Статья на тему Активизация познавательной деятельности учащихся в процессе обучения математике

Методическая разработка








Активизация познавательной
деятельности учащихся
в процессе обучения математике




Учитель математики
МКОУ Новобелоярской СШ
Чердаклинского района
Ирюкова Елена Викторовна
Содержание.


Введение
Основная часть
Некоторые пути формирования познавательного интереса у учащихся к геометрии

Использование информационных технологий на уроках математики..

2.3 Дидактические игры на уроках математики..
Заключение..
Приложения
Литература..



3


5


16

20
29
30
34

1. Введение.
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока, В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, насколько умело будет построена учебная работа. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлеченно, и использовать это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса. Это особенно важно в подростковом возрасте, когда еще формируются, а иногда и только определяются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету. Именно в этот период нужно стремиться раскрыть притягательные стороны математики.
Основной стимул учения интерес к знаниям, и он должен систематически развиваться у каждого ученика. Для решения этой задачи очень важна общая атмосфера в школе. Большое значение при этом имеет внеклассная работа.
Однако главным условием формирования познавательной активности школьников являются содержание и организация урока. Отбирая материал и продумывая приемы, которые будут использованы на уроке, учителю надо оценивать их и с точки зрения возможности возбудить и поддержать интерес учащихся к предмету математики, а в частности к урокам геометрии.
В данной работе по активизации познавательной деятельности учащихся рассматриваются следующие вопросы:
Некоторые пути формирования познавательного интереса у учащихся к геометрии.
Здесь рассматривается: условия осуществления «дробного» контроля за работой учащихся; наглядность на уроке; введение понятий, теорем и доказательств; разнообразие устных упражнений; решение задач.
Использование информационных технологий на уроках математики.
В работе делается упор на использование компьютера как средство управления учебной деятельностью школьников. Именно в этом качестве он может наиболее существенно повысить эффективность обучения. Дается анализ обучающих программ.
3. Проведение познавательных дидактических игр
Современная дидактика, обращаясь к игровым формам обучения на уроках, справедливо усматривает в них возможности эффективной организации взаимодействия педагога и учащихся, продуктивной формы их общения с присущими им элементами соревнования, непосредственности, неподдельного интереса.

2.1 Некоторые пути формирования познавательного интереса у учащихся к геометрии.
Основным фактором развития интереса к предмету является понимание учащимися излагаемого материала и успешное выполнение ими предлагаемых упражнений. Выполняя задание, ученик никогда не исходит только из его полезности. Если он справляется с предлагаемым материалом, он любит это дело. В действительности любить тот или иной предмет у него равносильно умению сделать ту или иную работу. Это подтверждают и беседы с учащимися.
Таким образом, непонимание материала и отсюда неумение справиться с какими-то заданиями, которые им предлагаются, основная причина потери интереса к предмету. Лишь у сильных учащихся непонимание приводит к отысканию его истоков; остальные ученики чаще не ищут этих причин, не стремятся ликвидировать пробелы в знаниях; тогда-то и пропадает у них интерес к предмету.
Чтобы предупредить непонимание изучаемого материала, учителю важно не только умело подобрать этот материал и продумать методику его изложения, но и все время быть в курсе того, насколько он усвоен каждым учеником. Этого можно достичь лишь при условии «дробного» контроля за работой ученика (предупреждая тем самым пробелы в его знаниях) и оказания ему своевременной помощи.
Систематический курс геометрии начинается в VII классе, и от того, как он будет усвоен здесь, во многом зависит понимание учащимися всего школьного курса геометрии. Запись решения задач на этом этапе затруднительна. К тому же в планировании на эту тему дается всего одна контрольная работа на последнем уроке. Таким образом, вопрос контроля за знаниями учащихся стоит очень остро.
Более целесообразно планировать прохождение этой темы иначе. Учитывая, что первый урок по новому предмету имеет большое значение для зарождения интереса у учащихся к тому, что будет изучаться в дальнейшем, лучше не начинать сразу с темы «Что такое геометрическая фигура». Полезно первый урок построить так: сначала небольшой яркий рассказ учителя о возникновении геометрии, а затем работа учащихся под руководством учителя над некоторыми понятиями геометрии и их условными изображениями. Урок следует хорошо оснастить моделями, предметами, имеющими различную форму, из разного материала и разных цветов. В процессе беседы, конечно, необходимо использовать жизненный опыт учащихся. На этом же уроке можно ввести обозначения прямой, отрезка, луча и выполнить записи принадлежности точек этим фигурам.
На втором уроке после введения определения геометрической фигуры как множества точек целесообразно сразу же применять к фигурам уже известные учащимся понятия теории множеств (пересечение и объединение). Все это сразу расширяет круг упражнений, которые можно предложить ученикам, дает возможность делать при их выполнении записи в принятых обозначениях и облегчает контроль за знаниями учащихся. На втором же уроке можно провести первый диктант, который носит обучающий характер (выполняется параллельно с доской; письменных пояснений учащиеся не делают).









Математический диктант с использованием готового рисунка.
1 уровень (рис. 1)
Задание
Работа ученика

Назовите все отрезки
Назовите все прямые
Какие точки принадлежат прямой AD, а какие не принадлежат? Ответ запишите, используя математические символы.
Какие точки принадлежат отрезку ВD, а какие не принадлежат? Ответ запишите, используя математические символы.
Укажите такую точку, которая принадлежит и прямой ВС, и прямой АМ. Как еще можно назвать указанную точку?
1. AB, BD, AD, DC, BC, DM, AM
2. AD, BC
3. A, D, M 13 EMBED Equation.3 1415 AD; B, E, C 13 EMBED Equation.3 1415AD


4. B, D 13 EMBED Equation.3 1415 BD; A, M, C, E 13 EMBED Equation.3 1415 BD


5. D; D- точка пересечения прямых ВС, АМ.

2 уровень
Задание
Работа ученика

Сколько точек надо взять между точками А и В
(рис 2), чтобы Вместе с отрезком АВ получилось шесть различных отрезков?






2. Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающиеся прямые? Для каждого случая сделайте рисунок.
1.


2 точки C и D. Получаются отрезки AB, AC, AD, CD, CB, DB


2.

