Конспект урока алгебры, содержащего гуманитарный компонент, по теме: «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница» для 11 класса

Международный конкурс для педагогов
«Открытый урок»
Конспект урока алгебры, содержащего гуманитарный компонент, по теме: «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница» для 11 класса
ФИО Дмитриева Александра Сергеевна
Должность Учитель математики
Место работы МАОУ «Гимназия № 39» Петропавловск-Камчатского городского округа, Камчатский Край
Электронный адрес aleksaleo@mail.ru

Конспект урока алгебры, содержащего гуманитарный компонент
Тема: «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница»
Класс: 11.
Форма проведения: комбинированная форма - сочетание различных форм проведения урока (беседа, лекция, самостоятельная работа, работа в паре).
Цели урока:
Образовательная: ознакомить с понятием интеграла и формулой Ньютона-Лейбница; закрепить понятие интеграла и знание формулы Ньютона-Лейбница;
Развивающая: научить применять формулу и понятие интеграла для решения примеров; научить вычислять определенный интеграл; формировать умение и навык нахождения интеграла функции;
Воспитательная: способствовать развитию наблюдательности, развитию грамотной устной и письменной математической речи, умения анализировать, сравнивать, делать выводы; воспитывать умение участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение; воспитывать умение слушать; воспитывать усидчивость; прививать интерес к математической науке, формировать восприятие учащимися целостной картины мира; формировать эмоционально-личностное отношение учащихся к таким составным частям культуры, как математика и гуманитарные науки; формировать умения учащихся использовать изученный математический и гуманитарный материал в конкретных условиях и новых ситуациях, отыскивать точки соприкосновения математической и гуманитарной культур.
Оборудование: учебник Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс / А.Н.Колмогоров и др. (стр. 185 – 188), карточки для учеников, презентация с историческим материалом.
Технические средства обучения: компьютер, проектор, экран.
Тип урока: Комбинированный урок (урок изучения и закрепления нового материала).
ХОД УРОКА:
Организационный этап.
Этап актуализации знаний учащихся.
Сегодня новая тема урока «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница». Мы познакомимся с понятием интеграла, научимся вычислять определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Сегодня мы работаем на уроке, а великий ученый Ж. Д’Аламбер подталкивает нас к изучению алгебры словами:
«Математика щедра. Она часто дает больше, чем у нее просят».
Может быть, кто-то из вас знаком с именем этого ученого?
Учащиеся: (рассказывают, если что-то знают, о Д’Аламбере)
Учитель дополняет или рассказывает сам.
Д’Аламбер (а полностью его имя звучит так - Аламбер Жан Ле Рон Д' (D'Alembert)) был известным французским математиком, а так же механиком, философом, литератором. Он жил в 18 веке (1717 - 1783). В науке главным его трудом стала «Энциклопедия наук, искусств и ремёсел». В «Энциклопедии» Д’Аламбер поместил важные математические статьи: «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика» и «Геометрия», в которых подробно излагал свою точку зрения на актуальные проблемы науки.
Из философских работ наиболее важное значение имеют вступительная статья к «Энциклопедии», «Очерк происхождения и развития наук». В отличие от французских материалистов, Д’Аламбер считал, что существуют неизменные, не зависящие от общественной среды нравственные принципы.
Д’Аламберу принадлежат также работы по вопросам музыкальной теории и музыкальной эстетики: трактат «О свободе музыки», в котором подведены итоги т. н. войны буффонов – борьбы вокруг вопросов оперного искусства, и др.
Итак, повторим с вами то, что вы уже знаете и то, что поможет вам в изучении новой темы.
Вопрос: Что такое криволинейная трапеция?
Ответ: Фигура, ограниченная графиком функции f(x), отрезком [a, b] и прямыми x=a, x=b.
Вопрос: Чему равна площадь криволинейно трапеции?
Ответ: S = F(a) – F(b), где F(x) – первообразная для функции f(x).
Устные задания: Найдите площади данных криволинейных трапеций.
А) y=x2, x=0, x=1;Г) y=3x2, x=0, x=3;Б) y=3, x=1, x=3;Д) y=sinx, x=0, x=π;В) y=2x , x=-3, x=0;Е) y=cosx, x=-π2, x=π2.Ответы:
А) Fx=x33, S=Fb-Fa=133-033=13Б) Fx=3x, S=Fb-Fa=3*3-3*1=6В) Fx=x2, S=Fb-Fa=02-(-3)2=-9Г) Fx=x3, S=Fb-Fa=33-03=27Д) Fx=- cosx, S=Fb-Fa=-cosπ-(-cos0)==-(-1)--1=2Е) Fx=sinx, S=Fb-Fa=sinπ2-sin(-π2)=1--1=2Этап изучения новой темы.
Итак, приступим к изучению темы урока.
Сейчас мы рассмотрим другой способ нахождения площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками
x0 = а<x1 < x2 < … <xn-1 < xn = b.
И на каждом из отрезков [xk-1; xk] постоим прямоугольник высотой f(xk-1).

