Ситуационная задача по теме Симметрия

Задача по теме "Симметрия"

Название задачи
«Порядок, красота и совершенство»

Личностно-значимый познавательный вопрос
"Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство",- эти слова принадлежат выдающемуся математику Герману Вейлю.
Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии.
Слово “симметрия” в переводе с греческого звучит как “гармония”, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.
Что же такое осевая, центральная и зеркальная симметрия. и как эти понятия проявляется в окружающем нас мире ?

Информация по данному вопросу , представленная в разнообразном виде
Текст 1.
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. «Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано? Разве во всём в жизни есть симметрия?» Л. Н. Толстой «Отрочество».
Новый словарь русского языка Т.Ф.Ефремовой:
СИММЕТРИЯ - соразмерное, пропорциональное расположение частей чего-л. по отношению к центру, середине.
Толковый словарь русского языка Д.Н.Ушакова:
СИММЕТРИЯ - пропорциональность, соразмерность в расположении частей целого в пространстве, полное соответствие (по расположению, величине) одной половины целого другой половине.
В общем виде под "симметрией" в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M' относительно некоторой плоскости (или прямой) a, когда отрезок MM' является перпендикулярным плоскости (или прямой) a и делится ею пополам. Плоскость (прямая) a называется при этом плоскостью (или осью) симметрии. К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии P называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.
Текст 2. Виды симметрии.
Центральная симметрия
Симметрия относительно точки или центральная симметрия – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.
Осевая симметрия

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.
Зеркальная симметрия
Точки А и В называются симметричными относительно плоскости
· (плоскость симметрии), если плоскость
· проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости
· считается симметричной сама себе.

Текст 3. Это интересно.
Симметрия в живой природе.
Почти все живые существа построены по законам симметрии, недаром в переводе с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность».
Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°.
В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света, хотя сами листья тоже имеют ось симметрии. Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные.
В 20 веке усилиями российских учёных – В.Беклемишева, В.Вернадского, В.Алпатова, Г.Гаузе - было создано новое направление в учении о симметрии - биосимметрика. Исследование симметрии биоструктур на молекулярном и надмолекулярном уровнях, позволяет заранее определить возможные варианты симметрии в биообъектах, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых организмов.
Симметрия в неживой природе.
Наблюдая окружающий его мир, человек, исторически пытался более или менее реалистично отобразить его в различных видах искусства, поэтому очень интересно рассмотреть симметрию в живописи, скульптуре, архитектуре, литературе, музыке и танцах.
Симметрию в живописи мы можем увидеть уже в наскальных рисунках первобытных людей. В древние века значительной частью искусства рисования – были иконы, при создании которых художники использовали свойства зеркальной симметрии. Глядя на них сегодня, поражаешься удивительной симметричностью в обликах святых, хотя иногда происходит интересная вещь – в асимметричных изображениях мы ощущаем симметрию, как норму, от которой художник уклоняется под влиянием внешних факторов.
Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Скульптура и живопись тоже дают множество ярких примеров использования симметрии для решения эстетических задач. Примерами являются гробница Джулиано Медичи работы великого Микеланжело, мозаика апсиды собора Св. Софии в Киеве, где изображены две фигуры Христа, один причащает хлебом, другой – вином.
Симметрия, вытесняемая из живописи и архитектуры, постепенно занимала новые сферы жизни людей – музыку и танцы. Так в музыке 15-го века было открыто новое направление – имитационная полифония, являющаяся музыкальным аналогом орнамента, позже появились – фуги, звуковые версии сложного узора. В современном песенном жанре, как я считаю, припев – это пример простейшей переносной симметрии вдоль оси (текста песни).
Литература тоже не обошла своим вниманием симметрию. Так примером симметрии в литературе могут служить палиндромы, это такие части текста, обратная и прямая последовательность букв которых совпадают. Например, “А роза упала на лапу Азора” (А.Фет), “Уж редко рукою окурок держу”. Как частный случай палиндромов, мы знаем много слов в русском языке, являющихся перевёртышами: кок, топот, казак и многие другие. На использовании таких слов часто строятся загадки – ребусы.
Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике – это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

Задания на работу с данной информацией

Ознакомление
1.Рассмотрите разнообразие объектов в нашей школе, в том числе мебель, наглядные пособия, спортивный инвентарь, которые напоминают геометрические фигуры. Определите, какие из них обладают симметрией?
Ответьте на вопросы:
-С какими видами симметрии вы познакомились?
-Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?
-Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
-Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
-Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?
-Что такое зеркальная симметрия?
-Приведите примеры симметрии в живой и неживой природе.
-Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
-В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?

Понимание
Выполните задание: Дети бегали по пляжу и оставили следы на песке. Считая цепочки следов неограниченно продолженными в обе стороны, укажите стрелками для каждой цепочки виды её совмещений, т.е. движений, которые переводят её в себя.
Ответьте на вопросы:
-Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, Х, К?
-Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О?
Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в)зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.

Применение
Постройте фигуру, симметричную данной относительно: а) точки; б) прямой
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решите задачи в группах
1.В прямоугольнике АВСD О – точка пересечения диагоналей, BH и DE – высоты треугольников АВОи COD соответственно, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]BOH = 60°, AH = 5 см. Найдите ОЕ.
2.В ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О. ОМ, ОК, ОЕ – перпендикуляры, опущенные на стороны АВ, ВС, CD соответственно. Докажите, что ОМ = ОК, и найдите сумму углов МОВ и СОЕ.
3.Внутри данного острого угла постройте квадрат с данной стороной так, чтобы две вершины квадрата принадлежали одной стороне угла, а третья – другой.
4.В прямоугольнике MPKH О – точка пересечения диагоналей, РА и BH – перпендикуляры, проведенные из вершин Р и H к прямой МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.
5.В ромбе MPKH диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК, KH, PH взяты точки А, В, С соответственно, АК = КВ = РС. Докажите, что ОА = ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
6.Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две противоположные вершины этого квадрата лежали на разных сторонах данного острого угла.

Анализ
Проанализируйте, сколько осей симметрии изображения.


Синтез
Создай эскиз представителей из животного и растительного мира и покажите на рисунках центр, ось симметрии, применяя зеркальную симметрию.
Составьте палиндромы или используя такие слова постройте загадки – ребусы.

Оценка
Предложите возможные критерии оценки ваших эскизов и литературных работ с точки зрения художественных и литературных критиков





Рисунок 1