Урок элективного курса Решение текстовых задач по теме Решение задач с помощью квадратных уравнений

Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений
(Урок элективного курса «Решение текстовых задач» в 8 классе)

Цели:
Образовательные: закрепить знания, умения и навыки решения задач с помощью уравнений; закрепить навыки решения квадратных уравнений.
Развивающие: развитие мышления и математической речи, познавательного интереса учащихся к предмету.
Воспитательные: воспитание воли, умение доводить начатое до конца, преодолевать трудности. творческую активность, аккуратность, дисциплину, внимание, расширять представление об окружающем мире.
Требования к уроку: умение планировать и контролировать свою деятельность при решении задач; умение рассуждать, обобщать, делать выводы;
Форма урока: традиционный.
Тип урока: урок закрепления знаний и умений.
Методы: частично-поисковые, наглядные, словесные.
Оборудование: бланки схем и алгоритмов решения квадратных уравнений и задач на составление уравнений; листы самоконтроля, бланки заданий и тестов.
«Если вы хотите научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи,
то решайте их!»
Д.Пойа
Ход урока:
Оргмомент. (2 мин.)
Дорогие ребята!Мы живём в реальном мире, и для его познания нам необходимы знания. Но прежде, чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедиться, что мы крепко стоим на этой ступени знаний, имеем прочные навыки по изучаемой теме.
Сформулировать цели урока:
- сегодня на уроке мы повторим понятие квадратного уравнения; вспомним алгоритм решения квадратных уравнений по формуле и закрепим навыки решения задач с помощью квадратных уравнений с использованием алгоритмов.
Алгоритм.
- порядок выполнения действий;
- пошаговое выполнение действий;
- последовательность выполнения действий.
Актуализация опорных знаний учащихся. (5 мин.)
(Работа в парах).
Для того, что бы уметь решать квадратные уравнения, нужно хорошо знать теорию по этой теме, что мы сейчас и проверим с помощью математического лото.
Математическое лото:
(Учащиеся получают конверты с разрезанными определениями и складывают из них предложения.)
1. Уравнение вида
ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0 называется … … квадратным уравнением.
2. Числа а, b и с называются…
… коэффициентами квадратного уравнения.
3. Уравнение ах2 + с = 0 называется …
… неполным квадратным уравнением.
4. При с = 0 уравнение имеет вид …
… ах2 + bх = 0.
5. Квадратное уравнение
называется приведённым, если … … первый коэффициент а = 1.
6. В уравнение 3х2 – 8х + 5 = 0 второй коэффициент является …
…чётным числом и делится на 2.
7. При а = 0 квадратное уравнение становится …
… линейным уравнением.
8. При b = 0 и с = 0 уравнение имеет …
… один корень х = 0.
9. Если коэффициент b = 0, то уравнение примет вид …
… ах2 + с = 0.
(Проверка осуществляется устно. Учащиеся выставляют оценки в листы самоконтроля).Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме: «Квадратные уравнения» (13 мин.)
а) Историческая страничка.
Учитель: А знаете ли вы, что … квадратные уравнения, или уравнения II степени знали ещё в Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически. А умеем ли мы решать квадратные уравнения?
(Вспомним алгоритм решения квадратных уравнений.)
«Алгоритм решения квадратных уравнений»

б) Самостоятельная работа «Решение квадратных уравнений».
Решите уравнения:
И: х2 – 36 = 0
Й: х2 – 3 = 0
Т: 17/ 9 – х2 =0
Л: 25х2 – 4 = 0
А: 5х2 – 9 = 0
О: х2 + 16 = 0
И: х2 + 1 = v 2
Я: х2 + 2 = v2
З: х2 + v3 = 1
В: 4х2 – 11/3 = 0
Н: х2 – 7х = 0
З: 2х2 – 9х = 0
Ь: 5 х2 = 15х
Ж: 14х + 5 х2 = 0
И: 0,6 х2 – 0,5х = 0
Выпишите буквы, связанные с квадратными уравнениями, в которых корней нет, и составьте из них женское имя
____________________________________________________
Выпишите буквы, связанные с квадратными уравнениями, в которых корни являются противоположными числами, и составьте из них мужское имя
____________________________________________________

Из букв, связанных с уравнениями, в которых одним из корней является 0, составьте слово, от которого оба имени произошли
____________________________________________________
Ответ: женское имя ЗОЯ – греческое, а мужское ВИТАЛИЙ – латинское. Оба имени в переводе означают – ЖИЗНЬ.

