Методика обучения младших школьников решению простых задач.

Этапы работы над текстовой задачей. Методика обучения младших школьников решению простых задач

ПОНЯТИЕ текстовой задачи
Термин «задача» используется в жизни и в науке очень широко. Этим термином обозначаются очень многие и различные понятия. Анализ информационных источников показал, что до настоящего времени нет общего определения понятия «задача». Для текстовой задачи различные авторы предлагают следующие определения:
Задача - это то, что требует разрешения, исполнения (Ожегов С.И.).
[14, с. 203]
Задача – сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (Моро М.И., Пышкало А.М.) [12, с. 111]
Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней (Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.) [19].
Арифметическая задача - требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, связывающая эти величины, как между собой, так и с искомой (Богданович М.В.) [13]. В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи (Бантова М.А.) [2; с. 178].
Текстовые арифметические задачи - это задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий (Дрозд В.Л.) [4; с. 59]
Текстовая задача – математическая задача, в которой есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом. Она представляет собой словесную модель явления, процесса, ситуации, события и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не всё явление или событие, а лишь его количественные и функциональные характеристики (Т.Е. Демидова, А.П. Тонких) [3, с. 20]
Текстовая задача – это описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П., Пышкало А.М.). [16; c.43]
В начальном же курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они сформулированы в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами.
В методической литературе представлены различные классификации текстовых задач. Рассмотрим некоторые из них.
По характеру требований:
1)на нахождение искомого;
2)на доказательство или объяснение;
3)на преобразование и построение.
По характеру условия задачи:
определенная;
неопределенная;
переопределенная.
По числу действий, выполняемых для их решения:
простая;
составная.
В школьном курсе математики Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий выделяют следующие виды задач:
По характеру обьектов: 1 Практические (реальные) 2 математичесикеПо отношению к теории: 1 Стандартные 2 НестандартныеПо характеру требований 1 нахождение (распознавание)искомх 2 Преобразование или построение 3 Доказательство или объяснение
Каждая задача – это единство условия и цели (задания и вопроса задачи). Если отсутствует один из этих компонентов, то отсутствует и сама задача. Это важно иметь в виду для проведения анализа текста задачи с соблюдением такого единства. Анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, потому что они составляют единое целое. Система взаимосвязанных условий и требований - это «взыскательная модель задачи».
Текстовые задачи имеют следующую структуру:
Условие – то, что известно. В условии сообщается информация об объектах и величинах, которые характеризуют данные объекты, об неизвестных и известных значениях данных величин и отношения между ними. Может содержать несколько элементарных условий.
Требование (или вопрос) - то, что нужно найти. В учебниках математики начальной школы требования могут быть представлены в виде вопросительного (Чему равна площадь участка?) или повествовательного (Найти площадь участка) предложения.
Например, задача: «На одном тракторе колхозное поле можно вспахать за 15 дней, а на другом – за 20 дней. На вспашку поставили оба трактора. За сколько дней будет вспахано поле?»
Условие задачи: «На одном тракторе колхозное поле можно вспахать за 15 дней, а на другом – за 20 дней. На вспашку поставили оба трактора». Здесь описываются отношения между тремя величинами: производительностью труда, объемом работы и временем выполнения работы.
Требование задачи: «За сколько дней будет вспахано поле?» Здесь указывается, что нужно найти одно из неизвестных значений величин: время совместной работы. Данное требование сформулировано в вопросительной форме, но может быть и в повелительной: «Найти число дней, за которое будет вспахано поле».
Иногда в учебных пособиях задачи сформулированы таким образом, что условие или его часть включены в одно предложение с требованием. Например, «На одном тракторе колхозное поле можно вспахать за 15 дней, а на другом – за 20 дней. За сколько дней будет вспахано поле, если на вспашку поставят оба трактора?» - здесь часть условия («поставят оба трактора») помещена в предложение с требованием задачи. В следующем варианте условие и требование представлены в одном предложении: «За сколько дней вспашут поле тракторы, работая вместе, если известно, что на одном тракторе колхозное поле можно вспахать за 15 дней, а на другом – за 20 дней?».
