Презентация по алгебре и началам анализа на тему Логарифмические уравнения (11класс)

«ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА» МКОУ «СОШ №32»УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИОРШОКДУГОВА РИММА МАЖИДОВНА.11 «РН» КЛАСС Определение Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим Где , Оно имеет единственное решение при любом b. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Логарифмические неравенства ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Логарифмические уравнения – Решу ЕГЭ. ПроблемаДефицит методов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Ответ на вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы? Обучающая цель: -научить видеть знакомое в незнакомом; -расширить представление о логарифмической функции; -рассмотреть применение ее свойств в нестандартных ситуациях; Воспитательная цель: -формировать целостную систему знаний и научного мировоззрения; Развивающая цель: - развитие творческого, критического интегративного мышления, развитие самостоятельности; -развивать логическое мышление, познавательный интерес.  ЛОГАРИФМЫ В ПРИРОДЕ Яркость источников света - шкала звездных величин Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Однако коэффициент пропорциональности отрицателен (при основании логарифма больше единицы), поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (–26,8 для Солнца), а для самых тусклых — положительная (28 для едва различимых в телескоп звезд) Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах ХИМИЧЕСКАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ — ШКАЛА КИСЛОТНОСТИ Первымихимическимииндикаторами былинаши вкусовыерецепторы, которымисегодня пользуютсятолько повара,а раньшеПользовалисьи химики. ВОСПРИЯТИЕ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ — ШКАЛА ЭМОЦИЙ Воспоминание академика В. Л. Гинзбурга: «… Ландау имел «шкалу заслуг» в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0,5 имел только Эйнштейн, к классу 1 относились Бор, Дирак, Гейзенберг и ряд других…» Остается неясным, логарифм по какому основанию — 10 или 2,512… — использовал Лев Ландау для определения уровня гениальности физиков-теоретиков. Несомненно лишь одно: для этих сугубо эмоциональных, субъективных оценок он использовал логарифмическую шкалу. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ДРУГИХ— АНАЛОГОВОЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО, ПОЗВОЛЯЮЩЕЕ ВЫПОЛНЯТЬ НЕСКОЛЬКО МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ, В ТОМ ЧИСЛЕ, УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ, ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ (ЧАЩЕ ВСЕГО В КВАДРАТ И КУБ) И ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ И КУБИЧЕСКИХ КОРНЕЙ И ОПЕРАЦИИ. Однако в начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах. Дело в том, что следуя моде производители дорогих и престижных марок часов перешли от электронных хронометров с ЖК- экранами к стрелочным и соответственно места для встраиваемого калькулятора оказалось недостаточно. Однако спрос на хронометры со встроенным вычислительным устройством среди следящих за модой людей заставил производителей часов выпустить модели с встроенной логарифмической линейкой выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ, плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) Раковины многих моллюсков, улиток, а также рога горных козлов закручены по логарифмической спирали Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали. картина Вермера «Кружевница» Логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом. На основании этого ее называют равноугольной. Это свойство находит свое применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращающиеся ножи. Сила с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, проводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах. Равносильные уравнения. Определение 1. Два уравнения с одной переменной и называют равносильными, если множества их корней совпадают. Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (например и ) или если оба уравнения не имеют корней (например , и ) Определение 2. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения то второе уравнения называют следствием первого. Например, уравнение является следствием уравнения , в то же время уравнение не является следствием уравнения . Определение 3. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого. Определение 4. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений переменной, при которых одновременно имеют смысл выражения и . Основные методы решения логарифмических уравненийпо определению логарифма;например, уравнение loga х = b (а > 0, а≠ 1, b>0 ) имеет решение х = аb.2) функционально-графический метод; 3) метод потенцирования;Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1. 4. Метод введение новой переменной. 5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. 6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. Этапы решения уравнения Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной Решить уравнение, выбрав метод решения Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения Уравнение Решение Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1. Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0. Данное уравнение равносильно следующей системе Решить уравнения: 1. log3(5х – 1) = 2. 2. log2(х – 5) + log2(х + 2) = 3. 3. log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x). 4. logx–19 = 2. 5. log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3). Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы: log2х – 2 logх2 = –1 Решение: ОДЗ: x > 0, х ≠ 1Используя формулу перехода к новому основанию, получим Обозначим Решить уравнения: Введение новой переменной где a > 0, a  1, A, В, С – действительные числа. Пусть t = loga f(x), tR. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0. Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, tR.Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t1 = –2, t2 = 3. Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000. Пример 2. Решить уравнение Решение. Найдём область определения уравнения Применив формулу логарифма степени, получим уравнение Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно Решить уравнения Найдём область определения уравнения:2-x >0x-1 >0 Область определения уравнения 1 < x < 2 Решить уравнение Данный корень удовлетворяет области определения уравнения1 < x < 2 Решить уравнение Область определения уравнения x > 1 х = 6 Решить уравнение Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1)   (log 3(x + 1)–1)2 = 0 Область определения уравнения x+1>0, x+1≠1x > -1, x≠0 Данный корень удовлетворяет области определения уравнения Решить уравнение Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log3 t монотонна прологарифмируем обе части уравнения Область определения уравнения x > 0 t = log3 x(1 + t) t = 2t 2 + t – 2 = 0 t1 = –2,  t2 = 1log3 x = –2,  log3 x = 1x = 1/9, х = 3  Оба корня входят в область определения уравнения Решить уравнение Найдём область определения уравнения Решить уравнение Так как  х < 0, то | x | = –x  t = log3 (–x) t 2 – 4t + 4 = 0 log3 (–x) = 2 –х = 9 х = –9 Данный корень входит в область определения уравнения Решить уравнение 2t2 + 7t - 9 = 0  t1 = -9/2 и t2 = 1 lgx = -9/2 lgx =1По определения логарифма выражаем x: Область определения уравнения x>0 Оба корня удовлетворяют области определения уравнения Решить уравнение Область определения уравнения определяется условиями Данный корень удовлетворяет области определения уравнения ИсточникиАлгебра и начала анализа 3600 задач для школьников и поступающих в вузы Звавич Л.И., Шляпочкин Л.Я., Чинкина М.В.Соболь Б. В., Виноградова И. Ю., Рашидова Е. В. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике. Изд. 3-е. – Р н/Д: «Феникс», 2003. – 352 с. http://edu.nstu.ru/courses/dovuz/urner/demo/Log/Teor/Fru_m.htm http://www.math.md/school/praktikum/logr/logr.html Учебно-исследовательский проект «Логарифмы в ЕГЭи не только…» ВЫПОЛНИЛА Карамурзова Д. УЧЕНИЦА 11РН КЛАССА МКОУ СОШ №32 УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ Оршокдугова Р.М. Схема презентации Проблема Цель Планработы Историявопроса Проектныйпродукт Выводы Проблема Дефицит методов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Ответ на вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы? Цель Исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов Выявление интересных фактов логарифмов План работы Подборка математической литературы по теме исследования. Отбор задач по методам решения. Составление сборника задач и презентации «Логарифмы вокруг нас». Письменное оформление исследовательской работы. Выполнение презентации к выступлению на конференции. История вопроса Слово логарифм происходит от греческого λογο(число)и ρίνμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел. Выбор изобретателем (1594 г.) логарифмов Джоном Непером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической.Ежели под геометрическою прогрессиею, начинающеюся с единицы, подписана будет арифметическая прогрессия, начинающаяся с нуля, то числа, внизу подписанные, называются для верхних – логарифмы. Положим, что даны прогрессии: геом. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, арифм. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Тогда логарифм 1 будет 0; логарифм 4 будет 2; а логарифм 32 будет 5 и проч.» Джон Непер (Шотландия, 17 век) Проектный продукт Сборник « Задачи С3 с решениями» (32 уравнения)Презентация«Логарифмы вокруг нас» Методы решения уравнений Равносильные переходы и обобщённый метод интерваловМетод рационализацииНестандартная подстановкаЗадания с ловушками (свойства функций) Пример из сборника Пример из сборника Содержание презентации «Логарифмы вокруг нас» Логарифмическая спиральЗвёзды и логарифмыШумы и логарифмыЖивопись и логарифмы Логарифмическая спираль «Удивительное рядом» Логарифмы и живопись Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали. Выводы Поставленная цель проекта достигнута, проблема решена. А я получила наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности, личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности. Гарантией успеха при создании исследовательского проекта для меня стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости. Кроме непосредственно предметных знаний по математике, расширила свои практические навыки в области информатики, получила новые знания и опыт в области психологии, наладила контакты с одноклассниками, научилась сотрудничать с взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные, интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения и навыки. Использованная литература 1. Корянов А. Г. ,Прокофьев А. А. Системы неравенств с одной переменной (типовые задания С3)2. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике.3. Самарова С. С. Решение логарифмических неравенств.4. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.- 5 Математика . Тематические тесты. Часть 2. Подготовка  к  ЕГЭ -2010.10-11 классы / Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2009. — 176 с. — (Готовимся  к   ЕГЭ )6.Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ : 2010:  Математика /авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; 7. Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П. И. Подготовка  к  ЕГЭ   по   математике  в 2010 году. Методические рекомендации.8.Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ — М: Интеллект-Центр, 2010. — 96 с. (Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко)9. Сайт Дмитрия Гущина «РЕШУ ЕГЭ» Спасибо!