Методика обучения составлению задач по аналогии с решённой.

Методика обучения составлению задач по аналогии с решённой.
Решение уравнений и задач пропедавтически рассматривается уже при изучении первых разделов алгебры. Даже на первом этапе полезно сочетать решение задач с составлением их. Приведём несколько примеров, опираясь на книгу [13].
Сложение и вычитание одночленов.
Пусть решена задача:
Сумма углов треугольника равна 180º. Величины углов относятся как 3, 4, и 5. Найти углы треугольника.
Решение:
После решения этой задачи учитель предлагает составить аналогичную задачу, скажем, о сумме углов четырёхугольника.
Ученик составляет примерно следующую задачу:
Сумма углов четырёхугольника равна 360º. Величины углов относятся как 3, 4, 5 и 6. Найти углы четырёхугольника.
Решение:
Ответ: 60º, 80º, 100º, 120º.
Следует иметь в виду, что при составлении задач по аналогии иногда может случиться, что формально вычисленный ответ не будет иметь реального смысла. Поэтому учащиеся должны проверять ответы, найденные при решении составленных ими задач. Так, например, если при составлении предыдущей задачи было намечено, чтобы углы четырёхугольника относились как 3, 4, 5, 12, то последний угол окажется равным 180º, чего быть не может, ибо четырёхугольника с углом, равным 180º, не существует.
Сложение и вычитание многочленов.
Пусть решена задача:
В трёх школах 1300 учеников. Во второй школе вдвое больше учеников, чем в первой, а в третьей на 100 меньше, чем во второй. Сколько учеников в каждой школе?
Решение:
Далее учитель предлагает составить аналогичную задачу, скажем, про жителей трёх сёл.
Следует пояснить, что составление задачи к произвольно взятому уравнению не всегда приводит к цели.
Так, например, задача, сводящаяся к наобум придуманному уравнению:
,
Не имеет решения (), если только по смыслу условия задачи должен быть целым числом (Например, количество рабочих или учеников, количество парт и тому подобное)
Поэтому надо показать иную, более целесообразную последовательность логических операций при составлении задачи, когда этот процесс начинается с заранее намечаемого числового тождества.
Нам надо составить задачу, сводящуюся к уравнению вида:

Пусть х=400.
Напишем новое числовое тождество, помня, что в уравнении речь пойдёт о числе учащихся в школах:
. (Т)
Данное числовое тождество заменим уравнением:
. (У)
И, наконец, придумываем к этому уравнению соответствующее условие задачи (З), например:
В посёлке имеется 3 школы. Во второй школе учеников в 3 раза больше, чем в первой, а в третьей школе на 300 учеников меньше, чем во второй. В трёх школах учится 2500 учеников. Сколько учеников в каждой школе?
Ответ: в школах было 400, 1200, 900 учащихся.
Таким образом, обучение учащихся составлению задач должно совершаться по схеме:
«тождество→ уравнение→ задача» (Т→У→З)
Формулы сокращённого умножения.
Пусть решена задача:
Каждую сторону квадрата увеличили на 2м, отчего площадь квадрата увеличилась на 56м². Чему была равна сторона квадрата вначале?
Решение:

Учитель может предложить учащимся составить подобную, но видоизменённую задачу, указав, что в решённой задаче использовано увеличение площади квадрата, а надо составить задачу, в которой должно быть использовано уменьшение площади в зависимости от уменьшения стороны квадрата.
Такое задание ученик выполняет в три приёма:
1)Намечает сторону квадрата (пусть у=30м) и допускает, что сторону следует уменьшить на 7м.
Составляет тождество
30²-(30-7)²=900-23²=371.
2)Преобразует его в уравнение
у² -(у-7)²=371
3)Устно формирует условие задачи:
Каждую сторону квадрата уменьшим на 7м, отчего площадь квадрата уменьшилась на 371 квадратный метр. Какова была сторона квадрата в начале?
Алгебраические дроби.
Пусть решена задача:
Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А в пункт В.Первый проезжает в час 15 км, второй – 12 км, и поэтому первый приехал в пункт В на 1,5 часа раньше второго. Найти расстояние от А до В.
Решение:

Составляя аналогичную задачу, удобнее идти тем же путем в три этапа:
1. Выбрать знаменателями дробей, скажем, числа 10 и 12. Выбрать число, кратное и 10 и 12, например 180.
Составить числовое тождество .
2. Заменить в тождестве число 180 буквой х, преобразовав тождество в уравнение: .
Придумать соответствующее условие, например:
По плану бригада должна обрабатывать в день 10 га посевов. Фактически она обрабатывала в день 12 га и поэтому выполнила плановое задание на 3 дня раньше срока. Определить площадь посевов.
После изучения квадратных уравнений весьма интересно выполнять сдвоенные задачи по «превращению» одного и того же числового тождества в уравнения, приводящиеся к линейному – в одном случае, к квадратному – в другом случае.
Пусть мы составим следующее числовое тождество:
.
Напишем пояснение к составленному тождеству:
Купим на 3 рубля 60 копеек яблок по 60 копеек за килограмм и на 2 рубля 40 копеек груш по 80 копеек за килограмм.
Всего куплено 6+3=9 (кг) фруктов. Остаётся придумать вопросы задачи.
Сравним теперь числители разностным сравнением:

Приходим к следующему уравнению:
.
Соответствующая задача такова:
Купили 9 кг. яблок и груш. 1 кг яблок стоит 60 копеек; 1кг груш – 80 копеек. Известно, что за яблоки уплачено на 1 рубль 20 копеек больше, чем за груши. Сколько уплатили за яблоки и груши в отдельности?
Решение данной задачи приведёт к линейному уравнению.
Если же оставим числители дробей в роли известных чисел для задачи, связав знаменатели разностным сравнением, то получим:

Получаем следующее уравнение:

Учащиеся формулируют условия новой задачи:
Купили 9 кг яблок и груш. За яблоки уплачено 3 рубля 60 копеек и за груши 2 рубля 40 копеек. Найти цены килограмма яблок и килограмма груш, если килограмм яблок дешевле килограмма груш на 20 копеек.
Решение данной задачи приводится к составлению квадратного уравнения.
Приведём пример ещё одной задачи, которая также решается с помощью уравнения с дробными членами.
Составление аналогичной задачи ученик выполняет следующим образом:
1. Выбирает ситуацию.
Пусть, например, задача будет составлена на сравнение купленной материи.
Подбирает цену шёлковой и шерстяной материи: 1 метр шёлковой ткани стоит 8 рублей; 1 метр шерстяной материи стоит 12 рублей. Пусть для мастерской куплено по 100 метров материи того и другого сорта и заплачено 8×100=800 рублей; 12×100=1200 рублей. Составляет далее равенство из двух дробей (то есть приравнивает количества купленной материи):.
2. Заменяет числовое тождество уравнением, причём здесь возможны различные варианты замены.
Следуя решённой задаче, можно за неизвестное х принять 8 (х=8), тогда 12=20-8=20-х
Получается уравнение:

Задача имеет условие:
1метр шерстяной и 1метр шёлковой материи стоят вместе 20 рублей зная, что на 800 рублей можно купить столько же метров шелковой материи, сколько можно купить шерстяной материи на 1200 рублей, определить цену шерстяной и шёлковой материи.
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Составим 2 числовые последовательности. Для получения очередного члена последовательности: в первом случае к предыдущему её члену будем прибавлять одно и тоже число («разность» арифметической прогрессии), а во втором – предыдущий член последовательности будем умножать на одно и то же число («знаменатель» геометрической прогрессии); получаемые таким образом числа запишем в двух параллельных столбцах:
Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия
(первый член) (первый член)
(разность прогрессии) (знаменатель прогрессии)
(второй член) (второй член)
(третий член) (третий член)

Арифметической (геометрической прогрессией) называется такой ряд чисел, в котором последующий член равен предыдущему:

Бросаются в глаза следующие сходства в структуре пар формул.
1. В формуле общего члена арифметической прогрессии после а1 идёт знак сложения (+); в формуле общего члена геометрической прогрессии после в1 идёт знак умножения (×).
2. Если в первом случае разность прогрессии (d) умножается на число (n-1), то во втором случае знаменатель прогрессии (q) возводится в степень (n-1).
Указанная аналогия, проявляется в формулах суммы n-первых членов арифметической прогрессии (соответственно произведению n-первых членов геометрической прогрессии).
-
Мы видим, кодом перехода от первого ряда ко второму служат соответственно пары понятий: сложение – умножение; умножение – возведение в степень.
Аналогия результатов улавливается в формулировке правил:
Сумма n членов арифметической Произведение n-членов
прогрессии равна сумме крайних геометрической прогрессии равно
членов, умноженной на “n-пополам”. произведению крайних членов,
возведённому в “n-пополам”.
Для современной практики обучения актуально звучит призыв использовать резервы визуального мышления для ускоренного и осознанного усвоения знаний.
Пусть требуется вычислить сумму бесконечного числа уменьшающихся определённым образом дробей:

Геометрическая прогрессия изучается в старших классах, однако удачный рисунок убеждает даже четвероклассников, что сумма эта, несомненно, стремиться к 1.
















Здесь кинематографический эффект тающего на глазах чёрного остаточного прямоугольника несравним по своей убедительности ни с каким формально-логическим доказательством для интуитивного постижения сущности таких сложных абстракций, как «предел, равный нулю», «бесконечно малая величина», «бесконечное число членов» и так далее.
Аналогия уравнений.
Вспомним уравнение прямой, проходящей через 2 точки и

.
y


.
.

0
x
t
(1)
Перепишем уравнение (1) в следующем виде:
(2)
Уравнение (2) удобно для доказательства. В самом деле, из этого уравнения легко получить следующие 2 соотношения:

Итак, через любые две точки можно провести прямую и притом единственную.
Теперь попытаемся обобщить уравнение (2) с полинома первой степени (прямой) на полином второй степени (квадратную параболу).
Пусть требуется написать уравнение параболы вида , которая определяется тремя данными точками: , ,
Так мы приходим к следующей записи полинома второй степени, удовлетворяющего трём условиям: .
(3)
Это функция второй степени относительно x, значит, она соответствует конкретной параболе , ось симметрии которой параллельна оси Оy.
Итак, имеем через любые три точки можно провести параболу, притом единственную.



. .




Пусть требуется написать уравнение квадратной параболы, проходящей через три точки:
, ,
В самом деле:
.
Раскрыв скобки и упростив выражение, получим квадратный трёхчлен: , график которого действительно проходит через указанные три точки.
Скажем, кубическую параболу вида , определяемую четырьмя точками, можно представить в виде суммы четырёх слагаемых вида:

, причём , и т. п.
В аналогичном виде можно представить уравнение полинома n-ой степени относительно x, график которого проходит через заданные (n+1) точек.