Сумма всех этих прямоугольников приблизительно равна площади нашей криволинейной трапеции.
Чем меньше отрезки, на которые мы разбиваем функцию, т.е. чем больше этих отрезков, тем ближе объединение всех прямоугольников походит на нашу трапецию, т.е. почти совпадает с ней.
Т.е. говорим что Sn→S, при n→.Для любой непрерывной на отрезке функции Sn стремится к некоторому числу.
Это число называют ИНТЕГРАЛОМ ФУНКЦИИ f от a до b. И обозначаютabf(x)dx.числа a и b называют пределами интегрирования, знак – интегралом, а f(x) подынтегральная функция, а переменная х – переменной интегрирования.
Т.о., S = abf(x)dx.А сравнивая эту формула с формулой изученной на прошлом уроке, получим, что
abf(x)dx= F(b) – F(a)
Это и есть формула Ньютона-Лейбница.
Т.о. проверка правильности нахождения интеграла до подстановки пределов, такая же как и проверка правильности нахождения площади криволинейной трапеции: нужно найти производную полученного выражения и если оно совпадет с подынтегральной функцией, то интеграл найден верно и может подставлять пределы интегрирования.
Интеграл, который не имеет пределов интегрирования, называется неопределенным интегралом.
Рассмотрим пример применения формулы для решения задач.
Пример 1. Вычислим:
133dx=3x 13=3*3-3*1=6Пример 2.
033x2dx=x303=33-02=27Пример 3.
-π2π2sin x dx=cosx-π2-π2=sinπ2-sin(-π2)=1--1=2Сверьте, пожалуйста, полученные ответы с ответами из первой части урока, из устной работы. Что вы можете заметить?
Ученики: данные примеры имеют один и тот же ответ, а значит это площади одних и тех же криволинейных трапеций.
Сейчас мы обозначаем интеграл так, потому что мы выяснили, что интеграл это число, равное сумме площадей прямоугольников, из которых составлена криволинейная трапеция. А первая буква в слове сумма на латинском языке Summa – S. Если ее вытянуть, то получится знак .
А как же пришли к такому обозначению математики?



Этап закрепления изученного материала.
Решаем вместе с вами номера № 357, 359, 360.
Перед началом решения откройте дневники и запишите домашнее задание:
п. 29, 30, № 358, 361 (б, в).




Задания по теме, связанные с жизненными ситуациями.
Мальчик Коля по просьбе бабушки должен пойти за дровами из дачного домика до сарая. Чтобы пройти до сарая, он должен обогнуть территорию дачного участка.

Данная траектория описана уравнением:
y = –x2 + 81.
Найдите, какую по площади территорию нужно обогнуть Коле, чтобы принести бабушке дрова для печи и поесть пирожков с капустой?
Ученики:
Решение:
Во-первых, можно предположить, что искать придется интеграл для заданной траектории движения Коли, потому что нужно найти площадь, а интеграл – это площадь криволинейной трапеции.
Во-вторых. Мы не знаем пределы интегрирования. Найти их можно, если найдем корни уравнения траектории движения Коли.
Найдем их.
y = –x2 + 81 = 0
x1 = – 9, x2 = 9.
Т.о., график траектории проходит так:

И площадь, которую нужно обогнуть Коле вычисляется с помощью интеграла:
-99–x2 +81dx= -x33+81∙x-99==-933+81∙9---933-81∙9=486-(-486)==972.Ответ: Площади территории, которую нужно обогнуть Коле, чтобы принести бабушке дрова для печи и поесть пирожков с капустой,равна 972 м2.
4. Самостоятельная работа.
Самостоятельная работа рассчитана на 10-15 минут.
Задания, включенные в самостоятельную работу, выполняются по вариантам. Последнее задание предлагается выполнить в паре.

