Программа элективного курса «Методы решения задач с параметрами».
Введена в действие
приказом по МОУ Лицею №1 Утверждено
от 31.08.2015 г. № 324 на педагогическом совете
МОУ Лицея №1
Протокол от 31.08.2015 № 14
Директор МОУ Лицея №1
_________ Звонникова Л.В.
Согласовано
на научно-методическом совете
Протокол от 28.08.2015 №1
Зам. директора по УВР
__________Ткаченко М.В.
Программа
элективного курса по математике
для обучающихся 10-11-х классов
«Методы решения задач с параметрами».
Автор – составитель курса: Шмадченко Е.А.
учитель математики МОУ «Лицея №1
Красноармейского района Волгограда»,
высшая квалификационная категория
Оглавление сПояснительная записка _______________________________ 3
Содержание курса____________________________________8
Учебно-тематический план_____________________________9
Литература_________________________________________13
Пояснительная записка.
Программа элективного курса «Методы решения задач с параметрами» предлагается для изучения в 10-11 классах и рассчитана на 34 часа. Задачи с параметрами регулярно предлагаются на итоговой аттестации по математике (часть С) и олимпиадах , но решение задач данного типа вызывает у учащихся значительные затруднения . Эти задачи требуют к себе особенного подхода по сравнению с остальными заданиями. Они представляют собой определенную сложность в техническом и логическом плане. Однако программой школьного курса не предусмотрено детальное изучение данной темы. Это возможно сделать в рамках элективного курса.
Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решение. Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем, что даже при решении простейших уравнений или неравенств, содержащих параметры, приводится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений или неравенств с учетом области определения выражений, входящих в уравнение или неравенство, а так же учитывать выполнимость производимых операций.
Данный курс направлен на расширение и углубление базового уровня знаний учащихся по математике, является предметно-ориентированным. Он позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, использовать эти знания при решении различных по содержанию и уровню сложности задач, наиболее качественно подготовиться к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ.
Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников в методах и приёмах решения задач с параметром.
Преподавание курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса и является развитием системы ранее приобретенных знаний . Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление и направлена на развитие самостоятельной исследовательской деятельности. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный.
Актуальность данной программы обусловлена ее практической значимостью. Применение предлагаемых методов иллюстрируется на решении многих задач из различных разделов математики (алгебры, тригонометрии). Учащиеся могут применить полученные знания и практический опыт при решении практических задач из других естественнонаучных дисциплин.
Целесообразность введения данного элективного курса состоит и в том, что содержание курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей.
Элективный курс «Методы решения задач с параметрами» позитивно влияет на мотивацию старшеклассника к учению, развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла.
Задания, предлагаемые программой данного элективного курса, носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.
В основе формирования практических навыков решения математических задач лежат два главных вида деятельности учащихся: это обобщение и систематизация теоретических сведений, полученных ранее и отработка умений и навыков на практике.
Содержание курса объединено в 4 тематических модуля:
1. Основные методы решения задач с параметрами;
2. Уравнения и их системы с параметром;
3. Неравенства с параметром ;4. Свойства функций в задачах с параметром.
Цель данного курса:
усвоить, углубить и расширить знания методов, приёмов и подходов к решению задач с параметрами;
продолжить работу по интеллектуальному и творческому развитию учащихся, формированию уровня абстрактного и логического мышления;
подготовить к решению заданий уровня С, содержащихся в ЕГЭ и открыть перспективные возможности усвоения курса математики в высших учебных заведениях.
создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
интеллектуальное развитие учащихся; развитие высокой логической и операционной культуры;
развитие научно-теоретического и алгоритмического мышления учащихся; формирование представлений о параметре, повышение уровня математической культуры; формированию обобщенных устойчивых знаний по математике, формирование практического навыка решения задач с параметром.
