Презентация по математике на тему Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве Вы уже знакомы с прямоугольной (Декартовой) системой координат на плоскости, которую в XIX в. ввёлфранцузский математикРене Декарт А, вот, прямоугольную систему координат в пространстве ввёл швейцарский, немецкий, российский математик Леонард Эйлер в XVIIIв. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат.Ох – ось абсцисс,Оу – ось ординат,Оz – ось аппликат. Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оxz. Плоскость Oxz Плоскость Oxy Плоскость Oyz O В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты: М (х, у, z), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата. Нахождение точки на координатной плоскости. Если, например, точка M лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые её координаты равны нулю. Так, если M принадлежит Oxy, то аппликата точка M равна нулю: z=0. Аналогично если M принадлежит Oхz, то y=0, а если M принадлежит Oyz, то x=0. Если M принадлежит Ox, то ордината и аппликата точки M равна нулю: y=0 и z=0. Если M принадлежит Oy, то x=0 и z=0; если M принадлежит Oz, то x=0 и y=0. Все три координаты начала координат равны нулю: О (0;0;0). Задание: Напиши координаты для точек A, B, C, D, E, F на рисунке. B C O E F D z y x A Ответы. A(5; 4; 10),B(4; -3; 6),C(5; 0; 0),D(4; 0; 4),E(0; 5; 0),F(0; 0; -2).Сравни свои ответы. Точка лежит на оси в координатной плоскости Ох(х,0,0) Оz(0,0,z) Oxy (x,y,0) Oyz (0,y,z) Oхz(x,0,z) Оу(0,у,0) Если М ОХУ, то z=0Если М OXZ, то у=0Если М OУZ, то X=0Если М ОХ, то У=0 и Z=0Если М OУ, то Х=0 и Z=0Если М OZ, то Х=0 и У=0 Нахождение точки на координатной плоскости. Координаты вектора в пространстве Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1.i – единичный вектор оси абсцисс, j – единичный вектор оси ординат, k – единичный вектор оси аппликат. x z y O Любой вектор ā можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде: Нулевой вектор можно представить в виде: Координаты равных векторов соответственно равны, т.е., если ā { x1; y1; z1 } = b { x2; y2; z2 }, то x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2. Запись координат вектора. Координаты вектора а будут записываться в фигурных скобках после обозначения вектора: а {x; y; z}. На рисунке справа изображен прямоугольный параллелепипед имеющий измерения: OA =2, OA =2, OA =3. Координаты векторов изображенных на этом рисунке, таковы: a {2; 2; 4}, b {2; 2; -1},A A {2; 2;0}, i {1; 0; 0},j {0;1;0}, k {0; 0; 1} A A A A O y x z a j i k b 3 2 1 1 2 3 3 Сложение векторов Правило треугольника.Правило параллелограмма.Правило многоугольника.Правило параллелепипеда. Правило треугольника А B C Правило треугольника А B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство: Правило параллелограмма А B C Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенномуиз начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B A C D E Пример Правило параллелепипеда B А C D A1 B1 C1 D1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда. Угол между векторами Угол между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. ) a b a b О А В α Если а || b и а и b сонаправлены, то α = 0°. Если a || b и a и b противоположно направлены, то α = 180°. Если а  b, то α = 90°. Перпендикулярные векторы (или ортогональные) Коллинеарные векторы Сонаправленные Противоположно направленные a b a b a b Скалярное произведение векторов Скалярное произведение Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a · b = | a | · | b | · cos(a ^ b)2) a { x1; y1; z1 } и b { x2; y2; z2 } a · b = x1x2 + y1y2 + z1z23) a 2 = | a |2