Математика-11. Подготовка к ЕГЭ.Банковские задачи

Межрайонное методическое объединение учителей математики районов Кунцево, Можайский и Крылатское Доклад«Банковские» задачи Докладчик: Шмельков В.Ю.преподаватель математических дисциплин, ГБОУ Политехнический колледж №4225.02.2015 Требования (умения)Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни 6.1 – Анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетахЗнания (темы)Алгебра Числа, корни и степени 1.1.1 – Целые числа 1.1.3 – Дроби, проценты, рациональные числаУравнения 2.1.12 – Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учёт реальных ограничений Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. Под наращенной суммой (ссуды, депозита и других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока начисления. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. № 1. (Официальный демовариант)31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?Решение:Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент (множитель наращения)После первой выплаты сумма долга составит: После второй выплаты сумма долга составит: После третьей выплаты сумма оставшегося долга:По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтомуПри исходных данных задачи имеем:а = 9930000, k = 10% m = 1.1, x = 3993000 Ответ: 3993000 р. № 2. (Тренировочная работа 83)В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?Решение:Пусть а = 3900 тысяч рублей – начальная сумма вклада, х – фиксированная сумма, ежегодно добавляемая к вкладу.Переводим процентные данные в множители наращения: Рассмотрим изменение суммы вклада в течение 5 лет. Получим: Учитывая, что , получаемПодставляем исходные данных задачи и в результате имеем:Ответ: 2100 тыс.руб. № 3. (Тренировочная работа 97)В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?Решение:Пусть а – начальная сумма вклада.Множитель наращения будет равен: Рассчитаем, как изменяется сумма вклада в течение 3-х лет.По плану: По факту имеем:Следовательно, запланированная сумма вклада уменьшится на Ответ: на 220 руб. № 4. (Тренировочная работа 81)За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом 11 1/9 % и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 104 1/6 %. Определите срок хранения вклада. Решение: Пусть x, y, z, t – время (в месяцах) хранения вклада в банке с процентными ставками 5%, 12%, 11 1/9% и 12,5% соответственно. Отметим, что по условию задачи все они - натуральные числа.Представим процентные ставки в виде множителей наращения, получим:Тогда по условию задачи имеем: Разложим обе части уравнения в произведение степеней с основаниями в виде простых чисел:А теперь приравниваем показатели у степеней с одинаковыми основаниями, получаем систему уравнений: Учитывая условие задачи, 2-е уравнение х + у = 2 выполняется только при х = у = 1, подставляя их в другие уравнения, легко находятся z = 3 и t = 2.Следовательно, вклад хранился в банке в течение 1 + 1 + 3 + 2 = 7 месяцев.Ответ: 7 месяцев. № 5. (Тренировочная работа 84)Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?Решение:Пусть а – начальная сумма вклада, множитель наращения вклада за 2-й год обозначим через х, тогда индекс наращения вклада за 1-й год составит х – 0,4.Через 1 год сумма вклада составит: Через 2 года сумма вклада составит: С другой стороны: . Следовательно: Полученное квадратное уравнение имеет один положительный корень: х = 1,6. Значит новая процентная ставка составляла 60% годовых (второй корень отрицательный, не подходит по условию задачи). Ответ: 60 % Несколько задач для тренировки можете решить самостоятельно. Ответы приведены.№ 6. (Тренировочная работа 85)Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?Ответ: 120%№ 15. (Тренировочная работа 95)8 марта Леня Голубков взял в банке 53 680 рублей в кредит на 4 года под 20% годовых, чтобы купить своей жене Рите новую шубу. Схема выплаты кредита следующая: утром 8 марта следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), а вечером того же дня Леня переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа (все четыре года эта сумма одинакова). Какую сумму сверх взятых 53 680 рублей должен будет выплатить банку Леня Голубков за эти четыре года?Ответ: 29264 р. Вывод:Для решения «банковских» задач (задач с экономическим содержанием и пр.) необходимо сформировать устойчивые навыки решения простейших задач «на проценты», а также затем поддерживать их на должном уровне, включая, например, в устный счет. Список использованной литературы и Интернет-ресурсов1. Медведев Г.А. Начальный курс финансовой математики: Учеб.пособие. - М.: ТОО «Остожье», 2000. – 267с.2. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. – 4-е изд. – М.: Дело, 2004. – 400 с.3. http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikacii-kodifikatory4. http://alexlarin.net/ege15.html