=0, либо 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то проекции на ось Ox точек пересечения (отличных от начала координат) параболы 13 EMBED Equation.3 1415 и окружности 13 EMBED Equation.3 1415 являются корнями уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Для построения корней уравнения четвертой степени x4px2 + qx + r можно рассмотреть точки пересечения параболы у = х2 и окружности
Для построения Декарт изобрел инструмент, он так и называется инструмент Декарта.
(Приложение №4). Помимо Декарта, для построения куба объемом в два раза большего данного, свой инструмент придумал Эратосфен и соответственно его решение. (Приложение №5).
2.5. Более поздние решения
2.5.1. Решение Виета
рис.7
Франсуа Виет предложил простое решение задачи удвоения куба способом «вставок». Пусть даны отрезки а и b и нужно построить такие отрезки х и у, что а:х = х.у=у:b. Можно считать, что а>b. Построим окружность радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 с центром А и возьмем на ней такие точки В и С, что ВС = b. Отложим на луче ВС отрезок BD = 2BC и проведем через точку В прямую l, параллельную прямой AD. Вставим теперь между прямыми l и ВС отрезок GH длиной 13 EMBED Equation.3 1415, продолжение которого проходит через точку А (рис. 7). Если прямая GH пересекает окружность в точке l, то х= НВ, у = HI.
2.5.2. Построение Ньютона
После Декарта построением корней уравнений много занимался Ньютон. В связи с этим он нашел несколько разных решений задач удвоение куба способом «вставок».
Рассмотрим одно из его построений, которое позволяют решать более общую задачу строить корни уравнения х3 =qx-r .Ньютон не объяснял, как он придумывал свои решения.. Но его построение было легче понять, я расскажу как к нему можно прийти.
Рис.8
Рассмотрим треугольник CXK: KXЕ=a, KC=b , CX=c. Пусть точка А лежит на прямых КС и АС =d. Вставим между прямыми и , соответственно равные ХА и ХС. отрезок EY длиной d , продолжения которого проходят через точку К (рис. 8)
Пусть XY=х и KE=y. Применив теорему Минелая, изученную нами еще в 8 классе, к треугольнику XCY и точкам A ,X ,E , получим:
Кроме того, равен cos KCX и равен
Значит (c+x) (b2 + c2-a2) = c(b2+(c + x)2-(d+y)2) . Выражу по формуле (1) и подставим в (2). После несложных преобразований получется: (x+c)(cx3-(b2-a2)x2 + c(b2-d2)x-c2(b + d)2) = О.
Нам нужно, чтобы уравнение совпало с уравнением х3 qx r =О. Для этого должны выполняться следующие условия: a = b; b2 d2= -q; c(b + d)2 =r. Пусть Втакая точка, что Ссередина отрезка АВ. Ньютон полагает KA = b + d=n произвольный отрезок,
В результате получается построение, которое он описывает примерно такими словами: «Возьмем на произвольной прямой отрезок КА = n и отложим на ней отрезок KB = q/n в том же направлении, что и КА, если <7<0, и в противоположном направлении, если <7>0. Построим середину С отрезка АВ и проведем окружность радиуса КС с центром К. Построим хорду СХ= r/п2. Наконец, вставим между прямыми СХ и АХ отрезок EY длиной СА так, чтобы его продолжение проходило через точку К. Тогда XY будет корнем уравнения. Если r <0 и лучи ХС и XY сонаправлены, то отрезок XY соответствует положительному корню. Рассмотрим, например, уравнение (х+1)(х+2) (x-3) = 0, т.е. х3 = 7х + 6, и возьмем КА=4. Построение корней этого уравнения способом Ньютона изображено на рис. 9 (корнями являются отрезки XY1, XY2 и XY3; длины отрезков Y1E1, Y2E2 и Y3E3 равны СА).
Покажем, как способом Ньютона можно решить задачу удвоения куба. Пусть даны отрезки m и n и нужно построить такие отрезки х и у, что n:х = х:у=у:m, т.е. х = mn2. Возьмем КА=n. Тогда BO=0, т.е. В=К, а значит, Ссередина отрезка АК, и СХ= mn2/n2=m. Построение выполнимо, если m
3. Заключение
В своей работе я рассмотрел свой взгляд самые интересные решения задачи удвоения куба.
Ниже в таблице я привожу трудности, с которыми мне пришлось встретиться при решении задачи в каждом из методов.
Методы решения задачи.
Трудности, с которыми я встретился при решении задачи.
Конхоида Никомеда
Построение конхоиды
Конические сечения Менехма и Декарта
Рассмотрение функций
Построение Виета и построение Ньютона.
Алгебраические вычисления, с множеством переменных
Гиппократ Хиосский
Свести построение отрезка к алгебраическим преобразованиям
Решение Апполония, решение Буонафальче и решение Платона.
