Методическое пособие для преподавателей СПО

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИГОУ СПО «Мариинский многопрофильный техникум»Учебно-методическое обеспечение специальности техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта:решение практико-ориентированных задач «Решение задач специальных дисциплин математическими методами»Методическое пособие для преподавателей СПОАвтор: Захарова Галина Михайловна, преподаватель математики, ПОЧЁТНЫЙ РАБОТНИК СПО МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Данное пособие принимало участие в международном конкурсе и двух всероссийских конкурсах Аннотация Данное методическое пособие рекомендовано преподавателям математики СПО для формирования ценностного отношения к математическим знаниям как необходимому средству будущей профессиональной успешности студентов. Если в процессе обучения математике использовать профессионально направленные математические задачи, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки студентов: - повышению качества базовых знаний по математике; - развитию умений и навыков, в том числе, навыков математического моделирования, необходимых для изучения специальных дисциплин, а также для будущей профессиональной деятельности; -формированию устойчивой мотивации изучения математики. Содержание Методика работы с пособием……………..7Введение……………………………………………8-12Основное содержание по разделам Развитие понятия числа…………………………….13 Корни, степени и логарифмы………………………18 Уравнения………………………………………………….22 Основы тригонометрии……………………………..27 Начала математического анализа………………..32 Измерения в геометрии………………………………37 Заключение……………………………………….42Список используемых материалов.………43 Методика работы с данным пособием В начале изучения того или иного раздела проводим беседу, что материал, который будем изучать, необходимо знать не только для решения математических задач, но и для решения задач специальных дисциплин и для решения профессионально – ориентированных задач.2. Записываем условия предложенных в данном разделе профессионально- ориентированных задач в специальной тетради.После изучения соответствующей темы приступаем к составлению математической модели данной из этой темы профессионально - ориентированной задачи.4. Решаем задачу с подробным объяснением, используя презентацию методического пособия.5. Записываем полученный ответ.6. Ещё раз подчёркиваем необходимость использования изучаемых математических методов в решении тех или иных профессионально направленных задач. «Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» Леонардо да Винчи Представьте себе, что учёному – математику однажды задали вопрос: «Какие математические задачи особенно важны?» Что ответит математик? Наверное, он подумает, а потом скажет: «Очень много задач ставит жизнь перед математикой, и они настолько разнообразны, что вряд ли можно придумать что-либо разнообразнее. Одни задачи светят как светлячки, а другие горят как яркие звёзды. Очень богат и разнообразен мир задач. Красота, богатство и разнообразие его постоянно растут». Выделить из всех задач наиболее важные трудно. Нет таких весов, на которых можно было бы взвесить важность математических задач. Введение В нашем техникуме на отделении «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта» (далее ТОРА) математика изучается в основном на I курсе (282 часа) и 64 часа на её изучение отводится на II курсе. Вместе с тем, начиная со II курса, студенты приступают к изучению специальных дисциплин профессионального цикла: техническая механика, электротехника, материаловедение, устройство автомобилей, автомобильные двигатели, ТО (техническое обслуживание автомобилей), ремонт автомобилей, основы гидравлики и теплотехники, автомобильные перевозки, основы экономики… Подробное изучение и анализ учебных планов, программ по математике, учебников, показал незначительную ориентированность на будущую специальность, в их содержании не указывается на необходимость использования изучаемых математических методов в решении тех или иных профессионально направленных задач. В силу достаточно высокой степени абстрактности своего понятийного аппарата математика является для