Решение задач. (20 мин) Как вы думаете, для чего мы вспоминали алгоритм решения квадратных уравнений? Где мы можем применить эти знания?
(Давайте вспомним алгоритм решения задач с помощью квадратных уравнений):
Алгоритм решения задач с помощью квадратных уравнений:
Обозначить некоторое неизвестное число буквой х.
Составить уравнение, используя условие задачи.
Решить уравнение.
Истолковать полученный результат в соответствии с условием задачи.
Записать ответ.
Ребята, при выполнении домашнего задания вы решали задачи с помощью квадратных уравнений. Сейчас вы выполните решение одной из таких задач и прокомментируете её решение. (Учащиеся получают план решения задачи и схему составления уравнения по условию задачи).
Задача 1. (I тип).
Найдите два числа, сумма которых 20, а произведение 96.
1 этап. План решения задачи.
1) Одно число обозначьте через х.
2) Второе число выразите как неизвестное слагаемое, зная сумму этих чисел.
3) Зная произведение этих чисел, составьте уравнение и решите его.
Пусть х - ____________________________________, тогда
___________ - второе число. Так как произведение чисел равно ___, составим и решим уравнение.
2 этап. Решите уравнение.
Уравнение: х(20 – х) = 96. (Работа в парах). (Учитель комментирует и задаёт наводящие вопросы.)
Решение уравнения Комментарии и наводящие вопросы
х(20 – х) = 96; - раскроем скобки
20х – х2 = 96; - в какую часть удобнее перенести слагаемые и почему?
х2 – 20х + 96 = 0; - какое это уравнение? Почему приведённое? Выпишите коэффициенты.
а = 1; b = - 20; с = 96; - - 20 – чётное число, найдите k.
k = - 10; - по какой формуле будём находить дискриминант.
D1 = k2 – ас;
D1 = (- 10)2 - 96 =
= 100 – 96 = 4;
4 > 0 – два корня; - найдите дискриминант; сравните его с нулём. Сколько корней имеет уравнение? По какой формуле будем находить корни уравнения?
х1,2 = ; - найдите корни уравнения.
х1,2 = 10 ± 2;
х1 = 10 + 2 = 12;
х2 = 10 – 2 = 8; - какое число мы нашли? Найдите второе число.
20 – 12 = 8;
20 – 8 = 12. - Запишите ответ.

Ответ: 12 и 8.
Учитель: Ребята, вы только что решили задачу древнегреческого учёного Диофанта из его трактата «Арифметика»
Давайте рассмотрим ещё раз решение этой задачи, и так:
задача Диофанта, IIIв.: Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.
Решение: Если обозначить первое число через х, то второе число есть 20 – х. Тогда найти числа можно, решив уравнение х(20 – х) = 96, которое можно переписать в виде квадратного уравнения
х2 – 20х + 96 = 0
Сам Диофант избегал здесь решения полного квадратного уравнения; обозначив данные числа за 10 + х и 10 – х, он приводил решение задачи к уравнению (10 + х)(10 – х) = 96, которое можно переписать в виде неполного квадратного уравнения х2 = 4. Здесь х = -2 или х = 2, но в обоих случаях искомые числа 12 и 8.
Сообщение учащихся:
«ДИОФАНТ – древнегреческий математики, живший предположительно в III веке н.э.
Основное произведение «Арифметика» в 13 книгах.
В честь Диофанта назван кратер на Луне».

