Контрольно-оценочные средства по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
Департамент образования Вологодской области
бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Вологодской области
«Сокольский лесопромышленный политехнический техникум»
УТВЕРЖДАЮ
Директор БОУ СПО ВО
«Сокольский ЛПТ»
____________ Э.М. Салтан
«_____» _____________ 2013г.
Комплект
контрольно - оценочных средств
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
ЕН.03. Теория вероятностей и математическая статистика
для специальности
230115 «Программирование в компьютерных системах» (базовой подготовки)
техник - программист
квалификация
Сокол
2013
Комплект контрольно-оценочных средств разработан на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности 230 115 Программирование в компьютерных системах, программы учебной дисциплины ЕН.03.Теория вероятностей и математическая статистика
Разработчик:
Ветрова Евгения анатольевна
преподаватель математики БОУ СПО ВО «Сокольский ЛПТ»
Рассмотрено
на заседании комиссии «Физики, математики и информатики»
« 30 » августа 2013г., протокол № 1
председатель комиссии
______________________Киринцова Н.М.
(подпись)
СОГЛАСОВАНО:
Внешние эксперты:
_________________________________________________
СОДЕРЖАНИЕ
1. 13LINK \l "_Toc306743744"14Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств.4 15
2. 13LINK \l "_Toc306743745"14Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке4 15
13LINK \l "_Toc306743750"143. Оценка освоения учебной дисциплины 15
13LINK \l "_Toc306743751"143.1. Формы и методы оценивания..6 15
13LINK \l "_Toc306743752"143.2. Задания для оценки освоения учебной дисциплины 15...11
4. Контрольно-оценочные материалы для промежуточной аттестации по учебной дисциплине..63
5. Лист согласования..70
Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств
Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений студентов, освоивших программу учебной дисциплины ЕН.03.Теория вероятностей и математическая статистика
КОС включают контрольные материалы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета.
КОС разработаны на основании следующих положений:
ФГОС СПО по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах;
основной профессиональной образовательной программы по специальности СПО 230 115 Программирование в компьютерных системах;
программы учебной дисциплины ЕН.03. Теория вероятностей и математическая статистика.
2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке
В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих умений и знаний, а также динамика формирования общих компетенций.
В результате освоения учебной дисциплины ЕН.03. Теория вероятностей и математическая статистика студент должен обладать предусмотренными ФГОС по специальности СПО 230115 Программирование в компьютерных системах (базовой подготовки), следующими умениями, знаниями, которые формируют профессиональные компетенции, и общими компетенциями:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Умения:
У1 - применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач;
У2 - пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач;
У3 - применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа;
Знания:
З1 - основные понятия комбинаторики;
З2 - основы теории вероятностей и математической статистики;
З3 - основные понятия теории графов
Содержание дисциплины ориентировано на подготовку студентов к овладению профессиональными компетенциями (ПК):
ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.
Формой промежуточной аттестации по учебной дисциплине является дифференцированный зачет. 3. Оценка освоения учебной дисциплины
3.1. Формы и методы контроля
Контроль и оценка освоения учебной дисциплины по темам (разделам)
Элемент учебной дисциплины
Формы и методы контроля
Текущий контроль
Промежуточная аттестация
Форма контроля
Самостоятельная работа
Проверяемые
ОК, У, З
Форма контроля
Проверяемые ОК, У, З
Раздел 1
Элементы
комбинаторики
Тема 1.1
Основные задачи комбинаторики
Устный опрос
Практическая работа №1. «Решение комбинаторных задач»,
Практическая работа №2 ««Решение комбинаторных уравнений»,
Самостоятельная работа
Исторические аспекты комбинаторики
Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями
У1 У2 У3
З1
ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З1
ОК2 ОК3 ОК4
Тема 1.2
Основные правила комбинаторики
Устный опрос
Практическая работа №3. «Решение комбинаторных задач на расчет количества выборок»,
Комбинаторика в биологии и в космосе
Комбинаторика в геометрии
Бином Ньютона
Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля
У1 У2 У3
З1
ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З1
ОК2 ОК3 ОК4
Раздел 2
Основы теории вероятностей
Тема 2.1.
Случайные события.
Классическое определение вероятности события
Устный опрос
Практическая работа №4. «Непосредственное вычисление вероятности события»,
История развития теории вероятностей
Геометрическое определение вероятности
Аксиоматическое определение вероятности
У1 У2 У3
З1 З2
ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З1 З2
ОК2 ОК3 ОК4
Тема 2.2.
Вероятность сложных событий
Устный опрос
Практическая работа №5. «Применение основных теорем теории вероятностей при решении задач»,
Практическая работа №6 «Вычисление полной вероятности события, вероятность гипотез»
Тест
Применение формулы Байеса
У1 У2 У3
З1 З2
ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З1 З2
ОК2 ОК3 ОК4
Тема 2.3.
Схема Бернулли
Устный опрос
Практическая работа №7. «Применение формулы Бернулли в решении задач»,
Приближенные формулы в схеме Бернулли. Локальная формула Муавра-Лапласса.
Интегральная формула Муавра-Лапласса. Полиномиальное распределение
У1 У2 У3
З1 З2
ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З1 З2
ОК2 ОК3 ОК4
Раздел 3.
Дискретные случайные величины
Тема 3.1.