многих студентов трудной дисциплиной. Кроме того, почти отсутствует мотивация к её изучению. Изменения, происходящие в последние годы в жизни страны и всего мирового сообщества, динамичное развитие науки и техники, информационных технологий, обществом и производством ставятся перед нами новые задачи. Они определены в национальном проекте «Образование», в проекте «Образование 2020» и в новых Федеральных государственных образовательных стандартах третьего поколения. В связи с этим возникает вопрос: « Как усилить мотивацию изучения математики? Как абстрактную дисциплину связать с будущей профессией механика?» Таким образом, цель моей работы: Подобрать серию профессионально -ориентированных задач из учебников специальных дисциплин к определённым разделам математики и решить их, используя математические методы. Предлагаю вашему вниманию серию профессионально - ориентированных задач для студентов первого курса, которые можно решать при изучении определённых разделов математики. Основная идея методики их решения заключается в математическом моделировании, которое предполагает четкий план действий. Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо составить математическую модель, т.е. просто перевести условие задачи из текста в формулы.Подбирая серию профессионально - ориентированных задач я, прежде всего, руководствовалась принципом: от простого к сложному. Раздел математики «Развитие понятия числа» Основное содержание. Целые и рациональные числа и действия над ними, запись числа в стандартном виде, действия над приближёнными значениями чисел с применением правил округления, приближённые вычисления с помощью калькулятора Дисциплина «Техническое обслуживание автомобилей»Задача 1. Найдите длину заготовки из которой необходимо изготовить четыре обода диаметром 70 см, учитывая, что на сварку концов одной шины необходимо добавить 5 см. Решение.1. 70 см = 0,7 м; 5 см = 0,05 м. 2. составим формулу длины окружности четырёх шин : С = ( πd + 0,05)*4 – математическая модель готова.3. Подставим необходимые значения и с помощью калькулятора сделаем расчёт: С = (3,14*0,7 + 0,05)*4; С = 8,992 ≈9 м Дисциплина «Электротехника» Задача 2. На нагревательном элементе в течение 0,5 часа работы выделилось 550 ккал теплоты. Определить сопротивление элемента, потребляемый им ток, его мощность и затрачиваемую энергию при напряжении U = 220В. Решение.1. 550 ккал = 5,50 Ч 10⁵ кал; 0,5 ч = 1800 с = 1,8Ч 10і2. Составим математическую модель: Воспользуемся законом Джоуля – Ленца и найдём потребляемый ток: Определим сопротивление нагревателя:Вычислим мощность нагревателя: Найдём потребляемую энергию за данное время работы: Дисциплина «Техническая механика» Задача 3.Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластины, форма и размеры которой показаны на рисунке. у х 0 75 75 300 с 200 80 1 2 Решение.1. Составим 6 основных пунктов математической модели:Пластина имеет осевую симметрию, которую совместим с осью ОУ, а ось ОХ совместим с основанием пластины.Представим, что пластина составлена из 2-х прямоугольников: 1-со сторонами 200Ч300 мм и 2-со сторонами (300-2Ч75)Ч(200-80) мм=150Ч120 мм. Но т.к. второй прямоугольник вырезан из первого, его площадь необходимо считать отрицательной. Центры тяжести С₁ и С₂ прямоугольников 1 и 2 лежат на оси ОУ и их положение определяется пересечением диагоналей прямоугольника. Определим площадь и координаты центра тяжести первого прямоугольника:Определим площадь и координаты центра тяжести второго прямоугольника:Для нахождения координат центра тяжести пластины воспользуемся формулами: Запишем ответ: С(0; 82,8). Раздел математики « Корни, степени и логарифмы» Основное содержание. Действия с корнями. Степени с рациональными и действительными показателями, их свойства. Преобразование показательных выражений. Логарифмы и их вычисления с помощью МК.Дисциплина «Электротехника»Задача 1. Металлообрабатывающий автомат приводится во вращение двигателем постоянного тока возбуждения. Напряжение питания двигателя U=220B . График изменения тока в двигателе задан в таблице :Определить : 1. эквивалентный ток двигателя; 2. эквивалентную мощность двигателя. Решение.