Презентация по математике на тему Исследование функции на экстремум с помощью первой и второй производной (1 курс ССУЗ)

Исследование функции на экстремум с помощью первой и второй производнойАвтор: преподаватель ГАПОУ «ЛНТ» Шаммасова А.А.
Цель урока:Обеспечение усвоения понятий экстремумов функции и критических точек.Формирование представлений о правилах нахождения экстремумов функции с помощью первой и второй производных.Формирование умений определять экстремумы функции с помощью первой и второй производных.

Точки минимума и максимума функции.Точка x0 из области определения функции f(x) называется точкой минимума (точкой максимума) этой функции, если существует такая δ-окрестность (x0–δ, x0+δ) точки x0, что для всех x≠x0 из этой окрестности выполнятся неравенство f(x)≥f(x0) (f(x)≤f(x0)).Точки минимума и максимума функции называются экстремальными точками (или точками экстремума) данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом (или экстремумами функции).

Точками экстремума могут служить только критические точки – это точки из области определения функции, в которых производная функции f′(x)=0 или терпит разрыв. Если при переходе через критическую точку x0 производная f′(x) меняет знак, то функция f(x) имеет в точке x0 экстремум: минимум – если f′(x) меняет знак с «–» на «+»,максимум – если f′(x) меняет знак с «+» на «–».Если же при переходе через критическую точку x0 производная f′(x) не меняет знака, то функция f(x) в точке x0 не имеет экстремума.


Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной:I. Найти производную f′(x). II. Найти критические точки функции y=f(x), т.е. точки, в которых f′(x)=0 или терпит разрыв. III. Исследовать знак производной f′(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). При этом критическая точка x0 – точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f′(x)<0, от промежутка, в котором f′(x)>0, и точка максимума – в противном случае.


Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой x0, знак производной не меняется, то в точке x0 функция экстремума не имеет. IV. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Примеры.Исследовать на экстремум следующие функции:f(x)=x² - 4x f′(x)=2x – 4 f′(x)=0 2x – 4=0 x=2 Составим таблицу: {93296810-A885-4BE3-A3E7-6D5BEEA58F35}x-∞<x<222<x<+∞f′(x)-0+f(x)minfmin=f(2)=-4Точка минимума (2;-4) – вершина параболы.





2. f(x)= - x² + 5x + 6 f′(x)= - 2x + 5 f′(x)=0 -2x + 5=0 x=5/2 Составим таблицу: Примеры.Исследовать на экстремум следующие функции:{93296810-A885-4BE3-A3E7-6D5BEEA58F35}x-∞<x<5/25/25/2<x<+∞f′(x)+0-f(x)maxfmax=f(5/2)=1/4График функции – парабола.




3. f(x)= x³ - 3x² f′(x)= 3x² - 6x f′(x)=0 3x² - 6x =0 x=0, x=2 Составим таблицу: Примеры.Исследовать на экстремум следующие функции:{93296810-A885-4BE3-A3E7-6D5BEEA58F35}x-∞<x<000<x<222<x<+∞f′(x)+0-0+f(x)fmax=f(0)=0fmin=f(2)=-4




Примеры.Исследовать на экстремум следующие функции:4. Критическими являются точки x=0 (в ней производная терпит разрыв) и x=2 (в ней производная обращается в нуль). {93296810-A885-4BE3-A3E7-6D5BEEA58F35}x-∞<x<000<x<222<x<+∞f′(x)+не сущ.-0+f(x)fmax=f(0)=0fmin=f(2)≈-4,8




Вторая производная.Если y′ есть производная от функции y=f(x), то производная от y′ по x (если она существует) называется второй производной (или производной второго порядка):y′′ f′′(x)


Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной:I. Найти производную f′(x). II. Найти критические точки данной функции, в которых f′(x)=0. III. Найти вторую производную f′′(x). IV. Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом f′′(x)<0, то функция в такой точке имеет максимум, а если f′′(x)>0, то – минимум. Если же f′′(x)=0, экстремум функции надо искать с помощью первой производной. V. Вычислить значения функции в точках экстремума.


Примеры.Исследовать на экстремум с помощью второй производной следующие функции:1. f(x)=x² - 2x – 3 f′(x)=2x – 2 f′(x)=0 2x – 2=0 x=1 – критическая точка f′′(x)=2>0, тогда при x=1 fmin=f(1)= - 4 2. f(x)=x³ - 9x² + 24x – 12 f′(x)=3x² - 18x +24 f′(x)=0 3x² - 18x +24=0 x² - 6x +8 =0 x=2, x=4 – критические точки f′′(x)=6x – 18f′′(2)=6·2 – 18<0, значит при x=2 fmax=f(2)=8f′′(4)=6·4 – 18>0, значит при x=2 fmin=f(4)=4