Применение опорных таблиц на уроках математики

5-й класс.
Натуральные числа и их сравнение.

Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. --- арабские
I, V, X, L, C, D, M, ------- римские
A, b, ----- славянские


Натуральные числа (N): для счёта предметов.
1, 2, 3, 4, ,
·

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Числа, запись которых состоит из одного знака – однозначные.
Числа, запись которых состоит из двух знаков – двузначные и т.д.

100 000 000 000
Млрд. млн. тыс. ед. десятичная запись
7825= 7
· 1000+ 8
· 100 + 2
· 10 +5

миллиарды
миллионы
тысячи
единицы

Сотни миллиардов
Десятки миллиардов
Единицы миллиардов
Сотни миллионов
Десятки миллионов
Единицы миллионов
Сотни тысяч
Десятки тысяч
Единицы тысяч
Сотни
Десятки
Единицы



Изображение натуральных чисел.


A(4) B(7)

0 1 2 3 4 5 6 7 8


Сравнение чисел (поразрядно): чем больше, тем правее 13 EMBED Equation.3 1415
19 > 14; 121>35; 489 > 431; 1281 >1095.

Чем меньше, тем левее
9< 14; 21<35; 489< 531; 1281 < 2395.
Сложение и вычитание натуральных чисел.
Сложение:

Сложение 25 + 41 = 66

слагаемые сумма

Законы сложения: 1) переместительный: a + b = b + a .
От перемены мест слагаемых сумма не меняется
Пример: 7+3=3+7=10
2) сочетательный: (a + b) + с = a + (b + с)
Чтобы прибавить к сумме двух чисел число, нужно к
первому числу прибавить сумму второго и третьего
чисел или в другом порядке (как удобнее).
Пример: (3+2) + 4 = 3 + (2 +4) = (3 + 4) + 2 = 9
5 + 4 = 3 + 6 = 7 + 2 = 9
3) a + 0 = a .
От прибавления нуля число не меняется.
Пример: 7 +0 = 7

Вычитание:

Вычитание: 96 – 41 = 55 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Уменьшаемое - вычитаемое = разность.
Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго, иными словами, на сколько второе число меньше первого.

Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое.

- ( + ) =( - ) - = - -

12 – (3 + 2 ) = 12 – 5 = ( 12 -3 ) -2 = 12 – 3 – 2 = 7.
a –( b + с ) = ( a – b ) – с =( a – с) – b = a – b – с

Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое.

( 6 + 3 ) – 2 =9- 2 = 6 + ( 3 – 2 ) = ( 6 – 2 ) + 3 = 7.
(a + b ) –с = a + ( b – с ) = ( a – с ) + b

a – 0 = a . 4. a – a = 0.
Умножение и деление натуральных чисел, свойства умножения.

а · n = 13 EMBED Equation.3 1415a + a + + a


n раз
Умножить число а на натуральное число n означает найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно a.

Умножение: 25 · 3 = 75.

Множители = произведение Законы умножения:.
переместительный (от перестановки множителей произведение не изменяется)
a · b = b · a .

2) сочетательный : a · ( b · с ) = ( a · b ) · c = ( a · c) · b .

3) a · 0 = 0.

4) a · 1 = a .

5) распределительный закон: a · (b + с) = a · b + a · b .

a · (b - с) = a · b - a · b .

Деление: 48 : 4 = 12

Делимое : делитель = частное
Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

1) На нуль делить нельзя.
2) a : 1 = a.
3) a : a = 1.
4) 0 : a =0.








Квадрат и куб числа.

aІ = a · a – квадрат числа
таблица квадратов:
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

aІ
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100


aі = a · a · a – куб числа

таблица кубов:

a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

aі
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000


Формулы.