Определяем эквивалентный ток двигателя:Находим эквивалентную мощность двигателя:Дисциплина «Автомобильные перевозки»Задача 2. Радиус кривой на внутренней стороне дороги R = 180 м, Стрела выпуклости Х = 300 мм. Движение автомобилей происходит по дороге II категории. Ф-коэффициентсцепления, равный 0,3, n = 2 – число полос движения, в=3,75 м – ширина полосы движения. Определить допустимую скорость движения автомобилей на данном участке для установки знака «Ограничение максимальной скорости». Решение.Математическая модель решения данной задачисостоит из двух формул: - нахождение поперечного уклона проезжей части и -нахождение допустимой скорости движения на участке.В каждую из формул подставляем необходимые значения из условия задачи и отвечаем на вопрос. Ответ: на данном участке должен быть установлен знак, ограничивающий максимальную скорость до 60 км/ч. Задача 3Азот сжимается адиобатически от давления МПадо давления МПа. Начальная температура К.Определить конечную температуру и работу, затраченнуюна сжатие m=10 кг газа. Газовая постоянная азота Дж/(кгК). Решение.Для составления математической модели воспользуемся формулами: и ,где k-показатель адиабаты в адиабатическом процессе, для азота k=1,4. Сначала определим конечную температуру: Дисциплина «Основы гидравлики и теплотехники» Теперь определим работу на сжатие: Раздел математики «Уравнения»Основное содержание. Способы решения линейных, квадратных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.Профессионально-ориентированная задача 1 АЗС «Сибнефть» для автоколонны мариинского ПАТП – 2036 было отпущено 3,915 т горючего, причём летнего дизельного топлива отпустили в 2 раза больше, чем зимнего; бензина марки А-80 – в 3 раза больше, чем летнего дизельного топлива; масла моторного 5w30– в 2 раза больше, чем А-80; бензина марки АИ-92 в 4 раза больше, летнего дизельного топлива. Рассчитать, на какую сумму было закуплено горючего, если стоимость 1 кг А-80 – 18,6 руб., ДТ летнего – 21,36 руб., ДТ зимнего – 20,63 руб., АИ-92 – 22,1 руб. и масла моторного 5w30 – 250 руб.? Решение.Математическая модель : 1. составить уравнение; 2. решить полученное линейное уравнение; 3. сделать расчёт стоимости всего закупленного горючего. х – количество ДТ летнего, тогда Ѕх – ДТ зимнего, а бензина марки А-80 – 3х, масла моторного 5w30 – 6х и АИ-92 – 4х. Составим уравнение: х + Ѕх + 3х + 6х + 4х = 3,915; 14,5х = 3,915; х = 0,27т – ДТ летнего; Ѕх =0,135т – ДТ зимнего; 3х = 0,810т – А-80; 6х = 1,62т - масла моторного 5w30; 4х = 1,08т –АИ-92. Рассчитаем стоимость: 1. 21,36*270=5767,2руб.; 2. 20,63*135=2785,05руб.; 3. 18,6*810=15066руб.; 4. 250*1620=405000руб.; 5. 22,1*1080=23868руб.. Ответ: 452486,25руб Дисциплина «Материаловедение»Задача 2.Определить коэффициент [ у ] продольной подачи при обработке отливки из серого чугуна на токарном станке, если сила резания 1311N, глубина резания 2мм, а постоянные коэффициенты выбраны по справочнику «Режим резания»: с = 98; х = 1; Кm = 1; S = 0,6. Решение.Сила резания вычисляется по формуле: Выполним необходимые преобразования:Чтобы найти у, необходимо решить полученное показательное уравнение: Ответ: коэффициент продольной подачи у = 0,8. Дисциплина «Основы гидравлики и теплотехники»Задача 3.Какое давление воздуха необходимо создать на входе в сопло, чтобы скорость истечения была равна 80 м/с. Давление на выходе р = 0,1 Мпа, начальная скорость v = 5м/с, начальная температура Т = 420К. Потерями пренебречь, т.е. коэффициент скорости ψ = 1. Газовая постоянная воздухаR = 287 Дж/(кгК). Решение.Для нахождения давления на входе воспользуемся уравнением скорости истечения: Чтобы найти р₂, необходимо преобразовать данное иррациональное уравнение: В полученную формулу подставим данные задачи и вычислим: Ответ: 0,1035 МПа – давление воздуха на входе в сопло. Раздел математики «Основы тригонометрии»Основное содержание. Тригонометрические функции числового аргумента и их основные свойства. Основные тригонометрические тождества и формулы. Вычисление значения тригонометрических функций с заданной степенью точности.Дисциплина «Теория автомобиля»Задача 1.