Логика освоения тем определяется задачами:
формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;
формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении задач с параметрами;
уметь определять типы заданий и подбирать к ним способы решения;
повысить интерес к решению задач с параметрами;
сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;
сформировать навыки работы со справочной литературой;
сформировать умения и навыки исследовательской работы;
способствовать развитию алгоритмического и эвристического мышления учащихся;
способствовать формированию познавательного интереса к математике.
Цели и задачи курса направлены на :1) систематизацию, углубление знаний, закрепление и упрочению умений, необходимых для продолжения образования в ВУЗах;
2) получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как составляющей всей математики как науки;
3) развитие логической и методологической культуры составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемы в рамках общей культуры;
4) овладение общими приёмами организации действий: планирование, осуществление плана анализа и выражение результата действий;
5) получение представлений об универсальном характере математических методов.
Все тематические модули имеют деятельностно - практический характер.
Практические задания способствуют развитию у детей творческих способностей, умения создавать собственные алгоритмы решения и производить поиск рационального способа.
Результаты обучения достигаются в каждом тематическом модуле. Каждая тема заканчивается анализом знаний, умений и навыков, который проводится в форме самостоятельной работы, математического диктанта или тестов и занимает часть урока (15-20 минут).
Освоение содержания предполагает два уровня учебных достижений: базовый и повышенный. Требования к этим уровням определяются в соответствии со стандартом среднего (полного) общего образования по математике (базовый и профильный уровни). Программа может быть использована в общеобразовательных и профильных классах.
Предлагаемые задачи различны по уровню сложности. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от конкурсных до олимпиадных. Программа элективного курса предполагает использование различных методов активизации познавательной деятельности учащихся, разнообразных форм организации их самостоятельной работы.
В результате работы по программе учащиеся должны знать:
- принципы решения уравнений и неравенств ,содержащих параметр, аналитические и графические методы решения задач с параметрами;
должны уметь:
решать линейные, квадратные, дробно-рациональные уравнения и неравенства с параметрами, решать иррациональные, тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами как аналитически, так и графически;
воспроизводить изученные понятия, алгоритмы решения задач с помощью параметров;
анализировать и выбирать оптимальные способы решения задач с параметрами;
самостоятельно конструировать свои знания;
ориентироваться в информационном пространстве;
самостоятельно выдвигать гипотезы, логически обосновывать суждения, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, принимать решения.
Содержание учебного курса
Тема 1. Основные методы решения задач с параметрами (5ч).
Задачи с параметром. Первое знакомство. Типы задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Аналитический метод решения задач с параметрами. Геометрический метод решения задач с параметрами. Метод решения относительно параметра.
Тема 2.Уравнения и их системы с параметром (10ч).
Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с параметром. Свойство квадратного трехчлена. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа (“для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”). Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Различные типы задач, связанные с решением простейших рациональных уравнений с параметрами. Уравнения с модулем. Различные виды уравнений и неравенств с модулем и параметром, задача нахождения числа корней уравнения, задача с дополнительными условиями. Дробно-рациональные уравнения и неравенства с параметром. Задачи, сводящиеся к задачам о расположении корней квадратного трехчлена, задачи с дополнительными условиями.
Тема 3. Неравенства с параметром (10ч).
Решение линейных неравенств с параметром. Решение систем линейных неравенств с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. (“для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Решение квадратных неравенств с параметром второго типа(“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”). Обобщенный метод интервалов. Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.
Тема 4. Свойства функций в задачах с параметром (9ч).
Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений.
