Решение задач с параметрами графическим способом

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Новомичуринская средняя общеобразовательная школа №1»
Пронского района Рязанской области
Технология
«Решение задач с
параметрами графическим
способом»
Автор:
Козлова Елена Александровна,
учитель математики
МОУ «Новомичуринская средняя
общеобразовательная школа № 1»
2009
Содержание.
I. Пояснительная записка
1. Актуальность………………………………………………………………...
2. Цели и задачи………………………………………………………………..
3. Принципы построения……………………………………………………...
4. Содержание………………………………………………………………….
5. Средства и способы…………………………………………………………
II. Основные этапы работы
Множество точек плоскости, задаваемое неравенством с одним или двумя неизвестными……………………………………………………….
Геометрический смысл системы алгебраических неравенств…………..
Метод областей решения алгебраических неравенств с двумя переменными………………………………………………………………..
Геометрическое истолкование решений систем, включающих как алгебраическое неравенство, так и алгебраическое уравнение…………
Множество точек плоскости, задаваемое уравнениями с одной или двумя переменными………………………………………………………..
Решение задач с использованием координатной плоскости xOy, которые раскрывают «кухню составления задач с параметрами»………
Графический приём решения задач с параметрами………………………
III. Тематическое планирование…………………………………………………...
VI. Литература……………………………………………………………………...
Пояснительная записка
I. Актуальность изучения темы «Решение задач с параметрами»
Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования. Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развёрнутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в вузы.
Актуальной проблемой школьного математического образования остаётся изучение темы «Задачи с параметрами». Данная тема важна потому, что владение приёмами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащихся и их математической культуры.
Вместе с тем приходится констатировать факт отсутствия у большинства выпускников общеобразовательных школ требуемого вузами уровня подготовленности по этой теме. Несмотря на то, что почти все выпускники старшей школы, которым предстоит сдавать вступительный экзамен по математике, посещают подготовительные курсы в вузах, ситуация с качеством знаний, уровнем сформированности умений и навыков по теме «Задачи с параметрами » меняется незначительно.
Причиной является отсутствие базы, поскольку существующие учебные программы по математике и тематические планирования к ним (в том числе и тематические планирования учебных программ обучения математике на профильном уровне) явно не предусматривают обучение решению задач с параметрами.
Каждый учитель переживает за своих учеников. Желание помочь им приобрести качественные знания побудило меня к более тщательному разбору темы «Решение задач с параметрами графическим способом (координатная плоскость )». В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке мною технологии по решению задач с параметрами по данной теме в школьном курсе математики.
Мой опыт работы показал, что умение решать задачи с параметрами формируется у учащихся с трудом. Большинство из них не справляются с такими задачами, и даже сильные ученики при их решении порой проводят громоздкие выкладки. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с методами и приёмами решений уравнений, неравенств с параметрами и делать это нужно не от случая к случаю, а регулярно, тем более для решения таких задач не требуется никаких специальных знаний, выходящих за пределы школьной программы.
В процессе работы над задачами необходимо отрабатывать у учащихся умение чётко представлять ситуацию, о которой идёт речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами, составлять план решения. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому – то одному способу. При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.
Отдельные вопросы представленной технологии по своим формулировкам дублируют вопросы учебных программ по математике. Например, предусмотрено рассмотрение вопросов построение графиков функций с дальнейшим их преобразованием. Следует уточнить, что рассмотрение таких вопросов призвано систематизировать знания учащихся и, что самое главное, подготовить их к работе с подобными объектами в задачах с параметрами. Уровень овладения знаниями и умениями по теме «Функции и графики», предусмотренный настоящей технологией, позволит учащимся эффективно использовать изображения на плоскости в решении задач с параметрами.
Технология имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, концентрации внимания и математической культуры учащихся, расширяет по сравнению с общеобразовательной программой сферу математических знаний, побуждает их к исследовательской деятельности, существенно повышает графическую культуру школьников.
Воспитательный эффект заключается в формировании таких важных качеств личности, как трудолюбие, целеустремлённость, аккуратность.
В рамках преподавания предусматривается активное использование элементов проблемного обучения. Доминирующей формой обучения должна стать поисково-исследовательская деятельность учащихся, реализация которой осуществляется как в рамках уроков, так и в ходе выполнения домашних заданий.
II. Цели и задачи
Класс Цели Задачи
8
(I полугодие) Сформировать:
- представление о множестве точек плоскости, задаваемое неравенством с одним или двумя неизвестными;
- понимание того, что аналитическое задание некоторой области плоскости позволяет изобразить данную область на координатной плоскости. 1. Познакомить учащихся с простейшими случаями построения множества точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторым соотношениям.