Понятие дискретной случайной величины
Устный опрос
У1 У2 У3
З2 ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
Тема 3.2.
Характеристики ДСВ и их свойства
Устный опрос
Практическая работа №8 «Определение числовых характеристик ДСВ»,
Запись распределений и вычисление характеристик биномиальных ДСВ.
Запись распределений и вычисление характеристик биномиальных ДСВ
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
Раздел 4.
Непрерывные случайные величины
Тема 4.1.
Понятие непрерывной случайной величины
Устный опрос
Самостоятельная работа
У1 У2 У3
З1 З2
ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З1 З2
ОК2 ОК3 ОК4
Тема 4.2.
Характеристики НСВ и их свойства
Устный опрос
Практическая работа №9 «Определение числовых характеристик НСВ»,
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
Тема 4.3.
Основные распределения НСВ
Устный опрос
Практическая работа №10 «Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины»,
Практическая работа №11 «Вычисление вероятностей и числовых характеристик для показательно распределенной величины»
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
Раздел 5.
Центральная предельная теорема
Тема 5.1.
Центральная предельная теорема
Закон больших чисел
Устный опрос
Самостоятельная работа
Закон больших чисел в форме Чебышева.
Закон больших чисел в форме Бернулли
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
Раздел 6.
Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения
Тема 6.1.
Основные задачи математической статистики
Устный опрос
Практическая работа №12
«Графическое представление выборки»
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
Тема 6.2.
Дискретные вариационные ряды
Практическая работа №13
« Числовые характеристики дискретного вариационного ряда»,
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
Тема 6.3.
Интервальные вариационные ряды
Практическая работа №14
« Числовые характеристики интервального вариационного ряда»,
Понятие точечной оценки
Точечная оценка для генеральной средней, генеральной дисперсии
Понятие интервальной оценки
Интервальная оценка математического ожидания
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
У1 У2 У3
З2
ОК2 ОК3 ОК4
Раздел 7.
Основные понятия теории графов
Тема 7.1.
Графы и их применение
Устный опрос
Практическая работа №15
«Применение графов в решении вероятностных задач»,
Применение графов в теории вероятностей и математической статистике
У1 У2 У3
З2
З3 ОК2 ОК3 ОК4
дифференцированный зачет
У1 У2 У3
З2
З3 ОК2 ОК3 ОК4
3.2. Задания для оценки освоения учебной дисциплины.
Критерий оценки знаний и умений
Преподаватель оценивает знания и умения студентов с учетом их индивидуальных особенностей.
1. Содержание и объем материала, подлежащего проверке, оп ределяется программой. При проверке усвоения материала нужно выявлять полноту, прочность усвоения учащимися теории и умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.
2. Основными формами проверки знаний и умений учащихся по математике являются письменная работа и устный опрос.
При оценке письменных и устных ответов преподаватель в первую очередь учитывает показанные студентами знания и умения. Оценка зависит также от наличия и характера погрешностей, допущенных учащимися.
3. Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты. Погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что студент не овладел основными знаниями, умениями, ука занными в программе.
К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в про грамме основными. Недочетами также считаются: погрешности, ко торые не привели к искажению смысла полученного студентом зада ния или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа.
Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. При одних обстоятельствах допущенная учащи мися погрешность может рассматриваться преподавателем как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах как недочет.
4. Задания для устного и письменного опроса учащихся со стоят из теоретических вопросов и задач.
Ответ на теоретический вопрос считается безупречным, если по своему содержанию полностью соответствует вопросу, содержит все необходимые теоретические факты и обоснованные выводы, а его изложение и письменная запись математически грамотны и от личаются последовательностью и аккуратностью.
Решение задачи считается безупречным, если правильно выбран способ решения, само решение сопровождается необходимыми объяснениями, верно выполнены нужные вычисления и преобразования, получен верный ответ, последовательно и аккуратно за писано решение.
5. Оценка ответа учащегося при устном и письменном опросе проводится по следующей системе, т. е. за ответ выставляется одна из отметок: 2 (неудовлетворительно), 3 (удов летворительно), 4 (хорошо), 5 (отлично).
6. Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельству ют о высоком математическом развитии учащегося; за решение бо лее сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предло женные студенту дополнительно после выполнения им заданий.
Критерии ошибок:
К г р у б ы м ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание учащимися формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять; незнание приемов решения задач, рассматриваемых в учебниках, а также вычислительные ошибки, если они не являются опиской;
К н е г р у б ы м ошибкам относятся: потеря корня или сохранение в ответе постороннего корня; отбрасывание без объяснений одного из них и равнозначные им;
К н е д о ч е т а м относятся: нерациональное решение, описки, недостаточность или отсутствие пояснений, обоснований в решениях
Критерий оценки устного опроса
Оценка «отлично» ставится, если студент:
- полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотрен ном программой,
- изложил материал грамотным языком в определенной логиче ской последовательности, точно используя математическую термино логию и символику;
- правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
- показал умение иллюстрировать теоретические положения конк ретными примерами, применять их в новой ситуации при выполне нии практического задания;
- продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при от работке умений и навыков;
- отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя. Возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по за мечанию учителя.
Ответ оценивается оценкой «хорошо», если он удовлетворяет в основ ном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недо статков:
- в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие ма тематическое содержание ответа;
- допущены один – два недочета при освещении основного содержа ния ответа, исправленные по замечанию учителя;
- допущены ошибка или более двух недочетов при освещении вто ростепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.