Нахождение области определения функции в задачах с параметрами. Задачи с параметром на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции .Монотонность и обратимость функции в задачах с параметром. Четность и периодичность в задачах с параметром
Учебно-тематический план
№ Наименование
тем курса Всего часов В том числе
теория практика
1 Основные методы решения задач с параметрами 5 3 2
1.1 Задачи с параметром. Типы задач с параметрами. 1 1 1.2 Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). 1 0,5 0,5
1.3 Аналитический метод решения задач с параметрами. 1 0,5 0,5
1.4 Геометрический метод решения задач с параметрами. 1 0,5 0,5
1.5 Метод решения относительно параметра. 1 0,5 0,5
2 Уравнения и их системы с параметрами 10 3 7
2.1 Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. 1 0,5 0,5
2.2 Решение систем линейных уравнений с параметром. 1 1
2.3 Алгоритм решения квадратных уравнений с параметром. 1 0,5 0,5
2.4 Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. 1 0,5 0,5
2.5 Различные виды уравнений с параметром, сводящиеся к квадратным. 2 0,5 1,5
2.6 Уравнения с параметром и модулем. 2 0,5 1,5
2.7 Параметр и поиск решения дробно-рациональных уравнений. 2 0,5 1,5
3 Неравенства с параметрами 10 3 7
3.1 Решение линейных неравенств с параметром. 1 0,5 0,5
3.2 Квадратные неравенства с параметром 2 0,5 1,5
3.3 Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. 1 0,5 0,5
3.4 Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. 2 0,5 1,5
3.5 Метод интервалов в задачах с параметром 2 0,5 1,5
3.6 Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. 2 0,5 1,5
4 Свойства функций в задачах с параметром 9 2 7
4.1 Нахождение области определения функции в задачах с параметрами. 2 0,5 1,5
4.2 Задачи с параметром на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 2 0,5 1,5
4.3 Монотонность и обратимость функции в задачах с параметром 2 0,5 1,5
4.4 Четность и периодичность в задачах с параметром 2 0.5 1,5
4.5 Итоговое занятие 1 1
Всего 34 11 23
Методическое обеспечение программы.
В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы. При реализации программы предусматривается применение следующих дидактических форм и методов:
тематические лекции, эвристические беседы;
семинары с выступлениями и докладами учащихся;
олимпиады;
практикумы по решению задач;
индивидуальные консультации;
частично-поисковая деятельность, исследования, создание проектов, написание рефератов.
Техническое оснащение: проектор, компьютер, приложения Microsoft Office.
Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии.
Формы подведения итогов обучения:
собеседование;
анкетирование;
тестирование;
решение олимпиадных заданий;
защита реферата;
защита проекта, исследовательской работы;
решений заданий ЕГЭ; выполнение заданий творческого характера индивидуально или в группах.
Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, использовать различные приемы подачи материала, например, создание слайдов в программе PowerPoint и их трансляция с помощью медиапроектора. Можно развивать тематику или заменять какие-либо разделы другими, главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям. Программа мобильна, т.е. дает возможность уменьшить количество задач по данной теме (так как многие задания предназначены на отработку навыков по одному типу задач) при установлении степени достижения результатов.
Для воплощения целей и задач курса целесообразно применять технологии, включающие учащихся в активную учебно-познавательную деятельность, обеспечивающие личностное развитие каждого ученика.
Используемые технологии:
– проблемное обучение, предусматривающее мотивацию к исследованию путѐм постановки проблемы, обсуждение различных вариантов решения проблемы;
– лекционно-семинарская система обучения;
– информационно-коммуникационные технологии;
– технология деятельностного метода, помогающая выявить познавательные интересы школьников;
– дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы;
– использование исследовательского метода в обучении.
Позиция педагога при проведении данного элективного курса меняется в зависимости от этапов освоения программы. Он выступает информатором только в тех случаях, когда является единственным обладателем информации. Большую часть учебного времени учитель выполняет функции советника, консультанта, поддерживающего интеллектуальную активность учащихся, и наблюдателя за процессом практической работы учеников. Позиция равноправного участника - самая предпочтительная при проведении групповых обсуждений и индивидуальной работы. К каждому модулю разработано материально-дидактическое сопровождение:
- объяснительный материал, раскрывающий основные цели и особенности использования приводимого материла;
- подбор задач по теме модуля;
- указания к решению задач;
- презентации, слайд-лекции, позволяющие полнее раскрыть идеи и методы решения определѐнного вида задач.
