Презинтация по математику на тему Тройной интеграл (студентов ВУЗа)

Тема: Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ ПЛАН: Задача, приводящая к понятию тройного интегралаОпределение и свойства тройного интегралаСвойства тройного интегралаВычисление тройного интегралаЗамена переменных в тройном интегралеГеометрические и физические приложения тройных интегралов 1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Пусть (V) – замкнутая ограниченная область в Oxyz (тело),  = (x,y,z) – плотность распределения массы в области (V)ЗАДАЧА. Найти массу m тела (V).1.Разобьем (V) на n частей (ΔV1), (ΔV2), … , (ΔVn).2.Если (ΔVi) – мала, то (ΔVi) можно считать однородной и ее масса mi ≈ (Pi) · ΔVi, где ΔVi – объем (ΔVi), Pi – произвольная точка из (ΔVi) .Тогда 2. Определение и свойства тройного интеграла Пусть (V) – кубируемая (т.е. имеющая объем) область в пространстве Oxyz, и в области (V) задана функция u = f(x,y,z).1.Разобьем область (V) произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (ΔV1), (ΔV2), … , (ΔVn).2.В каждой области (ΔVi) выберем произвольную точку Pi(ξi;ηiζi) и вычислим произведение f(Pi) · ΔVi, где ΔVi – площадь области (ΔVi). Сумму назовем интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области (V) (соответствующей данному разбиению области (V) и данному выбору точек Pi). Пусть di – диаметр (ΔVi) , ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функция f(x,y,z) интегрируема в области (V), то она ограничена в этой области.ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия существования тройного интеграла). Если 1) область (V) – кубируемая, 2)функция f(x,y,z) ограничена в области (V) и непрерывна всюду за исключением некоторого множества точек объема нуль, то f(x,y,z) интегрируема в области (V) . Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью G, удовлетворяет условиям: 1) всякая прямая, параллельная оси Oz, проведённая через внутреннюю точку области V, пересекает поверхность G в двух точках; 2) вся область V проектируется на плоскость Oxy в правильную область D. Тогда область V мы будем называть правильной трёхмерной областью. 3. СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла, т.е. 3. Тройной интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме тройных интегралов от этих функций, т.е. 4.Если область интегрирования (V) разбита на две части (V1) и (V2), не имеющие общих внутренних точек, то (свойство аддитивности тройного интеграла). 4. Вычисление тройного интеграла Назовем область (V) правильной в направлении оси Oz, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области (V) параллельно оси Oz пересекает границу области в двух точках, причем, каждая из пересекаемых границ задается только одним уравнением. ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x,y,z) интегрируема в области (V). Если область (V) – правильная в направлении оси Oz, то где z=f1(x,y) , z=f2(x,y) – уравнения нижней и верхней границ области (V) соответственно, (σ) – проекция области (V) на плоскость xOy.Интеграл называют повторным и записывают в виде Интеграл называют внутренним . Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то тройной интеграл по такой области вычисляют по формуле = Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостями x=0, y=0, z=0. Решение. 5. Замена переменных в тройном интеграле Пусть (V) – замкнутая кубируемая область в пространстве Oxyz, f(x,y,z) – непрерывна в области (V) всюду, кроме, может быть, некоторого множества точек, объема нуль. Тогда существует интеграл Введем новые переменные по формулам: x = φ(u,v,w), y = ψ(u,v,w), z = χ(u,v,w), (u,v,w)∈(G)(1)ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация (1): отображение области (G) пространства Cuvw на некоторую область пространства Oxyz . Пусть функции φ(u,v,w), ψ(u,v,w), χ(u,v,w) такие, что (1) является отображением области (G) на область (V) (т.е. если точка (u,v,w) пробегает область (G) , то соответствующая ей точка (x,y,z) пробегает область (V) ) . Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а)отображение (1) взаимно однозначно в замкнутой кубируемой области (G) (т.е. различным точкам области (G) соответствуют различные точки области (V));б)функции φ(u,v,w), ψ(u,v,w), χ(u,v,w) имеют в области (G) непрерывные частные производные первого порядка; Формулу (2) называют формулой замены переменных в тройном интеграле, определитель I(u,v,w) называют якобианом отображения (1). Два наиболее часто встречающихся случая замены переменных в тройном интеграле:1) x = rcosφ , y = rsinφ , z = z , где 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ φ < 2π (– π <φ ≤ π ) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: переход в пространстве к цилиндрическим координатам В этом случае I(r,φ,z) = r 1) x = ρ·cosφ·sinθ , y = ρ·sinφ·sinθ, z = ρ·cosθ где 0 ≤ ρ < +∞ , 0 ≤ φ < 2π (– π <φ ≤ π ) , 0 ≤ θ ≤ πГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: переход в пространстве к сферическим координатам В этом случае I(ρ,φ, θ) = ρ2 · sinθ 6. Геометрические и физические приложения тройных интегралов Пусть (V) – материальное тело (кубируемая область (V)∊Oxyz) с плотностью γ(x,y,z) . Тогда 1) Объем V кубируемого тела (V)∊ Oxyz: Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координат) имеет вид: Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах: 3)Статические моменты тела (V) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны соответственно: 5)Моменты инерции тела (V) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно: Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями Решение Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и снизу. Очевидно, это y=1. Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом (внутри параболоида). Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим Список использованной литературы: 1. Г. М. Фихтенгольц. Математический анализ. 3 том. 308 с.2. В. А. Зорич. Москва. 2002 г. Математический анализ.3. К.Н.Лунгу. Д.Т.Письменный. С.Н.Федин. Ю.А.Шевченко. Москва. 2008 г. Сборник задач по высшей математике.4. Г.Н.Берман. Москва. Сборник задач по курсу математического анализа.5. П.П.Коровкин. Москва. Математический анализ.