Сборник индивидуальных заданий по математике. Раздел: Тригонометрические функции.

КОЛЛЕДЖ ЭКОНОМИКИ, БИЗНЕСА И ПРАВА
Карагандинского экономического университета
Казпотребсоюза

Сборник индивидуальных заданий
по математике.
Раздел: Тригонометрические функции.

(для студентов 1 курса всех специальностей колледжа ЭБП)

Караганда 2015
Составитель: Мещерякова С.А. - преподаватель КЭБП КЭУК

Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Карагандинского экономического университета Казпотребсоюза Бітімхан С.;
преподаватель высшей категории КЭБП КЭУК Кулманова Б.А.

Сборник составлен в соответствии с типовой программой дисциплины «Математика» и предназначен для студентов первого курса всех специальностей. В сборнике кратко изложен теоретический материал, подробно разобрано решение типовых задач. В конце каждой темы приводятся индивидуальные задания, содержащие 30 вариантов. Сборник может использоваться как для самостоятельной работы студентов, так и для практических занятий.

Рассмотрено на заседании П(Ц)К математики и информатики
Протокол №8 от 18.03.2015.

Рекомендовано к изданию решением методического совета
Протокол №4 от 19.03.2015г.

Предисловие.

Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции.
Тригонометрические функции, как соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике, используются в геометрии, как функциональные зависимости - это объект изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения и неравенства изучают методами алгебры.
Данный сборник по дисциплине «Математика» рассматривает тригонометрические функции в рамках математического анализа и алгебры. Он предназначен для студентов первого курса всех специальностей.
Сборник состоит из 5 параграфов. Первый параграф посвящен повторению основных понятий и формул тригонометрии, изучаемых в курсе основной школы. Во втором параграфе рассматриваются тригонометрические функции, их свойства и графики. Третий параграф содержит информацию об обратных тригонометрических функциях. В четвертом параграфе рассматриваются основные методы решения тригонометрических уравнений. Пятый параграф посвящен решению тригонометрических неравенств.
В начале каждой темы помещены определения, формулы и другие краткие теоретические сведения. Затем дается подробное решение типовых задач. В конце каждой темы приводятся индивидуальные задания, содержащие 30 вариантов.
Индивидуальные задания способствуют активизации познавательной деятельности студентов, развивают навыки самостоятельной работы, позволяют индивидуализировать обучение, повышают объективность выставления оценок.

§ 1. Единичная тригонометрическая окружность.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Основные формулы тригонометрии.

Единичная тригонометрическая окружность – это окружность, с радиусом 1 и центром в начале координат.
Горизонтальный (ось Ох) и вертикальный (ось Оу) диаметры делят числовую окружность на четыре четверти.
Начальная точка А единичной тригонометрической окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).
Отсчет по единичной тригонометрической окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Возьмем точку В(х;у) на окружности.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415, соединяющий начало координат с произвольно выбранной точкой плоскости В(х,y), называется радиус-вектором этой точки . Опустим перпендикуляры на оси координат. Проекции точки В(х;у) на оси координат равны х и у соответственно. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Синус угла 13 EMBED Equation.3 1415, образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть ордината этой точки, т.е. : 13 EMBED Equation.3 1415.
Косинус угла 13 EMBED Equation.3 1415, образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть абсцисса этой точки: 13 EMBED Equation.3 1415.
Синус и косинус определены для любого угла 13 EMBED Equation.3 1415 и связаны между собой (по теореме Пифагора) равенством: 13 EMBED Equation.3 1415, которое называется основным тригонометрическим тождеством.
Отношение синуса угла 13 EMBED Equation.3 1415 к косинусу того же угла называется тангенсом угла 13 EMBED Equation.3 1415 : 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Тангенс определен для всех углов, кроме 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - множество целых чисел.
Отношение косинуса угла 13 EMBED Equation.3 1415 к синусу угла 13 EMBED Equation.3 1415 называется котангенсом угла 13 EMBED Equation.3 1415 : 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Котангенс определён для всех углов, кроме 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - множество целых чисел.
Так как точка В лежит на единичной тригонометрической окружности 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Отрезок на оси Оx от -1 до 1 называется линией косинусов.
Отрезок на оси Оy от -1 до 1 называется линией синусов.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Линия тангенсов параллельна оси Оy и проходит через точку (1;0)
Линия котангенсов параллельна оси Оx и проходит через точку (0;1)

Радианная мера угла.

