Урок математики в 8 классе по теме Графическое решение квадратных уравнении

Коммунальное государственное учреждение « Вечерняя школа №3» акимата города Усть-Каменогорска Кусаинов Акылбек БолатбековичУчитель математики Тема урока:«Графическое решение квадратных уравнений» x2 y = Цель урока:1. Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у = х2, закрепить навыки построения графиков функций. 2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать. 3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие. Оборудование: мультимедийный проектор, компьютеры, карточки с дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.Тип урока: урок формирования знаний. Вид урока: урок – практикум.Методы урока: словесные, наглядные, практические.Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная. Немного истории Еще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений. Диофант Александрийский, Аль- Хорезми . Евклид Омар Хайям Решали уравнения геометрическими играфическими способами Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов: ax2 + bx +c = 0 ax2 = -bx – c ax2 + c = - bx a(x + b/2a)2 = ( 4ac - b2 )/4a Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0 Алгоритм графического решения квадратных уравнений Ввести функцию f(x), равную левой части и g(x) , равную правой части Построить графики функций y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскостиОтметить точки пересечения графиковНайти абсциссы точек пересечения, сформировать ответ Способы графического решения квадратного уравнения ахІ + bх + с = 0 Способ поcтрое-ния параболы y=ахІ +bx+c Способ поcтрое-ния прямой у= bx+c и параболы у = ахІ Способ поcтрое-ния прямой у= bx и параболы у = ахІ+с Способ выделе-ния полного квадрата I II III (a) (b) Способ поcтрое-ния прямой у= с и параболы у = ахІ+ bx (в) «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер. Графическое решение квадратного уравнения Иллюстрация на одном примере Способ 1Построить график функции y=ax2+bx+cНайти точки пересечения графика с осью абсцисс Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Решить уравнение 1 способ Построим график функции у = График-парабола, а=1>0,ветви вверх.Вершина ( ) =- Х ο = 1 (1; -4)-вершина 3. Ось параболы 4. Дополнительные точки: х у 1 -4 0 -1 2 3 0 -3 -3 0 Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0.Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3. -1 1 -1 3 х 3 о у Алгоритм построения параболы найти координаты вершины; провести ось параболы;отметить на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы; найти значения функции в этих точках;провести параболу через полученные точки. Пусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0а = 1>0, ветви вверхКоординаты вершины x۪۪ ο =-b/2a; x۪۪ ο =1 . y ο = 1І - 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4)Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1 Построить по таблице график y=x2 -2x -3 Примеры графического решения квадратных уравнений x 0 2 -1 3 y -3 -3 0 0 3 -1 Решение уравнения x2-2x –3=0 Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ у=x2 – 2x -3 Графический способ решения квадратных уравнений Парабола и прямая касаются Парабола и прямая пересекаются Квадратное уравнение имеет два равных корня Квадратное уравнение не имеет корней Квадратное уравнение имеет два различных корня Парабола и прямая не пересекаются и не касаются Способ 2(а)Построить графики функции y=ax2 и у = bx+ сНайти абсциссы точек пересечения графиков. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 = 2x +3 Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 иy= 2x + 3 3 -1 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой 2 способ Преобразуем уравнение к виду Построим в одной системе координат графики функций -это парабола -это прямая х у 0 1 3 5 3 -1 3 Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения: -1 и 3 Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения: -1 и 3 4 x2 – 4x + 1 =0 Представим в виде 4x2 = 4x -1  1). Построим графики функций: у = 4 x2 , у = 4x - 1 2). Строим параболу у = 4 x2 а = 4, ветви вверх хο = - ; хο= 0; ; уο= 0. По шаблону строим параболу 3). Строим прямую у = 4x - 1 x 0 1 y -1 3 -1 0 1 3 1 0,5 Корнем уравнения является абсцисса точки пересечения: 0,5 -1 -1 у х Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 2 (b)Преобразовать уравнение к виду ax2+с = bxПостроить: параболу y = ax2+с и прямую y = bxНайти абсциссы точек пересечения графиков функции. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 –3 = 2x Пусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2xПостроим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 –3 и y =2x -1 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой y=x2 –3 y =2x x2 – 4x + 5 =0 Представим в виде x2 +5 = 4x Пусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4xПостроим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 +5 и y =4x Точек пересечения параболы с прямой нетОтвет: корней нет y=x2 +5 y =4x y x о Способ 2(в)Построить графики функции y=ax2 + bx и у = сНайти абсциссы точек пересечения графиков. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 – 2x = 3 Пусть f(x)= хІ - 2х и g(x)=3Построим на одной координатной плоскости графики функцийy= хІ - 2х и y=3 -1 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой y=3 y= хІ - 2х y х о 2 -1 3 Способ 3 (выделение полного квадрата)Преобразовать уравнение к виду a(x+l)2 = mПостроить: параболу y = a(x+l)2 и прямую y = mНайти абсциссы точек пересечения графиков функций. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Выделение квадрата двучлена. x2 – 2x + 1 = 3 + 1 ( x –1)2=4. x2 – 2x = 3 ( x –1)2 - 4 = 0 ( x –1)2 - 2І = 0 ( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0 ( x –3 ) ( x + 1 ) = 0 x –3 = 0 x + 1 = 0 x = 3 x = - 1 x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде (x –1)2=4 Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4Построим на одной координатной плоскости графики функцийy= (x –1)2 и y=4 -1 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой y=4 y= (x –1)2 Решите графически уравнение Группа А Нугуманов РинатСоветхан МирасЖетпыспаев МадиярАхметов РусланЦыганков Иван Группа С Байбуров БолатКузнецов Максим Группа В Таироа РусланЛесниченко Василий хІ + 2х – 8= 0 4хІ - 8х + 3= 0 3хІ + 2х – 1= 0 Решить графически уравнение Как решить уравнение? Построить график квадратичной функции и абсциссы точек пересечения параболы с осью x будут являться корнями уравнения.Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть функции, построить графики этих функций, установить точки пересечения графиков функций, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения. Решить графически уравнение Построить график функции Построить график функции Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций Построить график функции Корни уравнения:точки пересечения параболы с осью ОХ Решить графически уравнение Корни уравнения:точки пересечения параболы и прямой Решить графически уравнение Корни уравнения:точки пересечения параболы и прямой Подведем итоги Познакомились: с графическим методом решения квадратных уравнений;с различными способами графического решения квадратных уравнений.закрепили знания по построению графиков различных функций. Заключительное слово учителя: «Чем больше и глубже вам удастся усвоить азы математики и научиться пользоваться ее методами, тем дальше и быстрее вы сумеете продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займетесь после школы»