Задача 2 (II тип).
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а гипотенуза равна 13 см.
1 этап. План решения задачи.
1) Один катет обозначьте через х.
2) Второй катет выразите, зная, что он на 7 см больше первого.
3) Вспомните теорему Пифагора и составьте уравнение.
Пусть х см - ____________________________________, тогда
___________ см второй катет. По теореме Пифагора ____________, составим и решим уравнение.
2 этап. Решите уравнение.
Уравнение: х2 + (х + 7)2 = 132.
(Работа в парах). (Учитель комментирует и задаёт наводящие вопросы.)
Решение уравнения Комментарии и наводящие вопросы
х2 + (х + 7)2 = 132; - раскроем скобки, вспомнив формулу сокращённого умножения
(а + b)2 = а2 + 2аb + b2/
х2 + х2 + 14х + 49 = 169; - перенесём всё слагаемые в левую часть уравнения?
2х2 + 14х + 49 – 169 = 0; - приведём подобные слагаемые.
2х2 + 14х – 120 = 0; - разделим все коэффициенты на 2;
х2 + 7х – 60 = 0; - какое это уравнение? Почему приведённое?
а = 1; b = 7; с = - 60; - выпишем коэффициенты;
D = b2 – 4ас;
D = 72 - 4 · 1 · (- 60) =
= 49 + 240 = 289 = = 172 > 0 – два корня; - найдите дискриминант; сравните его с нулём. Сколько корней имеет уравнение? По какой формуле будем находить корни уравнения?
х1,2 = ; - найдите корни уравнения.
х1,2 = ;
х1 = 5;
х2 = - 12 – не удовл. усл. задачи; - число мы нашли? Найдите второй катет.
5 – один катет;
5 + 7 = 12 – второй катет. - Запишите ответ.

Ответ: 12 см и 5 см.
Сообщение учащихся:
«ПИФАГОР – с ранних лет стремился узнать как можно больше.
А однажды Пифагор стал чемпионом одной из первых Олимпиад по кулачному бою».
Задача 3 (III тип).
Земельный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 см больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2.
1 этап. План решения задачи.
1) Одну сторону прямоугольника обозначьте через х.
2) Выразите вторую сторону прямоугольника, зная, что она на 10 м больше.
3) Так как площадь прямоугольника равна произведению его сторон, то составьте уравнение.
Пусть х см - ____________________________________, тогда
___________ см вторая сторона прямоугольника. Площадь прямоугольника равна 1200 м2, составим и решим уравнение.
2 этап. Решите уравнение.
Уравнение: х · (х + 10) = 1200. (Работа в парах). (Учитель комментирует и задаёт наводящие вопросы.)
Решение уравнения Комментарии и наводящие вопросы
х · (х + 10) = 56; - раскроем скобки
х2 + 10х – 1200 = 0; - перенесём всё слагаемые в левую часть уравнения?
х2 + 10х - 1200 = 0; - какое это уравнение? Почему приведённое?
а = 1; b = 10; с = - 1200; - выпишем коэффициенты;
D = k2 – ас;
D = 52 + 1200 = 1225 =
= 352 > 0 – два корня; - найдите дискриминант; сравните его с нулём. Сколько корней имеет уравнение? По какой формуле будем находить корни уравнения?
х1,2 = ; - найдите корни уравнения.
х1,2 = - 5 ± 35;
х1 = 30;
х2 = - 45 – не удовл. усл. задачи; - число мы нашли? Найдите второй катет.
30 – одна сторона;
30 + 10 = 40 вторая сторона. - стороны. Найдите периметр по формуле Р = (а + b) · 2
Р = (30 + 40) ·2 = 140 (м) - длина изгороди.

Ответ: 140 м V. Итог урока. Выставление оценок с учётом оценок поставленных учениками в листах самоконтроля. (2 мин.)
VI. Рефлексия. (2 мин.)
Для составления картины деятельности на уроке ответьте на следующие вопросы:
Что нужно знать при решении задач?
Что нужно уметь при решении задач?
Какие знания применяются при решении задач?
Где применяются полученные знания?
VII. Задание на дом (1 мин.):
Задача: несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?