Занятие на тему: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.

Занятие
Тема: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.
Количество часов: 2 часа
Цель: рассмотреть разложение вектора по трем векторам в пространстве и обозначение координат вектора, ввести новые понятия: координатный вектор (базис) и радиус-вектор, рассмотреть три свойства векторов по координатам, разобрать две задачи на свойства векторов.
План:
1. Разложение вектора по трем векторам в пространстве.
2. Координаты вектора в пространстве.
3. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.
4. Решение задач на свойства векторов.
Вопрос 1. Разложение вектора по трем векторам в пространстве.
Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсцисс, единичный вектор оси ординат , и единичный вектор оси аппликат  (см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.

Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам
Вопрос 2. Координаты вектора в пространстве.
Возьмем вектор , поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным - лежащим в разных плоскостях -  векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов ,  и . Получаем: . Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор  лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор . , а длина вектора ровно в x раз больше длины . Так же поступим и с векторами  и , и получаем разложение вектора по трем координатным векторам:

Коэффициенты этого разложения x, y и z называются координатами вектора в пространстве.
Вопрос 3. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.
Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.
;  
1) Сложение: 
2) Вычитание:  
3) Умножение на число: , 
Вектор, начало которого совпадает с началом координат, называется радиус-вектором. (Рис. 2). Вектор - радиус-вектор, где x, y и z – это коэффициенты разложения этого вектора  по координатным векторам , , . В данном случае x – это первая координата точки A на оси Ox, y – координата точки B на оси Oy, z – координата точки C на оси Oz. По рисунку видно, что координаты радиус-вектора одновременно являются координатами точки М.

Рис. 2.
Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор как разность векторов  и по свойству векторов. Причем,  и - радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора  как разность соответствующих координат векторов  и : . Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.

Рис. 3.
Вопрос 4. Решение задач на свойства векторов.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы , , . Нас спрашивают вектор . В данном случае найти  это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:

Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:
У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:

Ответ: 
Пример №2.
Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P – сер. CB.
Найти: ,,,,,,,.

Рис. 4.
Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).
Так как координаты вектора  -  это разность координат его конца и начала, получаем:. Таким же образом находим координаты векторов и . ; .
Чтобы найти координаты вектора , нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координаты, так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим . MN – средняя линия, . Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: .
Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.
;
.
Вектора  и  - радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: , . 
 
Вопросы для самопроверки:
1. Что называют базисом?
2. Что называют координатами вектора в пространстве?
3. Что такое радиус – вектор?
Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 455 с.: ил.
2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 11 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.: ил.
3. Yaklass.ru (Источник).
4. Mathematics.ru (Источник).