а) 6 точек пересечения




б) 4 точки пересечения






в) 1 точка пересечения





Включение таких диктантов и самостоятельных работ поможет решить проблему осуществления «дробного» контроля не только I теме VII класса, но и в последующих темах VII и VIII классов.
Вот пример диктанта в VII классе по теме «Первый признак равенства треугольников»








1 уровень
Задание
Работа ученика

1. Дано ( рис 3): АВ=ВС, 13 EMBED Equation.3 1415АВD=13 EMBED Equation.3 1415CBD. Можно ли на основании первого признака равенства утверждать, что эти треугольники ABD и CBD равны?
2. Равные отрезки АВ и СD точкой пересечения О делятся пополам. Докажите, что
·АОС=
·ВОD и найдите АС, если ВD=12 см.
Да, так как АВ=ВС, 13 EMBED Equation.3 1415АВD=13 EMBED Equation.3 1415CBD по условию, а сторона ВD- общая.
2.
·АОС =
·ВОD, так как АО=ОВ, СО=ОD по условию, 13 EMBED Equation.3 1415АОС=13 EMBED Equation.3 1415 ВОD как вертикальные. Треугольники равны по первому признаку равенства треугольника, следовательно
АС=ВD=12 см.


2 уровень
Задание
Работа ученика

Дано (рис 4): AB=CD, 13 EMBED Equation.3 14151=13 EMBED Equation.3 14152, E-середина АС, ВЕ=10см.Найти DE



2. Сколько пар равных треугольников на рисунке 5? Запишите все пары.
1
·АВЕ =
·CDE, так как АЕ=ЕС, AB=CD по условию, 13 EMBED Equation.3 1415ЕАВ=13 EMBED Equation.3 1415ECD как смежные к углам
1 и 2. Треугольники равны по первому признаку равенства треугольника, следовательно
DE=ВE=10 см.
2.
·АОB =
·CОD,
·BОС =
·DOA,
·АBС =
·CAD,
·АBD =
·CDB




В VII классе вводится много понятий и их определений. Как же следует работать над ними?
На первых порах изучения материала очень важна наглядность (модели, картинки, чертежи). Например, для иллюстрации равенства геометрических фигур удобно использовать цветную лавсановую пленку, которая к тому же электростатична и хорошо держится на доске. Учителю необходимо заготовить две геометрические фигуры, одинаковые на первый взгляд. Чтобы сравнить две фигуры, надо одну из них наложить на другую. Учащиеся при этом видят, что если из-за верхней фигуры будет видна нижняя, значит верхняя фигура меньше нижней и наоборот. А если они совместятся, то данные фигуры равны.
Перед решением задачи на построение целесообразно сначала провести с учащимися моделирование той геометрической фигуры, которую необходимо построить с помощью циркуля и линейки. Проще всего для этого использовать магнитную доску, несколько небольших магнитов и металлические спицы различной длины (от 20 до 50 см). Отдельные спицы можно выкрасить в яркие цвета. Магнитные пособия можно использовать и при изучении теорем. Использование магнитных пособий позволяет моделировать фигуры при всеобщей активности класса, так как это «живое» моделирование не может оставить равнодушным ни одного ученика. Любой желающий может подойти к магнитной доске, чтобы самому все потрогать и осуществить любой этап построения.
В VII классе после введения основных неопределяемых понятий ставится задача: постепенно давать определения всем остальным понятиям, с которыми придется встречаться. Учителем подбираются примеры, задачи, чертежи, модели таким образом, чтобы учащиеся могли перейти от знакомого материала к самостоятельному усвоению нового. Например, для введения понятий остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольника можно провести устный тест:
В треугольнике АВС 13 EMBED Equation.3 1415А=900, при этом другие два угла
А) один острый, другой может быть прямым или тупым;
Б) оба острые;
В) могут быть как острыми, так и прямыми или тупыми.
В треугольнике АВС 13 EMBED Equation.3 1415В - тупой, при этом другие два угла могут быть
А) только острыми;
Б) острыми и прямыми;
В) острыми и тупыми.
В тупоугольном треугольнике могут быть:
А) прямой и острый углы;
Б) тупой и прямой углы;
В) тупой и острый углы.
В остроугольном треугольнике могут быть:
А) все углы острые;
Б) один тупой угол;
В) один прямой угол.
В прямоугольном треугольнике могут быть:
А) прямой и тупой угол;
Б) два прямых угла;
В) два острых угла.

В VII классе учащиеся должны знать и уметь доказывать большое количество теорем. Первые теоремы учитель доказывает сам, показывая строение теоремы, логику рассуждений в их доказательстве. Дальше шаг за шагом приучает учащихся к активному участию в их доказательстве. В некоторых случаях до доказательства теоремы лучше проводить практическую работу, помогающую учащимся высказать некоторую догадку, которую затем они доказывают.
Некоторые теоремы можно предложить учащимся для самостоятельного доказательства, разрешая тем, кому трудно, пользоваться учебником и тем осуществляя в этой работе дифференцированный подход. Предварительно выполнялись устные упражнения, которые убирали «подводные камни» при самостоятельном доказательстве, вспоминали теоремы, необходимые для его проведения, или идеи, лежащие в его основе. Например, свойство биссектрисы, проведенной к основанию в равнобедренного треугольника, можно предложить учащимся получить самостоятельно, поставив перед ними проблему: «Как известно, биссектриса треугольника делит его угол пополам. Но в равнобедренном треугольнике Биссектриса, проведенная к основанию, обладает еще одним очень важным свойством. В чем заключается это свойство?» Работа проводится в группах по 3-4 человека с последующим обсуждением этого свойства с доказательством. При обсуждении важно затронуть вопросы:
Каждая ли биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой?
Является ли биссектриса равнобедренного треугольника его высотой и медианой? Если да, то какая из трех?