S = v · t , S- путь, v – скорость, t- время.
V = s : t .
t = s : v

P= ( a + b ) · 2- периметр прямоугольника – сумма всех сторон
S = a · b – площадь прямоугольника – произведение смежных сторон

a

b

P = 4 · a – периметр квадрата 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
S = aІ = a · a – площадь квадрата а

а

а аааааааааааааааа


а V = а13 EMBED Equation.3 1415= а · а ·а b в

а с
объём куба а
V = а · b · с
Объём параллелепипеда.


Диаграммы и графики






Круговая диаграмма.
Круг - 3600
30% от 3600 – это
30: 100
· 3600= 1080








График

Год
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005

Производство чугуна, млн.тонн
160
200
180
240
220
200
290



Год Измерения углов. Транспортир.

Для измерения углов применяют транспортир.
Шкала транспортира – полуокружность.
Штрихи шкалы делят полуокружность на 180 долей.
Градус – это 13 EMBED Equation.3 1415 доля полуокружности.
Каждое деление шкалы транспортира равно 1 градусу (10)
Прямой угол равен 900.
Острый угол – это угол меньше 900.
Тупой угол – это угол больше 900
Развёрнутый угол равен 1800









Деление с остатком.



11:2=5(остаток1)





10:4=2(остаток2)




7:6=1(остаток1)

Остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.



Обыкновенные дроби.













Каждый может за версту видеть дробную черту.
Над чертой числитель , знайте,
под чертою знаменатель. Дробь такую, непременно, надо звать обыкновенной.

Дроби можно изображать на координатном луче.
Пример:

0 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 1
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Виды:
правильная дробь – числитель меньше знаменателя (п.д.) < 1 13 EMBED Equation.3 1415
Неправильная дробь - числитель больше знаменателя (н. д.) > 1 13 EMBED Equation.3 1415
Неправильна дробь – числитель = знаменателю (н.д.) = 1 13 EMBED Equation.3 1415


Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.


Сложение
Вычитание

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители дробей складывают. А знаменатель оставляют без изменения.
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби. А знаменатель оставляют без изменения.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Примеры: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415


Пример: 1) 13 EMBED Equation.3 1415.


Смешанные числа.
Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной. Для краткости вместо «число в смешанной записи» говорят смешанное число.
213 EMBED Equation.3 1415; 1113 EMBED Equation.3 1415.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:
1) разделить с остатком числитель на знаменатель
2) неполное частное будет целой частью;
3) остаток (если он есть) дает числитель, а делитель - знаменатель дробной части.

Пример: 13 EMBED Equation.3 1415= 47 : 9 = 5(остаток 2) = 513 EMBED Equation.3 1415






Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:
1) умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2) к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Пример: 7 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

Сложение и вычитание смешанных чисел.
При сложении и вычитании смешанных чисел целые части складывают или вычитают отдельно, а дробные – отдельно.

Пример: 213 EMBED Equation.3 1415

Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получается неправильная дробь. В этом случае из неё выделяют целую часть и добавляют её к уже имеющейся целой части.

Пример: 13 EMBED Equation.3 1415

Если при вычитании смешанных чисел дробная
·часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поступают так:

13 EMBED Equation.3 1415
У 5 заняли 1 и представили её как 13 EMBED Equation.3 1415 и добавили к дробной части первой дроби, получили новую дробь. Можно и по-другому: представить обе дроби в виде неправильных и вычитать по правилу обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

Таким же образом поступают и при вычитании дроби из натурального числа, и при вычитании смешанного числа из натурального числа.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Задачи на дроби.


· тип (часть от числа)


Всего – 9 км
Отремонтировано - ? км. - 13 EMBED Equation.3 1415 всей дороги
9: 3 · 2 = 6 (км) – отремонтировано
Ответ : 6 километров.
9 км
? км



·
· тип (по дроби число)
Всего - ?
Отремонтировано – 8 км, что составляет 13 EMBED Equation.3 1415
8: 2 · 3 = 12 (км) – длина всей дороги.
Ответ: 12 километров.