Угол в 1 радиан – центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью 13 EMBED Equation.3 1415 радиан.
13 EMBED Equation.3 1415

Периодичность тригонометрических функций .
Период косинуса равен 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Период синуса равен 13 EMBED Equation.3 1415:13 EMBED Equation.3 1415.
Период тангенса равен 13 EMBED Equation.3 1415:13 EMBED Equation.3 1415.
Период котангенса равен 13 EMBED Equation.3 1415:13 EMBED Equation.3 1415.

Четность и нечетность тригонометрических функций.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Знаки тригонометрических функций.

Значения тригонометрических функций при некоторых углах.

13 EMBED PBrush 1415
0

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equa
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Формулы приведения.

Функции
Угол

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

sin
cos13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415sin13 EMBED Equation.3 1415
-cos13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equati
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·uation.3 1415tg13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415ctg13 EMBED Equation.3 1415

Основные тригонометрические тождества.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Формулы для суммы и разности элементов.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Формулы двойных, тройных и половинных аргументов.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Формулы преобразования произведения в сумму и обратно.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
Выразите в радианной мере величины углов: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Выразите в градусной мере величины углов: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к тригонометрической функции острого угла: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Из основного тригонометрического тождества получим 13 EMBED Equation.3 1415 . Угол 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 находится в III четверти, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Упростите выражение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Докажите тождество 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
ИЗ № 1.
Выразите в радианной мере величины углов.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equat
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Выразите в градусной мере величины углов.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equat
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к тригонометрической функции острого угла:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·BED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если
13 EMBED Equa
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Упростите выражение
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 ;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equati
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Упростить выражение.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Докажите тождество.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков.
2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
1. Функция y=sin(x). График функции y=sin(x) – синусоида:
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2
·.
5. Нули функции: (
·k;0) , где k – целое.
6. Интервалы знакопостоянства: 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Функция y= cos(x). График функции y= cos(x):

Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2
·.
5. Нули функции: 13 EMBED Equation.3 1415, где k – целое.
6. Интервалы знакопостоянства: 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

3. Функция y=tg(x).
График функции y=tg(x) – тангенсоида:
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида 13 EMBED Equation.3 1415, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным
·.
5. Нули функции: (
·k;0) , где k – целое.
6. Интервалы знакопостоянства: 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

4. Функция y=ctg(x).
График функции y=ctg(x):
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=
·k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным
·.
5. Нули функции: 13 EMBED Equation.3 1415, где k – целое.
6. Интервалы знакопостоянства: 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков.

Виды преобразований графиков функций.
Сжатие графика к оси ординат.Правило: чтобы построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, нужно график функции 13 EMBED Equation.3 1415 сжать к оси Оу в 13 EMBED Equation.3 1415 раз.
Пример 1
Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415. Сначала строим график 13 EMBED Equation.3 1415. Период 13 EMBED Equation.3 1415.

Сжимаем синусоиду к оси Оу в 2 раза:
Таким образом, график функции 13 EMBED Equation.3 1415 получается путём сжатия графика 13 EMBED Equation.3 1415 к оси ординат в два раза.
Период функции 13 EMBED Equation.3 1415равен13 EMBED Equation.3 1415.
В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.
Пример 2
Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
График функции 13 EMBED Equation.3 1415 сжимается к оси Оу в 3 раза:
Период 13 EMBED Equation.3 1415функции 13 EMBED Equation.3 1415 равен 13 EMBED Equation.3 1415, период функции 13 EMBED Equation.3 1415 составляет 13 EMBED Equation.3 1415.
Растяжение графика функции от оси ординат
Правило: чтобы построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, нужно график функции 13 EMBED Equation.3 1415 растянуть от оси Оу в 13 EMBED Equation.3 1415 раз.
Пример 3 Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415. Строим график13 EMBED Equation.3 1415.
Период 13 EMBED Equation.3 1415.