2. Рассмотреть на конкретных примерах случаи, когда необходимо задать открытую или закрытую области.
3. Организовать работу учащихся по самостоятельному решению простейших задач.
4. Организовать рефлексивную оценку учащимися своих собственных действий.
8
(II полугодие) Сформировать:
- представление о геометрическом смысле системы алгебраических неравенств.
- умение изображать на координатной плоскости множество точек, задаваемое системой алгебраических неравенств. 1. Познакомить учащихся с правилами построения множества точек плоскости, задаваемого системой неравенств.
2. Рассмотреть образцы применения правил на конкретных заданиях.
3.Тренировать учащихся самостоятельно применять полученные знания при построении графических образов.
4. Организовать рефлексивную оценку учащимися своих собственных действий.
9 Сформировать:
- представление о «методе интервалов» решения алгебраических неравенств с двумя переменными.
1. Познакомить учащихся с приёмом построения области, задаваемой неравенством с двумя переменными.
2. Организовать самостоятельную деятельность учащихся при решении ряда задач.
3. Тренировать учащихся работать по алгоритму, предусмотренному данным методом.
4. Организовать рефлексивную оценку учащимися своих собственных действий.
10
(I полугодие) Сформировать:
- умение на геометрическом образе истолковывать решение систем, включающих как алгебраическое неравенство, так и алгебраическое уравнение.
1. Рассмотреть на конкретных примерах образцы графических образов, удовлетворяющих системам, содержащих как алгебраическое неравенство так и алгебраическое уравнение.
2. Организовать тренинг по самостоятельному решению задач.
3. Организовать рефлексивную оценку учащимися своих собственных действий.
10
(II полугодие) Сформировать:
- представление о множестве точек плоскости, задаваемое уравнением с одной или двумя переменными.
- понимание того, что графический образ полностью соответствует заданному условию в задачах.
- умение без затруднений строить графики различных функций. 1. Познакомить учащихся с приёмом построения множества точек, удовлетворяющих какому-либо уравнению с одной или двумя переменными.
2. Рассмотреть различные образцы применения этого приёма.
3. Потренироваться в самостоятельном выполнении упражнений.
4. Обобщить знания, умения и навыки построения графиков функций (презентация).
5. Организовать рефлексивную оценку учащимися своих собственных действий.
11 Сформировать:
- понятие о параметре как о «равноправной» переменной наряду с другими переменными, присутствующими в задаче;
- понятие о графическом методе решения задач с параметром (координатная плоскость );
- понимание того, что рассматриваемый графический метод является одним из эффективнейших методов решения задач с параметрами;
-совершенствование знаний, умений и навыков при решении задач с параметром данным методом. 1. Рассмотреть ряд упражнений, раскрывающих «кухню» составления задач с параметрами, решаемых графическим методом.
2. Познакомить с взглядом на параметр как на «равноправную переменную», которой выделяется своя координатная ось.
3. Познакомить с общими признаками, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод решения задач с параметрами.
4. Организовать работу над процессом решения таких задач.
5. Рассмотреть на примерах как аналитическое так и графическое решение одного и того же задания с параметром.
6. Потренироваться решению класса задач рассматриваемым методом и удостовериться в его эффективности по сравнению с аналитическим методом.
7. На конкретном материале рассмотреть как можно больше задач с различными условиями.
8. Тренировать учащихся работать самостоятельно, используя данный метод.
9. Организовать рефлексивную оценку учащимися своих собственных действий и действий учащихся.
III. Принципы построения технологии
принцип научности и ведущей роли теоретических знаний;
принцип сознательности;
принцип доступности;
принцип развивающего обучения;
принцип проблемного обучения;
принцип многократности и вариативности.
Данная технология опирается на передовые принципы обучения математике, которые являются организующим и руководящим началом деятельности учителя при обучении учащихся.
Принцип научности и ведущей роли теоретических знаний.
В соответствии с этим принципом сведения о фактах математики должны излагаться на уроке с опорой на данные математической науки – научно достоверно, без искажений.
Принцип сознательности.
Какое-либо правило или определение должно быть не просто сформулировано учителем, оно должно быть результатом обобщения изученных явлений, должно быть выведено учащимися из проанализированных математических фактов.
Принцип доступности.
Математическое понятие может быть усвоено только в том случае, если его сущность раскрыта путем четкого, понятного, доступного учащимся объяснения. Имеется в виду не только речь учителя, но и методы работы.
Принцип развивающего обучения.
Необходимо научить детей анализировать и обобщать математические факты, развивать познавательные способности, учить их мыслить.
Реализуется это в том случае, если учащиеся анализируют образцы заданий, участвуют в выведении правила, аргументируют то или иное решение.
Принцип проблемного обучения.
В процессе обучения необходимо побуждать учащихся к поиску, к элементам исследования, к самостоятельному нахождению ответов, осуществляется это через создание проблемной ситуации, формулирование проблемы, выдвижение гипотез, решение проблемы и проверку правильности решения.
Принцип многократности и вариативности.
Для приобретения учащимися опыта в решении задач необходимо многократное повторение ситуации при варьировании содержания учебного материала.