Большое значение на уроках нужно придавать устным упражнениям. Вот примеры таких упражнений:
На понимание изучаемого материала (тема: «Смежные и вертикальные углы»)








1. Рис 6. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415CBD
2. Рис 7. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415FBD, 13 EMBED Equation.3 1415ABF, 13 EMBED Equation.3 1415CBD

На повторение изученного.
Закончите предложения:
Сумма углов треугольника равна Треугольник, у которого есть прямой угол, называется.Гипотенузой прямоугольного треугольника называется, другие стороны называютсяТреугольник, в котором все три угла острые, называется Треугольник, в котором один угол тупой, называетсяУгол смежный с внутренним углом треугольника, называется Внешний угол треугольника равен
На обнаружение логических ошибок
Установите, верно ли высказывание:
Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется квадратом.
Площадь треугольника равна произведению его основания на половину высоты.
Касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу, проведенному в точку касания.
Два вектора называются равными, если они имеют равные длины.
Что следует изменить в высказывании, чтобы оно стало верным?
Полезно, чтобы учащиеся сами исправляли допущенные ими логические ошибки; этому способствует приведение учителем контрпримеров.
На установление связи геометрии с алгеброй
1) Длина окружности выражена (в см) целым числом, не большим 1. Чему она равна?
2) Площадь прямоугольника не больше 40 см2 и не меньше 40 см2. Чему она равна?
3) Площадь квадрата равна 64 см2 . Чему равна сторона квадрата.
На сообразительность
1) О параллелограмме известно, что каждая его сторона меньше 2 см. Какой вывод можно сделать о возможных значениях его площади?
2) Может ли параллелограмм со сторонами 3 см и 5 см иметь высоту, равную 6 см?
3) Смежные стороны одного параллелограмма 5 см и 8 см, а другого 5 см и 6 см, а их высоты, проведенные из вершин тупых углов на большую сторону, делят ее пополам. Равновелики ли эти параллелограммы? (К задаче делается чертеж.)
Эти задачи, как правило, позже помещаются на стенд, так как некоторые учащиеся могли что-либо не понять при устном доказательстве их.
Наибольшая трудность в VII классе научить учащихся решать задачи и оформлять их решение.
Желательно начать обучение семиклассников с решения задач по готовому чертежу видеть данные и искомые, уметь записывать условие, различать факт (утверждение) от его обоснования.
Следующий этап это решение текстовых задач. Здесь важна тщательная работа каждого ученика над текстом. Поэтому так же, как и в VVI классах, учащиеся вслух текст задачи не читают. Вопросы по ее содержанию учащиеся класса задают ученику, решающему задачу на доске, и они же отвечают на эти вопросы, если он затрудняется. Это приучает учащихся тщательно изучать текст задачи и активизирует работу класса.
Важнейшим средством активизации самостоятельной творческой деятельности учащихся, развития их умственных способностей является решение задач. В учебной литературе задачи, как правило, формулируются предельно кратко, четко и определенно. В такой математически корректной, лаконичной редакции не всегда улавливается практическая направленность задачи, отсутствуют моменты, возбуждающие любознательность, интерес учащихся.
Фабула большинства задач формальна и не вводит школьников и условия жизненных ситуаций, где нужно принимать решения, выполнять определенные действия. Поэтому условия некоторых задач иногда полезно переформулировать так, чтобы получить проблемные задачи. Следует в них включать также и элементы, вызывающие у учащихся чувство удивления, сомнения, доставляющие эстетическое удовлетворение. Иначе говоря, учителю так следует изменить условие задачи, чтобы появилась возможность обратить на задачу внимание всех учащихся класса, вызвать интерес к ней и продолжить беседу о задаче после ее решения.
Рассмотрим ряд задач, переформулированных в практические.
Дан равнобедренный треугольник АВС, АВ=ВС. На стороне ВС взята точка D. Какой отрезок – АD или СD-меньше?
11. Два села А и С находятся на равных расстояниях от города В. По дороге ВС между В и С находится одинокий домик D. К какому селу – А или С-домик ближе?
По данной хорде а кругового сегмента и его высоте h определите диаметр и площадь соответствующего круга.
21. Горизонтально размещенная цилиндрическая цистерна почти целиком вкопана в землю. Как определить объем цистерны и той части, которая находится в земле? Какой размер цистерны еще нужно знать?
В тех случаях когда задача для учащихся не является достаточно проблемной, необходимо заменить ее вопрос более полезным и интересным. Необходимо соответственно изменить и условие задачи.
Определить вид четырехугольника, который получиться от последовательного соединения середин сторон любого выпуклого четырехугольника.
Пусть каждый учащийся построит произвольный четырехугольник. При аккуратно выполненном построении ребята заметят, что получается параллелограмм (постановка гипотезы). Возникает проблемная ситуация: обосновать эту гипотезу.
Исключение из текста задачи ее вопроса значительно повышает проблемность задачи: учащиеся вынуждены самостоятельно выдвигать гипотезы, проводить исследования.
Много времени требуют задачи на построение. Для хорошего их понимания следует делать запись этапов построения и доказательства. Для решения таких задач можно вызвать к доске сразу двух учеников: один выполняет построение и рассказывает (или доказывает), а другой (независимо от первого) записывает решение в принятых обозначениях (учащиеся класса успевают сделать и чертеж, и записи). Это не только дает экономию времени на уроке, но полезно и потому, что, имея записи в тетради, ученику легче восстановить в памяти решение той или иной задачи, а также оформить по такому образцу и другую, подобную ей задачу.
Большое значение в понимании материала, а следовательно, в развитии и интереса к геометрии, имеет систематическое возвращение к пройденному повторение. Оно должно быть в той или иной форме ежеурочным и обязательно включаться в новый материал или в решение задач в качестве каких-то элементов, хотя и небольших.




