Презентация по алгебре и началам анализа Иррациональные уравнения

МБОУ «СОШ № 15» 1. История иррациональных чисел 2. Понятие иррационального уравнения 3. Основные приёмы решения иррациональных уравнений 4. Примеры для самостоятельного решения Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком операции возведения в дробную степень. Примеры иррациональных уравнений Основная идея при решении уравнений данного типа – это освобождение их от иррациональности. Её можно достичь путем совместного возведения обеих частей в нужную степень. Либо путем извлечения корня из соответствующей степени выражения. При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень (3,5,7,..) выполняется равносильное преобразование уравнения, поэтому посторонние решения не появляются! Пример решения уравнения: Ответ: 0; 1 Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень является неравносильным преобразованием уравнений, поэтому в решении могут появляться посторонние корни. Для отсеивания посторонних корней необходимо выполнять проверку или находить ОДЗ. Рассмотрим примеры решения подобных уравнений: Возведём обе части уравнения в квадрат: Выполним проверку: Ответ: x = 2 1 и 2 и Значит не является корнем уравнения Найдем ОДЗ: Аналогично рассмотренному примеру возведем обе части уравнения в квадрат и решим уравнение: Ответ: Пусть ,тогда оценка корней показывает, что Поэтому корнем уравнения не является. Алгоритм решения иррациональных уравнений основными методами: 1. Найти ОДЗ или после нахождения корней уравнения выполнить проверку. 2. Возвести в одну и ту же степень обе части уравнения. 3. Решить полученное уравнение.4. Записать ответ. Примеры для самостоятельного решения дома: Если натуральные числа возникли в процессе счета, а рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами. Первоначально термины “рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми. Несоизмеримые величины, были названы еще в древности иррациональными. Гиппас из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.) Первое доказательство существования иррациональных чисел приписывается Гиппасу, пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы. Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в. Джамшид ибн Мас‘уд ибн Махмуд Гияс ад-Дин ал-Каши Рене Декарт Симон Стевин Современный знак корня произошел от обозначения, примяемого немецкими математиками XV-XVI вв.: Скорее всего, в последствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты. Автором этого знака был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Эти знаком пользовались А.Жирар, С.Стевин V (2) или V (3).В 1626г. нидерландский математик А. Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R. Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так: И только в 1637 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге «геометрия». Блиц опрос. Какие уравнения называются иррациональными?2. Какой метод является основным при решении иррациональных уравнений?3. Всегда ли необходимо выполнять проверку или находить ОДЗ?