Исследовательская работа по математике на тему Замечательные кривые

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа с.БестянкаКузнецкого района Пензенской области
Научно-практическая конференция школьников
«Старт в науку»
Секция: математика
Научно-исследовательская работа
«Замечательные кривые»
Работу выполнил - Аббясов Иркен, ученик 10 класса
МБОУ СОШ с.Бестянка Кузнецкого района
Научный руководитель- учитель математики Бикмурзина Л.Я.
2016г
Содержание
  1. Введение....................................................................................................с. 4-5
2. Основная часть.........................................................................................с. 6-16
2.1 Циклоида................................................................................................с. 6- 10
2.2 Кардиоида..............................................................................................с. 10-13
2.3 Эллипс.....................................................................................................с. 13-15
2.4 Кривая Коха............................................................................................с. 15-16
Социологический опрос ..............................................................................с. 17
Заключение ...................................................................................................с. 18
Список литературы ......................................................................................с. 19
Актуальность темы: заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. В курсе изучения аналитической геометрии не предусмотрено рассматривание свойств замечательных кривых, которые широко используются в жизни.
Цель работы: изучить свойства, применение, построение некоторых кривых, которые встречаются и имеют практическое применение в нашей жизни и создать несложные инструменты из подсобного материала для их построения.
Задачи:
- изучить необходимую литературу про свойства замечательных кривых;
-исследовать присутствие и применение некоторых кривых в окружающей жизни;
- найти практическое применение данных кривых на уроках математики.
Объект исследования: построение кривых и их свойства.
Гипотеза: использование данного материала показывает практическое применение кривых в жизни человека.
Практическая значимость: материал по замечательным кривым поможет красочно и доступно продемонстрировать значимость их свойств , а несложные инструменты, созданные на основе этих свойств, помогут без особого труда построить данные кривые .
Введение
Второй год в нашей школе проводится работа по изготовлению несложных инструментов, которые можно применить в практической деятельности человека.
Если внимательно присмотреться к окружающим нас предметам, легко можно заметить, что далеко не все они могут быть изображены на чертеже только с помощью прямых линий. Формы большей части предметов содержат в себе более сложные элементы кривых линий и поверхностей. Здания, машины, механизмы, мебель, одежда, посуда – все содержат в себе эти элементы.
Я хочу познакомить вас с некоторыми поистине замечательными кривыми, населяющими удивительный мир геометрии и встречающиеся в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе и имеют практическое приложение в жизни человека. Знание их замечательных свойств используется в различных механизмах, применяемых человеком в жизни. Я выбрал эту тему, так как считаю её интересной и содержательной, развивающей познавательный интерес к математике, открывающей практическое приложение математики в жизни. Использование данного материала на факультативных занятиях расширяет кругозор учащихся, развивает пространственное представление, мышление. В школьном курсе математики рассматриваются кривых второго порядка – гипербола, парабола, окружность, синусоида, но нигде не говорится о замечательных свойствах эллипса, циклоиды, кардиоды, спирали Архимеда, кардиоиды, а тем более об их практическом применении. Я думаю, что полезно будет знать информацию об этих кривых, которые широко применяются в жизни. И моё мнение такое, что на уроках геометрии в 11 классе при изучении тем «Конус» и «Цилиндр» можно было бы вводить понятие эллипса и рассматривать его свойства.
Замечательные кривые меня заинтересовали при изучении алгебры, так как именно на этих уроках я впервые познакомился с гиперболой, параболой, окружностью, синусоидой.
В данной работе собран материал с уклоном на практическое построение и применение кривых. Изучение каждой кривой я рассматривал в трех направлениях:
·  Теория – определение кривой и её замечательное свойство.
·  Практика – как построить кривую при помощи школьных чертежных инструментов или подручного материала.
·  Приложение – практическое применение кривых в жизни человека.
Основная часть
2.1Циклоида
При построение графика функции у= Isin xI и y=Icos xI ( рис.1)я выяснил, что графиком этих функций является кривая, которая называется напоминает циклоиду.
рис. 1
Циклоидой именуют кривую, которая описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой(рис.2).
 рис.2
Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на нее внимание. Сравнивая вес двух металлических пластинок равной толщины, одна из которых была вырезана по циклоиде, а другая по окружности, порождающей эту циклоиду, Галилей обнаружил, что площадь сегмента циклоиды в три раза больше площади соответствующего круга. Опыты Галилея дали толчок строгим математическим исследованиям циклоиды. Сначала его ученик Торричелли, а затем Роберваль, Декарт и Ферма не только обосновали зависимость, открытую Галилеем, но и установили ряд других свойств циклоиды. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVII-XVIII вв. Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причем вначале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающего математического анализа.
Уравнение циклоиды в декартовых координатах:  Построение
Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.
Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку, занумеровав эти положения цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота, так как расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0 , то в положении 1 он будет лежать в точке M1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1 , M2 , М3 и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания, радиусом, равным 1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 - две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки М0, М1 , M2 , М3 , М4 , M5 , M6 , плавной кривой (на глаз). (рис3) рис. 3
Заряженная электричеством частица, попадая в наложенные друг на друга электрическое и магнитное поле, движения по кривой, при ближайшем исследовании является циклоидой.
В строительном деле мы можем встретиться с циклоидой — арки сводов в некоторых случаях очерчиваются по этой замечательной кривой. 
Я решил сам из подсобного материала сделать инструмент для построения этой циклоиды.
Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг, прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую, называемую циклоидой. (Что по-гречески значит « кругообразная») (рис.4, рис.5)

