Презентация к уроку алгебры по теме « y=cos x@

Функция определена на всей числовой прямой;Множество значений функции – отрезок [- 1; 1] cos(x + 2π) = cos x, Функция y=cos x -периодическая с периодом 2π ( строим график на промежутке длиной 2π , например [- π; π]) o y x x Р (0;1)-1 cos x cos x 1 x на рис. видно, что функция y= cos x убывает на отрезке [0; π] y -1 1 0 x p -p 2 p 2 -p III II I IY III IY I II p 2 p 2 -p 0 p - шесть клеток Ось косинусов 6 -p 6 p 1 -1 0 3 p 3 -p 6 p 6 -p 3 -p 3 p -2p 3 2p 3 -5p 6 5p 6 -2p 3 2p 3 -5p 6 5p 6 II Построение графика функции y = cosx с применением тригонометрического круга 1.Область определения – множество R всех действительных чисел y xГрафик расположен вдоль всей оси OX 2. Множество значений функции 1 -1График ограничен линиями У=-1 и У=1 3.Функция у= cos x периодическая с периодом 2π 4.Функция y= cos x – четная 5. У=0 при х= π/2 + πп, пє ZНаибольшее значение у=1, если х= 2 πп, пє ZНаименьшее значение у=-1, если х= Наибольшее значение у=1, если х= π+2 πп, пє ZУ>0 на интервале (-π/2 ; π/2 ) и на интервалах со сдвигом на 2 πпУ<0 на интервале (π/2 ; 3π/2 ) и на интервалах со сдвигом на 2 πп 6. возрастает на (π ; 2π ) и на интервалах , получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πп 7. убывает на (0; π ) и на интервалах , получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πп Пример 1: найти все корни уравнения cos x= -1/2, принадлежащие отрезку [- π; 2π]Решение: построим графики функций y= cos x и y= -1/2 Графики заданных функций пересекаются в точках, отмеченных на графике:Абсциссы этих точек являются решениями данного уравненияНа отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = -1/2 является число arccos (-1/2) = 2π/3. Следующим решением является число, симметричное относительно оси ОУ: х= - 2π/3. Третий корень уравнения равен :- 2π/3 + 2π= 4π/3 Ответ : 2π/3; - 2π/3; 4π/3 Пример 2: найти все корни уравнения cos x= -1/2, принадлежащие отрезку [- π; 2π]Решение: построим графики функций y= cos x и y= -1/2 Пример 2: Найти все решения неравенства cos x > - Ѕ, принадлежащие отрезку [- π; 2π] Решение: Из рисунка видно, что график функции y=cos x лежит выше графика функции у=-1/2 на промежутках (- 2π/3; 2π/3) и (4π/3; 2π)Ответ : - 2π/3 cos 8π/92) cos 8π/7 и cos 10π/7Ответ: на интервале ( π; 2π ) функция возрастает, значит т.к. 8π/7 < 10π/7, то cos 8π/7 -9π/7, то cos(- 8π/7) < cos (-9π/7)5) cos1 и cos 3Ответ: на интервале ( 0; π) функция убывает, значит т.к. 1 < 3,то cos1 > cos 36) cos 4 и cos 5Ответ: на интервале ( π; 2π) функция возрастает, значит т.к. 4< 5, то cos4 < cos 5 №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :1) cos x = ЅРешение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = 1/2 является число х=arccos (1/2) = π/3, на промежутке [ π; 2π] - , х=π/3+ 3 π/2=11π/6, на промежутке [ 2π; 3π] - , х=π/3+ +2π=7π/3Ответ: х= π/3; х=11 π/6; х=7π/3 №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :2) cos x = /2Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = /2 является число х= arccos ( /2) = π/4 . На отрезке [ π; 2 π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 7 π/4. На отрезке [ 2π; 3π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = π/4+2 π= 9π/4Ответ : х= π/4 ; х= 7π/4 ; х= 9π/4 №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :3) cos x= - /2 Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x =- /2 является число х= arccos ( - /2) = 3π/4 . На отрезке [ π; 2 π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 5 π/4. На отрезке [ 2π; 3π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 3 π/4+2 π= 11π/4Ответ : х=3π/4 ; х=5 π/4 ; х=11π/4 №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :4) cos x = - ЅРешение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x =- 1/2 является число х=arccos (-1/2) = 2π/3, на промежутке [ π; 2π] - , х=π/3+ π=4π/3, на промежутке [ 2π; 3π] - , х=2π/3+ +2π=8π/3Ответ: х= 2π/3; х=4π/3; х=8π/3 № 713.Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :1) cos x ≥ 1/2Решение : По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен выше графика функции у=1/2 на промежутках ([ 0; π/3 ] и [ 11 π/6; 7π/3 ] Ответ : [ 0; π/3 ] и [ 11 π/6; 7π/3 ] № 713.Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :2) cos x ≥- 1/2Решение : По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен выше графика функции у=-1/2 на промежутках ([ 0;2π/3 ] и [ 4 π/3; 8π/3 ] Ответ : [ 0; 2π/3 ] и [ 4 π/3; 8π/3 ] № 713.Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :3) cos x <- /2Решение : По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен ниже графика функции у=- /2 на промежутках (3π/4;5π/4 ) и ( 11 π/4; 3π) Ответ : (3π/4;5π/4 ) и ( 11 π/4; 3π) № 713.Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3π] :4) cos x < /2Решение : По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен ниже графика функции у= /2 на промежутках ( 0; π/6 ) и (11 π/6; 13π/6 ) Ответ : ( 0; π/6 ) и (11 π/6; 13π/6 ) № 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа:1) cos π/5 и sin π/5Решение: sin π/5= sin (π/2 - 3π/5)= cos 3π/10. Сравним cos π/5 и cos 3π/10; π/5 < 3π/10, значит cos π/5 > cos 3π/10, а значит cos π/5 > sin π/5Ответ : cos π/5 > sin π/52) sin π/7 и cos π/7Решение: sin π/7= sin (π/2 - π/7)= cos 5π/14. Сравним cos π/7 и cos 5π/14; π/7 < 5π/14, значит cos π/7 > cos 5π/14, а значит cos π/7 > sin π/7Ответ : sin π/7 № 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа:3) cos 3π/8 и sin 5π/8Решение: sin 5π/8= sin (π/2 + π/8)= cos π/8. Сравним cos 3π/8 и cos π/8; π/8 < 3π/8, значит cos 3π/8 < cos π/8, а значит cos 3π/8 < sin 5π/8Ответ : cos 3π/8 < sin 5π/84) sin 3π/5 и cos π/5Решение: sin 3π/5= sin (π/2 + π/10)= cos π/10. Сравним cos 3π/5 и cos π/10; 3π/5 > π/10, значит cos 3π/5 < cos π/10, а значит sin 3π/5< cos π/5Ответ : sin 3π/5< cos π/5 № 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа:5) cos π/6 и sin 5π/14Решение: sin 5π/14= sin (π/2 - π/7)= cos π/7. Сравним cos π/6 и cos π/7; π/6 > π/7, значит cos π/6 < cos π/7, а значит cos π/6 < sin 5π/14Ответ : cos π/6 < sin 5π/146) cos π/8 и sin 3π/10Решение: sin 3π/10= sin (π/2 - π/5)= cos π/5. Сравним cos π/8 и cos π/5; π/8 < π/5, значит cos π/8 > cos π/5, а значит cos π/8 > sin 3π/10 Ответ : cos π/8 > sin 3π/10 № 715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :1) cos 2x= ЅРешение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 2x = 1/2 является число 2х=arccos (1/2) = π/3. Решая уравнение 2х = π/3, получим х = π/6Ответ : х = π/6 № 715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :2) cos 3x= /2Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 3x = /2 является число 3х=arccos ( /2) = π/6. Решая уравнение 3х = π/6, получим х = π/18Ответ : х = π/18 № 716 Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :1) cos 2x< ЅРешение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 2x = 1/2 является число 2х=arccos (1/2) = π/3. Решая неравенство π/3 <2х < 3π/2, получим π/6 < х < 3π/4Ответ : π/6 < х < 3π/4 № 716. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :2) cos 3x> /2Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 3x = /2 является число 3х=arccos ( /2) = π/6. Решая неравенство 0< 3х < π/6, получим 0< х <π/18Ответ : 0< х <π/18 № 717 Построить график функции и выяснить её свойства:1) y=1+cos xРешение : График функции y=cos x+1 получается из графика функции y=cos x смещением по оси ОУ на 1 единицу. у 2 y=cos x +1 1 - π/2 0 π/2 π 3π/2Cвойства функции: 1) ООФ – вся числовая прямая 2) Область значений функции - [ 0; 2] 3) Периодическая с периодом - 2π 4) четная 5) принимает значение, равное 0, при х= π+2 πn, nє Z Наибольшее значение , равное 2, принимает при x= 0, nє Z и в точках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z Наименьшее значение, равное 0, принимает при x= π и в точках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z .Положительные значения на интервале на всей числовой прямой, кроме точек, в которых значение функции равно 0.Отрицательных значений у функции нет.6)Возрастает на отрезке (π; 2π) и на отрезках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z 7) Убывает на отрезке (0; π) и на отрезках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z № 718 Найти множество значений функции y=cos x , если х принадлежит промежутку :1) [ π/3; π] Решение : Найдем значения функции на концах промежутка. Cos (π/3) = Ѕ; соs (π)=-1. На заданном промежутке функция строго убывающая, значит, множество значений функции – отрезок [ -1 ; Ѕ ] Ответ: [ -1 ; Ѕ ] № 719 Построить график функции :1) у=|cos x|Решение: Строим график функции y=cos x , а затем те части графика, где y принимает отрицательные значения, отображаем симметрично оси ОХ у 0 х