Этапы решения текстовой задачи.
Решение текстовых задач осуществляется поэтапно. Последовательность этапов обусловлена логикой условия задачи. Между тем, следует отметить, что единого взгляда на количество этапов и их названия в методике до сих пор нет.
Этапы решения задачи
М.А.БантоваОзнакомление с содержанием задачи.
Поиск плана решения.
Выполнение решения задачи.
Проверка решения задачи.
Л.М.Фридман 1. Анализ задачи.
2. Схематическая запись задачи.
3. Поиск способа решения задачи.
4. Осуществление решения задачи.
5. Проверка решения задачи.
6. Исследование задачи.
7. Формулирование ответа задачи.
8. Анализ решения задачи.
А.В.Тихоненко Чтение и осмысление текста задачи.
Выявление в тексте задачи условия и вопроса.
Установление связи между условием и вопросом.
Составление плана решения задачи и выбор арифметического действия для ее решения.
Запись решения и ответа задачи.
Работа над задачей после ее решения.
Царева С. Е. выделяет следующие этапы решения текстовых задач и приемы их выполнения:
№ Название этапа Цели этапа Приемы выполнения
1 Восприятие и
осмысление
задачи
понять задачу, т.е. установить смысл каждого слова, словосочетания, предложения и на этой основе выделить множества, отношения, величины, зависимости, известные и неизвестные, искомое требование- правильное чтение задачи (правильное прочтение слов и предложений, правильная расстановка логических ударений) в случае, когда задача задана текстом;
- правильное слушание при восприятии задачи на слух;
- представление ситуации , описанной в задаче (создание зрительного, возможно, слухового и кинестического образов);
- разбиение текста на смысловые части;
- переформулировка текста задачи (изменение текста или построение словесной модели);
- построение материальной или материализованной модели;
- постановка специальных вопросов.
2 Поиск плана
решения составить план решения задачи - рассуждения «от вопроса к данным» и (или) «от данных к вопросу» без построения графических схем;
- рассуждения «от вопроса к данным» и (или) «от данных к вопросу» с построением графической схемы;
- замена неизвестного переменной и перевод текста на язык равенств и (или) неравенств с помощью рассуждений «от вопроса к данным» и (или) «от данных к вопросу».
3 Выполнение плана решения найти ответ на вопрос задачи (выполнить требование задачи) Устное выполнение каждого пункта плана.
Письменное выполнение каждого пункта плана:
1) Арифметического метода решения:
а) в виде выражения с записью шагов по его составлению, вычислений и полученного результата этих вычислений – равенства;
б) в виде выражения, преобразуемого после вычислений в равенство, без записи шагов по составлению выражения;
в) по действиям с пояснениями;
г) по действиям без пояснений;
д) по действиям с вопросами.
2) Алгебраического метода решения:
а) в виде уравнения (неравенства) и его решения;
б) через запись шагов составления уравнения, самого уравнения и его решения.
3) Графического и геометрического метода решения:
а) в виде чертежа и (или) рисунка без промежуточных шагов построения и измерения;
б) в виде чертежа и (или) рисунка с представлением промежуточных шагов построения и измерения;
4) Табличного метода решения:
а) в виде таблицы с записью шагов по ее построению и заполнению;
б) в виде таблицы и ее заполнения без представления промежуточных шагов;
5) Логического метода решения:
а) с использованием символического языка логики;
б) без использования символического языка логики.
Выполнение решения путем практических действий с предметами:
а) реальное;
б) мысленное.
Выполнение пунктов плана с помощью вычислительной техники или других вычислительных средств:
а) с записью программы для ЭВМ, МК или др. техники;
б) без записи программы для ЭВМ, МК и др. техники.
4 Проверка решения установить, соответствует ли процесс и результат решения образцу правильного решения Прогнозирование результата (прикидка, установление границ ответа на вопрос задачи) и последующее сравнение хода решения с прогнозом.
Установление соответствия между результатом решения и условием задачи: введение в текст задачи вместо вопроса ответа на него, получение всех возможных следствий из полученного текста, сопоставление результатов друг с другом и с информацией, содержащейся в тексте.
Решение другим методом или способом.
Составление и решение обратной задачи.
Определение смысла составленных в процессе решения выражений.
Сравнение с правильным решением – с образцом хода и (или) результата решения.
Повторное решение тем же методом и способом.
Решение задач с "малыми числами" с последующей проверкой вычислений.
Решение задач с упрощенными отношениями и зависимостями с последующим восстановлением отношений и зависимостей, данных в задаче.
Обоснование (по ходу) каждого шага решения через соотнесение с более общими теоретическими положениями.