Рис.4, Рис.5Построение циклоиды
Определяется она как кривая, которую описывает точка обода колеса, катящегося без проскальзывания по прямой линии.
Циклоида обладает многими замечательными свойствами. И основное свойство циклоиды: касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга ( рис.6)

Рис.6 Свойство циклоиды
Обратим внимание на положение касательной к циклоиде. Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгивать спину велосипедиста.
Вот ещё одно свойство. Давно математики пытались решить такую задачу: какой формы должен быть гладкий желоб, соединяющий две точки А и В ( А выше чем В), чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому желобу из точки А в точку В под действием своего веса за кратчайшее время? Можно подумать, что желоб должен быть прямолинейным. Но это не так.
Может быть желоб следует выгнуть по дуге окружности, как думал великий итальянский физик, астроном и математик Галилео Галилей, живший на рубеже XVI - XVIIвв.? Нет, Галилей ошибался. Только в 1696 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли установил, что желоб должен быть выгнут по циклоиде, опрокинутой вниз(рис 7).

Рис.7
Опыт.
   
Мы знаем, что часы с обычным маятником не могут идти точно, ведь период колебаний зависит от амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. По какой кривой должна двигаться точка, чтобы ее период не зависел от амплитуды. Понятно, что в обычном маятнике кривая, по которой движется точка – есть окружность. В приведенном случае искомой кривой является перевернутая циклоида. ( рис 8).Такой маятник создал Христиан ГЮЙГЕНС, голландский ученый, в 1657 году. Он подвесил маятник в острие перевернутой циклоиды (точка О), сделал длину нити равной половине длины арки циклоиды (АВ) и дал возможность нити наматываться на циклоидальные «щеки» (ОА и ОВ).
При этих условиях конец маятника (Т) движется по циклоиде (таутохроне), а период колебания не зависит от величины начального отклонения

Рис.8
Христиан Гюйгенс, голландский ученый, в 1657 году создал такой маятник.
С циклоидами связан один интересный парадокс. Допустим, что пассажирский поезд идет из Москвы в Киев. Оказывается в каждый момент времени в этом поезде, более того, в каждом вагоне есть точки, движущиеся в обратном направлении. Этому можно только удивиться, но это так. Все дело в устройстве железнодорожных колес. Если смотреть вдоль рельс, то можно увидеть выступ на колесе, который опускается ниже рельса. Роль этого выступа очень велика, он не позволяет колесам сойти с рельс. Эта самая нижняя часть колеса, находящаяся ниже его опорной точки, движется в направлении, обратном движению своего колеса.
Если выбрать крайнюю точку колеса, то линия, описываемая ею, будет выглядеть как на рисунке. Обратное движение эта точка совершает в нижних частях маленьких петель (рис 9)