IV. Содержание
В качестве содержания, выбранного для решения поставленных задач, за основу взята Программа Министерства образования Российской Федерации по математике. Москва «Просвещение».
Учебники:
Мордкович А. Г. Алгебра, 8. Учебник.
Мордкович А. Г. Алгебра, 9. Учебник.
Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа, 10 – 11. Учебник.
Задачники:
А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. Алгебра, 8. Задачник.
А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. Алгебра, 9. Задачник.
А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. Алгебра и начала анализа, 10 – 11.Задачник.
Методические пособия для учителя:
А. Г. Мордкович. Алгебра, 7 – 9. Методическое пособие для учителя.
А. Г. Мордкович. Алгебра, 10 – 11. Методическое пособие для учителя.
Тесты для учащихся:
А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. Алгебра, 7 – 9. Тесты.
А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. Алгебра, 10 – 11. Тесты.
Контрольные работы для учащихся:
Ю. П. Дудницын, Е. Е. Тульчинская. Алгебра, 7 – 9. Контрольные работы.
А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. Алгебра и начала анализа, 10 – 11. Контрольные работы.
V. Средства и способы
Подготовка к изучению темы «Решение задач с параметрами графическим методом (координатная плоскость )» начинается с 8 класса и продолжается до 11 класса.
В 8 классе необходимо сформировать представление о множестве точек плоскости, которое задаётся неравенством как с одной, так и с двумя переменными, представление о геометрическом смысле системы алгебраических неравенств, а также умение изображать на координатной плоскости множество точек, задаваемое системой алгебраических неравенств. В этот период обучения учащиеся знакомятся с элементарными задачами по данной теме. Происходит накопление опыта построения на координатной плоскости множества точек, удовлетворяющих различным простейшим соотношениям и понимания того, что аналитическое задание некоторой области плоскости позволяет изобразить данную область на координатной плоскости. В дальнейшем на основе этого опыта учащиеся смогут без затруднений строить множество точек плоскости, задаваемое более сложными соотношениями, что является одним из компонентов успешного решения задач с параметрами графическим способом.
Практически восприятие изучаемого материала не выходит за рамки курса преподавания алгебры 8 класса. Этому способствует тот факт, что учащиеся на данный период обучения знакомы с понятием «функция», умеют изображать на координатной плоскости графики линейной, квадратичной функций, а также графики функций вида . Все упражнения, которые выполняют учащиеся, не являются самоцелью, а проводятся в связи с тем, что при решении ряда задач с параметрами графическим способом, используется владение выше указанными умениями, а быстрое и грамотное построение множества точек, удовлетворяющего некоторым соотношениям, позволит исключить ошибки при ответе на вопрос задачи.
Задача учителя на данный период обучения заключается в организации самостоятельного применения полученных знаний учащимися при построении графических образов и в рефлексивной оценке учащимися своих собственных действий.
В 9 классе, после изучения темы «Решение неравенств с одной переменной методом интервалов», целесообразно познакомить учащихся с приёмом построения области точек на координатной плоскости, задаваемой неравенством с двумя переменными. Этот приём ассоциируется с указанным методом. При этом знания учащихся углубляются. Происходит осмысление эффективности применения «метода областей» при решении класса задач, направленных на умение изображать на координатной плоскости множества точек, удовлетворяющих неравенству с двумя переменными. Предлагаемые учителем задания направлены на поисковую деятельность, так как внимание учащихся фиксируется на том, что необходимо определять знак неравенства в каждой части построенной области. Такая пропедевтическая работа направлена на то, что при решении задач с параметрами графическим методом, возможные затруднения в определении знака неравенства с двумя переменными будут сняты. Итак, на данный период обучения создаются благоприятные условия для дальнейшей познавательной деятельности учащихся.
