Исследовательская работа и презентация на тему Трапеция в заданиях ОГЭ (9 класс)

Трапеция в задачах ОГЭ Цель работы: Выявить общие методы решения задач повышенной сложности №26 заданий ОГЭ.Задачи исследования:Изучить теоретический материал о трапецииРешить задачи о трапеции в 26 задании ОГЭ.Выделить в решении задач тот теоретический материал который позволил мне решить эти задачи. Объект исследования работы –трапеция.Гипотеза: существуют общие методы решения задач на трапецию. Практическая ценность данного исследования заключается в использовании полученных результатов для более качественной подготовки к экзамену. Этот материал можно использовать на уроках геометрии в 8 классе при изучении темы «Трапеция» Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») - четырёхугольник, как минимум две противоположные стороны которого параллельны.  Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») - четырёхугольник, как минимум две противоположные стороны которого параллельны.  Виды трапецииТрапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой, равнобочной или равнобедренной трапецией. Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной. Общие свойстваСредняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.(Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен  (среднее гармоническое), где x  и  у  — основания трапеции (формула Буракова).Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей. Вписанная и описанная окружность.Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — а  и b  , — то r =√ab . Прототип задания 26 (№ 324600)  В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – провели высоты из вершины В и EF через точку К. Прототип задания 26 (№ 324601) В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD , если AD=4, BC=3.Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – достроили трапецию до треугольника. Прототип задания 26 (№ 324603)Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39, а основание BC равно 12. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции.Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – провели среднюю линию трапеции (отрезок параллельный основанию). Прототип задания 26 (№ 324613)Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – провели через точку пересечения диагоналей отрезок, перпендикулярный основаниям и прямую параллельную основаниям. Прототип задания 26 (№ 324615)Углы при одном из оснований трапеции равны и , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 10. Найдите основания трапеции. Примечание: в этой задаче мы использовалидополнительное построение – достроили трапецию до треугольника. Прототип задания 26 (№ 324616)Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 и 4, а средняя линия равна 2,5.Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение –провели отрезок параллельный одной из диагоналей. Прототип задания 26 (№ 324619)В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90 градусов . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10.Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – достроили трапецию до прямоугольного треугольника. Вывод: существуют три основных пути решения.1.Провести две высоты1. Четырехугольник BCKF — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, FK=BC.AD=AF+FK+KD, отсюда AD=AF+BC+KD.Треугольники ABF и DCK — прямоугольные.2. В этом случае AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)3. Если трапеция равнобедренная, решение задачи упрощается: В этом случае прямоугольные треугольники ABF и DCK равны, например, по катету и гипотенузе (AB=CD по условию, BF=CK как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2. 2.Провести прямую, параллельную боковой стороне.I. BM∥CD. Так как BC∥AD (как основания трапеции), то BCDM — параллелограмм. Следовательно, MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.В частности, для равнобедренной трапецииBM∥CD. Так как CD=AB, то и BM=AB. То есть получаем равнобедренный треугольник ABM и параллелограмм BCDM. 3.Продолжить боковые стороны и получить треугольник. Прямые AB и CD пересекаются в точке P.Треугольники APD и BPC подобны по двум углам (угол P — общий, ∠PAD= ∠PBC  как соответственные при BC∥AD и секущей AP).Следовательно, их стороны пропорциональны:   Спасибо за внимание!