«Уровневая дифференциация при изучении темы «Применение производной к исследованию функции»»

Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации специалистов).
Самарский областной институт повышения квалификации и переподготовки
работников образования.















Дифференцированное обучение математике в старшей школе




Зачет по теме: «Уровневая дифференциация при изучении темы: «Применение производной к исследованию функции»»




Проверил (а) Выполнил (а) работу:
Аверьянова Галина Михайловна
учитель математики МБУ сош №84
г. Тольятти



Пояснительная записка
Определяющим фактором успешной сдачи ЕГЭ, как и любого серьезного экзамена по математике, по-прежнему является целостное и качественное прохождение курса математики. Для успешной сдачи ЕГЭ необходимо систематически изучать математику, развивать мышление, отрабатывать навыки решения задач различного уровня.
Математика объективно является наиболее сложным предметом, требующим более интенсивной мыслительной работы, более высокого уровня обобщений и абстрагирующей деятельности. Поэтому невозможно добиться усвоения математического материала всеми учащимися на одинаково высоком уровне. Даже ориентировка на "среднего" учащегося в обучении математике приводит к снижению успеваемости в классе, к издержкам воспитательного характера у ряда учащихся (потеря интереса к математике, порождение безответственности, нежелание учиться и др.).
На мой взгляд, необходимо создавать оптимальные условия для эффективной учебной деятельности всех учащихся, максимально учитывая индивидуальные особенности детей. Каждый ребенок должен получать задания с учетом его возможностей, то есть необходимо дифференцировать учащихся по уровню их подготовки, стимулировать школьников, которым хорошо дается математика, поддерживать тех, у кого возникают трудности. Именно поэтому я в своей работе использую «Дифференцированное обучение».
В последние годы значительно усилился интерес учителей к проблеме дифференцированного подхода в обучении математике на различных ступенях математического образования. Этот интерес во многом объясняется стремлением учителей так организовать учебно-воспитательный процесс, чтобы каждый учащийся был оптимально занят учебно-воспитательной деятельностью на уроках и в домашней подготовке к ним. Необходимо учитывать математические способности и интеллектуальное развитие учащихся, чтобы не допускать пробелов в знаниях и умениях, а в конечном итоге дать полноценную базовую математическую подготовку учащимся, как обычного класса, так и профильного.
Поэтому обязательно необходим при обучении математике дифференцированный подход.
Учитель математики – это человек, который имеет дело с ребенком пять-шесть раз в неделю, преподает предмет, незаменимый для развития мышления, но содержащий великое множество правил и практических упражнений.
Каждый ребенок – уникален, один схватывает материал на лету, другому нужен месяц, третьему полгода, четвертый не воспринимает совсем.
Как научить всех?
Основная цель уровневой дифференциации: обеспечить усвоение базового уровня знаний всеми учащимися.
Базовый уровень нельзя представлять в виде “суммы знаний”, предназначенных для изучения в школе. Ведь существенно то, что реально усвоено школьником. Обязательность базового уровня для всех учащихся в условиях гуманного обучения означает, что совокупность планируемых обязательных результатов обучения должна быть реально выполнима, т.е. посильна и доступна абсолютному большинству школьников.
В составе основных видов учебных действий, диктуемых ключевыми целями общего образования, можно выделить четыре блока:
личностный (сюда входит жизненное, личностное, профессиональное самоопределение);
регулятивный (сюда включаются действия, обеспечивающие организацию учащимся своей учебной деятельности: целеполагание, как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся. И того, что ещё неизвестно);
познавательный (различаются общеучебные действия постановки и решения проблем: самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели; поиск необходимой информации; умение структурировать знания);
коммуникативный (обеспечивает социальную компетентность и учёт позиции других людей, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, умение строить продуктивное взаимодействие со сверстниками и взрослыми).









































Глава I

О дифференцированном подходе в обучении математике в старшей школе.