2.2 Использование информационных технологий на уроках математики.
Функции компьютера в системе образования весьма разнообразны - от управления органами народного образования в целом и отдельной школы до средств развлечения учащихся во внеурочное время. Если же говорить об основных функциях компьютера в учебном процессе, то он выступает как объект изучения и средство обучения. Мы остановимся на функции компьютера как средство обучения.
Обычно отмечаются следующие сильные стороны компьютера:
- новизна работы с компьютером вызывает у учащихся повышенный интерес к работе с ним и усиливает мотивацию учения;
- Цвет, мультипликация, музыка, звуковая речь расширяют возможности представления информации;
- Компьютер позволяет строить индивидуализированное обучение на основе модели учащегося, учитывающей историю его обучения и индивидуальные особенности памяти, восприятия, мышления;
- С помощью компьютера может быть реализована личностная манера общения;
- Компьютер активно включает учащихся в учебный процесс, позволяет им сосредоточить внимание на наиболее важных аспектах изучаемого материала, не торопит с решением;
- На много расширяются наборы применяемых учебных задач;
- Благодаря компьютеру учащиеся могут пользоваться большим объемом ранее недоступной информации.
При обучении математике могут найти применения прежде всего следующие возможности современных компьютеров.
1. Быстрота и надежность обработки информации любого вида. Отметим, что для обработки числовой информации можно использовать не только микро ЭВМ, но и калькулятор.
2. Представление информации в графической форме. По своим графическим (демонстрационным) возможностям компьютер практически не уступают даже цветному телевидению, но позволяют активно влиять на ход демонстраций, что значительно повышает их методическую ценность.
3. Хранение и быстрая выдача больших объемов информации. Например, все используемые в курсе математики таблицы могут храниться в памяти компьютера. Требуемая информация выдается на экран после одного - двух нажатий клавиш.
Возможность применения компьютер на уроках зависят от программного обеспечения машин. Все используемые на занятиях программы можно условно разделить на обучающие и учебные. Обучающие программы создаются для того, чтобы заменить учителя в некоторых видах его деятельности (при объяснении нового материала, закреплении пройденного, проверки знаний и т.п.). Цель учебных программ - помочь ученику в его познавательной деятельности, работе на уроке. Использование учебных программ осуществляется при участии и под руководством учителя. С помощью учебных программ можно выполнить разнообразные вычислительные операции, анализировать функции, строить и исследовать математические модели различных процессов и явлений, использовать графику машины для повышения наглядности изучаемого материала.
Разговор о месте компьютера в учебном процессе будет неполным, если не показать его возможности в познании учащимися самих себя, в осознании своей деятельности, качеств и личностной рефлексии. Значение ее в учебной деятельности трудно переоценить. Чтобы сформировать полноценную учебную деятельность, недостаточно выработать у учащегося систему знаний о предметном мире. Он должен овладеть своей деятельностью, знать, как он анализирует условия задачи, каковы его стратегии поиска решения, то есть у него должен выработаться рефлексивный механизм саморегуляции. В конце концов всё это необходимо для формирования целостного представления о самом себе как о личности, становления устойчивого «образа Я».
Естественно компьютер не должна просто заменять и подменять собой классную доску, плакат, кино - и диапроектор, натуральный эксперимент. Такая замена целесообразна только тогда, когда использование компьютер даст весомый дополнительный эффект по сравнению с использованием других средств обучения. При этом компьютер и другие средства обучения должны взаимно дополнять друг друга.
Классификация учебно-программных средств.
Место компьютера в учебном процессе во многом определяется типом обучающей программы. Некоторые из них предназначены для закрепления умений и навыков. Место таких программ определить не трудно: их можно использовать после усвоения определенного теоретического материала в рамках традиционной системы обучения. Другие программы ориентированы преимущественно на усвоение новых понятий в режиме, близком к программированному обучению. Большинство их обладает ограниченными дидактическими возможностями. Компьютер здесь используется как средство программированного обучения, несколько более совершенное, чем простейшее обучающее устройство, но не допускающее развернутого диалога, содержащее, как правило, фиксированный набор обучающих воздействий. Преобладают обучающие программы, которые реализуют проблемное обучение, особенно «интеллектуальные» обучающие программы (своим названием они обязаны тому, что при их разработке использованы идеи «искусственного интеллекта»). Эти системы осуществляют рефлексивное управление учебной деятельностью, что предполагает построение модели обучаемого. Многие из них генерируют обучающие воздействия (учебные тексты, задачи, вопросы, подсказки). Такие системы, как правило, учитывают правильность ответа, но и способ решения, могут его оценивать, а некоторые - совершенствовать стратегию обучения учетом накапливаемого опыта. Имеются системы, которые могут обсуждать с учащимися не только правильность решения но и возможные варианты решения, причем в языке, близком к естественному. По мнению педагогов и психологов, знакомившихся с протоколами диалогов, создается такое впечатление, что общались ученик и учитель.
Следующий тип обучающих программ предполагает моделирование и анализ конкретных ситуаций. Такие программы особенно полезны в трудовом и профессиональном обучении, поскольку способствуют формированию умений принимать решения в различных ситуациях, в том числе и экстремальных. Число таких программ в последнее время возросло.
Наконец, можно выделить программы обучение по которым строится в виде игры. Они способствуют повышению мотивации учения (хотя следует отметить, что соревновательные мотивы, желание во что бы то ни стало победить иногда преобладают тут над познавательными мотивами, что вряд ли педагогически оправдано). Игра стимулирует инициативу и творческое мышление, способствует формированию умений совместно действовать (особенно в кооперативных играх), подчинить свои интересы общим целям. Кроме того, игра позволяет выйти за рамки определенного учебного предмета, побуждая учащихся приобретению знаний в смежных областях и практической деятельности. Игры создают предпосылки для формирования у обучаемых всевозможных стратегий решения задач и структуры знаний, которые могут быть успешно применены в различных областях. Немаловажно и то, что обучаемый может свободно принимать решения - как правильные, так и не правильные - и при этом видит, к чему приводит каждое решение
Такое обучение весьма привлекательно для школьников, и многим оно настолько нравится, что они хотели бы осуществлять все учение в форме игры. Приступая к изучению основ вычислительной техники, школьники часто задают вопрос, будут ли использованы при этом игры.
Положительно оценивая игровые программы в целом, следует учитывать, что чрезмерное увлечение играми может дать и нежелательный эффект. Развлекательность может оказать отрицательное влияние на волевые качества школьников: учение и труд не могут основываться на эмоционально привлекательной деятельности. Готовность к труду предполагает волевые усилия, готовность к выполнению даже малоинтересных, но необходимых функций.
Методические рекомендации к уроку с использованием компьютера.
При проведение коррекции знаний учащихся полезно провести небольшой контроль знаний школьников по новому материалу, но уже полученные на уроках ранее. Для этого удобно вывести на экран телевизора задания или таблицу, которую нужно будет заполнить. Анализ результатов в табличном виде намного облегчает работу учителя при проведении контроля знаний и умений учащихся.
При изучении нового материала удобно использовать опорные конспекты, которые можно ввести в память компьютера и показывать в текстовом редакторе на экранах монитора. При этом уменьшается время поиска, вывода опорного конспекта. Появляется возможность воспроизвести его на любом этапе урока изучения нового материала, закрепление, повторение, проверка домашнего задания, решения задач.
Изучение материала о развитии научного мировоззрения можно провести в виде чтения рефератов о жизни математиков, истории математики. Здесь используются слайды, изготовленные на компьютере или сосканированные с иллюстраций. Слайды можно показывать на проекторе в режиме «Презентация» системы ОФИС ( демонстрация слайдов)
Использование компьютера на уроках математики позволит рационально использовать учебное время и наглядно показать учебный материал, удобно и наглядно производить контроль и коррекцию знаний учащихся.