Найти предельный угол подъёма, преодолеваемого автомобилем при и (асфальтобетонное покрытие), где D – динамический фактор, f- коэффициент сопротивления качению.Решение.Математическая модель решения данной задачи состоит из формулы: Т.к. , то предельный угол Ответ: 22,5° - предельный угол подъёма.Дисциплина «Техническая механика» Задача 2. Шарик А массой m=0,2 кг на нити АВ длиной l = 0,5 м вращается равномерно в горизонтальной плоскости так, что нить образует коническую поверхность, наклоненную к горизонту под углом α = 30°. Определить натяжение нити и скорость шарика. Решение.Сначала сделаем чертёж: В О v G R A Рис. а Рис. б с Смоделируем решение по следующим пунктам:Материальная точка А движется равномерно по окружности радиуса АО = r= l cosα; следовательно, ускорение точки направлено от А к О (рис.а). На точку А действуют: активная сила тяжести G = mg, направленная вертикально вниз, и реакция нити R, направленная вдоль нити от А к В.Добавим к этим силам силу инерции , направив её по ОАв сторону, противоположную ускорению . Тогда, согласно принципу Даламбера, , т.е. при любом положении точки А на траектории эти три силы образуют Замкнутый Δ авс (рис.б), где ab = G, bc = R, ca = F , 4. Из Δ abc находим: Из формулы имея в виду, что ,находим скорость точки:Таким образом, нить натянута с силой 3,92 Н и скорость движения точки 2,72 м/с.Дисциплина «Электротехника»Задача 3.В двух параллельно включённых приёмниках проходят токи: Определить амплитудное значение и начальную фазу токав неразветвлённой цепи и записать выражение для мгновенного значения этого тока. Составим математическую модель аналитического решения данной задачи.Сначала найдём амплитуду тока:Теперь найдём начальную фазу искомого тока: Наконец, запишем выражение для мгновенного значения тока: Раздел математики «Начала математического анализа»Основное содержание. Понятие о пределе последовательности и функции. Производная, её физический и геометрический смысл. Примеры использования производной для решения прикладных задач. Неопределённый и определённый интеграл. Приложение определённого интеграла к решению задач.Дисциплина «Основы экономики»Задача 1. Пусть - функция спроса потребителей у на запчасти первой необходимости к автомобилю ВАЗ - 2114 в зависимости от дохода х. Каково предельное значение спроса на данные запчасти при неограниченном увеличении дохода РешениеМатематическая модель решения данной задачи проста:необходимо вычислить предел данной функции при ХОтвет: спрос полностью удовлетворяется полученным показателем =10 даже при неограниченном росте дохода потребителя.Профессионально – ориентированная задача 2В проекте строительства автомобильного гаража предусмотрено окно, имеющее форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр фигуры окна равен 6 м. Необходимо рассчитать, каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало максимум света? Решение.Необходимо сделать чертёж:Составим математическую модель решения задачи:обозначим AD = X;длина полуокружностивысота окнаплощадь окна равна Полученную площадь примем за функцию и исследуем на максимум с помощью первой и второй производной: m A B C D откуда Т.к. S”< 0, значит, при площадь окна будет наибольшей. Следовательно, ширина окна должна бытьравной ≈ 1,68 м; высота–1,32 м; радиус полуокружности- 0,84 м.Дисциплина «Техническая механика» Задача 3. Сила в 1 кг растягивает пружину на 3 см. Рассчитать, какую работу она при этом производит? Решение. По закону Гука сила пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т.е. F = kx, где x – величина растяжения пружины, k – коэффициент пропорциональности. Чтобы найти значение k, подставим данные величины в уравнение, выражающее закон Гука: и получим Теперь выразим силу, растягивающую нашу пружину: Т.к. сила начинает действовать на пружину, находящуюся в состоянии покоя, то нижний предел интеграла а = 0, верхний предел в = 0,03.Находим работу по формуле: кГм.Ответ: 0,015 кГм - работа, совершаемая при растяжении пружины. Раздел математики « Измерения в геометрии»Основное содержание. Объём и его измерение. Формулы объёма параллелепипеда, цилиндра, пирамиды, конуса, шара.