5 Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнениитребования) дать ответ на вопрос задачи (подтвердить факт выполнения требования задачи) построение развернутого истинного суждения вида: «Так как…, то можно сделать вывод, что…» (формулируется ответ на вопрос задачи полным предложением в устной или письменной форме);
формулировка полного ответа на вопрос задачи без обосновывающей части устно или письменно;
формулировка краткого ответа устно или письменно с помощью специальных знаков.
6 Исследование
решения
установить, является ли данное решение (результат решения) единственным или возможны и другие результаты (ответы на вопрос задачи), удовлетворяющие условию задачи изменение результата решения в соответствии с его смыслом и установление характера (направления) изменений в отношениях между измененным результатом и условием задачи;
подбор другого результата решения и установление соответствия (возможности соответствия) условию задачи; оценка степени возможности удовлетворения условию задачи других результатов.
Виды текстовых задач, изучаемых в начальной школе.
Все текстовые задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить одно арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной.
В свою очередь простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением, вычитанием, умножением, делением), либо в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении
Для составных задач нет такого единого основания классификации, которое позволило бы разделить их на определенные группы. Однако в методической литературе из всего многообразия задач выделяются некоторые группы, сходные либо математической структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной величины), либо конкретным содержанием (например, задачи на движение) и т.п.
Особое внимание уделяется процессу обучения решению задач с пропорциональными величинами: на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям. Среди которых в рамках отдельной темы рассматриваются задачи, связанные с движением тел. Особенность их изучения связана с равномерным движением объектов. При этом выделяются следующие виды задач на движение:
1. Простые и составные задачи с сюжетами, связанными с движением тел.
2. Собственно задачи на движение (по количеству выполняемых действий): простые, составные.
Составные задачи на движение подразделяются:
1) по типу связей между данными и искомым:
- на нахождение четвертого пропорционального,
- на пропорциональное деление,
- на нахождение неизвестных по двум разностям;
2) по особенностям осуществляемого движения:
а) для одного объекта:
- движение в прямом и обратном направлении,
- движение с остановками;
б) для двух объектов:
- встречное одновременное движение,
- одновременное движение в противоположных направлениях,
- движение в одном и том же направлении (вдогонку, с отставание).
В общем виде систему задач, изучаемых в начальной школе можно представить в виде следующей таблицы :
Виды текстовых задач
ПРОСТЫЕ -
задачи, для решения которых
нужно выполнить 1 действие СОСТАВНЫЕ -
задачи, решаемые
в 2 и более действий,
представляющие собой различные
сочетания простыхна сложение и
вычитание на умножение и
деление отдельно рассматриваются
задачи с величинами, связанными
пропорциональной зависимостью
раскрывающие смысл арифметических действий нахождение четвертого
пропорционального
- нахождение суммы двух слагаемых;
- нахождение остатка (разности) - нахождение произведения;
- деление на равные части;
- деление по содержанию пропорциональное деление
раскрывающие различные отношения
между числами нахождение неизвестных
по двум разностям
- увеличение на несколько единиц (прямая и косвенная форма);
- уменьшение на несколько единиц (прямая и косвенная форма);
- разностное сравнение - увеличение в несколько раз (прямая и косвенная форма);
- уменьшение в несколько раз (прямая и косвенная форма);
- кратное сравнение раскрывающие связи между компонентами и
результатами арифметических действий - нахождение неизвестного слагаемого;
- нахождение неизвестного уменьшаемого;
- нахождение неизвестного вычитаемого - нахождение неизвестного множителя;
- нахождение неизвестного делимого;
- нахождение неизвестного делителя связанные с
понятиями доли
(дроби) числа - нахождение числа по его доле (дроби);
- нахождение доли (дроби) от числа раскрывающие
зависимость между величинами Методика работы с каждым видом задач ведется в соответствии с тремя ступенями: подготовительная, ознакомительная, закрепление.
4. Методика обучения младших школьников решению простых задач
Простыми называются задачи, решаемые в одно действие. Особенность этих задач – максимальная простота. Они должны быть совершенно понятны, близки детям по сюжету, наиболее просто изложены, не содержать никаких непонятных, новых для детей слов, которые требовали бы дополнительных пояснений.