Оценка «удовлетворительно» ставится в следующих случаях:
- неполно или непоследовательно раскрыто содержание материа ла, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного ма териала
- имелись затруднения или допущены ошибки в определении поня тий, использовании математической терминологии, чертежах, вы кладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;
- при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.
Оценка «неудовлетворительно» ставится в следующих случаях:
- не раскрыто основное содержание учебного материала;
- обнаружено незнание или непонимание студентом большей или наиболее важной части учебного материала;
- допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.
Критерий оценки письменных и практических работ
Оценка «отлично» ставится, если:
- работа выполнена полностью;
- в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробе лов и ошибок;
- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточ ность, описка, не являющаяся следствием незнания или непо нимания учебного материала).
Оценка «хорошо» ставится, если:
- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
- допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, ри сунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).
Оценка «удовлетворительно» ставится, если:
допущены более одной ошибки или более двух-трех недоче тов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Оценка «неудовлетворительно» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет
обязательными умениями по данной теме в полной мере
Раздел 1. Элементы комбинаторики
Тема 1.1. Основные задачи комбинаторики
Устный опрос
1.Что называется n – факториалом?
2.Вычислите 5!; 7!; 0!.
3.Чему равен n – факториал?
4.Вычислите:
а) n! / (n-2); б) (n+1)! / (n-1)!; в) (n+1)! / (n-2)
5.Перечислите основные задачи комбинаторики.
6.Что называется перестановками?
7.Запишите формулу для числа перестановок из n элементов.
8.Вычислите число перестановок из 5 предметов.
9.Что называется размещениями?
10.Запишите формулу для числа размещений из n элементов по m.
11.Вычислите: А5 2; А73; А0 5
12.Что называется сочетаниями?
13.Запишите формулу числа сочетаний из n элементов по m.
14.Вычислите: C8 2; C103; C5 5
Практическая работа №1
Решение комбинаторных задач
Цель: развитие инициативы и самостоятельности студентов, приобретение знаний и умений применять различные формулы при решении комбинаторных задач
Задание для выполнения практической работы №1
Вычислите:
а) 7!; б) 8!; в) 6!-5! г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Делится ли 11! на:
а) 64; б) 25 в) 81 г) 49?
На сколько нулей оканчивается число:
а) 10! б) 12! в) 15! г) 26!?
5. Сократите дробь:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Упростите выражение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
7. а) На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?
б) В 9 «А» классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?
в) Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться на все четыре стороны?
г) Адъютант должен развести пять копий приказа генерала по пяти полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки приказа?
8. У Вовы на обед – салат, первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число всевозможных вариантов обеда.
9. В гостинице – семь одноместных номеров. Из семи приехавших постояльцев трое уже зарезервировали свои номера. Найдите число способов расселения.
10. Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым – обязательно капитан, вторым – обязательно вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?
11. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?
12. Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании по пяти видам спорта: конкур (кросс на лошадях), фехтование, плавание, стрельба, бег.
а) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования?
б) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег?
в) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег, а первым - конкур?
г) Сколько существует вариантов, в которых конкур и фехтование не проходят подряд?
13. 6 граней игрального кубика помечены цифрами 1,2,3,4,5,6. Кубик бросают дважды и записывают выпадающие цифры.
а) Найдите число всех возможных вариантов.
б) Укажите те из них, в которых произведение выпавших чисел кратно 10.
в) Составьте таблицу из 2 строк. В 1 строке запишите суммы выпавших очков, во 2 – количество результатов, в которых выпадает эта сумма.
г) Составьте аналогичную таблицу для модуля разности выпавших очков.
14. На плоскости даны 10 точек, никакие 3 из которых не лежат на 1 прямой.
а) Три точки покрасили в рыжий цвет, а остальные – в черный. Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?
б) Сколько можно провести отрезков с «рыжими» концами?
в) Составьте таблицу из 2 строчек. В 1 строке запишите количество рыжих точек из 10 данных (от 0 до 10), во 2 – число «разноцветных» отрезков при таком способе раскраски.
г) 5 точек покрасили в серый цвет, 2 точки – в бурый и 3 – в малиновый цвет. Сколько можно построить «серо-буро-малиновых» треугольников?
15. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.
б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?
в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?
г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?
16. В Сети связь происходит через узлы, которые нумеруются 8-значными номерами (номер, например 00011122, возможен).
а) Сколько в Сети может быть узлов?
б) Какой минимальной длины должны быть номера узлов, чтобы их хватило каждому жителю Земли?
в) Сколько в Сети узлов суммой цифр номера равной 71?
г) Сколько в Сети узлов суммой цифр номера меньше 3?
17. Вова услышал в песне, что «у зим бывают имена». Он вспомнил 7 самых хороших зим своей жизни и решил дать 7 разных, нравящихся ему женских имен.
а) Сколькими способами он может это сделать?
б) Сколько способов существует если 1 зима – точно Татьяна, а последняя – несомненно, Анна?
в) Сколько способов существует, если женских имен 8, а не 7?
г) Сколько способов существует, если имен 7, а зим – 8?
18. Ася помнит, что в ответе задачи на правило умножения для двух испытаний получилось 48, и что испытания с одним исходом не рассматривались. Ей надо вспомнить число исходов в обоих испытаниях.
