Урок из раздела Тригонометрия при подготовке к ЕГЭ : Решение уравнений разными способами

Урок математики в 11 классе.
(Автор – учитель математики МБОУ «СОШ №1 р.п.Самойловка»
Локтионова Валентина Николаевна).
Тема урока: методы решения тригонометрических уравнений.
Тип урока :урок общеметодологической направленности.
Деятельностная цель : формирование способности обучающихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий.
Формируемые УУД:
Личностные: умение точно и грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи, быть активным при решении математических задач, выражать положительное отношение к процессу познания; адекватно оценивать свою учебную деятельность.
Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения; умение самостоятельно планировать и осуществлять свою работу;
Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками; контролировать результат своей деятельности
Познавательные: умение работать с математическим текстом, грамотно применять математическую символику, логическое обосновывать математические утверждения, выстраивать логическую цепь рассуждений.
Образовательная цель: выявление теоретических основ построения содержательно-методологических линий.
Оборудование: мультимедийный проектор, ноутбук, раздаточный
дидактический материал для обучающихся.
Ход урока.
Этап мотивации.
Проверить готовность учащихся и кабинета к работе, создать положительный настрой учащихся к работе.
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это,- что следуя этому методу, мы достигнем цели. Лейбниц.
Как вы понимаете эти слова великого математика?
Учитель. Я хочу, чтобы наш урок расширил ваши знания, принес много полезной информации и был для каждого из вас интересен.
Вместе с вами мы подымимся еще на одну ступеньку по пути изучения темы «Уравнения. Методы решения». Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы необходимо держать в зоне своего внимания, чтобы решать задачи наиболее подходящим методом.
Обучающиеся записывают тему урока в тетрадях
Целеполагание.  Давайте поставим цели нашего урока.
2.Этап актуализации и фиксирования индивидуального затруднения в учебном действии.
Проверка домашнего задания. Обучающимся на дом было дано одно уравнение, которое они должны решить различными способами. Цель этого задания- показать применение различных методов решения тригонометрических уравнений, систематизировать знания об всех методах решения тригонометрических уравнений.
Уравнение sinx+ cosx=1 можно решить, по крайне мере, шестью способами. Обучающиеся у доски защищают свои решения.
Способ №1.
Сведение к однородному уравнению. Выразим sinx и cosx через фунции половинного аргумента.
sinx+ cosx=1



Способ № 2.
sinx+ cosx=1
Преобразование суммы в произведение.

Выразим cosx через
Получим:

Способ № 3.Введение вспомогательного угла .Разделим обе части уравнения на квадратный корень из двух.
sinx+ cosx=1

Способ № 4.
Замена sinx и cosx через тангенс половинного аргумента.
Обращение к тангенсу половинного аргумента предполагает, что косинус отличен от нуля, т. е.


Способ №5.Замена cosx на
sinx+ cosx=1,
sinx =0,

=1-sinx,
1-sin 2x=(1-sinx)2
(1-sinx)(1+sinx)-(1-sinx)2=0,
(1-sinx)(1+sinx-1+sinx)=0,
2(1-sinx) sinx=0,
Sinx=1или sinx=0,

Из серии
Способ № 6.
Применение формулы
sinx+ cosx=1,

Систематизация изученных методов решения уравнений.
Дан ряд уравнений. Определить метод решения каждого.
На слайде.
1.cos 2 x+ sinx cosx=1(разложение на множители),
2. sinx – cosx - 4 cos 2x sinx=4 sin 2x(однородное уравнение),
3. cos3x -2 cos2 x+ cosx=0(использование формул сложения),
4. cosx cos3x= cos5x cos7x(использование формул разложения произведения в сумму)
5. sin 2 5x= cos 2 2x-2 sin 2 2x-1(формулы понижения степени),
6. sinx+ cosx=2,5+5 sinx cosx(смешанного типа).
Предлагается обучающимся решить уравнение №4 несколькими способами.
Сильные обучающиеся решают уравнение №5.
3.Этап закрепления.
Теоретический опрос.
- сформулируйте определение арксинуса числа, арккосинуса числа, арктангенса числа, арккотангенса числа,
- для каких чисел определен арксинус, арккосинус,
- формулы корней уравнения sinx=а, cosx=а,
- частные случаи решения уравнений sinx=а, cosx=а,
- при каких значениях а уравнения sinx=а, cosx=а имеют решения.
Групповая работа(выбрать наиболее удобный метод).