8 км
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
? км









·
·
· тип (число от числа)






2 от 3 = ? ? 13 EMBED Equation.3 1415






































Геометрические фигуры
Отрезок

АВ = АС + СВ


А С В





Ломаная Многоугольник


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Звенья, вершины Стороны, вершины

Луч Прямая

О а
13 EMBED Equation.3 1415


Есть
начало К Нет ни начала ни конца.
нет конца




Дополнительные лучи


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
А О В



Десятичная дробь и действия с десятичными дробями.

Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. можно записывать без знаменателя.

Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415= 11, 31; 13 EMBED Equation.3 1415 = 12, 024; 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,43; 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,0021и т.д.


Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой. После запятой числитель дробной части должен иметь столько же цифр, сколько нулей в знаменателе.

Если в конце десятичной дроби приписать или отбросить нуль, то получится десятичная дробь, равная данной.
Примеры: 0,78 = 0,7800; 34 = 34,000; 45,700 = 45,70 = 45,7.

1. Чтобы сравнить две десятичные дроби надо : а) порязрядно
б) можно после , приписывать и убирать НУЛИ

Чем больше, тем правее 13 EMBED Equation.3 1415 9,76 > 9,7

Чем меньше, тем левее 9,8 < 10,2


2. Сложение и вычитание: 1) уравнять в дробях количество знаков после запятой;
2) записать дроби друг под другом так, чтобы запятая была под запятой;
3) выполнить действие, оставив запятую под запятой.

12,14 + 3,187: 2,110 – 1,04

12, 140 __ 2, 11
+ 3, 187 1, 04
15, 327 1, 07








Инструменты для вычислений и измерений величин на местности
Инструмент для быстрого выполнения вычислений – микрокалькулятор.

Примеры:
Вычислить:
21,3 – 11,42
3 11 42 9,88

Вычислить:
(11+23 – 4,2) 13 EMBED Equation.3 1415 3
11 23 4 2 3

89,4





Инструменты для построения геометрических фигур:
транспортир, чертёжный треугольник, линейка






13 EMBED Photoshop.Image.9 \s 141513 EMBED Photoshop.Image.9 \s 1415

















Округление чисел.

При округлении числа до какого-либо разряда применяют следующий
алгоритм:
1) если число округляют до какого – нибудь разряда, то все следующие
за этим разрядом цифры заменяют нулями. А если они стоят после
запятой, то их отбрасывают;
2) если первая отброшенная или заменённая цифра равна
* 0, 1, 2, 3, 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения;
* 5, 6, 7, 8, 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.

Примеры: 1) округлить числа 83,54 до десятых
83, 54 13 EMBED Equation.3 141583, 5


2) округлить число 83,54 до десятков
83, 54 13 EMBED Equation.3 1415 80

Таблица числа по разрядам:

Сотни тысяч
Десятки тысяч
Единицы тысяч
Сотни
Десятки
Единицы
,
Десятые
Сотые
Тысячные
Десяти-
тысяч
ные
Сто-
тысяч
ные
Миллионные

Целая часть

Дробная часть




Умножение и деление десятичных дробей.

Умножение
Деление

13 EMBED Equation.3 141510

13 EMBED Equation.3 1415100
13 EMBED Equation.3 14151000 ,

19,6113 EMBED Equation.3 1415 100 = 1961

13 EMBED Equation.3 14150,1

13 EMBED Equation.3 14150,01
13 EMBED Equation.3 1415 0,001 ,

1080 13 EMBED Equation.3 1415 0,1 = 108


: 10

: 100
: 1000 ,
: 0,1

: 0, 01
: 0,001 ,

При умножении десятичной дроби на натуральное число нужно:
выполнить умножение, не обращая внимания на запятую;
в ответе отделить справа налево столько знаков, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

13 EMBED Equation.3 14151,84
3
5,52

При делении десятичной дроби на натуральное число, нужно:
выполнить деление, не обращая внимания на запятую;
в частном поставить запятую сразу после того, как закончится деление целой части.