2.3 Дидактические игры на уроках математики.
Дидактические игры можно широко использовать как средство обучения, воспитания и развития. Основное обучающее воздействие принадлежит дидактическому материалу, игровым действиям, которые как бы автоматически ведут учебный процесс, направляя активность детей в определенное русло.
Реализация игровых приемов и ситуаций при урочной форме занятий происходит по следующим основным направлениям: дидактическая цель ставится перед учащимися в форме игровой задачи; учебная деятельность учащихся подчиняется правилам игры; учебный материал используется в качестве средства игры; в учебную деятельность вводятся элемент соревнования, который переводит дидактическую задачу в игровую; успешность выполнения дидактического задания связывается с игровым результатом.
Так например, после изучения какого- то раздела по геометрии возникает необходимость повторить все аксиомы, проверить, как их усвоили учащиеся. Обыкновенный опрос не вызывает должного интереса. Поэтому используется игровая форма занятий «Конкурс геометров» (Приложение № 1).
Игровую форму занятий можно использовать на различных этапах урока. Например при объяснение нового материала можно провести игру «Диалог».Она направлена на повышение активности учащихся в процессе усвоения новых знаний.
Идея игры состоит в том, что учитель формулирует учебную проблему или создает проблемную ситуацию, а учащиеся стараются решить эту проблему. Они понимают, что для решения проблемы им недостаточно имеющихся знаний. По правилам игры каждая команда имеет право задать учителю минимальное число вопросов с тем, чтобы извлечь из его ответов максимум информации для решения поставленной проблемы. В игре учитель как бы не желает выдавать информацию, а ученики умело поставленными вопросами вынуждают его к этому. И если в таком диалоге при минимальном числе вопросов у учащихся наступает «озарение», то можно сказать, что учитель выполнил задачу по развитию творческого мышления учащихся.
Основными структурными компонентами дидактической игры является: игровой замысел, правила, игровые действия, познавательное содержание или дидактические задачи, оборудование, результат игры.
Игровой замысел – первый структурный компонент игры – выражен, как правило, в названии игры. Он заложен в той дидактической задаче, которую надо решить в учебном процессе. Игровой замысел часто выступает в виде вопроса, как бы проектирующего ход игры, или в виде загадки. В любом случае он придает игре познавательный характер, предъявляет к участникам игры определенные требования в отношении знаний.
Каждая дидактическая игра имеет правила, которые определяют порядок действий и поведение учащихся в процессе игры, способствуют созданию на уроке рабочей обстановки. Поэтому правила должны разрабатываться с учетом цели урока и индивидуальных возможностей учащихся.Этим создаются условия для проявления самостоятельности, настойчивости, мыслительной активности, для возможности проявления у каждого ученика чувства удовлетворенности, успеха.
Существенной стороной дидактической игры являются игровые действия, которые регламентируются правилами игры, способствуют познавательной активности учащихся, дают им возможность проявить свои способности, применить имеющиеся знания, умения, навыки для достижения целей игры. Очень часто игровые действия предваряются устным решениям задачи. Учитель как руководитель игры, направляет ее в нужное русло, при необходимости активизирует ее ход разнообразными приемами, поддерживает интерес к игре, подбадривает отстающих.
Основой дидактической игры, которая пронизывает собой ее структурные элементы, является познавательное содержание. Познавательное содержание заключается в усвоении тех знаний и умений, которые применяются при решении учебной проблемы, поставленной игрой.
Оборудование дидактической игры в значительной степени включает в себя оборудование урока. Это наличие технических средств обучения, кодопозитивов, диапозитивов, диафильмов. Сюда также относятся различные средства наглядности: таблицы, модели, раздаточный материал и др.
Дидактическая игра имеет определенный результат, который является финалом игры, придает игре законченность. Он выступает, прежде всего в форме решения поставленной учебной задачи и дает школьникам моральное и умственное удовлетворение. Для учителя результат игры всегда является показателем уровня достижений учащихся или в усвоении знаний, или в их применении.
При организации дидактической игры необходимо придерживаться следующих положений:
Правила игры должны быть простыми , точно сформулированными, а математическое содержание предлагаемого материала – доступно пониманию школьников. В противном случае игра не вызовет интереса и будет проводиться формально.
Игра должна давать достаточно пищи для мыслительной деятельности, в противном случае она не будет содействовать выполнению педагогических целей, не будет развивать математическую зоркость и внимание.
Дидактический материал, используемый во время игры, должен быть удобен в использовании, иначе игра не дает должного эффекта.
При проведение игры, связанной с соревнованиями команд, должен быть обеспечен контроль за ее результатами со стороны всего коллектива учеников или выбранных лиц. Учет результатов соревнования должен быть открытым, ясным и справедливым. Ошибки в учете, неясности в самой организации учета приводят к несправедливым выводам о победителях, а следовательно, и к недовольству участников игры.
Каждый ученик должен быть активным участником игры. Длительное ожидание своей очереди для включения в игру снижает интерес детей к этой игре.
Если на уроке проводится несколько игр, то легкие и более трудные по математическому содержанию должны чередоваться.
Если на нескольких уроках проводятся игры, связанные со сходными мыслительными действиями, то по содержанию математического материала они должны удовлетворять принципу: от простого к сложному, от конкретного к абстрактному. Это положение необходимо последовательно и строго соблюдать при проведение логических игр.
Игровой характер при проведении уроков по математике должен иметь определенную меру. Превышение этой меры может привести к тому, что дети во всем будут видеть только игру
В процессе игры учащиеся должны математически грамотно проводить свои рассуждения, речь их должна быть правильной, четкой, краткой.
Игру нужно закончить на данном уроке, получить результат. Только в этом случае она сыграет положительную роль.