И растягиваем синусоиду от оси Оу в 2 раза:
То есть, график функции 13 EMBED Equation.3 1415 получается путём растяжения графика 13 EMBED Equation.3 1415 от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: 13 EMBED Equation.3 1415.

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс
Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.
Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и положительное число 13 EMBED Equation.3 1415:
Правило: 1) чтобы построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415, нужно график 13 EMBED Equation.3 1415 сдвинуть вдоль оси Ох на 13 EMBED Equation.3 1415 единиц влево;2) чтобы построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415, нужно график  13 EMBED Equation.3 1415сдвинуть вдоль оси ОХ на 13 EMBED Equation.3 1415 единиц вправо.
Пример 4
Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
График синуса 13 EMBED Equation.3 1415 сдвинем вдоль оси Ох на 13 EMBED Equation.3 1415 влево:
Внимательно присмотримся к полученному красному графику13 EMBED Equation.3 1415 Это в точности график косинуса 13 EMBED Equation.3 1415. Мы получили геометрическую иллюстрацию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]13 EMBED Equation.3 1415.
   График функции 13 EMBED Equation.3 1415 получается путём сдвига синусоиды 13 EMBED Equation.3 1415вдоль оси Ох на 13 EMBED Equation.3 1415 единиц влево.
Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: 13 EMBED Equation.3 1415, при этом13 EMBED Equation.3 1415.
Функцию 13 EMBED Equation.3 1415 необходимо представить в виде13 EMBED Equation.3 1415  и последовательно выполнить следующие преобразования:
1) График функции 13 EMBED Equation.3 1415 сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат:13 EMBED Equation.3 1415.
2) График полученной функции 13 EMBED Equation.3 1415 сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на 13 EMBED Equation.3 1415 единиц, в результате чего будет построен искомый график 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 5
Построить график функции13 EMBED Equation.3 1415
Представим функцию в виде13 EMBED Equation.3 1415  и выполним следующие преобразования: синусоиду 13 EMBED Equation.3 1415 сожмём к оси Оу в два раза:13 EMBED Equation.3 1415.2) сдвинем вдоль оси Ох на 13 EMBED Equation.3 1415 влево: 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример, вроде бы, несложный, а сделать ошибку в параллельном переносе легко. График сдвигается на13 EMBED Equation.3 1415, а вовсе не на 13 EMBED Equation.3 1415.
Растяжение графика вдоль оси ординат.
Правило: чтобы построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, нужно график функции 13 EMBED Equation.3 1415 растянуть вдоль оси Оу в 13 EMBED Equation.3 1415 раз.
Пример 6
Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415. Строим график функции 13 EMBED Equation.3 1415:И вытягиваем синусоиду вдоль оси Оу  в 2 раза:Период функции 13 EMBED Equation.3 1415 не изменился и составляет 13 EMBED Equation.3 1415, а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза. Область значений функции : 13 EMBED Equation.3 1415.
Сжатие графика вдоль оси ординат.Правило: чтобы построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415, где , нужно график функции 13 EMBED Equation.3 1415 сжать вдоль оси Оу в   раз.
Пример 7
Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Строим график функции :
Теперь сжимаем синусоиду вдоль оси Оу  в 2 раза:Аналогично, период 13 EMBED Equation.3 1415 не изменился, а область значений функции13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс
Правило: чтобы построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415, нужно график 13 EMBED Equation.3 1415 отобразить симметрично относительно оси Ох.
Пример 8
Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Отобразим синусоиду симметрично относительно оси Ох:

Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат
Правило: 1) чтобы построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415, нужно график 13 EMBED Equation.3 1415 сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на 13 EMBED Equation.3 1415 единиц вверх;2) чтобы построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415, нужно график 13 EMBED Equation.3 1415 сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на 13 EMBED Equation.3 1415 единиц вниз.
Пример 9.
Построить графики функций13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Комбинационное построение графика13 EMBED Equation.3 1415  в общем случае осуществляется очевидным образом:
1) График функции 13 EMBED Equation.3 1415 растягиваем (сжимаем) вдоль оси Оу. Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси Ох.
2) Полученный на первом шаге график 13 EMBED Equation.3 1415 сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 10
Построить график функции13 EMBED Equation.3 1415
Строим график косинуса 13 EMBED Equation.3 1415:
Растягиваем вдоль оси Оу в 1,5 раза: 13 EMBED Equation.3 1415;
Сдвигаем вдоль оси Оу на 2 единицы вниз: .

