Презентация по математике на тему Исследование функции и построение графика (1 курс ССУЗ)

Исследование функции и построение графика.Автор:преподаватель ГАПОУ «ЛНТ» Шаммасова А.А.
Цель урока:Формирование представлений о построении графиков функций с помощью производных.Формирование умений исследования функций и построения их графиков.

Общая схема построения графиков функций:Найти область определения функции.Выяснить, не является ли функция четной, нечетной, периодической.Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).Найти асимптоты графика функции.Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.Построить график, используя полученные результаты исследования.



Пример 1.Построить график функции y=x³ - 6x² + 9x – 3.D(y)=R.Ни четная, ни нечетная, не периодическая.x=0, y=-3 – точка пересечения графика с осью Oy. Точки пересечения графика с осью Ox в данном случае найти затруднительно.График не имеет асимптот.y′=3x²-12x+9 3x²-12x+9=0 x²-4x+3=0 x=1, x=3В промежутках -∞<x<1 и 3<x<+∞ y′>0 – функция возрастает.В промежутке 1<x<3 y′<0 – функция убывает.





При переходе через точку x=1 производная меняет знак с «+» на «-». Значит, ymax=y(1)=1.При переходе через точку x=3 производная меняет знак с «-» на «+». Значит, ymin=y(3)=-3.VI. y′′=6x – 126x – 12=0, x=2В промежутке -∞<x<2 y′′<0 – кривая выпукла вверх.В промежутке 2<x<+∞ y′′>0 – кривая выпукла вниз.(2;-1) – точка перегиба.VII. Строим искомый график с помощью полученных данных.




Пример 2.Построить график функции y=x³ - 6x² + 9x – 3.D(y)=(-∞<x<3)⋂(3<x<+∞)Ни четная, ни нечетная, не периодическая.x=0, y=0 – график проходит через начало координат.x=3 – вертикальная асимптота. .





Производная y′=0 в точках x=0 и x=6 и терпит разрыв при x=3. Рассмотрим четыре промежутка: -∞<x<0, 0<x<3, 3<x<6, 6<x<+∞.y′>0 при -∞<x<0 и 6<x<+∞ - функция возрастает.y′<0 при 0<x<3 и 3<x<6 – функция убывает.При переходе через точку x=0 производная меняет знак с «+» на «-», т.е. ymax=y(0)=0.При переходе через точку x=6 производная меняет знак с «-» на «+», т.е. ymin=y(6)=12.VI. y′′ терпит разрыв при x=3.При -∞<x<3 y′′<0 – кривая выпукла вверх.При 3<x<+∞ y′′>0 –выпукла вниз. Точек перегиба нет.





VII. Строим график функции.