Дидактические игры в зависимости от содержания материала, способа организации, уровня подготовки школьников, цели урока могут приобретать различный характер, например быть продуктивным, репродуктивным, творческими, конструктивными, практическими, воспитывающими.
Исходя из особенностей предмета математики, следует различать игры –состязания и игры- олимпиады. В первом случае обеспечивается в основном за счет скорости выполнения вычислений, преобразований, доказательство теорем, но без ущерба качеству выполнения задания, во втором – победа обеспечивается главным образом за счет качества решений задач повышенной трудности или доказательства сложных теорем. Первые полезны для выработке автоматизма действий, вторые- для воспитания серьезного отношения к математике.
В конечном счете в игровых формах занятия реализуются идеи совместного сотрудничества, соревнования, самоуправления, воспитания через коллектив, приобщение детей к научно-техническому творчеству, воспитания ответственности каждого за учебу и дисциплину в классе, а главная – обучение математике.

Разработка урока «Математический лабиринт».
Предмет: геометрия
Класс: 7
Учебник (УМК): Геометрия. 7-9 классы: Л.С. Атанасян [и др.]..
Тема урока: Треугольники
Тип урока: Обобщающее занятие

Предметные результаты:
Учащиеся должны
Знать: основные понятия темы: соответственные элементы; угол, прилежащий к сто- роне; медиана, биссектриса, высота; основание и боковая сторона равно- бедренного треугольника; определение равнобедренного треугольника; формулировки признаков треугольников, свойств равнобедренного треугольника.
Уметь: переводить текстовую информацию в графический образ и мате- матическую модель, решать задачи с использованием комбинирования 1-2 алгоритмов, записывать решения с помощью принятых условных обозначений

Метапредметные результаты:
Научатся:
- использовать общие приёмы решения задач;
- организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределять функции и роли участ- ников.
Получат воз можность научиться:
-устанавливать причинно- следственные связи; строить логические рассуждения, умозаключения (индуктивные, дедуктивные и по аналогии) и выводы;
-выбирать наиболее рациональные и эффективные способы решения задач

Личностные результаты:
У учащих ся будут сформи рованы:
умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;
способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.
У учащих ся могут быть сформированы:
критичность мышления, умение распознавать логически некорректные выска- зывания, отличать гипотезу от факта;
креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при реше- нии арифметических задач

Организация урока «Математический лабиринт».
Комплектование команд, подготовка знатоков-консультантов, которые как правило выбираются из сильных учеников.
Учитель вместе с учениками во внеурочное время готовит цветное табло для оценивания результатов, Рисуют Эмблемы знатокам-консультантам, подбирают название команд. Например: «РИТМ» (решать, искать, творить, мечтать) или «XYZ» (хотеть, уметь, знать).
Перед началом игры нужно расставить парты так, чтобы участники для удобства общения сели вокруг. На каждой парте- табличка с названием команды, чистые листы бумаги, ручки.
На доске вывешивается карта «Математического лабиринта» (рис.9 ). Карта состоит из пяти (I-V) больших кругов-«лабиринтов», каждый из которых разбит на сектора определенного цвета: желтый, синий, красный и т.д. Такими же цветными линиями соединяются соответствующие сектора в каждом круге «лабиринта».
Рядом с картой «Математического лабиринта» каждая команда вывешивает табло своим названием и ячейками для ответов (рис 8)
Перед доской должен быть стол с разложенными на нем конвертами, в которых находятся варианты заданий, и игральный кубик.