Общая схема построения графика функциис помощью геометрических преобразований
Рассмотрим функцию13 EMBED Equation.3 1415, которая «базируется» на некоторой функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Для построения графика функции 13 EMBED Equation.3 1415
– на первом шаге выполняем преобразования, связанные с аргументом функции, в результате чего получаем график функции13 EMBED Equation.3 1415;
– на втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой функцией, и получаем график функции .
Пример 11. Найдите множество значений функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение:
Область значений функции 13 EMBED Equation.3 1415, как и функции 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415. Так как при умножении на -3 происходит растяжение в 3 раза вдоль Оу графика функции 13 EMBED Equation.3 1415 и симметричное отображение графика функции 13 EMBED Equation.3 1415относительно оси абсцисс, область значений функции13 EMBED Equation.3 1415 - отрезок 13 EMBED Equation.3 1415. А после сдвига вдоль Оу вниз на13 EMBED Equation.3 1415 графика последней функции, получаем окончательный ответ 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 12. Используя четностью/нечетность тригонометрических функций, исследовать на четностью/нечетность функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Поменяем знак аргумента, получим, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно функция нечетная.

ИЗ № 2.
Построить график функции
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Построить график функции.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Построить график функции
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Найдите область значений функции.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Исследуйте функцию на четностью/нечетность.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 3. Обратные тригонометрические функции.
Арксинусом числа 13 EMBED Equation.3 1415называется угол 13 EMBED Equation.3 1415, синус которого равен 13 EMBED Equation.3 1415. Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
График функции 13 EMBED Equation.3 1415.

Арккосинусом числа 13 EMBED Equation.3 1415называется угол 13 EMBED Equation.3 1415, косинус которого равен 13 EMBED Equation.3 1415. Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
График функции 13 EMBED Equation.3 1415.

Арктангенсом числа 13 EMBED Equation.3 1415называется угол 13 EMBED Equation.3 1415, тангенс которого равен 13 EMBED Equation.3 1415. Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
График функции 13 EMBED Equation.3 1415.

Арккотангенсом числа 13 EMBED Equation.3 1415называется угол 13 EMBED Equation.3 1415, котангенс которого равен 13 EMBED Equation.3 1415. Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
График функции 13 EMBED Equation.3 1415.

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
1. Вычислите 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Вычислите 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
ИЗ № 3.

Вычислите
13 EMBE
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·on.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Вычислите
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

§ 4. Тригонометрические уравнения.
Определение: Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестные находятся под знаком тригонометрических функций.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение корней не имеет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, решение находим по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Частные случаи: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение корней не имеет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, решение находим по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Частные случаи: 13 EMBED Equation.3 1415
3)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
4)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.

Примеры.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, решаются приведением к квадратному путем замены 13 EMBED Equation.3 1415. (аналогично решаются уравнения с другими тригонометрическими функциями).
Примеры.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Введем новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда данное уравнение можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415. Мы получили квадратное уравнение. Его корнями служат 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. В первом случае получим решения
13 EMBED Equation.3 1415,
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Во втором случае имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Заменяя 13 EMBED Equation.3 1415 , получим относительно cos x квадратное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Введем новую переменную13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 . Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений, т.к.13 EMBED Equation.3 1415 . Решая уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 находим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Заменяя 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415, откуда, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, получаем 13 EMBED Equation.3 1415. Введем новую переменную 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