а) Из скольких вариантов Асе придется выбирать правильный ответ?
б) Сколько вариантов, которые состоят из чисел разной четности?
в) Сколько вариантов, которые состоят из чисел, отличающихся друг от друга более, чем на 10?
г) А сколько всего вариантов, если испытаний было 3?
Практическая работа №2
Решение комбинаторных уравнений
Цель: приобретение умений и навыков при решении комбинаторных уравнений.
Задание для выполнения практической работы №2
Изучите теоретический материал по теме
Решить в натуральных числах 5 комбинаторных уравнений по индивидуальному варианту
Вариант 1.
1. n!=7(n-1)!;
2. (k-10)!=77(k-11)!;
3. (m+17)!=420(m+15)!;
4. (3х)!=504(3х-3)!;
5. 6Pх=Рх+2.
Вариант 2.
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. Рn-4*13 EMBED Equation.3 1415=42*Pn-2;
4. 13 EMBED Equation.3 1415=10;
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 3.
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. Рх-3*13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 4.
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 6Рх=24(х-1)!
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 20Рх-2=13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 5.
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 6*13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. у-1*13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 6.
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 12х=13 EMBED Equation.3 1415;
3. Рх=13 EMBED Equation.3 1415;
4. (k+15)!=13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 7.
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 3613 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 8.
6Рх=Рх+5;
1213 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
3013 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Тема 1.2. Основные правила комбинаторики
Устный опрос
Сколькими способами можно разделить 6 различных карандашей между тремя детьми?
Сколько трехзначных чисел, не содержащих радом стоящих одинаковых цифр можно составить из девяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Сколькими способами можно разделить 3 различные конфеты между тремя детьми так, чтобы каждому досталось по одной конфете?
Четырехзначное число, не содержащее в своей записи нуля, можно рассматривать как выборку из 9 цифр. Является ли эта выборка:
а) упорядоченной или нет; б) с возвращением или нет?
5. Может ли выборка содержать одинаковые элементы?
6. Сколько выборок объема 2 можно составить из трех элементов a, b, c так, чтобы они были:
а) упорядоченными, без возвращения;
б) упорядоченными, с возвращениями;
в) неупорядоченными, без возвращений;
г) неупорядоченными, с возвращениями?
7. Составляются выборки объема k из n элементов. Может ли быть:
а) k=n; б) k>n?
Операции над событиями
Может ли произведение двух событий совпадать с одним из сомножителей? Если да, то, что тогда можно сказать о другом событии?
Что можно сказать о событиях, сумма и произведение которых совпадают?
Что можно сказать о событиях А и В, если их сумма есть:
а) достоверное событие; б) невозможное событие?
4. В опыте с подбрасыванием игральной кости приведите пример трех событий таких, что любые два из них содержат общие исходы, а все три – несовместны.
5. Что означает событие 13 EMBED Equation.3 1415 в опыте с подбрасыванием игральной кости, если событие 13 EMBED Equation.3 1415 состоит в том, что число выпавших очков меньше 3, а В – выпало нечетное число очков?
6. Что означает событие 13 EMBED Equation.3 1415 в произвольном опыте?
Практическая работа №3
Решение комбинаторных задач на расчет количества выборок
Цель: применение знаний умений определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях.
Задание для выполнения практической работы
Решить задачи по индивидуальному варианту
а) Сколько двухзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?
б) Сколько среди них чисел кратных пяти?
в) Сколько среди них чисел кратных одиннадцати?
г) Сколько среди них чисел кратных трем?
2. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде четырёх вертикальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного, зеленого. У каждой страны – свой флаг.
а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?
б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с первой белой полосой?
в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с третьей зеленой полосой?
г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?
3. В футбольном турнире участвует несколько команд. Оказалось, что все они использовали для трусов и футболок белый, синий, красный, зеленый и желтый цвета, причем были использованы все возможные варианты.
а) Сколько команд участвовало в турнире?
б) Сколько команд играло в зеленых футболках?
в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?
г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?
4. На контрольной работе будет пять задач – по одной из каждой из пяти тем. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме. При подготовке к контрольной Вова решил по 8 задач из каждой темы. Найдите:
а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы;
б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;
в) число тех вариантов, в которых Вова ничего не сможет решить;
г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.
5. В клетки квадратной таблички 2Ч2 произвольно ставят крестики и нолики.
а) Сколькими способами можно заполнить эту табличку?
б) В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?
в) В скольких случаях в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки?
г) Решите задачи а), б), и в) для таблички 3Ч3.
Имеется 12 различных книг: 7 по математике и 5 по физике. Сколькими способами можно выбрать две книги: одну по математике и одну по физике?
Сколькими способами можно выбрать две буквы из слова УЧЕБНИК, чтобы одна из них была гласная, а другая – согласная?
В классе обучаются 16 мальчиков и 14 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных по классу: одного мальчика и одну девочку?
Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр: а) 1, 2, 3, 4, 5, 6; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5?
Сколько существует различных позиций, которые могут получиться на шахматной доске, если оба партнера, имея начальную позицию, сделают всего лишь по одному ходу?
В столовой к обеду имеется выбор из четырех блюд на первое, пяти блюд на второе и трех блюд на десерт. Сколькими способами можно выбрать один обед?