Особое внимание в преподавании математики следует уделить регулярному выполнению упражнений, развивающих базовые математические компетенции школьников (умение читать и верно понимать условие задачи, решать практические задачи, выполнять арифметические действия, простейшие алгебраические преобразования, действия с основными функциями и т.д.).
Признание математики в качестве обязательного компонента образования в большей мере обуславливает необходимость осуществления дифференцированного подхода к учащимся - как к определенным их группам (сильным, средним, слабым), так и к отдельным учащимся. Дифференцированный (групповой и индивидуальный) подход становится необходим не только для поднятия успеваемости слабых учащихся, но и для развития сильных учащихся, причем его понимание не должно сводиться лишь к эпизодическому добавлении в процессе обучения слабо успевающим учащимся тренировочных задач, а более подготовленным - задач повышенной трудности. Более полное понимание дифференциации обучения предполагает использование ее на различных этапах изучения математического материала: подготовки учащихся к изучению нового, введения нового, применения к решению задач, этапа контроля за усвоением и др. Дифференцировано может быть содержание изучаемого материала (выделение обязательного и дополнительного); дифференцировать можно методы (приемы) обучения, варьируя ими с целью оказания различной степени индивидуальной или групповой помощи учащимся при организации самостоятельной работы по изучению нового, при решении задач и др.; дифференцировать можно средства и формы обучения. Опыт показывает, что дифференциация может затрагивать все элементы методической системы обучения и в этом случае она дает наибольший эффект в условиях обычного класса.
Такая организация обучения математике требует современное состояние нашего общества, когда в условиях рыночной экономики от каждого человека требуется высокий уровень профессионализма и такие деловые качества как предприимчивость, способность ориентироваться в той или иной ситуации, быстро и безошибочно принимать решение.
Дифференциация - система обучения, при которой каждый ученик овладевает минимумом общеобразовательных знаний.
В концепции образования дифференциация рассматривается как составная часть и необходимое условие гуманизации и демократизации образования, его перевода на новую культурообразующую базу. Дает право на гарантированную возможность учитывать мотивацию и уровень усвоения учащимися учебной программы.
Использование личностного подхода в работе с учащимися, обеспечение положительного эмоционального состояния обучающихся в учебном процессе. Создание на уроках ситуации успеха через дифференцированный подход к определению содержания деятельности и характеру помощи учащимся при ее осуществлении.
Дифференцированный подход является основным путем осуществления индивидуализации обучения. Учет индивидуальных особенностей – один из ведущих принципов дидактики. Учитель вольно или невольно стремится выделить группы детей с более или менее одинаковыми особенностями. Чем меньше таких групп, тем легче работать, применять различные методы и приемы обучения. Дифференцированное обучение представляет собой условное разделение на сравнительно одинаковые по уровню обучаемости группы:
Первая группа – учащиеся с низким уровнем подготовки и усвоением материала основной школы, во многих случаях нуждаются в дополнительных разъяснениях, обязательными результатами овладеют после достаточно длительной тренировки, способностей к самостоятельному нахождению решений измененных и усложнённых задач пока не проявляют. Наиболее важной проблемой, с которой может столкнуться учитель, будет отсутствие мотивации и базовых математических навыков;
Вторая группа – учащиеся, имеющие неплохой уровень базовой математической подготовки и усвоением материала основной школы, которые могут находить решения изменённых и усложнённых задач, опираясь на указания учителя, и не намеренные поступать в вузы на математические специальности. Такие участники экзамена чаще всего используют свой результат ЕГЭ по математике «в сумме с другими баллами»;
Третья группа – учащиеся, имеющие достаточный уровень базовой математической подготовки, которые могут самостоятельно находить решение изменённых типовых или усложнённых задач, предполагающих применение нескольких известных способов решения, планирующие использовать результаты ЕГЭ по математике для поступления в вуз.
Дети получают право и возможность выбирать тот уровень усвоения, который соответствует их потребностям, интересам, способностям. Дифференцированный подход организационно состоит в сочетании индивидуальной, групповой и фронтальной работы, с использованием технологий коллективных способов обучения и групповых способов обучения. Включение разноуровневых заданий в контроль способствует: повышению активности и работоспособности на уроке, появлению у школьников интереса к собственной познавательной деятельности, качественному росту результатов экзаменов. Домашнее задание детям предоставляются на выбор, распределенные по уровню сложности. Практика показывает, что использование на уроках элементов дифференцированного обучения, приносит результаты.
Внедряемые элементы дифференцированного подхода активизируют стремление детей к знаниям. Ученики приучаются к самоорганизации учебного труда. В этой работе детям очень помогают компьютерные технологии. Они учатся работать с информацией, эффективно её использовать. Дифференцированный подход создает благоприятные условия для развития учащихся и способствует более качественному их обучению. Дифференцированные формы учебной деятельности могут быть успешно организованы на любом этапе урока математики.
При дифференциации и индивидуализации осуществляется определенная последовательность элементов учебной деятельности каждого ученика, соответствующая его способностям, возможностям, мотивации, интересам, осуществляемая им при координирующей, организующей, консультирующей деятельности педагога во взаимосвязи с родителями. Учащиеся находятся в позиции самостоятельного принятия решения. Постоянная такая деятельность позволяет решать проблемы воспитания ответственности за свою жизнь, подготовки к жизнедеятельности после окончания школы.