Однородные тригонометрические уравнения.
Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида.
Отличительные признаки однородных уравнений:
а) все одночлены имеют одинаковую степень,
б) свободный член равен нулю,
в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.
Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:
13 EMBED Equation.3 1415 (однородное уравнение первой степени)
· "&(*JLNPRЊЋђ°Іґ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
либо
13 EMBED Equation.3 1415 (однородное уравнение второй степени).
Алгоритм решения однородного уравнения первой степени:
1) разделить обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415 (или на 13 EMBED Equation.3 1415). Делить можно на число, не равное 0, а 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. в противном случае 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, что неверно;
2) воспользоваться формулой 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415);
3) решить получившееся уравнение.
Пример.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 - однородное уравнение. Разделить обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415.
Получим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Алгоритм решения однородного уравнения второй степени:
1) разделить обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415 (или на 13 EMBED Equation.3 1415). Делить можно на число, не равное 0, а 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. в противном случае 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, что неверно;
2) воспользоваться формулой 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415);
3) решить получившееся уравнение.
Примеры.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 - однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415.
Получим 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Замена переменной : 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Применим формулы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Получим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415.
Получим 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Замена переменной : 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида: 13 EMBED Equation.3 1415.
Разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415. Получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как 13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415 ( здесь 13 EMBED Equation.3 1415- так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 и его решение 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415 взаимно заменяемы.
Пример.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Здесь 13 EMBED Equation.3 1415.
Делим обе части уравнения на 2. Получим 13 EMBED Equation.3 1415, откуда
13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решив последнее уравнение, получим 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно.

Примеры.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Используя формулу 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда уравнение примет вид 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Применим формулу 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Еще раз применим формулу 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной подстановки 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Возможны 2 случая:
13 EMBED Equation.3 1415 не существует, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 существует и 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда уравнение примет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Откуда
13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415.
Делаем замену: 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

ИЗ № 4.

Решите простейшее тригонометрическое уравнение.

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решите простейшее тригонометрическое уравнение.

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить тригонометрическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить тригонометрическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить тригонометрическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить тригонометрическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить тригонометрическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить тригонометрическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Решить тригонометрическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить тригонометрическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить тригонометрическое уравнение:

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

§ 5. Тригонометрические неравенства.
Определение: Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется
тригонометрическим неравенством.
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств: 13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ;
13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ;
13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ;
13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 ;
Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис.1
Рис.2


Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решением неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 является любое действительное число.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 выражается в виде 13 EMBED Equation.3 1415  (рис.1).

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 неравенство13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решением неравенства13 EMBED Equation.3 1415 является любое действительное число.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства13 EMBED Equation.3 1415 выражается в виде 13 EMBED Equation.3 1415  (рис.1).

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 неравенство13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решением неравенства13 EMBED Equation.3 1415 является любое действительное число.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства13 EMBED Equation.3 1415 выражается в виде 13 EMBED Equation.3 1415  (рис.2).

  Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 неравенство13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решением неравенства13 EMBED Equation.3 1415 является любое действительное число.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства13 EMBED Equation.3 1415 выражается в виде 13 EMBED Equation.3 1415  (рис.2).

Примеры.
Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Отмечаем на оси синусов значение13 EMBED Equation.3 1415. Все значения 13 EMBED Equation.3 1415 большие 13 EMBED Equation.3 1415 расположены выше точки 13 EMBED Equation.3 1415 на оси синусов.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 за 13 EMBED Equation.3 1415. Получим неравенство13 EMBED Equation.3 1415. Отмечаем на оси синусов значение13 EMBED Equation.3 1415. Все значения 13 EMBED Equation.3 1415 меньшие 13 EMBED Equation.3 1415 расположены ниже точки 13 EMBED Equation.3 1415 на оси синусов.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис.3
Рис.4

  Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решением неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 является любое действительное число.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 выражается в виде 13 EMBED Equation.3 1415  (рис.3).
Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 неравенство13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решением неравенства13 EMBED Equation.3 1415 является любое действительное число.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства13 EMBED Equation.3 1415 выражается в виде
13 EMBED Equation.3 1415  (рис.3).

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 неравенство13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решением неравенства13 EMBED Equation.3 1415 является любое действительное число.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства13 EMBED Equation.3 1415 выражается в виде 13 EMBED Equation.3 1415  (рис.4).

   Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 неравенство13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решением неравенства13 EMBED Equation.3 1415 является любое действительное число.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства13 EMBED Equation.3 1415 выражается в виде 13 EMBED Equation.3 1415  (рис.4).