В 10 классе учащиеся знакомятся с построением графических образов, удовлетворяющих системам, которые содержат как алгебраическое неравенство, так и алгебраическое уравнение, а также с построением множества точек, удовлетворяющих какому – либо уравнению с одной или с двумя переменными. Изучение указанных приёмов важно, так как условие многих задач с параметрами предполагает умение и навык использования выше указанных приёмов. И, наконец, для того чтобы успешно решать задачи с параметрами, предусмотренные данной технологией, необходимо рассмотреть упражнения (их не должно быть много), которые по сути в дальнейшем приоткроют учащимся технологию составления таких задач. Процесс работы над подобранными учителем упражнениями включает в себя практический материал, который не выходит за рамки ранее изученного. Итак, происходит расширение знаний учащихся необходимых для их исследовательской деятельности при решении заданий с помощью вскоре изученного метода решения задач с параметрами.
Целесообразно во втором полугодии 10 класса провести отдельный обобщающий урок по теме «Построение графиков функций с помощью различных преобразований». Данный урок желательно построить в форме семинара с использованием программных сред и провести с помощью материала, оформленного в слайдах презентации, выполненной в PowerPoint.
На данный период обучения у учащихся накапливается опыт необходимый и достаточный для полноценного решения задач с параметрами графическим методом (координатная плоскость ).
Задача учителя на данном этапе обучения заключается в организации тренинга по самостоятельному решению задач, а также в организации рефлексивной оценки учащихся своих собственных действий. Такая работа учителя обязательно себя оправдает, так как ученикам предстоит проверить свои силы на предстоящем едином государственном экзамене.
В 11 классе формируется понятие о параметре как о «равноправной» переменной наряду с другими переменными, присутствующими в задаче. Здесь учитывается тот факт, что учащиеся уже знакомы с понятием «параметр» и умеют решать задачи с параметрами графическим способом в координатной плоскости (8 – 9 классы). Взгляд на параметр как на «равноправную» переменную, позволяет отвести ей свою координатную ось. Учащиеся знакомятся с графическим методом решения задач с параметрами именно в координатной плоскости , а также с признаками, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод. На данном этапе обучения необходимо проанализировать и сравнить аналитический и графический подходы к решению одной и той же задачи. Такая работа покажет учащимся, что изученный метод является эффективнейшим средством решения ряда задач с параметрами. Учитель подбирает систему упражнений для тренировки учащихся работать самостоятельно, используя данный метод.
Хотелось бы отметить, что сам метод по своей сути не является сложным. Но без того багажа знаний, который учащиеся получили при обучении в 8 – 10 классах, они не смогли бы воспользоваться этим методом, ведь верное построение графических образов, предполагаемых условием задачи, есть ключ к правильному ответу на поставленный вопрос в задаче.
Основные этапы работы над изучением темы «Решение задач с параметрами графическим методом (координатная плоскость )».
I этап
Множество точек плоскости, задаваемое неравенством с одним или двумя неизвестными
Займёмся такими соотношениями, которые являются аналитическим заданием некоторой области плоскости. Начнём с задания полуплоскости.
Замечание: граничные линии изображаем на рисунках сплошными, но в случае строгих неравенств отмечаем, что точки этих линий не включаются в рассматриваемое множество.
Мы знаем, что уравнение определяет множество точек оси ординат. Если же рассмотреть множество точек, относительно которых известно, что абсцисса их положительна, а ордината любое число (то есть это множество определяется неравенством ), то получим правую полуплоскость (рис. 1).