- 19,2 8
16 2,4
- 3 2
3 2
0

При умножении десятичных дробей нужно:
выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;
в ответе отделить справа налево столько знаков, сколько их было в обоих множителях вместе.

13 EMBED Equation.3 14159,56
3, 05
+ 4 7 8 0
28 6 8
29, 1 5 8 0 = 29, 158





При делении десятичной дроби на десятичную дробь, нужно:
Перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;
Выполнить деление как на натуральное число.



Проценты.


















Для перевода десятичной дроби в проценты надо умножить её на 100:

0,846 · 100% = 84,6%


Для перевода процентов в десятичную дробь надо число процентов разделить на 100:

96% = 96 : 100 = 0,96

1% от центнера – килограмм
1% от метра – сантиметр
1% от гектара – ар (сотка)




Задачи на проценты.


· тип
Нахождение процентов от числа

·
· тип
Нахождение числа по его процентам

·
·
· тип
Сколько процентов составляет одно число от другого

разделить число на 100 (узнать, чему равен 1%)
умножить полученный результат на данные проценты.


Пример: В книге 120 страниц. Петя прочитал 30% всей книги. Сколько страниц прочитал Петя?

РЕШЕНИЕ.

120 : 100 = 1,2 (стр.)
1,2 · 30 = 36 (стр.)

Ответ. 36 страниц прочитал Петя.
1) разделить число на количество процентов (узнать, чему равен 1%)
2)умножить полученный результат на 100%.


Пример: Петя прочитал 70 страниц, что составило 35% всей книги. Сколько страниц в книге?

РЕШЕНИЕ.

70 : 35 = 2 (стр.)
2 · 100 = 200 (стр.)

Ответ. 200 страниц во всей книге.
разделить одно число на другое, частное записать в виде десятичной дроби
умножить полученный результат на 100%

Пример: В парке 1000 деревьев, из них 400 берёз. Сколько процентов составляют берёзы от всех деревьев?

РЕШЕНИЕ.

400 : 1000 = 0,4
0,4 · 100 = 40%

Ответ. Берёзы составляют 40%.





Задачи на проценты.





















































Среднее арифметическое чисел.















































Среднее арифметическое чисел.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Среднее арифметическое чисел 73,5; 81,2 и 76,6 - ?

73,5 + 81,2 + 76,6 = 234,3
234,3 : 3 = 77,1 – среднее арифметическое этих чисел.

Среднее арифметическое чисел 0,8 и 1,6 - ?

(0,8 + 1,6) : 2 = 2,4 : 2 = 1,2 - среднее арифметическое чисел 0,8 и 1,6.

0,8 1,2 1,6
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

А С В х


Точка С(1,2) – середина отрезка АВ, где А(0,8); В(1,6).



13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Задача.
Турист 3 часа плыл по реке со скоростью 10км/ч и 2 часа шёл пешком со скоростью 5 км/ч. Найдите среднюю скорость туриста.

Решение:

3 · 10 + 2 · 5 = 40 (км) весь путь;
3 + 2 =5(ч) время движения;
40 : 5 = 8 (км/ч).

Ответ. Средняя скорость движения 8 км/ч.







Площадь прямоугольника.
Единицы площадей.

Площадь прямоугольника S равна:

S = a · b, где a и b –

стороны прямоугольника.

S = 5 · 3 = 15 см13 EMBED Equation.3 1415



















13PAGE 15


13PAGE 14115




13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Одна доля из пяти – это 13 EMBED Equation.3 1415
Числитель дроби – сколько долей взяли,
5- знаменатель дроби – на сколько разделили целое



Количество слагаемых

13 EMBED Equation.3 1415

Сумма чисел

===

Среднее арифметическое


Средняя
Скорость


===

Весь пройденный путь

13 EMBED Equation.3 1415

Всё время движения