Самостоятельная работа
Интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
Вариант 1 Вариант 2
Вычислите интеграл:

в)-26dxx+3Вычислите интеграл:
в)-22dx2x+5Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Историческая задача.
85725266700
Леонард Эйлер написал математический труд «Интегральное исчисление» (лат.Institutiones calculi integralis) в 3 томах, будучи в России, в 1967-1970 гг.
В первом томе содержалась задача:
Вычислить:
dx arcsinx.Попробуйте решить данную задачу.
Подсказка: помните, что нужно взять производную от первообразной, и если она совпадет с подынтегральной функцией, то пример решен верно.
Этот интеграл неопределенный, т.о.
fx dx=FxF'x=f(x)
Решения и ответы к самостоятельной работе
18x-3dx=x-2-218=-12x218==12-1128=6312801x3dx=x4401=14-3π0cos3xdx=13sin3x-3π0==-13sin-9π+13sin0==00π3sinxdx=-2cosx0π3==-2cosπ3+2cos0==-2∙12+2∙1=-1+2=1-26dxx+3=2x+3-26=23-1==4-22dx2x+5=22x+5-22==4+5- -4+5==3-1=2y=-x2+2x+3-x2+2x+3=0x1=3, x2=-1-13-x2+2x+3dx==-x33+x2+3x-13==-9+9+9-13+1-3=1023y=-x2+x+2-x2+x+2=0x1=2, x2=-1-12-x2+x+2dx==-x33+x22+2x-12==-83+42+4-13+12-2==-93+32+6=4.5Подсказка: помните, что нужно взять производную от первообразной, и если она совпадет с подынтегральной функцией, то пример решен верно.
Т.о., задача сводится к нахождению такого выражения, производная которого равна arcsinx.
arcsinx'=11-x2Если использовать формулу нахождения производной произведения x∙arcsinx, то в одном из слагаемых arcsinx должен остаться без изменений:
x∙arcsinx'=x∙11-x2+arcsinxТ.е. теперь осталось отнять от полученной производной первое слагаемое x∙11-x2.Для этого в выражении, от для которого ищем производную,необходимоотнять такое выражение, производная которого равна первому слагаемому.
1-x2'=121-x2∙-2x=-x1-x2x∙arcsinx+1-x2'=x∙11-x2+arcsinx-x1-x2=arcsinx.Т.о., dxarcsinx=x∙arcsinx+1-x2.Методическая литература:
"Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10—11 кл. сред.шк." / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 2002.
Глейзер Г.И. История математики в школе (пособие для учителей). - М.: Просвещение, 1964.
А.С. Рылов, А.А. Сапожников. Домашняя работа по алгебре и началам анализа за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб.для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова, — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002 г.»
Интернет-ресурсы:
http://ru.wikipedia.org/wiki/?-571

САМОАНАЛИЗ УРОКА алгебры В 11 «Б» КЛАССЕ
ТЕМА УРОКА: Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Данный урок является четвертым по счету в теме «Интеграл». Первый урок по теме «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница». Урок изучения нового материала, его закрепления.
При планировании урока были учтены реальные учебные возможности и психологические особенности учащихся: реальные учебные возможности, невысокая активность, низкий уровень памяти у некоторых учащихся, а также высокая активность и потребность в деятельности некоторых обучающихся.
НА УРОКЕ РЕШАЛИСЬ СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАЧИ:
1 Дидактические:
-обеспечить усвоение знаний учащихся об определенном интеграле, его понятии, о понятии предел интегрирования, подынтегральная функция, переменная интегрирования, и связи интеграла с предыдущей темой в разделе – «Площадь криволинейной трапеции».
-познакомить с формулой Ньютона-Лейбница для нахождения значения определенного интеграла.
2 Развивающие:
-Развивать навыки работы с текстом учебника, умение анализировать и делать
выводы;
-развивать память и устную и письменную математическую речь;
3 Воспитательные:
-воспитывать умение работать в коллективе и самостоятельно,
- воспитывать эмоционально-личностное отношение учащихся к таким составным частям культуры, как математика и гуманитарные науки
-воспитывать потребность в здоровом образе жизни;
- восприятие учащимися целостной картины мира;
-формировать умения учащихся использовать изученный математический и гуманитарный материал в конкретных условиях и новых ситуациях, отыскивать точки соприкосновения математической и гуманитарной культур.
На уроке использовались различные формы работы:
Фронтальная:
+ Дифференцированная:
-
Групповая:
+ Применялись следующие методы
Словестно-репродуктивный:
+ Наглядный:
+
Частично-поисковый:
+ Исследовательский:
-
Практический:
+

+ Работа проходила в сотрудничестве с учителем.
+ Структурные элементы урока взаимосвязаны, осуществлялся логичный переход от одного этапа к другому.
+ Осуществлялись межпредметные связи и связь с жизнью.
+ Чередование и смена видов деятельности обеспечивала поддержание работоспособности и активности учащихся на уроке
+ Задачи урока реализованы