Профессионально- ориентированная задача 1Определить объём электролита, необходимого для заправки аккумулятора 6СТ-55, если внутренние размеры бака: длина а =210 мм ширина в =150 мм , высота заполнения электролитом h = 110 мм , а объём, занимаемый пластинами составляет 35% от общего заполнения.Решение.Математическая модель: 1.Запишем формулу объёма прямоугольного параллелепипеда, подставим данные задачи и вычислим внутренний объём заполнения аккумулятора: 2. Найдём объём V₁, занимаемый пластинами, т. е. 35% от V3. V₂ - объём, занимаемый электролитом:Профессионально – ориентированная задача 2.Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 3 м и образующая – 5 м. Сколько рейсов необходимо сделать трём самосвалам марки «Камаз 5511» грузоподъёмностью 8 т каждый, чтобы перевезти щебень, уложенный в пяти таких кучах? 1 мі щебня весит 0,9 т. Решение.Запишем формулу объёма конуса:Чтобы рассчитать объём, необходимо найти высоту кучи щебня по теореме Пифагора:Таким образом, . 333 h 5 3 Определим, сколько тонн щебня содержится в пяти кучах: 0,9 Ч 188,4 = 169,56 ≈ 170( т).Наконец, ответим на вопрос задачи : 170 : 24 =7,08 ≈ 7 ( рейсов)Ответ: чтобы перевезти данное количество щебня, трём самосвалам необходимо сделать по 7 рейсов. Дисциплина «Автомобильные двигатели»Задача 3. Произвести тепловой расчёт четырёхтактного карбюраторного двигателя, предназначенного для установки на шасси легкового автомобиля. По условиям эксплуатации автомобиля необходимо, чтобы двигатель развивал эффективную мощность при числе оборотов коленчатого вала n= 5500 в минуту; число цилиндров I = 4; степень сжатия ε = 8; коэффициент избытка воздуха α = 0,9. Топливо – бензин А-80, имеющий следующий элементарный состав С = 0,855 и Н = 0,145; теплота сгорания топлива ср. эффект. давление Решение.Математическая модель решения данной задачи состоит из следующих пунктов:Воспользуемся уравнением величины эффективной мощности для нахождения рабочего объёма двигателя:2. Рабочий объём одного цилиндра:3. Примем, что где S – ход поршня, D-диаметр цилиндра, тогда 4. Найдём диаметр цилиндра: 5.Определим, чему равен ход поршня:6. Используя полученные данные, сделаем перерасчёт рабочего объёма цилиндра:7. Вычислим рабочий объём двигателя:8. Далее рассчитаем: а). среднюю скорость поршня: б). литровую мощность: или в). Часовой ход топлива на номинальном режиме:Примечание: отдельные исходные данные взяты из таблицырасчётов отдельных величин. ЗаключениеЦель выполнения работы по теме: «Решение задач специальных дисциплин математическими методами» на первый взгляд мне показалась простой. Я предполагала, что сложность будет заключаться в составлении математической модели решения, потому что необходимо применять не только знания математики, но и отличное знание той дисциплины, задачу которой предстояло решить. Однако, приступив к выполнению работы, я пришла к выводу, что основная сложность достижения поставленной цели заключается в подборе серии профессионально – ориентированных задач к определённым разделам математики. Именно этот момент вызвал у меня особый интерес к выполнению данной работы.Я, как преподаватель математики, много лет работающий на отделении ТОРА, считаю данное методическое пособие актуальным, потому что оно окажет помощь моим коллегам в формировании у студентов устойчивой мотивации изучения математики. Список используемых материаловНациональный проект «Образование»Проект «Образование 2020»ФГОСН.В. Богомолов, П.И. Самойленко. Математика: учебник для ссузов. – 3-е издание. М.:Дрофа, 2005Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике: учебное пособие для ссузов. М. «Высшая школа», 1990Т.Ф. Берёзкина. Задачник по общей электротехнике с основами электроники: учебное пособие для техникумов. М. «Высшая школа», 1983А.И. Аркуша. Техническая механика: учебник для машиностроительных специальностей техникумов. М. «Высшая школа», 1989М.С. Ховах. Автомобильные двигатели: учебник для автомобильно-дорожных техникумов. М. «Машиностроение»,1971А.Н. Обливин. Основы гидравлики и теплотехники: учебник для лесотехнических техникумов. М. «Лесная промышленность», 1988Б.Л. Тростянецкий. Автомобильные перевозки: задачник для автотранспортных техникумов. М. «Транспорт»,1988Интернет-ресурсы