В методической литературе по математике различают множество видов дифференциации, одним из них является уровневая.
Уровневая дифференциация выражается в том, что обучение учащихся одного и того же класса в рамках одной программы и учебника проходит на различных уровнях усвоения учебного материала (но не ниже минимального). Определяющим при этом является уровень обязательной подготовки (базовый уровень), который задается образцами типовых задач. На основе этого уровня формируется более высокий уровень овладения материалом - уровень возможностей. Предпринята попытка в разработке образцов задач для итоговых требований к математической подготовке учащихся, претендующих на более продвинутый уровень подготовки.
Уровневая дифференциация предполагает, что каждый учащийся класса должен услышать изучаемый программный материал в полном объёме, увидеть образцы учебной математической деятельности. При этом одни учащиеся воспримут и усвоят учебный материал, предложенный учителем или изложенный в книге, а другие усвоят из него только то, что предусматривается обязательными результатами в качестве минимума. Каждый учащийся имеет право добровольно выбрать уровень усвоения и отчетности в результатах своего учебного труда по каждой конкретной теме (разделу), а возможно и курсу в целом. Задачей учителя является обеспечение поступательного движения учащихся к более высокому уровню знаний и умений.
Положительные результаты уровневой дифференциации:
практически все учащиеся осваивают базовый уровень знаний, отсюда повышается общий уровень успеваемости и познавательный интерес учащихся;
система проверочных работ и зачетов допускает несколько попыток сдачи пройденного материала по мере его активного усвоения. Это приводит к исчезновению страха перед контрольными и зачетами;
коллективное повторение материала темы перед зачетом способствует эффективному закреплению материала.
Деятельность учителя при организации разноуровневых групп состоит в:
делении учащихся на группы (по уровню знаний, способностям)
разработке или подборке заданий в соответствии с выявленными уровнями знаний
оценивании деятельности учащихся.
Одним из наиболее эффективных и удобных методов уровневой диагностики математических знаний, умений и навыков по сравнению с традиционными видами контроля (зачеты, опросы, устные контрольные работы и др.) являются тесты.
Тест состоит из нескольких коротких задач (вопросов), на которые учащийся должен реагировать или составлением ответа (что часто представляет собой заполнение пробелов), или комбинированием предложенных ему готовых ответов (выбор правильного ответа, объединение подходящих элементов, суждение о правильности представленных ответов и т.д.), а чаще всего включает в себя образец правильного решения каждой задачи (эталон).
При проверке знаний можно использовать уровневую контрольную работу.
Уровневая контрольная работа, ориентированная на уровневый подход в обучении математике, реализует принцип открытых перспектив, представляет учащемуся возможность выбора уровня своего обучения и уровня контроля.
Схема уровневой контрольной работы, составленной по критерию новизны и самостоятельности решения, может быть следующей:
Контрольная работа состоит из 10 задач, из которых учащемуся предлагается решить любые 5. Заранее сообщаются уровни сложности. Задачи 1-5 относятся к I уровню (решение по готовой формуле, известному правилу, алгоритму, закону...). Задачи 1-5 чаще всего 1 - 2 шаговые, проверяющие сформированность основных (базовых) умений и навыков темы.
Задачи 6 - 8 относятся ко II уровню, т.е., решая их, ученик должен показать умения использовать знания в усложненной, комбинированной, но знакомой ситуации. Задачи, предлагаемые учащимся, должны быть известны, но учащийся должен прояснить ситуацию и выбрать среди известных способов решения подходящий для этой задачи.
Задачи 9 - 10 относятся III уровню сложности и позволяют выявить более высокий уровень освоения темы, выявить умение применять типовые знания и умения в новой ситуации.
Норма оценивания работы, так же как и структура работы, должна быть известна учащимся до контрольной.
Задачи 1-5 оцениваются в 1 балл.
Задачи 6 - 8 в 2 балла.
Задачи 9, 10 - в 3 балла в соответствии со сложностью.
На контрольной работе учащийся может решать любое число задач, но заранее оговаривается, что зачет (подсчет баллов) ведется только по 5 задачам (наиболее сложных из решенных), хотя проверяются все решенные. Перед учащимся ставится цель, выполняя контрольную работу, набрать наибольшее количество баллов.
За набранные 5-6 баллов ставится отметка "3", за 7 - 8 баллов отметка "4", за 9 -10 баллов отметка "5".
Таким образом, чтобы получить отметку "4", учащийся должен решить хотя бы 2 комбинированные задачи II уровня, на отметку "5" необходимо решить одну из трёхбалльных задач, показав тем самым творческий уровень усвоения материала. Норма оценивания контрольной работы (количество баллов на отметку "3","4","5") может варьироваться в зависимости от подготовленности класса, сложности материала и т.п.
Если учащийся, решая 2-х и 3-х балльную задачу, допустил ошибку, но показал, что понимает способ решения, довел его до конца, то задание может быть оценено меньшим количеством баллов (если основной проверяемый материал выполнен верно, а ошибка на неосновной материал может расцениваться как случайная, если задача скомбинирована из двух типовых и учащийся допустил ошибку, решая задачу одного типа, а задача другого типа решена верно и т.д.)
Уровневая контрольная работа позволяет:
– уменьшить стресс учащихся на контрольной работе, т. к. задачи типовой части известны ученикам (типы задач);
– сделать учащегося субъектом учебного процесса, т. к. он выбирает задачи для решения в соответствии со своим уровнем усвоения темы и в этом выборе нет произвола учителя;
– перенести цели контроля с выяснения того, что он не знает, на контроль того, что он знает (гуманизировать контроль);
– сориентировать учащихся на творческое усвоение материала, а не на зубрежу.
Пример уровневой контрольной работы – приложение 2























