Урок математики по теме Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе.
Тема: «Вычисление углов между прямыми и плоскостями».
Тип урока: урок повторения и обобщения пройденного материала.
Цели урока: 1)обучающие:
-формировать у учащихся умения применять метод координат при решении задач;
-формировать умения самостоятельно выводить формулу для вычисления угла между прямыми;
2)развивающие:
-развивать у учащихся логическое мышление;
- развивать умение строить доказательство по аналогии с доказанным ранее;
- развивать навыки исследовательской деятельности;
3)воспитательные:
-воспитывать у учащихся такие качества, как аккуратность, самоконтроль, трудолюбие.
Цели: сегодня на уроке мы будем применять метод координат для нахождения угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью. Кроме этого выведем формулу, с помощью которой можно вычислить угол между плоскостями и применим её при решении задачи.
43243507969251 На предыдущем уроке мы вывели формулы, позволяющие находить угол между прямыми и между прямой и плоскостью. Давайте теперь рассмотрим задачи, при решении которых удобно применять метод координат
1.В правильной треугольной призме, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
К доске идёт ______. Он запишет данные. В чём заключается первый этап решения задачи методом координат? Необходимо ввести систему координат.
В своих тетрадях введите систему координат. К доске идёт ____ Как ты будешь вводить систему координат? Так, что одна из сторон основания лежит на оси ординат, причём начало координат является вершиной призмы, третья вершина лежит в плоскости Оху
-Какая фигура лежит в основании этой призмы? Поясни. -Как изобразить равносторонний треугольник?
-Выполните рисунок. -Равносторонний треугольник. (Призма является правильной, значит в её основании правильный многоугольник)
-Высота треугольника параллельно оси Ох
-Ученик готовит чертёж.
Как вы думаете, систему координат можно ввести только таким образом? Нет, можно ввести так, что одна из сторон основания лежит на одной из осей, а высота, проведённая к этой стороне, лежит на другой оси
Можно ли ввести систему координат другими способами? Сколько таких способов? Какой выбрать при решении задачи? Способов бесконечно много, обычно выбирают тот, где наиболее удобно ввести координаты точек.
Что необходимо знать, чтобы найти косинус угла между прямыми? Координаты направляющих векторов.
Какой вектор называется направляющим для прямой? Направляющий вектор- это вектор, который лежит на данной прямой или на параллельной ей прямой.
Какие векторы можно выбрать направляющими для данных прямых? ВС1 и В1А
По какой формуле можно найти косинус угла между прямыми?(Формулу запишет на доске___) Если a(x1;y1;z1) и b(x2;y2;z2)- направляющие векторы прямых a и b, φ- угол между этими прямыми, то cosφ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22Продолжите решение.
В(0;0;0), С132;12;1, А(0;1;0), В1(0;0;1), тогда ВС132;12;1, В1А(0;1;-1)
cosφ=0+12-13/4+1/4+10+1+1=14Ответ: 141333500454025-Посмотрите, как выглядит рисунок, если по-другому ввести систему координат.
-Чем отличается решение?
-Можно ли утверждать, что решение будет более сложным? Координату некоторых вершин призмы принимают отрицательные значения. Решение не будет более сложным
45339000
2. В тетраэдре ABCD ∠ABD=∠ABC=∠DBC=90°, AB=BD=2, BC=1. Вычислите синус угла между прямой проходящей через середины рёбер AD и BC, и плоскостью грани DBC.
Записывать данные задачи и выполнять чертёж выходит к доске _____ Учащийся записывает данные
Как в данном случае удобно ввести систему координат? Удобно началом отсчёта выбрать точку В, а остальные вершины расположить на осях координат
Выполните рисунок Учащийся выполняет построение
Что необходимо знать, чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью? Необходимо знать координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного прямой
-Какой вектор является направляющим к прямой MN?
-Какой ненулевой вектор будет перпендикулярен плоскости DBC? - MN- ВАЗапишите формулу, с помощью которой можно найти синус угла между прямой и плоскостью Если p(x1;y1;z1) - направляющий вектор прямой a и n(x2;y2;z2)- ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости 𝛼, φ- угол между прямой и плоскостью, то sinφ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22Решите задачу А(0;0;2), В(0;0;0), С(1;0;0), D(0;2;0), тогда М(0;1;1); N(1/2;0;0)
MN(12;-1;-1), BA(0;0;2)sinφ=0+0-21/4+1+10+0+4=23/2∙2=23Ответ: 2/3
2 Вывод формулы для вычисления угла между плоскостями
Итак, для нахождения угла между прямыми необходимо знать координаты направляющих векторов, а для вычисления угла между прямой и плоскостью- направляющего вектора для прямой и ненулевого вектора, перпендикулярного плоскости.