Рис.2
Рис.1
Неравенством определяется левая полуплоскость (рис. 2).


Рис.4
Рис.3
В обоих случаях точки граничной прямой не включаются в рассматриваемое множество, такая полуплоскость называется открытой. Верхняя и нижняя открытые полуплоскости задаются соответственно неравенствами (рис. 3) и (рис. 4).
Если бы мы захотели задать замкнутую правую полуплоскость (в рассматриваемое множество входят и точки оси ), нужно было бы рассмотреть неравенство .
Упражнения.
Построить множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
б)

в)

Решение.
а)



Заметим, что двойное неравенство представляет собой по существу систему неравенств что приводит к нахождению пересечения двух полуплоскостей. В этом случае множество решений системы есть открытая полуплоскость. Геометрическая иллюстрация к случаям г) и д) показаны на рисунках 8 и 9.
г)

д)

Рассмотрим теперь уравнение . Точка принадлежит множеству точек, задаваемому этим уравнением. Точки, абсцисса которых равна двум, а ордината больше двух, будут лежать на прямой выше точки .
Вообще, для каждого произвольно взятого , мы будем теперь выбирать те точки плоскости, у которых вторая координата больше , то есть те, которые лежат на прямой выше точки её пересечения с прямой . Таким образом, мы получим множество точек, расположенных выше прямой . Это открытая полуплоскость задаётся неравенством .Совершенно аналогично соотношение задаёт множество точек плоскости, лежащих ниже прямой .
Упражнения.
Построить множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют следующим соотношениям:

а)

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

б)



г)


е)) д)
в)


II этап
Геометрический смысл системы алгебраических неравенств
Требуется построить множество точек плоскости, аналитическим заданием которого является система
Двойное неравенство определяет множество точек вертикальной полосы, включая точки прямых и .

Двойное неравенство определяет внутренние точки горизонтальной полосы. Решением исходной системы является пересечение этих двух множеств, которое состоит из точек прямоугольника , причём точки отрезков и входят в рассматриваемое множество, а точки отрезков и нет. Ясно, что сами точки , , и не принадлежат нашему множеству. Действительно, точка , например, имеет координаты , . Но число не удовлетворяет второму соотношению системы .
Упражнения.
Постройте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют следующим соотношениям:
а)
Ответ: все точки, лежащие одновременно правее прямой и на прямой или ниже её. Точка с координатами и не входят в рассматриваемое множество.
б)


Ответ: точки, расположенные одновременно ниже прямой и ниже прямой .
а)
б)
в) интересно сравнить разобранный пример с неравенством

Для выполнения этого неравенства необходимо и достаточно выполнение одной из следующих систем: или
Отсюда ясно, что множество данного неравенства есть объединение множеств решений двух указанных систем, в результате чего получаем множество внутренних точек двух вертикальных углов.


г) .
г)
в)

д)
е) .
Данное неравенство распадается на две системы:
1) или 2)
Множество решений первой системы получается как пересечение множества точек верхней координатной полуплоскости и множества точек, лежащих ниже прямой .
Множество решений второй системы есть пересечение множества точек нижней координатной полуплоскости и множества точек, лежащих выше прямой .