Учитель приготовил для решения в классе 3 задачи. Сколькими способами он может предложить эти задачи трем учащимся, если в классе 30 человек?
Сколькими способами можно распределить три различных предмета между десятью лицами, если каждому давать не более одного предмета?
Сколькими способами можно распределить три различных предмета между 10 лицами, если не ограничивать число предметов, приходящихся на 1 человека?
Сколькими способами 6 человек могут стать в очереди друг за другом?
Сколькими способами можно рассадить 4 человек на 7 стульях?
Сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5?
Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в записи одного и того же числа?
Сколькими способами можно рассадить в ряд 5 человек так, чтобы Коля и Оля сидели рядом?
На книжной полке стоят 8 различных книг, причем 3 из них по математике. Сколькими способами можно расставить все эти книги так, чтобы книги по математике оказались рядом?
На собрании должны выступить 6 ораторов: А, Б, В, Г, Д, Е. Сколькими способами можно наметить порядок их выступлений, если Б должен выступить сразу после А?
На собрании должны выступить 6 ораторов: А, Б, В, Г, Д, Е. Сколькими способами можно наметить порядок их выступлений, если А по каким-то причинам должен выступить раньше чем Б?
На стулья с номерами с 1 по 9 садятся 5 мальчиков и 4 девочки, при этом мальчики садятся на стулья с нечетными номерами, а девочки – с четными. Сколькими способами дети могут разместиться?
На 5 стульях сидят 5 девочек, а напротив на 5 стульях сидят 5 мальчиков. Было решено, что мальчики поменяются местами с девочками. Сколькими способами это можно сделать?
Сколькими способами можно усадить за круглым столом 5 девочек и 5 мальчиков так, чтобы никакие 2 лица одного пола не сидели рядом?
Сколькими способами можно разложить 5 различных предметов по 3 ящикам?
Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
Сколько существует четных пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
Сколько имеется шестизначных чисел с предпоследней цифрой 1, которые делятся на 5?
Сколько имеется пятизначных чисел, в записи которых не встречается цифра 5?
Сколько имеется пятизначных чисел, в записи которых
а) ровно 1 раз встречается цифра 5?
б) встречается не более одной цифры 5?
в) хотя бы один раз встречается цифра 5?
Сколько имеется пятизначных чисел, делящихся на 5 и не имеющих в своей записи одинаковых цифр?
Сколько различных буквосочетаний можно получить при перестановке букв в слове АНАНАС?
Сколько различных буквосочетаний можно получить при перестановке букв в слове МАТЕМАТИКА?
Сколькими способами из 10 человек можно выбрать 3 человек на 3 различные должности?
Сколькими способами из 10 человек можно выбрать делегацию в составе 3 человек?
Сколькими способами можно распределить 5 совершенно одинаковых карандашей между 9 школьниками, если каждому давать не более 1 карандаша?
Бригада состоит из 7 мужчин и 5 женщин. Сколькими способами эта бригада может избрать делегацию в составе 5 человек, среди которых: а) 2 женщины; б) не более 2х женщин?
Сколькими способами 2 человека могут поделить между собою 10 различных предметов по 5 предметов каждому?
Сколькими способами 10 спортсменов могут разделиться на 2 команды по 5 человек?
Сколькими способами могут разделиться на 2 команды по 5 человек, если 2 спортсмена пожелали играть в одной команде?
Сколькими способами могут разделиться на 2 команды по 5 человек, если 2 спортсмена пожелали играть в разных командах?
Сколькими способами можно распределить 3 совершенно одинаковых предмета между 10 лицами, если не ограничивать число предметов, предлагаемых одному человеку?
Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра: а) меньше предыдущей; б) больше предыдущей?
Сколько имеется четырехзначных чисел, все цифры которых четные и идут в порядке: а) убывания; б) возрастания?
Сколько имеется пятизначных чисел, которые: а) начинаются двумя одинаковыми цифрами? б) оканчиваются двумя различными цифрами?
Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых никакие 2 соседние цифры не совпадают?
Сколькими способами можно разложить 6 монет различного достоинства в 2 кармана?
В комнате имеется 6 лампочек, причем к каждой из них подведен свой выключатель. Сколькими способами можно освещать комнату, если для этого должна быть включена хотя бы 1 лампочка?
Имеется 15 различных конфет. Скольким способами из них можно составить набор, содержащий нечетное число конфет?
Среди карточек, отличающихся только цветом, имеется 5 красных, 3 синих, 2 зеленых и 1 желтая карточка. Сколькими способами их можно выложить в ряд в виде цветной полосы?
Сколькими способами можно усадить 7 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить 1 из другого движением по кругу?
Сколькими способами можно усадить 7 человек за круглым столом, считая способы различными, если хотя бы у части сидящих появятся новые соседи?
Среди шаров, отличающихся только цветом, имеется 6 белых, 4 черных и 8 красных. Сколькими способами 2 мальчика их могут поделить (не обязательно поровну) между собою так, чтобы обоим досталось не менее двух шаров каждого цвета?
Вдоль желоба лежат 12 белых шаров. Сколькими способами среди них можно разместить 8 черных шаров так, чтобы никакие 2 черных шара не оказались рядом?
На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 10 юношей. Сколькими способами можно составить из них 4 пары для танца?
Сколько различных делителей имеет число: а) 800; б) 126 000?