Виды простых задач:
Основа классификации – действие, при помощи которого решается задача: на сложение; на вычитание; на умножение; на деление.
Основа классификации – смысл арифметического действия:
Задачи, направленные на раскрытие смысла арифметических действий.
Каждая из этих задач вводится в то время, когда программой предусмотрено ознакомление с соответствующими действиями (сложение, вычитание, умножение, деление).
Задачи, раскрывающие различные отношения между числами.
В начальном курсе математики особенно много внимания уделяется работе над отношениями между числами, которые могут быть выражены словами «быть равными», «быть на столько-то больше (меньше), чем», «быть во столько-то раз больше (меньше)».
Данные задачи могут быть представлены в прямой и косвенной формах:В задачах, выраженных в прямой форме, если содержится выражение «на (во) столько-то меньше», т.е. требуется узнать меньшее число, используется действие вычитание (деление); если содержится выражение «на (во) столько – то больше» – сложение (умножение).В задачах, выраженных в косвенной форме, при встрече с выражением «на (во) столько-то раз больше», используется действие вычитание (деление), если же содержится выражение «на (во) столько – то раз меньше» – сложение (умножение).Задачи, раскрывающие связи между компонентами и результатами арифметических действий.
Это задачи на нахождение одного из компонентов действия, когда даны другой компонент и результат.
Задачи, связанные с понятиями доли, дроби числа.
Задачи, в которых раскрывается зависимость между величинами.
Связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождение одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин.
Дополнительные задачи: задачи – вопросы, задачи – шутки, задачи на смекалку, задачи с недостающими данными или недостающим вопросом, задачи с лишними данными и т.д.
Простые задачи на сложение и вычитание
Нахождение
суммы двух слагаемых Нахождение
неизвестного слагаемого Нахождение
неизвестного слагаемого
В коробке лежало 3 простых и 4 цветных карандаша. Сколько всего карандашей было в коробке?


