Презентация на тему Решение не геометрических задач геометрическим методом.

Геометрическое решение негеометрических задач Г.Новосибирск МБОУ Гимназия№4Учитель высшей квалификационной категории Баринова Л.Л Содержание Системы уравнений.Тригонометрия.Взаимосвязанные иррациональности.Экстремумы. Системы уравнений Природа написана на языке математики. Галилей. Задача 1 УсловиеДля положительных x, y, z из условий yІ+zІ=50,xІ+xy+yІ/2=169,xІ+xz+zІ/2=144, не находя значений x, y, z вычислите значение выражения xy+yz+xz. Решение Решение SAOB=1/2*xy/√2*sin135°=1/4xySAOC=1/2*y/√2*z/√2 =1/4yzSBOC=1/2*x*z/√2*sin135°=1/4xzSABC=1/2*5*12=30Заметим, что значение выражения xy+yz+xz=120 равно учетверенной площади треугольника АВС. Итак, xy+yz+xz=120.Ответ:120. Тригонометрия Арифметические знаки − это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры − это нарисованные фигуры. Д.Гильберт Задача 2 Докажите, что sin2α=2sinα*cosα(формула синуса двойного угла). Решение Рассмотрим ∆АВС(АВ=ВС=1), угол АВС=2α, высоты AD и BE.AD=sin2α, AE=EC=sinα,BE=cosα/Так как ∆АВС~ ∆CAD, то AB/AC=BE/AD, т.е. 1/2sinα=cosα/sin2α,Sin2α=2sinα*cosα. Взаимосвязанные иррациональности Математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит. М.Ломоносов Задача 3 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x)=√xІ+4 +√xІ-3x√3+9 В природе все подлежит измерению, все может быть сосчитано. Н.Лобачевский Решение ∆ADC (AC=2, CD=x, угол ACD=90°) и ∆BCD (BC=3, CD=x, угол BCD=30°).Из ∆ADC AD=√xІ+4 (по теореме Пифагора), а из ∆BCD DB=√xІ+9-3x√3(по теореме косинусов)Min f(x)=min(AD+DB)=ABИз ∆ABC AB=√2І+3І-2*2*3*cos120°=√19 (по теореме косинусов).Ответ:√19 Об экстремумах И нет движенья – ни вперед, ни назад, ни вверх и ни вниз. Т. Элиот Подсказка BH=√ab – среднее геометрическоеBO=(a+b)/2 – среднее арифметическое √ab ≤ (a+b)/22√a+b ≤ a+b Задача 4 УсловиеПри каком значении аргумента x функция f(x) принимает наименьшее значение? Вычислите min f(x). 5xІ+4x+20f(x)= 2x , x>0. Решение 5xІ+4x+20 1 2x 2 1 1 202 2 x 5xІ+4x+20 2xX=2Ответ: min f(x)=f(2)=12. = ( 5x+ 20 x ) +2 (5x+ 20 x ) +2 ≥ *2 √ 5x* +2 =12 Задача 5 Доказать, что:из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат;из всех прямоугольников с заданной площадью наименьший периметр имеет квадрат. Доказательство Пусть одна из сторон равна x, тогда при заданном периметре P=4a вторая сторона равна 2a-x.S(x)=(2a-x)x (2a-x)x ≤ , ((2a-x+x)/2)І=aІ(2a-x)x=aІ <=> xІ-2xa+aІ=0 <=> x=aMax S(x)=aІ при x=a. 2a-x-x 2 ( ) 2 Доказательство 2)Пусть сторона прямоугольника равна x, тогда при заданной площади S(x)=aІ другая его сторона равна aІ/x. P(x)=2(aІ/x+x) 2(aІ/x+x) ≥ 2*2√x* , 2*2√x* =4a2(x+aІ/x)=4a <=> xІ-4ax+aІ=0 <=> x=aMin P(x)=4a при x=a. Что и требовалось доказать. x x Терпенье и труд все перетрут. Поговорка