Глава II
Переход школы на профильное обучение также требует, чтобы педагогическая технология, основанная на уровневой дифференциации обучения позволяет вести эту работу и в обычных классах с традиционным составом учащихся и в профильных.
Рассмотрим урок в 10 классе с гуманитарным профилем.
В классе выделены две группы для уровневой дифференциации: первая и вторая.

Урок по теме: " Применение производной к исследованию функции. Уравнение касательной к графику функции"

Урок усвоения нового материала

Цели урока:
Образовательные:
обобщить и систематизировать правила дифференцирования;
изучить алгоритм составления уравнения касательной к графику функции,
отработка навыков составления уравнения касательной к графику функции.
Развивающие:
развивать навыки грамотной математической речи;
развитие мышления;
повышение общекультурного уровня учащихся.
Воспитательные:
развивать умение работать в коллективе.

План урока.
Организационный момент - 2 мин.
Актуализация знаний - 10 мин.
Изучение нового материала –15 мин.
Закрепление изученного материала – 15 мин.
Рефлексия, итог урока, домашнее задание - 3 мин.
Оборудование:
учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11» А.Г.Мордкович
компьютер;
проектор;
экран для показа слайдов.
Ход урока

Организационный момент (тема урока, цели урока)
Актуализация знаний
Повторение материала, изученного на предыдущих уроках, с помощью устного опроса:
Вопросы учащимся:
Графиком какой функции является прямая? (линейной)
Какой вид уравнения прямой? ( y= k x + b)
Как называется коэффициент при « х »? ( угловой коэффициент прямой)
Чему равен угловой коэффициент прямой?
(тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох или значению производной функции в точке проведения касательной)
Сформулируйте определение касательной?
(касательная к графику дифференцируемой в точке хо функции f – это прямая, проходящая через точку (хо; f(хо)) и имеющая угловой коэффициент f``(хо)
  Сформулируйте правила нахождения производной.
1. Производная суммы (u + v)'=u'+v';2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu';3. Производная произведения (uv)'=u'v+uv';4. Производная дроби (u/v)'=(u'v-uv')/v2;5. Производная степенной функции (xn)'=nx n+1.)
Как найти производную сложной функции?
Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам.
В чем заключается геометрический смысл производной?
Существование производной в точке эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х0 ,f(x0)) графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен f '(x 0).
решения примеров по опросу (задания через проектор, решают в тетради):
Чему равны производные следующих функций:
a) f(x) = 2x2-5x+1;
б) f(x) =13 EMBED Equation.3 1415;
в) f(x) =13 EMBED Equation.3 1415
г) f(x) = -2sin2x-4;
д) f(x) =(x2+x)4;
е) f(x) = (x+3)10;
ж) f(x) =x13 EMBED Equation.3 1415;з) f(x) = cos (2x2-4).

