Исследование и решение систем 2-х линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера

Исследование и решение систем 2-х линейных уравнений с двумя переменными методом КрамераВыполнили учащиеся 9в класса Мун Дмитрий Самсонова Софья Титаренко АлександрРуководитель, учитель математики: Федоськина О.Д. МБУ ОО СОШ №1 г.Советская Гавань Хабаровского края 2017г Как всё начиналосьИзучая тему «Линейная функция , её свойства и график» у а у у в а а=в 0 х в 0 х 0 х Обратили внимание на расположение прямых: 1. параллельны 2. пересекаются 3. совпадают Линейная функция У = к Х + в Взаимное расположение двух прямых прямых зависит от к и в. Прямые 1. параллельны (к1 = к2, в1 ≠ в2) 2. пересекаются (к1 ≠ к2) 3. совпадают (к1 = м к2 ; в1 = м в2) Если прямые параллельны, значит система ………… Если прямые пересекаются, значит система ………. Если прямые совпадают, значит система …………… Системы с двумя уравнениями и двумя переменнымиСистемой линейных уравнений называется совокупность равенств, содержащих неизвестные величины в первой степени, о которой ставится вопрос: существуют ли и какие именно значения неизвестных, при которых все равенства становятся верными. Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Способы решения системМиллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.Многие практические задачи приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных уравнений. Способы решения систем Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи. В школьном курсе математики мы изучаем такие способы решения систем уравнений как: аналитический (сложения, подстановки), графический Которые нередко вызывают затруднения в вычислениях или в построении графиков заданных функций Способы решения систем Известные способы решения систем 2-х уравнений с двумя неизвестными Графический Аналитический - метод сложения - метод подстановки - метод исключения неизвестных, - метод Крамера. - метод Гаусса Какой из них самый рациональный? Среди не изучаемых в школе методов решения систем уравнений наиболее интересным и достаточно простым является метод Крамера или метод определителей.          Цель исследования: Изучение метода Крамера для решения систем линейных уравнений первого порядка и возможности овладения этим методом учащимися 7 класса. Задачи исследования:Изучить литературу  по методам решения систем уравнений.Научиться решать системы линейных уравнений  методом Крамера.Сравнить вывод о количестве решений системы линейных уравнений  методом Крамера и графическим способом Объект, предмет и методы исследованияОбъект:     Метод КрамераПредмет:  Системы линейных уравнений с 2 переменными.Методы исследования: Сравнение, анализ, обобщение, эксперимент, моделирование. Гипотеза: С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений.Метод Крамера  можно изучать на уроках алгебры в 7-8 классах как дополнительный метод решения систем линейных уравнений с двумя переменны Проблема  решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году  Г. Крамер (1704 – 1752) предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило  Крамера. Позже в  1809 году Гаусс опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный, как метод исключения. Одним из основных методов решения системы линейных уравнений является метод Крамера или метод определителей. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными: a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2. Решением данной системы будет пара чисел, при подстановке которых вместо x и y  оба уравнения обращаются в верные равенства. Метод КрамераСоставим таблицу из коэффициентов при неизвестных данной системы уравнений. Эта таблица называется матрицей:Матрица - прямоугольная таблица, состоящая из чисел, содержащая некоторое количество m строк (горизонтальные ряды) и некоторое количество n столбцов (вертикальные ряды).Числа m и n принято называть порядками матрицы. Если m = n, то матрица называется квадратной, а число m = n ее порядком. Числа, входящие в состав матрицы называют ее элементами. a1 b1 a2 b2 Матрица В нашем примере мы имеем квадратную матрицу второго порядка. Диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний, называется ее главной диагональю, другая диагональ называется побочной.Если из произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы  А вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, то мы получим выражение a1b2 – a2b1, которое называется определителем матрицы А. Это определитель второго порядка, обозначается, так:   ∆ =  a1b2 – a2b1. Метод КрамераПри замене первого столбца столбцом свободных членов, получаем следующий определитель:       ∆ x =   c1b2 – c2b1.  При замене второго столбца столбцом свободных членов, получаем:       ∆ y =  а1с2 – а2с1.         Метод КрамераТаким образом мы нашли, чтоx  = ∆ x ;  y = ∆ y   ∆ ∆ Это и есть формулы Крамера для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.Система имеет решение,  если  ∆≠0. Решение примераПример решения системы 3x -2y = 7, 2x + 3y = 1 Решение:∆  = 3∙3 – 2 ∙(-2)  = 9 +4=13∆ x = 7 ∙ 3 - 1 ∙ (-2)   = 21+2 = 23∆ y = 3 ∙ 1 – 7 ∙ 2 = 3-14 = -11x = 23 : 13,     y = -11 : 13Ответ: ( 23/13; -11/13) Метод Крамера очень удобен для любых коэффициентов при неизвестных, особенно для больших чисел. Вывод:Мы овладели методом Крамера для решения систем линейных уравнений не хуже, чем методами подстановки и  сложения. Более того, если есть возможность выбора способа решения, то 80% учащихся  остановились на новом методе. БИОГРАФИЯКрамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. Кандидатур было три, все произвели хорошее впечатление, и магистрат принял соломоново решение: учредить отдельную кафедру математики и направить туда (на одну ставку) двух «лишних», включая Крамера, с правом путешествовать по очереди за свой счёт.БИОГРАФИЯ