Рис.9
2.2 «Родственница» циклоиды - кардиоида.
Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè, 1705 г.). Название кривой дал Джованни Сальвемини ди Кастиллоне в 1741 г.
«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир, который открыл кривую независимо, в 1708 г. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J. Koersma, 1741 г.). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII-XIX веков.
Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности равного радиуса (рис.10). Траекторией точки будет кардиоида.
 рис.10
По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (греческое слово «кардиа» означает «сердце»).
Уравнение кардиоиды в прямоугольных координатах:  Построение
Если через точку, взятую на окружности, провести во всех направлениях лучи, пересекающие эту окружность, и из каждой точки пересечения отложить вдоль каждого луча в обе стороны отрезки, равные диаметру этой окружности, то получим точки кривой, называемой кардиоидой. 
Сорок лет назад математик Илья Блох привел многочисленные примеры явления и применения кардиоиды. Так, изучая фотографию обратной стороны Луны, он выявил, что выдающиеся вершины гор и обособленные кратеры единственным образом складываются в последовательность, представляющую собой две сопряженные кардиодические линии. Центр этого изображения совпадает с центром диска Луны, а его длина равна половине диаметра диска. В те же годы в журнале "Наука и жизнь" один из космонавтов писал о самой экономичной траектории полета с планеты на планету с возвращением туда, откуда стартовал корабль. Такая траектория представляет собой математически правильную кардиоиду.  Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические  колебания. При этом скорость поступательного  движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с v на —v), что вызывает быстрое изнашивание механизма.      Одна  из составных частей в механизме  для поднятия и опускания семафора очерчена по кардиоиде (рис.11). При этом скорость поднятия или опускания достигает максимального значения в середине хода семафора, что очень важно.        рис.11 рис.12  Кардиоида также хорошо знакома конструкторам и возникает при возвратно-поступательных движениях стержней в двигателях.
Широким спросом пользуются кардиоидные микрофоны (рис.12). Кардиоидные микрофоны можно использовать в помещениях, куда попадают посторонние шумы или где имеются звуковые отражения.
Рис.13 Кардиоида
Я также решил сделать инструмент из подсобного материала для построения кардиоды. Для этого можно вырезать два картонных круга. Один из них закрепить неподвижно. Второй приложить к первому, отметить на его краю точку А, наиболее удаленную от центра первого круга (рис.14, рис.15). Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному, и понаблюдайте, какую линию опишет точка А. На основе этой методике я создал инструмент для построения эпикоциклоиды (рис.16)
  
Построение кардиоиды Рис.14 Рис.15 Рис.16 Построение эпикоциклоиды
2.3 Эллипс (от др. греческого – недостаток).
Эту фигуру знают все. С ней встречаются в астрономии и географии
( траектория движения планет и спутников, форма земного меридиана, путь электрона вокруг ядра атома), в черчении, рисовании и стереометрии (рисунки технических деталей, круглых предметов и геометрических тел), но что такое эллипс, чем он интересен мы и не задумываемся, потому что о замечательной фигуре, обладающей красивыми и важными свойствами, практически ничего не говорится в школьных учебниках.  
Рис15 Сечение конуса Рис.17 Рис.18 Эллиптическая галактика
Эллипсы в нашей жизни встречаются гораздо чаще, чем нам кажется. Например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов (рис19)., кольца Сатурна также имеют эллиптическую форму (рис.20).
 