А теперь давайте попробуем найти угол между плоскостями, используя метод координат. Что для этого достаточно знать?
Для этого достаточно знать координаты ненулевых векторов, перпендикулярных данным плоскостям
При выводе формул угла между прямыми и угла между плоскостями приходилось рассматривать по два случая. С чем это было связано? Угол между соответственными векторами и угол между прямыми и плоскостями не всегда совпадают.
Как вы думаете, сколько случаев необходимо будет рассмотреть при нахождении угла между плоскостями? Рассмотреть случаи, когда угол между векторами меньше или равен 90° и когда он больше 90°
33020617221Выполните доказательство формулы, пользуясь рисунками. К доске идёт ___
137795635
Дано: n1(x1;y1;z1) - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости β;
n2(x2;y2;z2)- ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости α;
φ- угол между плоскостями α и β.
Доказать:
Доказательство. Пусть θ – угол между векторами n1(x1;y1;z1) и n2(x2;y2;z2).
(Так как ОВ перпендикулярна 𝛽, то ОАВ𝛽. Тогда ОВm. Аналогично ОАm. Значит mОАВ. Отсюда СВm и САm, поэтому один из углов ВСА или ВСD является углом между плоскостями.)
Тогда либо φ=180°-θ, если θ>90°, либо φ=θ, если θ≤90°. В первом случае cosφ=cos180°-θ=-cosθ, во втором cosφ=cosθ. В любом случае cosφ=cosθ. Так как φ≤90°, то cosφ≥0, то есть cosφ=cosθ. В результате получаем: cosφ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22Запишите вывод в тетрадь Если n1(x1;y1;z1) , n2(x2;y2;z2)-, ненулевые векторы, перпендикулярные плоскостям 𝜶 и β, φ- угол между этими плоскостями, то
cosφ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z224248150-3905253. Основанием прямой четырёхугольной призмы АВСDА1В1С1D1 служит прямоугольник АВСD, в котором АВ=5, AD=33 . Найдите тангенс угла между плоскостью грани АА1D1D призмы и плоскостью, проходящей перпендикулярно прямой В1D, если высота призмы равна 3.
Записать данные задачи выйдет к доске ________ Дано: АВСDА1В1С1D1- прямая призма, АВСD- прямоугольник,
АВ=5, AD=33, АА1=3, 𝜶В1D, 𝝋- угол между 𝜶 и АА1D
Найти: tg𝜶
Итак, необходимо найти угол между плоскостями. Что для этого достаточно знать? Координаты ненулевых векторов, перпендикулярных данным плоскостям.
Какие векторы отвечают таким условиям? АВ и В1DКакую функцию искомого угла мы можем найти? Косинус
Но в задании необходимо найти тангенс угла. Как поступить? Использовать формулу 1+tg2φ=1cos2φКак можно ввести систему координат? Назовите хотя бы три способа. -Нижнее основание лежит в плоскости Оху, две его стороны на осях;
- Нижнее основание лежит в плоскости Оху, начало координат совпадает с точкой пересечения диагоналей основания,
-Начало координат совпадает с точкой пересечения диагоналей призмы.
Решите задачу.
А(5;0;0), В(0;0;0), С(0;33;0), D(5; 33;0); А1(5;0;3), В1(0;0; 3), С1(0;33; 3), D1(5; 33; 3)
Тогда АВ(-5;0;0) и В1D(5;33;-3)-ненулевые векторы, перпендикулярные заданным плоскостям.
cosφ=-25+0+025+0+025+33+3=25561=5611+tg2φ=1cos2φ, tg2φ=3625, tgφ=1,2,
так как 𝜑≤90°
5 Подведение итогов Сегодня на уроке мы повторили формулы, по которым можно находить угол между прямыми и между прямой и плоскостью вывели формулу, с помощью которой можно находить угол между плоскостями, а также решали задачи на применение этих формул. На последующих уроках мы будем учиться применять метод координат для нахождения угла между прямыми и плоскостями.