На собрании присутствуют 120 человек. Сколькими способами может быть избран президиум собрания в составе председателя, секретаря и 7 других членов президиума?
Из мешка, содержащего 9 белых и 5 черных шаров, вынимают один за другим все шары. Сколько возможно различных последовательностей появления шаров, если шары одного цвета между собой не различны?
Сколькими способами 30 различных книг можно разложить на 3 стопки так, чтобы в каждой стопке было 10 книг? Раздел 2. Основы теории вероятностей
Тема 2.1. Случайные события. Классическое определение вероятности
Устный опрос
Какие события называются достоверными? Приведите примеры?
Какие события называются невозможными? Приведите примеры?
Что называется вероятностью события?
В партии имеется 100 деталей, пять из которых бракованные. Определите вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной.
Что называется относительной частотой события?
Какие события называются несовместимыми? Приведите примеры?
Чему равна сумма несовместных событий?
Какие события называются противоположными?
Как формулируется теорема сложения вероятностей?
Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?
Как формулируется теорема умножения вероятностей?
Вероятностная модель случайного опыта
Какие из следующих наборов чисел задают вероятности в ПЭИ с четырьмя исходами:
а) 0,2; -0,2; 0,5; 0,5; б) 0,1; 0,2; 0,3; 0,5;
в) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; г) 0,2; 0,3; 0,3; 0,1?
2. Дважды бросается монета. Образуют ли ПЭИ исходы:
а) «герб выпал дважды», «цифра выпала дважды»;
б) «герб выпал хотя бы один раз», «цифра выпала дважды»;
в) «герб выпал один раз», «герб выпал хотя бы один раз», «герб не выпал ни разу»?
3. Извлекается одна косточка домино. Образуют ли ПЭИ следующие исходы:
а) «вынута кость 0:0», «вынута кость 0:1», «сумма очков на вынутой кости – натуральное число, не больше 11»?
4. Производится два выстрела по мишени. Образуют ли ПЭИ следующие исходы: «ни одного попадания», «одно попадание», «нет промаха», «есть хоть одно попадание»?
5. Приведите пример события, вероятность которого равна: а) 0; б) 1.
6. Приведите примеры опытов, множество исходов которых бесконечно.
Классическое определение вероятности события
Вероятность некоторого события в опыте с равновозможными исходами равна 0,15. Это событие состоит из трех исходов. Чему равны:
а) вероятность каждого исхода;
б) число элементов в ПЭИ?
Зная вероятность события:
а) «стрелок хотя бы один раз попал в цель»;
б) «у стрелка более двух попаданий в цель»;
в) «стрелок попал при всех выстрелах»,
укажите событие, вероятность которого можно вычислить.
Будут ли равновозможными исходы:
а) «элемент в электрической цепи вышел из строя», «не вышел из строя»;
б) «станок потребует вмешательства рабочего», «станок не потребует вмешательства рабочего»;
в) «лампа в телевизоре в течение года выходит из строя», «лампа в телевизоре в течение года не выходит из строя»;
г) «изделие первосортно», «изделие второго сорта»?
Практическая работа №4
Непосредственное вычисление вероятностей
Цель: формирование умений и навыков вычисления вероятности событий по классической формуле определения вероятности.
Задание для выполнения практической работы
Вычислить вероятности событий, указанных в тексте.
1. За круглым столом сидят 5 мужчин и 5 женщин. Какова вероятность того, что два ли-
ца одинакового пола не сидят рядом, если места занимались случайно?
2. На столе лежат 20 экзаменационных билетов с номерами 1, 2, ..., 20. Преподаватель
берёт 3 любых билета. Какова вероятность того, что они из первых четырёх?
3. Имеется 6 отрезков, длины которых равны соответственно 2, 4, 6, 8, 10, 12 единицам.
Найти вероятность того, что с помощью взятых наугад трёх отрезков можно построит треугольник.
4. Пять студентов из группы изучают английский язык, шесть студентов – немецкий и
семь студентов – французский язык. Случайным образом выбрано четыре студента.
Какова вероятность того, что двое из них изучают английский язык, один изучает
французский и один – немецкий?
5. На семи карточках написаны цифры от 1 до 7. Наудачу извлекаются две карточки.
Какова вероятность того, что сумма цифр на этих карточках будет чётной?
6. В мастерскую для ремонта поступило 10 телевизоров, из которых 3 нуждаются в общем ремонте. Мастер наугад берёт первые 5 штук. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общем ремонте?
7. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет одинаковое
число очков на обеих костях, и вероятность того, что на обеих костях выпадет чётное
число очков.
8. Из полной колоды карт (52 карты) вынимается наугад три карты. Найти вероятность
того, что этими картами будут тройка, семёрка и туз.
9. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что номер телефона случайно выбранного абонента не содержит одинаковых цифр.
10. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые разбиваются на две группы по
10 человек. Определить вероятность того, что четыре наиболее сильных игрока раз-
Делятся между группами поровну.
11. Четырёхтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Найти веро-
ятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо.
12. Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в
большом городе имеет все цифры разные и вероятность того, что он имеет все циф-
ры одинаковые?
13. Полная колода карт (52 карты) делится пополам. Найти вероятность того, что число
чёрных и красных карт в обеих пачках будет одинаковым.
14. На полке лежат 15 учебников, из них 7 – по математике. Студент наудачу берёт 3
учебника. Какова вероятность того, что взятые учебники – учебники по математике?
15. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших
очков будет не менее 7 и не более 10?
16. В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Из урны парами последовательно извлекают все
шары. Какова вероятность того, что в последней паре оба шара будут чёрными?
17. Студент знает 15 из 20 вопросов учебной программы. На экзамене предлагается отве-
тить на 3 вопроса, которые выбираются случайным образом. Какова вероятность то-
го, что студент сможет ответить на предложенные вопросы?
18. Отрезок прямой, длина которого равна 2, делится случайным образом на 3 части.
Найти вероятность того, что из полученных частей можно построить треугольник.
19. Спортивная команда состоит из 20 спортсменов, из которых 5 боксёров, 7 штангистов
и 8 борцов. Для беседы с журналистом было выбрано случайным образом 3 спорт-
смена. Определить вероятность того, что выбранные спортсмены представляют раз-
личные дисциплины спорта.
20. На восьми карточках написаны цифры от 1 до 8. Наудачу извлекаются две карточки.
Какова вероятность того, что сумма цифр, написанных на этих карточках, будет не
менее 12?
21. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
будет не более чем 10.
22. Каждая из цифр 1, 3, 5, 6 и 8 написана на одной из пяти карточек. Карточки переме-
шивают и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что полученное пятизначное
число будет делиться на 4?
23. Наугад выбирается двухзначное число. Определить вероятность того, что сумма
цифр этого числа является простым числом.
24. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность
того, что среди них окажется три кости с шестью очками?
25. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом?
Тема 2.2. Вероятность сложных событий
Устный опрос
Понятие противоположного события; формула вероятности противоположного события.
Дать определение суммы двух событий. Записать формулу вероятности суммы двух событий и привести пример ее применения.
Дать определение условной вероятности. Когда условная вероятность равна нулю?
Дать определение независимых событий. Записать формулу вероятности произведения независимых событий и привести пример ее применения.
Записать формулу полной вероятности и привести пример ее применения.
Записать формулу Байеса и привести пример ее применения.
Теорема сложения вероятностей
При каком условии вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий?
Рассмотрим опыт с подбрасыванием игральной кости. Пусть событие А означает, что число выпавших очков меньше 3, а В – число выпавших очков меньше 5. Чему равна 13 EMBED Equation.3 1415?
Чему равна 13 EMBED Equation.3 1415, если каждый элементарный исход события А входит также в событие В?
Рассмотрим опыт с подбрасыванием игральной кости. Пусть А={1, 2}, B={2, 4}, C={1, 4}. Эти события несовместны в совокупности. Будет ли вероятность их суммы равна сумме их вероятностей?
Какие из следующих утверждений равны:
а) вероятность суммы трех попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий;
б) вероятность суммы трех событий равна сумме вероятностей этих событий;
в) вероятность суммы трех несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий?
6. Может ли вероятность суммы трех событий быть:
а) меньше суммы вероятностей этих событий;
б) больше суммы вероятностей этих событий;
в) равной сумме вероятностей этих событий;
г) равной вероятности одного из слагаемых;
д) равной вероятности суммы двух слагаемых?
Независимые события
При каком условии вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей этих событий?
Может ли вероятность произведения двух независимых событий быть:
а) больше вероятности одного из этих событий;
б) равной вероятности одного из этих событий;
в) меньше вероятности одного из этих событий?
3. Чему равна вероятность суммы двух независимых событий?
4. Рассмотрим опыт с подбрасыванием игральной кости. Пусть событие А означает, что число выпавших очков меньше трех, а В – число выпавших очков меньше 5. Будут ли события А и В независимы?
5. Могут ли быть независимыми события А и В, если каждый элементарный исход события А входит и в собрание В?
6. Из карточек 100, 010, 001 наугад извлекается одна. Пусть событие 13 EMBED Equation.3 1415, i=1, 2, 3 означает, что в карточке на i-м месте стоит 1.
а) Будут ли события А1, А2, А3 попарно независимы?
б) Верно ли, что 13 EMBED Equation.3 1415=P(A1)P(A2)P(A3)?
7. Верно ли, что вероятность произведения трех попарно независимых событий равна произведению вероятностей этих событий?
Условные вероятности
Пусть U и V – соответственно достоверное и невозможное события. Чему равна: а) P(U/А); б) Р(V/А)?
Верно ли, что 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим опыт с подбрасыванием игральной кости дважды. Пусть событие А означает, что «сумма выпавших очков четна», В – «сумма очков больше на 9», С – «сумма выпавших очков меньше четырех», D – «сумма выпавших очков больше 10». Найдите Р(А), Р(В), Р(С), Р(D), 13 EMBED Equation.3 1415
Может ли вероятность произведения двух событий быть:
а) больше произведения вероятностей этих событий;
б) равной произведению вероятностей этих событий;
в) меньше произведения вероятностей этих событий?
5. Может вероятность произведения двух событий быть:
а) больше вероятности одного из сомножителей;
б) меньше вероятности одного из сомножителей;
в) равной вероятности одного из сомножителей?
6. При каком условии не имеет смысла Р(В/А)?
Практическая работа №5
Основные формулы теории вероятностей
Цель: овладение умениями и навыками решения задач на вычисление вероятности сложных событий.
Задания для выполнения практической работы
1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, ровна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии работает только один сигнализатор.