Рис.19 Рис.20
У эллипса есть целый ряд свойств, которые могут иметь самое неожиданное применение. В форме эллипса можно изготовить журнальный столик или соткать ковер.
Зная определение эллипса, можно сделать простейший прибор, вычерчивающий эллипс. Для этого надо взять две булавки с ниткой, воткнуть их в чертежную доску,
взять карандаш и двигать его по бумаге так, чтобы грифель карандаша все время натягивал нитку. Тогда кончик грифеля будет рисовать на бумаге эллипс (рис.21, рис.22, рис 23).
.
Рис.20 Рис.21 Рис.22
Эллипс обладает еще одним замечательным свойством. Так если мы сделаем зеркало в форме эллипса и поместив в одном из фокусов источник света, то лучи, отразившись от зеркала, соберутся в одном фокусе. Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического» шепота, «потусторонних» звуков.
Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды которых имеют эллиптическую форму: если находится в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находиться рядом, хотя на самом деле расстояние велико (рис.21).

Рис.21
Все точки эллипса обладают одним свойством:
Сумма расстояний от них до двух заданных точек плоскости (эти точки называются фокусами эллипса) постоянна.
2.4 Кривая Коха
В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с большой скоростью. Поиски данных кривых были вызваны не просто интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М. Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом подтвердила движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Кривая Коха примечательна тем, что она непрерывна. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.
Процесс её построения выглядит следующим образом (рис 27): берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха, которая не имеет самопересечений.
Рис.18
Рис.17
Снежинку Коха можно построить на сторонах равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике каждая сторона делится на три равные части и на средних отрезках сторон строятся наружу равносторонние треугольники треугольника. Эту операцию повторяют бесконечное число раз для каждого из отрезков ломаной, получившегося на предыдущем шаге (рис.18)
Основные свойства кривой Коха
1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема.
2. Имеет бесконечную длину.
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь.
Социологический опрос.
Я решила провести социологический опрос среди учащихся 8-11 классов нашей школы: «Имеете ли вы представление о том, что такое эллипс?» На вопрос школьников « что такое эллипс?» одни ответили: «вытянутый круг», «вытянутая окружность» , другие – «сжатый круг» , «сжатая окружность», третьи пытались объяснить, что это овал, правда не понимая, что это за кривая, а учащиеся 11 класса в один голос говорили, что это сечение конуса под определенным наклоном. Несколько учащихся попытались нарисовать эллипс, но у них ничего не получилось.
Несмотря на разнообразие ответов многие учащиеся имеют представление о том, как выглядит эллипс. Результаты приведены на диаграмме


На вопрос " знаете ли вы, что такое циклоида, кардиода?" выяснилось, что где-то что- то они слышали, но не знают , что это такое.
Заключение
По результатам опроса можно сделать вывод, что очень мало учеников имеют представление о замечательных кривых. Именно поэтому я считаю, что на факультативных занятиях, а также на уроках геометрии необходимо рассматривать свойства и применение в жизни данных кривых. Очень важно, когда учащиеся могут нарисовать данные кривые и фигуры, созданные на основе этих кривых, не просто с помощью обычных привычных инструментов: линейки, циркуля, транспортира, но так же и с помощью новых совсем не знакомых инструментов, сделанных руками самих же учащихся. Это вызовит особый интерес к изучению математики и наглядно показывает значимость математических знаний в повседневной жизни.
При выполнении данной исследовательской работы я не только узнал для себя очень много нового и интересного, но и научился применить математические знания в практической деятельности и тем самым облегчить выполнение тех или иных заданий. А в математике, согласитесь, самое главное - это умение применять полученные знания в практической деятельности.


Список литературы
1.  Маркушевич А. И. Замечательные кривые.- М.:1978, 48 стр. с илл.
2.  Бакуш И. В. Геометрическое моделирование окружающего мира.-
Москва: Терра, 2009
3 . Дорохов А. И. Геометрия в моем понимании.- Москва, 2004
4 . Детская энциклопедия. т16., 2000.
5. Майер В. А. Все о кривых.- СПб.:Знание,1999