Примеры.
Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Отмечаем на оси косинусов значение 13 EMBED Equation.3 1415. Все значения 13 EMBED Equation.3 1415 меньшие 13 EMBED Equation.3 1415 расположены левее точки 13 EMBED Equation.3 1415 на оси косинусов.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 за 13 EMBED Equation.3 1415. Получим неравенство13 EMBED Equation.3 1415 .
Отмечаем на оси косинусов значение 13 EMBED Equation.3 1415. Все значения 13 EMBED Equation.3 1415 большие 13 EMBED Equation.3 1415 расположены правее точки 13 EMBED Equation.3 1415 на оси косинусов.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис.5
Рис.6

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При любом действительном 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415  (рис.5).

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При любом действительном 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415  (рис.5).

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При любом действительном 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415  (рис.6).

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При любом действительном 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415  (рис.6).
Примеры.

Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Отмечаем на оси тангенсов значение 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 –ниже 1.

Отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1. Для этого мы  соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг.
Учитывая, что период тангенса равен 13 EMBED Equation.3 1415, запишем ответ в виде:13 EMBED Equation.3 1415.
Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 за 13 EMBED Equation.3 1415. Получим неравенство13 EMBED Equation.3 1415.
Отмечаем на оси тангенсов значение 13 EMBED Equation.3 1415. Указываем все значения тангенса, большие 13 EMBED Equation.3 1415 – выше 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис.7
Рис.8


Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При любом действительном 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415  (рис.7).

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При любом действительном 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415  (рис.7).

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При любом действительном 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415  (рис.8).

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
При любом действительном 13 EMBED Equation.3 1415 решение неравенства имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415  (рис.8).

Примеры.
Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Отмечаем на оси котангенсов значение 13 EMBED Equation.3 1415. Указываем все значения котангенса, большие 13 EMBED Equation.3 1415 – правее 13 EMBED Equation.3 1415.

Учитывая, что период котангенса равен 13 EMBED Equation.3 1415, запишем ответ в виде: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 за 13 EMBED Equation.3 1415. Получим неравенство13 EMBED Equation.3 1415.
Отмечаем на оси котангенсов значение -1. Указываем все значения котангенса, меньшие -1 – левее -1.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

ИЗ № 5.

Решите простейшее тригонометрическое неравенство.

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить тригонометрическое неравенство.

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Содержание.

Предисловие....3
§ 1. Единичная тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции числового аргумента. Основные формулы тригонометрии...4
ИЗ №1...9
§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков........17
2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики.17
2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков....19
ИЗ №2.27
§ 3. Обратные тригонометрические функции30
ИЗ №3.33
§ 4. Тригонометрические уравнения...36
4.1. Простейшие тригонометрические уравнения.....36
4.2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.37
4.3. Однородные тригонометрические уравнения.38
4.4.Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла39
4.5. Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно40
4.6.Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной подстановки...41
ИЗ №4.42
§ 5. Тригонометрические неравенства....47
. Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.48
5.2. Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.........50
5.3. Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.......52
5.4. Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415,   13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141554
ИЗ №5.56

Литература.
Абылкасымова А.Е., Шойынбеков К.Д. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10 класса естественно - математического направления общеобразовательных школ. Алматы: Мектеп, 2010.
Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: Учеб.-метод. пособие/ М.И. Башмаков, Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – М.: Дрофа, 2001. – 240 с.: ил. – (Дидактические материалы).
Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11 класс: Учеб. пособие. – М.: Просвещение, 1999.
Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10–11 классов. М.: Илекса, 2005г.
Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. - М.: Просвещение, 2010г.
Контрольные и самостоятельные работы по алгебре: 10 класс: к учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа. 10–11 классы» / М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2008.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: задачник для общеобразовательных учреждений. – М. Мнемозина, 2006.
7. Шыныбеков А.Н. «Алгебра и начала анализа».Учебник для 10-11 классов общеобразовательной школы. «Атамура», 2011.
8. Сканави М.И. «Математика в задачах для поступающих в вузы», – М.: издательство «АСТ», 2010г.

13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native