Содержание курса позволяет учащимся любого уровня активно включиться в учебно-воспитательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать и доступные вопросы, интересные всем учащимся. Высоким результатам в обучении способствуют методические технологии, обеспечивающие динамику индивидуальной траектории обучения, способные учесть реально достигнутый уровень образования и воспитания учащихся.
Литература для учителя
Галицкая М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. М.- 1986
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - М.-Харьков: "ИЛЕКСА", "Гимназия", 1998
Ковалёва Г. И., Бузумная Т. И. и др., Математика, тренировочные тематические задания повышенной сложности, Волгоград, Изд-во “Учитель”, 2007
Кравцев С.В. и др. Методы решения по алгебре: от простых до самых сложных. – Москва, изд. “Экзамен”, 2005
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажёр. Москва, «Илекса»,2001
Моденов В.П. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические. М.: Экзамен;2007.
Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. -Издат МГУ, 1992
Потапов М.К., Олехник С.Н., НестеренкоЮ.В. Математика. Методы решения задач для поступающих в ВУЗы. М. - «Дрофа»,1995
Пятьсот четырнадцать задач с параметрами // Под ред. Тынянкина С.А. – Волгоград, 1991.
Шабунин М.И.«Математика для поступающих в вузы», М.- «Бином. Лаборатория базовых знаний», 2002 .
Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. – С.-Петербург, «ЧеРо на Неве», 2006 .
Литература для учащихся
Денищева Л.О. и др. ЕГЭ. Контрольные измерительные
материалы. «Просвещение». Москва 2003
Иванов К.Б. Сборник задач для старшеклассников. Волгоград «Учитель», 2002
Задачи по алгебре и началам математического анализа. 10-11 классы: пособие для учащихся общеобразоват. учреждений/С.М.Саакян, А.М. Гольдман, Д.В.Денисов.-М.:Просвещение, 2009
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11 кл. М., «Просвещение»,1999
Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2008.
Мордкович А.Г. Решаем уравнения и неравенства М. «Школа-Пресс», 1995
Сканави М.И. Сборник задач по математике. М. «ОНИКС 21 век»
«Мир и образование»- 2003
Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. Москва «МЦНМО», 2004.
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы: М., 1989
Цифровые образовательные ресурсы для поддержания подготовки учащихся :Информационно-поисковая система «Задачи»:http://zadachi.mccme.ru/easy
Конкурсные задачи по математике: справочник и методы решения http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/tit.htm
Математика для поступающих в вузы : http://www.matematika.agava.ru
Выпускные и вступительные экзамены по математике: варианты, методика: http://www.mathnet.spb.ru
Видеоуроки по математике: 4ege.ru
Образовательный портал http://reshuege.ru/
Образовательный портал: http://alexlarin.net/
Приложение 6
ЗАЧЁТНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тема " Модуль"
1.Упростиь выражения (4б )
1.
2.
3.
2.Решить уравнения
1. ( 1б. )
2. ( 1б.)
3. ( 1б.)
4. ( 1б.)
5. (1б.)
6. (2б.)
7. ||6х +4| -3х|=12 (2б.)
8. (3б.)
3.Решить неравенство
1. (2б.)
2. (2б.)
3. (2б.)
4. (3б.)
5. (3б.)
6. | | |х + 1| + 4| - 5 | (3б.)
4.Решить системы уравнений и неравенств
1. (4б.) 2. (4б.)
5. Изобразить множество точек (х;у)плоскости , координаты которых удовлетворяют уравнениям 1. (4б.) 2. (4б.)
3. | |х|- | у| |=1 (4б.) 4. (4б.)
6.Изобразить множество точек (х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам
1 (4б.) 2. (4б.)
7.Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством (системой неравенств), и вычислите её площадь
1. х2+ у2 4 | у| (5б.) 2. (5б.)
8.Решить уравнение: 1. (6б.)
2. (6б.)
9.При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня: (6б.)
10. Решить неравенство: (6б.)
Норма оценок: зачёт за 10- 39 бал.
"4" за 40-69 бал.
"5" >70бал.
.