Методика проведения урока «Математический лабиринт»
1 этап-организация класса. Класс разбивается на команды по наличию в каждой команде как сильных, средних, так и слабых учеников.
Знатоки- консультанты распределяются по командам. Их роль- контроль за правильными ответами, помощь в поиске решения при затруднениях. При подготовке знатоков- консультантов можно прорешать и разобрать подобные задания.
2 этап- прохождение математического лабиринта. Представители от каждой команды по очереди кидают игральный кубик. Если у последующего выпадает то же число, что и у предыдущего, то кубик перекидывают до тех пор, пока не выпадет новое число. Выпавшее число указывает, какой цвет «дороги» выбирает команда: от данного сектора по цветной линии она будет двигаться к остальным кругам – лабиринта и получать соответствующие задания.
Например, если команде выпало число 4, которое находится в секторе лабиринта I синего цвета, то она будет идти все время по синей дорожке. Это также значит, что команда получит задание из конверта №4/I синего цвета. Следующее задание она получит для сектора лабиринта II синего цвета, но уже под №2/II, далее для сектора III-№1/III, для сектора лабиринта IV- №5/ IV, для сектора лабиринта V- №3/ V (всюду синего цвета).
Команды приступают к работе. Конверт содержит вариант с пятью заданиями, которые можно выполнять как устно так и письменно, а также карточки с буквами. Эти буквы стоят напротив предложенных ответов, которые выбирает команда при решении заданий своего варианта и из которых в дальнейшем нужно составить слова: ответ, верно, точно, правы, финиш. Если команда не может сложить слово, в этом случае знатоки-консультанты помогают найти ошибки в решениях и правильно составить слово. В их обязанности также входит следить, чтобы участники сначала прорешали задания, потом составляли слово, а не наоборот.
Если на все задания даны правильные ответы, получившиеся слова помещаются на табло команды (рис 8). Это дает возможность остальным командам отслеживать, на каком этапе «математического лабиринта» находятся соперники.
После игры можно разобрать сложные задачи, которые вызвали у большинства затруднение.
3 этап- подведение итогов. Выигрывает команда, которая первой пройдет все пункты лабиринта и заполнит свое табло. В качестве поощрения команде победителей можно поставить всем ее членам оценку «отлично».Командам занявшее 2 и 3 места – поставить оценки «хорошо» или использовать другие формы поощрения.
В заключение учащиеся могут вызвать свое мнение о данном уроке, а учитель благодарит всех игроков «Математического лабиринта» за участие в таком необычном уроке.
Принцип составления заданий.
Задачи для урока «Математический лабиринт» соответствуют «стандартам образования», так как данный урок является итоговым в изучении определенного раздела. (но могут и включать в себя задачи повышенной сложности).
Форма заданий предлагается в виде теста. Задания в вариантах составлены по принципу «от простого к сложному». И работа по ним проводится двумя способами. Первый способ: получив вариант, участники распределяют задания между собой. В этом случае слабым учащимся всегда будет доставать легкие задания, а сильным - сложные. Второй способ: члены команды разбирают задания вместе. Этот способ более оптимален для развития личности учащегося, так как каждый может высказать свою точку зрения, а у остальных воспитывается уважительное отношение к мнению одноклассника.
Первые задания должны быть связаны с определенным понятием, правилом, формулой. В них пропущено какое-то ключевое слово или несколько слов, которые учащимся нужно вставить.
В качестве вторых заданий учащимся могут быть предложены различные утверждения, из которых нужно выбрать правильные или неправильные
Третье задание содержит рисунок или график.
Задания 1-3 устные, а задания 4 и 5 предлагают письменного вычисления. Как правило это задачи. ( Приложение №4).
3. Заключение.
В данной работе рассмотрены некоторые приемы обучения, которые можно использовать не только на геометрии, но и на других учебных предметах. «Дробный» контроль предупреждает учителя о пробелах в знаниях у учащихся, что позволяет ему оказать своевременную помощь. Методы введения новых понятий, теорем, умение доказывать – помогает школьникам в изучении нового материала. Разнообразные задачи, устные упражнения повышают интерес к математике, вносят разнообразие в учебную работу.
В данной работе, в полное мере, удалось показать все положительные и отрицательные стороны при обучении математике с помощью компьютера. Дана оценка программированному обучению. Освещены проблемы в использование обучающих программ. Показана целесообразность и возможности компьютерного обучения, рассмотрены проблемы взаимодействия человека и компьютера в сфере образования.
В данной работе рассмотрен особый вид игр – дидактические игры.
Из изложенного можно сделать вывод , что дидактическая игра отличается от обыкновенной игры тем что участие в ней обязательно для всех учащихся. Ее правила, содержание, методика проведения разрабатываются так, что для некоторых учащихся, не испытывающих интереса к математике, дидактические игры могут послужить отправной точкой в возникновении этого интереса.
Основным в дидактической игре на уроках математики является обучение математике. Игровые ситуации лишь активизируют деятельность учащихся, делают восприятие более активным, эмоциональным, творческим.
Систематическое использование предложенных методов и приемов является эффективным средством активизации учебной деятельности школьников, положительно влияющим на повышения качества знаний, умений и навыков учащихся, развитие умственной деятельности.
Безусловно, невозможно было сказать обо всем, что помогает решить проблему развития познавательного интереса ученика. Однако надо помнить, что, каковы бы ни были возможности, большое значение имеет личное творчество учителя с учетом конкретного коллектива учащихся, его сильных и слабых сторон.
Приложение №1
Примеры игровых моментов на уроке геометрии.
Экстренная инвентаризация. Эта игра, помимо знания геометрии, требует большой внимательности. На столе сложены и накрыты салфеткой модели плоских фигур: различного вида треугольники и трапеции, параллелограммы, квадраты и др. Всего может быть 12-15 модель.
Вызванным к доске ученикам, по два человека от каждой команды, предлагается осмотреть набор моделей. Осмотр продолжается не более минуты. Поэтому играющие должны быть очень внимательными. После осмотра набор моделей вновь накрывается. Играющие должны выполнить «экстренную инвентаризацию», т.е. записать на доске название фигур и выполнить от руки их изображения. На составление списка и выполнение изображений отводится 2-3 минуты. Чтобы выиграть соревнование, необходим не только перевес на лишнюю запись или рисунок, но и знание определений и свойств каждой из фигур. К доске поочередно могут вызваны до 6 человек от каждой команды. Класс выступает в качестве арбитра, следит за правильностью ответов.
Такую игру можно проводить после изучения многих тем в различных классах.

Конкурс геометров. Тема: «Окружность. Вписанные углы. Касательная к окружности и ее свойства». Для игры необходим плакат (рис.10), на котором нарисованы геометрические фигуры по пройденной теме. Изображение фигур можно также спроецировать на доску при помощи кодоскопа. Учитель предлагает присмотреться к рисункам и установить, каких элементов на них не хватает, чтобы доказать ту или иную теорему или дать определение какого - либо понятия. Недостающий элемент выбирается на столе и прикалывается (или прикрепляется магнитом) на место
Приложение №2
Конверт № 1
Сумму трех сторон треугольника называют его
В.Площадью Е.Периметром Р.Диаметром
Н. Медианой О. Высотой.
Из предложенных утверждений выберете правильное.
О. В любом треугольнике медианы не пересекаются
Р. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке
Н. В любом треугольнике медианы пересекаются в двух точках
В. Любой треугольник имеет только две медианы
Е. В любом треугольнике медианы совпадают с высотами.