3+4=7 (шт.)

Ответ: 7 карандашей в коробке.
В коробке всего лежало 7 карандашей. Из них 3 простых. Остальные - цветные. Сколько цветных карандашей в коробке?


7-3=4 (шт.)

Ответ: 4 цветных карандаша в коробке. В коробке всего лежало 7 карандашей. Из них 4 цветных. Остальные - простые. Сколько простых карандашей в коробке?


7-4=3 (шт.)

Ответ: 3 простых карандаша в коробке.
Нахождение разности (остатка) Нахождение неизвестного уменьшаемого Нахождение неизвестного вычитаемого
Мама купила 7 пирожных. 3 пирожных съели. Сколько осталось?
Было - 7 п.
Съели - 3 п.
Осталось - ? п.

7-3=4 (п.)

Ответ: 4 пирожных осталось.
Мама купила пирожные. После того, как 3 съели, осталось 4. Сколько пирожных купили?
Было - ? п.
Съели - 3 п.
Осталось - 4 п.

3+4=7 (п.)

Ответ: 7 пирожных купили. Мама купила 7 пирожных. После того, как несколько съели, осталось 4. Сколько пирожных съели?
Было - 7 п.
Съели - ? п.
Осталось - 4 п.

7-4=3 (п.)

Ответ: 3 пирожных съели.
Увеличение
на несколько единиц Уменьшение
на несколько единиц Разностное сравнение
В коробке лежало 3 простых карандаша, а цветных на 2 больше. Сколько цветных карандашей лежало в коробке?


3+2=5 (шт.)

Ответ: 5 цветных карандашей лежало в коробке.
В коробке лежало 5 цветных карандашей, а простых на 2 меньше. Сколько простых карандашей лежало в коробке?


5-2=3 (шт.)

Ответ: 3 простых карандаша лежало в коробке.
В коробке лежало 5 цветных и 3 простых карандаша. На сколько больше было цветных карандашей, чем простых?


5-3=2 (шт.)

Ответ: на 2 карандаша больше цветных, чем простых.
Могут быть представлены в прямой и косвенной формах Простые задачи на умножение и деление
Таблица 7
Нахождение произведения Нахождение
неизвестного множителя Нахождение
неизвестного множителя

На каждой тарелке по 3 груши. Сколько груш на четырех тарелках?

1 способ: 3+3+3+3=12 (гр.)
2 способ: 3●4=12 (гр.)

Ответ: 12 груш на четырех тарелках. Цена открытки 3 рубля. Сколько открыток можно купить на 12 рублей?


12:3=4 (шт.)
Ответ: 4 открытки можно купить на 12 рублей.
За 4 одинаковые открытки заплатили 12 рублей. Узнай цену открытки?


12:4=3 (руб.)
Ответ: 3 рубля стоит одна открытка.
Нахождение частного Нахождение
неизвестного делимого Нахождение
неизвестного делителя
Деление на равные части

6 яблок разложили на 3 тарелки поровну. Сколько яблок положили на каждую тарелку?

6:3=2 (ябл.)
Ответ: 2 яблока на каждой тарелке.
Деление по содержанию

На конверты наклеили 6 марок: по 2 марки на каждый конверт. Сколько получилось конвертов с марками?

6:2=3 (к.)
Ответ: 3 конверта с марками. Задумали число. После того, как его разделили на 5, получили 2. Какое число задумали?
х:5=2
х=2*5
х=10
10:5=2
2=2 (верно)
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно значение частного умножить на делитель.
После того, как число 10 разделили на неизвестное число, получили 2. Найдите делитель.
10:х=2
х=10:2
х=5
10:5=2
2=2 (верно)
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на значение частного.
Увеличение
в несколько раз Уменьшение
в несколько раз Кратное сравнение
У Васи было 3 карандаша, а у Пети в 2 раза больше. сколько карандашей у Пети?


3●2=6 (к.)
Ответ: 6 карандашей у Пети.
У Пети было 6 карандашей, а у Васи в 2 раза меньше. сколько карандашей у Васи?


6:2=3 (к.)
Ответ: 3 карандаша у Васи.
У Васи было 3 карандаша, а у Пети 6. Во сколько раз больше карандашей у Пети,
чем у Васи?


6:3=2 (р.)
Ответ: в 2 раза больше карандашей у Пети, чем у Васи.
Могут быть представлены в прямой и косвенной формах Задачи с величинами, связанными пропорциональной зависимостью
Масса пакета с мукой 2 кг. Узнайте массу 4 таких пакетов.