Ни каких особых трудностей
Наиболее приемлемыми и рациональными решениями, на мой взгляд, являются решение Апполония, решение Буонафальче и решение Платона.
Работу, которую я провел, считаю важной и актуальной. Эта задача не имеет практического применения, но она интересна с точки зрения разрешимости. Интерес к задаче и актуальность подтверждаются итогами опроса среди учителей математики МОУ «СОШ № 8», учащихся 9 М класса и их родителей.
Сформулирую основные результаты своей работы:
Изучил теорию и практику разрешимости задачи удвоения куба.
Доказал неразрешимость данной задачи с помощью циркуля и линейки.
Выделил трудности, с которыми столкнулся при решении данной задачи в каждом из методов.
Выделил для себя наиболее приемлемые способы решения данной задачи.
Опрос учащихся 9М класса МОУ «СОШ № 8».(23 человека).
Вопросы
Ответы и кол-во ответов (положительных)
до знакомства с задачей
1.Умеете ли вы строить отрезок, длина которого равна корень квадратный из двух?
19
2.Умеете ли вы строить отрезок длина которого равна корень кубический из двух?
0
3. Знаете ли вы задачу об удвоении куба?
2
4.Нравятся ли вам задачи на построение?
17
после знакомства с задачей
5.Какой из методов вам более интерес и почему?
Большинство ответили, что им наиболее интересен своей нестандартностью метод «вставок», а именно, решение Никомеда (при помощи конхоиды) , хоть он и достаточно сложный, а также решение Платона
6.Хотели бы вы дальше продолжить знакомство с задачами на построение.
18
7.Почему?
1.Учат применять теорию на практике..
2.Развивают логическое мышление.
3.Развивают умение пользоваться вспомогательными средствами.
4.Для дальнейшего обучения.
Опрос родителей 9 М класса МОУ «СОШ № 8» (23 человека).
Вопрос
Ответы и кол-во ответов (положительных).
Нужно ли знакомить учащихся с задачами на построение, не входящими в школьный курс геометрии?
22
Хотели бы вы, чтоб ваши дети участвовали в исследовательской работе?
14
Что дает учащимся умение решать нестандартные задачи на построение?
Наиболее частые ответы:
1.Это первый шаг использования в геометрии инновационно-компьютерных технологий.
2.Возможность заниматься творческой деятельностью
3.Учиться проводить исследования.
Опрос учителей математики МОУ «СОШ №8» (10 человек).
Вопросы
Ответы (положительные)
Знакомы ли вы с данной задачей?
10
Сколько методов решения данной задачи вы знаете?
4 метода – 4 человека
3 метода – 6 человек
Нужно ли знакомить учащихся с данной задачей?
Все ответили положительно. Решение данной задачи можно рассматривать на элективных курсах и на внеклассной работе по математике, в исследовательской деятельности учащихся.
Что дает учащимся умение решать задачи на построение.
1.Развивает логическое мышление, пространственное воображение.
2.Расширяет кругозор.
3.Расширяет базовый курс знаний геометрии, способствует подготовке учащихся к дальнейшему обучению в математических классах, а в дальнейшем и в вузах.
4.Открывает простор для конструктивной, экспериментальной, творческой деятельности.
5. Позволяет ввести в процесс новые формы работы.
6.Учащиеся получают инструмент для геометрических открытий, а учитель – замечательное средство обучения.
7.Учащиеся могут обнаруживать закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях, самостоятельно формулировать утверждения для последующего доказательства.
8.Учащиеся учатся подтверждать уже известные факты науке, но неизвестные им, и применять их на практике.
Я считаю, что тема далеко не исчерпана и в век современных технологий будут найдены еще немало интересных решений этой задачи. В частности, я хотел бы в будущем рассмотреть решение данной задачи в комплексных числах.
4. Список литературы
1. А. Адлер. Теория геометрических построений. Санкт-Петербург. Учебно-педагогическое издательство НАРКОМПРОСА РСФСР, 1940
2. А. Александров, А. Вернар, В. Рыжик. Геометрия. Москва «Просвещение», 1991.
3. В. Прасолов. Три классические задачи на построение. Москва «Наука», 1992
4. П. Савин. Математика. Энциклопедия для детей. Москва «Аванта +», 1998
5. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика. Москва. Педагогика-Пресс, 1999
6. В. Чистяков. Три знаменитые задачи древности. Москва «Просвещение», 1963
5. Приложения
13 PAGE \* MERGEFORMAT 141415
Рис. 3
Рис. 2
13 EMBED Equation.3 1415
О( 13 EMBED Equation.DSMT4 1415)
рис. 5
Рис. 9
1
1
x
y
y2=x
О
Рис. 4
Рис. 6
А
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native