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того. Что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
4. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая задорную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
5. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равно 0,8. Найти вероятность того, что из трёх проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
6. Устройство состоит из трёх элементов, работающих независимо. Вероятности безоткатной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что за время t безоткатно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; ) все три элемента.
7. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвёртом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что детали содержатся: а) на более чем в трёх ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.
8. Брошены три игральные кости. Найти Вероятности следующих событий: а) на каждом из впавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число оков.
9. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей – другое число очков; б) на двух выпавших гранях появится одинаковое число очков, а на третьей другое число очков; в) на всех выпавших гранях появится разное число очков.
10. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
Практическая работа №6
Формула полной вероятности. Вероятность гипотез.
Цель: овладение умениями и навыками решения вероятностных задач на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса.
Задания для выполнения практической работы
Образуют ли два противоположных события полную группу событий?
Если сумма вероятностей событий равна 1, можно утверждать, что они образуют полную группу? А наоборот?
Могут ли события А, В, С, среди которых А и В независимы и имеют отличные от нуля вероятности, образовывать полную группу событий?
Известно, что каждый элементарный исход из А входит по крайней мере в одно из несовместимых событий В или С, не являющихся противоположными друг другу. Будет ли справедлива формула полной вероятности:
Р(А)=Р(В)Р(А/В)+Р(С)Р(А/С)?
Верно ли, что:
Р(А/С)= 13 EMBED Equation.3 1415
1. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
2. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равно 0,95; для полуавтомата вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчетов машина не выйдет из строя.
3.В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведёт один выстрел из наудачу взятой винтовки.
4. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей – на заводе №2 и 18 деталей – на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, отличного качества, равна 0.9; для деталей, изготовленных на заводе №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0.6 и 0.9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
5. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров взяли один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
6. В каждой из трёх урн содержится 6 чёрных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй наудачу извлечён один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третей урны, окажется белым.
7. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относится как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах соответственно равны 0,8;0,9;0,9. Найти вероятность того. Что возникший в машине сбой будет обнаружен.
8. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стреляет из винтовки с оптическим прицелом или без него?
9. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина. Равна 0.1; для легковой машины эта вероятность 0,2. К бензоколонке подъехал для заправки машина. Найти вероятность того, что эта грузовая машина.
10. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, первым товароведом, рана 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие будет признано стандартным. Найти вероятность того, что эта изделие проверил второй товаровед.
Тест
Вариант 1.
1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4)5
2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
1) 128 2) 35960 3)36 4)46788
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1) 10 2)60 3) 20 4)30
4.Вычислить: 6! -5!
1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000
5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?
1)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14152)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14153)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14154)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 0,5 3)0,125 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?
1)0,0012
0,00012
3) 0,0008
4) 0,002
Вариант 2.
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1) 100 2) 30 3) 5 4) 120
2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?
1) 3 2) 6 3) 2 4) 1
3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.
1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450
4. Вычислите: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
1) 2 2) 56 3) 30 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта туз?
1)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14152)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14153)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14154)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?
1) 0,25 2)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14153) 0,5 4) 0,125
7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?
1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8
Вариант 3.
1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?
1) 24 2) 4 3) 16 4) 20
2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?
1) 30 2) 21 3) 14 4) 7
3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
1) 22 2) 11 3) 150 4) 110
4. Сократите дробь: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
1) 1 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14153) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14154) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 0,5 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 0,25
6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.
1) 0,25 2)0,4 3) 0,48 4) 0,2
7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное - брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.
1) 0,8 2) 0,1 3) 0,015 4) 0,35
Вариант 4
1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?
1) 5 2) 120 3) 25 4) 100
2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?
1) 12650 2) 100 3) 75 4)10000
3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.
1) 120 2) 30 3) 50 4) 60
4. Упростите выражение: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
1) 0,5 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415-n 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415-1
5.Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14153) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14154) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго - 80%, третьего - 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?
1) 0,504 2) 0,006 3) 0,5 4) 0,3
7. Из 30 учеников спорткласса, 11 занимается футболом, 6 - волейболом, 8 - бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 0,5 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14154) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Вариант 5
1. Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?
1) 36 2) 180 3) 720 4) 300
2. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?
1) 14 2) 10 3) 21 4) 30
3. Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых - простые различные числа не больше 20?
1) 80 2) 56 3) 20 4) 60
4. Упростите выражение: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415- 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14152) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14153) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14154) 0
5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида - 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.
1) 0,21 2) 0,49 3) 0,5 4) 0,09
7. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма - 10%. Какова вероятность положительного тестирования?
1) 0,5 2) 0,4 3) 0,6 4) 0,04
Вариант 6
1. Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?
1) 12 2) 20 3) 24 4) 4
2. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?
1) 792 2) 17 3) 60 4) 300
3. В 12 - ти этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2 - Ом этаже лифт не останавливается?
1) 100 2) 720 3) 300 4) 60
4. Упростите выражение: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415- 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14152)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14154) 0
5. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?
1)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 14152) 7 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго - 70%, третьего 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.
1) 0,336 2) 0,452 3) 0,224 4) 0,144
7. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок.
Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?
1) 0,9 2) 0,5 3) 0,34 4) 0,18
Вариант 7
1. В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)
1) 4 2) 24 3) 20 4) 16
2.На плоскости расположены 25 т