2●4=8 (кг)
Ответ: 8 кг масса всех пакетов. Масса 4 одинаковых пакетов с мукой 8 кг. Узнайте массу одного такого пакета.


8:4=2 (кг)
Ответ: 4 кг масса одного пакета.
Масса одного пакета с мукой 2 кг. Сколько пакетов потребуется, чтобы разложить в них поровну 8 кг муки?


8:2=4 (шт.)
Ответ: 4 пакета потребуется.
Нахождение
доли (дроби) от числа Нахождение числа
по его доли (дроби) От ленты, длиною 15 метров отрезали третью часть.
Сколько метров отрезали?

15:3=5 (м)
Ответ: 5 м ленты отрезали.
От ленты отрезали третью часть, равную 5 метрам.
Какова длина всей ленты?

5●3=15 (м)
Ответ: 15 м длина всей ленты. Задание: Описание хода работы по определению целесообразной методики работы над конкретной задачей (текст задачи на выбор из учебника математики).
Ответ:
Задача .
Доярки молочной фермы взяли обязательство за пастбищный
сезон, продолжающийся 5 месяцев, получить от каждой коровы 3000 кг молока.
Выполнят ли они свое обязательство, если будут надаивать от каждой коровы
по 20 кг молока в день? (В месяце считать 30 дней).
Конструкция текста данной задачи (условие –вопрос –условие) довольно сложная для восприятия, специального разъяснения требует вопрос, а городскому школьнику не очень ясен и сюжет.
Следуя памятке, переберем все возможные связи:
1)3000 : 5 –сколько молока нужно получить от каждой коровы за месяц;
2)20 * 30 –сколько всего молока получат за один месяц;
3)30 * 5 –сколько дней длится пастбищный сезон;
4)3000 : 20 –сколько дней потребуется фактически.
Из этих выражений следует несколько способов решения предложенной задачи:
I) За сколько дней можно получить нужное количество молока?
(имеется в виду количество дней в месяце)
(3000 : 5) : 20 = 30 (дн.), 30 = 30.
II) Сколько молока от каждой коровы нужно надаивать за день?(3000 : 5) : 30 = 20 (кг), 20 = 20.
III) Сколько месяцев продолжается пастбищный сезон?3000 : (20 * 30) = 5 (мес.), или (3000 : 20) : 30 = 5 (мес.),
5 = 5. 5 = 5.
IV) Сколько молока можно получить от каждой коровы, соблюдая определенные в условии требования?
20 * (30* 5) = 3000 (кг), или (20 * 30) *5 = 3000 (кг),
3000 = 3000. 3000 = 3000.
V) 1) 3000 : 5 = 600 (кг) –должны получать в месяц от каждой коровы;
2) 20 * 30 = 600 (кг)–фактически получали; 600 = 600.
VI) 1) 3000 : 20 = 150 –дней потребуется фактически;
2) 30 * 5 = 150 –дней длится пастбищный сезон; 150 = 150.
Такое тщательное изучение связей между количественными
характеристиками величин полезно, так как позволяет полнее
выявить скрытые в тексте задачи математические зависимости, проанализировать их и перевести на математический язык. Вместе с тем, в результате установления соответствий между одними и теми же данными можно получить разные способы решения задач. Приведенный пример подтверждает сказанное.Для овладения описанным приемом учащиеся должны научиться:
-выполнять упражнения на составление выражений указанного смысла из данных задачи, типа: предложен текст и дано задание поставить вопрос так, чтобы задача решалась сложением или вычитанием;
-пояснять смысл уже составленных выражений согласно заданной ситуации, например, дано условие:
от проволоки длиной 15 м отрезали сначала 5 м, затем еще 7 м. Объясни, что узнаешь, выполнив действия: 15-5; 15-7; 5+7; 7-5; 15-(7+5).
Составление таких упражнений не представляет большого труда для учителя, а опыт работы с ними поможет учащимся овладеть еще одним приемом поиска решения задачи.