Множество решений исходного неравенства получается как объединение двух построенных множеств.
е)
д)
Замечание: ниже мы вернёмся к решению неравенств вида в) и е), но другим способом.
ж)
Неравенство изображается множеством точек, лежащих «выше параболы» , то есть между её ветвями. Для всякой точки с абсциссой , лежащей «внутри параболы» (то есть между её ветвями), . Например, для точки имеем , или . Неравенство задаёт нижнюю полуплоскость, ограниченную прямой , включая эту прямую.


з)
з)
ж)

и)
к)
л) .
Решение данного неравенства сводится к решению совокупности двух систем



или
л)
к)
и)
В заключение этой серии упражнений рассмотрим множество точек плоскости, задаваемое тремя соотношениями.
Упражнения.
а)
б)
в)
В этом случае множеством решений являются точки плоскости, принадлежащие пересечению трёх полуплоскостей, определяемых соотношениями , , . В результате получаются внутренние точки заштрихованного треугольника.



в)
б)
а)
III этап
Метод областей решения алгебраических неравенств с двумя переменными
Вернёмся к примеру . Построим в координатной плоскости прямые и . Эти прямые разбивают плоскости на четыре области. Некоторые из них являются решениями неравенства. Конкретно какие – можно установить, взяв из каждой области по пробной точке. Та область, точка которой удовлетворяет неравенству, является его решением (такой приём ассоциируется с методом интервалов при решении неравенств с одной переменной). Строим прямые или и или (рис. 34). Точка пересечения прямых есть точка .
Например, берём точку и подставляем её координаты в неравенство :

Значит, множество точек, лежащих внутри угла , включая его стороны, являются решениями данного неравенства (на рис. заштриховано).
Аналогично, проверяем каждую из оставшихся трёх областей. Получаем множество точек, лежащих внутри угла , и на сторонах этого угла есть решение данного неравенства (на рис. заштриховано).

Можно представить «переход» метода интервалов с прямой на плоскость в следующей схеме:
Метод интервалов
Метод областей
ОДЗ
Корни
ОДЗ
Координатная
прямая
Граничные линии
Координатная
плоскость
Знаки на интервалах
Ответ
Знаки в областях
Ответ по рисунку

Упражнения.
Изобразите в координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют данным неравенствам:
а)
а)


б)
б)
Более останавливаться на этом методе не будем. Он довольно «прозрачен».
IV этап
Геометрическое истолкование решений систем, включающих как алгебраическое неравенство так и алгебраическое уравнение.
Рассмотрим данный вопрос на конкретных примерах.
Изобразить множество точек плоскости, удовлетворяющих системе:
а)

а)
Решаем неравенство системы «методом интервалов». Получаем заштрихованные области, включая границы. Строим окружность с центром в начале координат радиуса 3. Та часть окружности, которая попадает в заштрихованную область и будет решением системы.
б)

б)
Решаем неравенство системы «методом интервалов». Заштрихованные области являются решением неравенства. В одну из этих областей попадает часть графика параболы на интервале (0; 2) (по условию неравенство строгое).
в)
г)


Решая неравенство системы «методом интервалов», получаем множество точек заштрихованных областей, включая границы. Далее построим прямые Точки этих прямых, попадающие в заштрихованные области, являются решениями данного неравенства. Итак, исходной системе удовлетворяют все точки, лежащие на лучах и выделенные на рисунке жирными линиями.
г)
в)
V этап
Множество точек плоскости, задаваемое уравнениями с одной или двумя переменными.
Построим множество точек, аналитическим заданием которого является уравнение . В нашем случае, для того, чтобы произведение равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю:
или .

Поэтому искомое множество представляет собой объединение двух множеств точек, задаваемых уравнениями и .
Упражнения.
Построить множества точек плоскости, задаваемые соотношениями:
а)
Данная совокупность равносильна уравнению:



.
б)
Перейдём к уравнению, равносильному исходной совокупности уравнений:
.

в) .