Проверка выполнения заданий осуществляется на доске, выясняя, какой метод решения, по мнению обучающихся, наиболее рациональный.
4.Этап включения изученного в систему знаний.
Классификация тригонометрических уравнений.
Составление кластера.


Провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решений. Работа в парах по таблице. Рядом с каждым уравнением указать номер метода, которым можно решить данное уравнение наиболее рационально.
№ Уравнения № метода Методы
1 4(б) 1.Разложение на множители
2 1 2.Введение новой переменной:
а) сведение к квадратным,
б) универсальн. подстановка,
в)введение вспомогательного аргумента,
3 1 3.сведение к однородному уравнению
4 5sinx-2cosx=1 3,2б,2в 4. Использование свойств функции
а)условие равенства тригонометрических функций,
б)использование ограниченности функций
5 Sin3x-cos2x=1 4б 6
1,2б,2в,3 7 1-sin2x=cosx-sinx1,2б,2в,3 8 сos3x=sinx4а 9 4-cos 2 x=4sinx2а 10 sin3x-5sinx=0 4б 11
4а 12 1,2а,2б,2в3,4 Вывод: наибольшее количество методов можно применить к решению последнего тригонометрического уравнения .Первые три метода являются традиционными при решении тригонометрических уравнений. Последний метод используется достаточно редко. Поэтому предлагается остановиться на нем подробнее.
Метод использования свойств ограниченности функции.
Суть этого метода заключается в следующем:
если функцииf(x) и g(x) таковы, что для все х выполняется неравенства
и дано уравнение f(x) + g(x)=a+b, то оно равносильно системе:

Решается уравнение №1 (см. таблицу).
поскольку
имеем систему:
Объединяя полученные решения, приходим к окончательному ответу:
Расширение системы знаний.
Условие равенства одноименных тригонометрических функций
I.

II.
III.
Минута релаксации.
1) Какая цифра переводится с латинского никакая?(0)
2)какой стол устойчивее: на 3 и 4 ножках(на трех, так как три точки задают единственную плоскость).
3)Когда х больше, чем100х (когда х меньше нуля).
4)Кто из великих математиков вычислил число пи(Пифагор).
5) Какое число можно найти в каждом автомобильном баке? (октановое).
6) Какую геометрическую фигуру прикрепляют к лацканам костюмов выпускникам ВУЗов? (значок в виде ромба).
7) Какие мужские имена имеют математическое происхождение? (Константин, от латинского слова „constant“,- стойкий, постоянный. Максим, от латинского  „maximus“- самый большой, величайший).
Работа в группах под контролем учителя(с использованием новых формул).
Уравнение №8(см. таблицу)

Уравнение №10.

Уравнение №11.

5.Рефлексия.
Подведение итогов урока, развитие у учащихся навыков самоконтроля.
Определите результат своей работы, используя следующую таблицу.
1.На уроке я работал
2.Своей работой на уроке я
3.Урок для меня показался
4.За урок я
5.Мое настроение
6.Материал урока мне был
7.Домашнее задание мне кажется
активно / пассивно
доволен / не доволен
коротким / длинным
не устал / устал
стало лучше / стало хуже
понятен / не понятен
полезен / бесполезен
интересен / скучен
легким / трудным
интересно / не интересно
Проведите самооценку своей работы. Заполните оценочные листы
Домашнее задание. Учителем предлагаются разноуровневые задания.