Изучение нового материала (информация через проектор)

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Пусть нам дана дифференциальная функция y = f(x)
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 - точка касания графика функции y=f(x) с прямой y=kx+b
y=kx+b, т.к. k=13 EMBED Equation.3 1415`(X0), то уравнение примет вид y = 13 EMBED Equation.3 1415'(X0) x+b
т.к. касательная проходит через точку 13 EMBED Equation.3 1415, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению
Y0=13 EMBED Equation.3 1415'(X0) x+b, т.е. Y0=13 EMBED Equation.3 1415'(X0) X0+b
Отсюда b=13 EMBED Equation.3 1415(X0) -13 EMBED Equation.3 1415'(X0) X0
Y=13 EMBED Equation.3 1415(X0) +13 EMBED Equation.3 1415'(X0) (X-X0)
Мы вывели уравнение касательной, где 13 EMBED Equation.3 1415 - координаты точки касания.
(x;y) – координаты любой точки этой касательной.
Записать уравнение в тетрадь.
Составим план для составления уравнения касательной к графику функции:.
найти значение функции в точке касания : 13 EMBED Equation.3 1415(X0);
найти производную: 13 EMBED Equation.3 1415'(X);
найти значение производной в точке касания: 13 EMBED Equation.3 1415'(X0);
подставить найденные значения в формулу.
привести уравнение к стандартному виду
Запишем план для уравнения касательной

Вспомним условие // -ти двух прямых:
если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Задача: Дана функция f(x)=x2-3x+4.Составим уравнение касательной, параллельной прямой y=3x-1
Решение:
f(x)= x2-3x+4 Т.к. касательная параллельна прямой y=3x-1, то k=3
y=3x-1 Зная, что k= f '( x0), имеем
2x0-3=3
2x0=6
x0=3
y=13 EMBED Equation.3 1415(x0) +13 EMBED Equation.3 1415
·(x0) (x-x0)
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415'(x0)=K
13 EMBED Equation.3 1415(x0)=32-33+4=4
y=4+3(x-3)=4+3x-9=3x-5
искомый вид прямой Y=3x-5


4. Закрепление изученного материала (по группам)

первая группа: №29.12(а,б), 29.14(а),29.23(а)
вторая группа: №29.13(а), 29.15(а).№29.16(а), 29.23(б)

Рефлексия, итог урока, домашнее задание

Подведём итоги урока:
Какая тема урока?
Перечислить пункты алгоритма составления уравнения касательной.
Если надо составить уравнение касательной, параллельной данной прямой, с чего надо начинать решение таких заданий?

2) Проверяется работа, выставляется отметка за теорию и практику.
3) Домашнее задание дается индивидуально:
1. а) повторить производные; б) алгоритм составления уравнения касательной;2. первая группа: №29.12(г), 29.14(б), вторая группа: №29.13(б), 29.15(б).№29.16(б).
3. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)=13 EMBED Equation.3 1415 параллельной прямой у=13 EMBED Equation.3 1415 x - 13 EMBED Equation.3 1415.
(Решение. уравнение касательной имеет вид у=f(x0)+f'(x0)(x-x0).
f '(x)=13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415; f '(x0)= 13 EMBED Equation.3 1415; x0 =0; f(0)=0; y=0+13 EMBED Equation.3 1415(x-0)= 13 EMBED Equation.3 1415x.
Ответ. у = 13 EMBED Equation.3 1415 x. )





Доп. задание
Напишите уравнение касательной к графику функции
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]









f(X0)


X0


·

y=kx+b

y=f(x)

X

Y

0



Root Entry