б)
в)
VI этап
Для того чтобы успешно решать задачи с параметрами, предусмотренные данной технологией, рассмотрим несколько упражнений (их не должно быть много), которые, по сути, раскрывают «кухню» составления соответственных задач.
Упражнение 1.
Задана система неравенства и уравнения

Изобразите множество точек на координатной плоскости , удовлетворяющих системе и ответьте на вопрос: при каких значениях существует два значения ?
Решение.
Данная система на координатной плоскости задаёт кривую, изображённую на рисунке сплошной линией.

Ясно, что все точки этой дуги параболы (и только они) имеют координаты , удовлетворяющие исходной системе. Вершина параболы есть точка , ордината точки пересечения параболы с осью равна трём.
Очевидно, что при существуют два значения x.
Ответ: при
Упражнение 2.
Дана система двух неравенств

Изобразите множество точек плоскости системы неравенств и ответьте на вопросы:
при каких значениях переменной существует единственное значение переменной ?
при каких значениях переменная пробегает все свои значения?
при каких значениях значения положительны?
при каких значениях переменной значения отрицательны?
Найдите значения , при которых переменная удовлетворяет соотношению .
Решение.
Построим в координатной плоскости множество точек плоскости, удовлетворяющих данной системе неравенств.

На рисунке это множество изображено штриховкой, включая граничные точки парабол и . Ответы на заданные вопросы считываем по рисунку:
при и ;
при ;
;
;
по рисунку определяем, что меньшее значение переменной находим, подставив в уравнение значение , равное , получим 1; большее – подставив в уравнение значение , равное , получим .
Упражнение 3.
Дана совокупность двух уравнений

Изобразите множество точек, удовлетворяющих данной совокупности и ответьте на вопрос: при каких значениях y значения x принимают ровно три значения?
Решение.
График этой совокупности – объединение графика функции и параболы .

Очевидно, что только при переменная принимает ровно три значения , , .
Упражнение 4.
Опишите область решений системы неравенств


Решение.
Первое неравенство системы равносильно неравенству и его решения заполняют часть плоскости ниже параболы . Второе неравенство характеризует точки, расположенные внутри круга радиуса с центром в начале координат. Для нахождения точек пересечения параболы с окружностью нужно решить совместно их уравнения:

Исключив x, получим и = , откуда Второе решение нужно отбросить, ибо > 0. Для абсциссы находим значения .
Область ограничена окружностью и входящей внутри круга дугой параболы (рис. 49).

Её можно описать неравенствами, решёнными относительно . Ясно, что на верхней полуокружности на нижней - Записываем ответ:
: ,
: ,
: .
VII этап
Графический приём решения задач с параметрами
(координатная плоскость )
При решении задач с параметрами аналитическими методами параметр рассматривается как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причём «равноправная» с другими, присутствующими в задаче.
При таком взгляде на параметр формы (;) задают функцию не с одной, а с двумя переменными. Подобная интерпретация, естественно, формирует данный тип задач с параметрами. Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах.
В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно, можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (;). Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного выбора букв и для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.
Рассмотрим самые общие признаки, которые помогут нам узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод (при этом необходимо помнить, что нет правил без исключений): в задаче фигурируют лишь один параметр и одна переменная . Они конструируют некоторые аналитические выражения (;), (;) и так далее (понятно, что выбор букв может быть иным). Графики уравнений (;), (;) и т. д. в системе координат (x; a) строятся несложно. Сам же процесс решения схематично строится так. Вначале строится графический образ, затем, полученный образ пересекаем прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «снимаем» нужную информацию.
Ключ решения

Параметр «равен в правах» с переменной. Ему можно выделить свою координатную ось.


Общие признаки задач, подходящих под рассматриваемый метод
3. «Снимаем» нужную информацию
1. В задаче фигурируют один параметр a и одна переменная x
2. Они образуют некоторые аналитические выражения F (x; a), G (x; a) и т. д.
3. Графики уравнений F (x; a) = 0, G (x; a) = 0 строятся несложно
Схема решения
1. Строим графический образ
2. Полученный образ пересекаем прямыми, перпендикулярными параметрической оси