Конспект урока по геометрии на тему Формула Герона

Урок по геометрии в 8 классе
Учитель: Газиева Н.Н.
Тема. Формула Герона.
Цель: вывести формулы Герона для площади треугольника; сформировать умения учащихся применять выведенную формулу к решению задач.
Тип урока: комбинированный.
План урока.
Организационный момент
Проверка домашнего задания
Проверить наличие домашнего задания у всех учащихся класса и ответить на вопросы, возникшие у учеников при его выполнении.
Устные вопросы
Чему равна площадь прямоугольника?
Чему равна площадь квадрата?
Чему равна площадь треугольника?
Чему равна площадь трапеции?
Чему равна площадь параллелограмма?
Изучение нового материала
Работа по учебнику § 3. 57.
На этом уроке мы рассмотрим ещё один способ вычисления площади треугольника: с помощью формулы Герона. Она позволяет вычислить площадь треугольника, зная лишь его стороны, что может очень пригодиться, особенно в практических вычислениях.
Мы выпишем и докажем формулу Герона, а также решим несколько задач на применение этой формулы.
История формулы ГеронаНа данном уроке мы изучим формулу Герона, позволяющую вычислять площадь треугольника по его сторонам.
До этого мы умели вычислять площадь треугольника, зная его основание и высоту:  и катеты (для прямоугольного треугольника): . Формула Герона – это новая формула, которая связывает площадь треугольника и длины всех трёх его сторон.
Открыта эта формула была, по всей видимости, ещё Архимедом в  веке до н.э., но его доказательство не дошло до наших дней. А вот в «Метрике» Герона Александрийского ( век до н.э.) она есть.
Герона (см. Рис. 1) интересовали треугольники с целочисленными сторонами, площадь которых также является целым числом. Такие треугольники в его честь называют героновыми.
Простейший геронов треугольник – так называемый египетский треугольник (со сторонами 3, 4 и 5).

Рис. 1. Герон Александрийский (Источник)
Теорема
Площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле: , где  – полупериметр,  – длины сторон треугольника.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник  (пусть  – острые, напомним, что в треугольнике всегда есть хотя бы два острых угла). Обозначим в нём: . Проведём высоту , а также обозначим:  (см. Рис. 2.).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме
Воспользуемся следствием из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников :  (1), :  (2).
Приравняв правые части в формулах (1) и (2), получаем:, откуда: . Так как  (3), то получаем:  (4).
 Сложим формулы (3) и (4):
.
Теперь вернёмся к формуле (1) и подставим в неё полученное выражение для :
.
Теперь вспомним, что полупериметр выражается формулой: . Отсюда: . Тогда преобразуем полученную формулу:.
Отсюда высота равна: .
Запишем известную нам формулу для площади треугольника: .
Доказано.
Закрепление материала
Решение задач
Задача 1
Стороны треугольника равны . Найти высоты этого треугольника.
Доказательство
Рассмотрим треугольник . Проведём в нём высоты . Напомним, что все высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Формула Герона и её доказательствоВычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона.
.
Тогда площадь треугольника:
.
Теперь запишем формулу для площади треугольника через высоту:
.
Аналогично находим остальные высоты: , .
Ответ:.
Задачи на применение формулы ГеронаЗадача 2
Дан , его основание , боковые стороны  и  соответственно . Точка , лежащая внутри треугольника, находится на расстоянии  от стороны  и  от стороны . Найти расстояние от точки  до стороны  (см. Рис. 4).
Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Рассмотрим треугольник : в нём – высота. Обозначим: . Тогда: .
Найдём площадь треугольника .
Для начала найдём площадь треугольника  через формулу Герона:

.
Теперь вычислим площадь треугольника : .
Площадь треугольника: : .Теперь, учитывая следующее соотношение: , получаем: .
Теперь найдём расстояние от точки  до стороны : .
Ответ: .
Работа по учебнику.
№ 486, 492.
Самостоятельная работа
Вариант I.
Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 5,6,7.
Найдите наименьшую сторону треугольника со сторонами 17, 65, 80.
Вариант II.
Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 5,6,7.
Найдите наибольшую сторону треугольника со сторонами 17, 65, 80.
На этом уроке мы рассмотрели формулу Герона и её применение для решения различных задач.  На следующем уроке мы повторим всё, что изучили по теме «Площадь».
Итоги урока, рефлексия
Что нового вы узнали сегодня на уроке?
У вас на парте у каждого есть «смайлики». В зависимости от того как вы сегодня усвоили тему нарисуйте ему ротик.
Задание классу
Запишите известные вам формулы для нахождения площади треугольника.
Найдите площадь треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Домашнее задание
Изучить § 3. 57, решить № 498 (а, г), 499.