3. Используя данные рисунка, найдите угол А, если 13 EMBED Equation.3 1415В=800
В.600 Е.1400 О. 800 Н. Не знаю
4.В равнобедренном треугольнике АВС основание АС=16 см
и ВD-высота. Чему равна длина отрезка СD?
Н. 16 см В.8см Е.16 см О. 4 см Р. 2 см
5. В треугольнике АВС АВ=ВС=12 см. Точка М лежит на стороне ВС, причем ВМ=МС. Точка М делит периметр треугольника АВС на две части. Периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника АВМ на 3 см. Найдите сторону АС
Н. 9 см В.12 см Е.15 см О. 6 см Р. 3 см

Конверт №2
Отрезки, соединяющие попарно три точки, не лежащие на одной прямой, называют треугольника.
Т.Вершиной О.Радиусом
Ч. Сторонами Н. Углом.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны , то такие треугольники равны.
Т.Стороне и прилежащей к ней углам другого треугольника
О.Двум сторонам и углу между ними другого треугольника
Ч. Трем углам другого треугольника
Н. Трем сторонам другого треугольника

3. Используя данный рисунок, найдите длину АЕ, если DВ= 4см
Т. 4см Ч.3см О. 12см Н. Не знаю

4. В равнобедренном треугольнике DEK c основанием
DK отрезок ЕМ- биссектриса и DМ=9см.Чему равна длина
отрезка КМ?
Т. 3см Ч.6см О. 9см Н. 18 см

5. Периметр равнобедренного треугольника равен 1,05 м, одна из сторон его в три раза больше другой стороны. Чему равна длина меньшей стороны?
Т. 9 см Ч.7 см О. 35 см Н. 15 см

Конверт № 3
Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой стороны,
называется
П.Биссектрисой Р. Стороной А.Медианой
В. Высотой Ы. Перпендикуляр

2. Из предложенных утверждений выберете правильное.
П. В равнобедренном треугольнике углы при основании не равны
Р. В равнобедренном треугольнике углы при основании тупые.
В. Два угла при основании в равнобедренном треугольнике равны
Ы. В равнобедренном треугольнике углы при основании являются смежными.

3.На рисунке АВ=СВ, угол 2 равен 600.
Чему равен угол 1?
П.500 Р. 600 А.700 В. 800 Ы. 900

4.
· МЕР=
· АВС, МР=АС, 13 EMBED Equation.3 1415Е=450. Найдите угол В.
П.450 Р. 600 А.1350 В. 200 Ы. 900

5. Найдите периметр треугольника, если два его угла равны, а две стороны имеют длины 20см и 10 см.
Р. 10 см А.20см В. 30 см Ы. 50 см

Конверт № 4
Треугольник, у которого две стороны равны называется
О. Равнобедренным Т. Равносторонним
В. Прямоугольным Е. Развернутым.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равныто такие треугольники равны.
Т.Стороне и прилежащей к ней углам другого треугольника
О.Двум сторонам и углу между ними другого треугольника
В. Трем углам другого треугольника
Е. Трем сторонам другого треугольника

На рисунке АВ=СВ, угол 2 равен 1200.
Чему равен угол 1?
О. 1200 Т. 600 В. 900 Е. 450


· APC=
· MFB, 13 EMBED Equation.3 1415P=13 EMBED Equation.3 1415M, FB=16см. Найдите АС
О. 4см Т. 8см Е.16 см В. 32 см

Периметр равнобедренного треугольника равен 21 см, а боковая сторона больше основания на 3 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.
О. 18 см Т. 10см Е.8 см В. 5 см

Конверт № 5
Медиана в равнобедренного треугольника, проведенная к основанию,
является и высотой.
Ф.Основанием И. Хордой
Н.Периметром Ш.Биссектрисой

Если три стороны одного треугольника соответственно равны то такие треугольники равны.
Ф.Стороне и прилежащей к ней углам другого треугольника
Н.Двум сторонам и углу между ними другого треугольника
Ш. Трем углам другого треугольника
И. Трем сторонам другого треугольника

Используя данные рисунка, найдите длину ОС,
Если ОВ=5см.
Ф. 4см И. 10 см Н.5см Ш. 2,5 см
4.В равнобедренном треугольнике АВС основание АС=14 см
и ВD-биссектриса. Чему равна длина отрезка СD?
Ф. 14 см И.7см Н.28 см Ш. Не знаю
5.
· AВC=
· КMР, точка О принадлежит стороне СВ, а точка Е-стороне РМ, 13 EMBED Equation.3 1415САО=13 EMBED Equation.3 1415РКЕ, АО=15см. Найдите КЕ
Ф. 7,5 см И.15см Н.30 см Ш. 18 см
5. Литература
Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учредений / Л.С Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.-14-е изд. М.: Просвещение, 2015.
Дидактические материалы по геометрии для 7 класса/Б.Г.Зив, В.М. Мейлер.- 8 изд.-М.: Просвещение, 2014.
Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики : Кн. Для учителя.- М.: Просвещение, 1990.
Математические диктанты для 5-9 классов; Кн. Для учителя / Е.Б. Арутюнян, М.Б.Волович, Ю А. Глазков и др. – М.: Просвещение, 2001.
Методические рекомендации по внедрению стандарта общего образования по математике / Авт.-сост. Ф.С. Мухаметзянова; Под ред. Т.Ф. Есенковой, В.В. Зарубиной. – Ульяновск: УИПКПРО, 2004.
Рабочая тетрадь по геометрии для 7 класса. / Л.С Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2015.
Т А. Алешина. Тестовые задания по геометрии для 7-го класса. Учебно-методическая газета «Математика». Изд. дом «Первое сентября» №31-32, 1998.
Т Яковлева. Математический лабиринт - нестандартный урок, организация и методика проведения. 5-9 классы. Учебно-методическая газета «Математика». Изд. дом «Первое сентября» №3,4, 2005.
Ткачева М.В. Домашняя математика: Кн. Для учащихся 7кл. сред.шк.-М.: Просвещение, 1993.










13PAGE 15







С

А

D

F

B

1420

В

А

С

250

D

B

A

C

D

M

E

Рис 1

А

В

Рис 2

А

В

С

D

С

Рис. 3

A

DDD

С

В

Рис 4

2

1

D

В

Е

С

А

О



Рис 5

D

А

В

С

РИТМ
I. _ _ _ _ _
II. _ _ _ _ _
III _ _ _ _ _
IV _ _ _ _ _
V _ _ _ _ _

Рис 8

Рис. 6

Рис 7

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

А

B

D

O

C

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

L

O

S

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

C

O

D

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

А

O

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

O

А

B

C

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

N

M

O

P

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

T

O

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

B

O

А

R

E

А

D

B

C

600

600

E

А

D

B

C





3 см

3 см

2

С



В



А

1

С



2

В

1

А



А

В

С

D

О



Рис 10