Конспект урока решения ключевых задач на тему ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ

РАЗРАБОТКА КОНСПЕКТА УРОКА ПО ТЕМЕ
«ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ».
Разработала учитель математики МАОУ СШ № 2 г. Бор
Максимова Мария Михайловна
Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк./ Л. С. Атанасян и др. – М.: Просвещение, 1990 (Глава VI, §2).
Тема урока: площадь параллелограмма, треугольника, трапеции.
Тип урока: урок решения ключевых задач.
Учебная задача: выделить ключевые задачи темы, приёмы, методы их решения.
Диагностируемые цели.
В результате урока ученик
знает:
формулы площади параллелограмма, трапеции, треугольника (в частности, прямоугольного треугольника), их словесные формулировки и символьную запись;
формулировку свойства треугольников, имеющих равные высоты, и его символьную запись;
идею метода площадей и метода разбиения, используемых при решении задач;
основные виды задач по теме и приёмы, методы их решения;
умеет:
применять формулы площади параллелограмма, трапеции, треугольника (в частности, прямоугольного треугольника) к решению основных задач по теме;
применять метод разбиения и метод площадей к решению задач;
понимает:
основные приёмы метода площадей;
составляющие метода разбиения/дополнения.
Методы обучения: частично-поисковые, репродуктивный.
Форма работы учащихся: фронтальная.
Средства обучения: мел, доска, учебник, презентация.

Структура урока
Ι. Мотивационно-ориентировочный этап (5 минут).
ΙΙ. Содержательный этап (35 минут).
ΙΙΙ. Рефлексивно-оценочный этап (5 минут).
ХОД УРОКА
Ι. Мотивационно-ориентировочный этап (5 минут).
1. Актуализация.
- Итак, ребята, на прошлых уроках вами было изучено много теории по теме «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции» и вы решали несложные задачи. Давайте повторим основные теоремы этой темы.
Устно (задания подготовлены заранее на доске или в презентации).
№ 1. Установите вид фигуры и вычислите её площадь.

Ответы:
трапеция, 30;
треугольник прямоугольный, 20;
параллелограмм, 40;
треугольник, 18;
№ 2. Найдите по рисунку отношение площади треугольника KBL к площади треугольника ABC.

C
A
K
B
L

Ответ: 1:4 (на теорему об отношении площадей треугольников с парой равных углов)
№ 3. Вычислите по рисунку отношение площади треугольника BCM к площади треугольника BPO.
O
C
M
P
H1
H2
B
BO=2CB

Ответ: 1:2(на 2 следствие из теоремы о площади треугольника)
2. Мотивация.
На предыдущих уроках вами было изучено много теории, на основе которой вы учились решать несложные задачи. Но в учебники присутствует много более сложных задач на изученную теорию.
3. Учебная задача урока.
Учебная задача: рассмотреть решение более сложных, основных задач на применение изученной теории.
Тема урока: решение задач на формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

ΙΙ. Содержательный этап (35 минут)
Все читают каждую задачу про себя (0,5 мин), после чего один из учеников читает задачу вслух. Учитель записывает под диктовку другого ученика, что дано в задаче и что требуется найти. Затем учитель на доске (или в презентации), а ученики в тетрадях делают чертеж к задаче.
Задача № 469.
Стороны AB и CD треугольника ABC равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне AB, равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне BC.
Дано:
ABC –треугольник
AB=16 см
BC=22 см
CH1 – высота ∆ ABC
CH1 =11 см
AH2 – высота ∆ ABC
Найти: высоту AH2

Поиск решения (система вопросов).
- Как можно найти высоту в треугольнике?
(из формулы площади треугольника)
- Назовите мне формулу площади с неизвестной величиной для данного треугольника.
(S=12AH2∙CB; учитель записывает её на доске)
- Что нам известно в этой формуле?
(только CB)
- Значит, теперь задача свелась к нахождению площади треугольника. Как мы это можем сделать?
(выразить её через другие высоту и основание S=12CH1∙AB; учитель записывает и эту формулу на доске)
- Итак, мы выразили площадь одного и того же треугольника двумя способами. Что теперь необходимо сделать, чтобы найти искомую величину?
(приравнять эти два равенства и выразить искомую высоту)
Затем ученик решает задачу у доски по действиям, но числовые данные подставляет только в итоговую формулу (об этом просит сам учитель).
Решение.
S=12AH2∙CBS=12CH1∙AB12CH1∙AB=12AH2∙CBAH2∙CB=CH1∙ABAH2=CH1∙ABCB; AH2=11∙1622=162=8Ответ: S=8 см
Анализ решения.
- Что было дано в задаче?
(треугольник, две стороны и высота)
- Что требовалось найти?
(другую высоту)
- Как мы это сделали?
(записали площадь треугольника двумя способами и выразили искомую высоту)
- Итак, эту задачу мы с вами решили одним из приемов «метода площадей». Приём заключается в следующем: выразить площади одного и того же многоугольника двумя различными способами с последующим выражением искомой величины из составленного равенства. Это задача является первой ключевой задачей в нашей теме. Запишем общий текст таких задач и план их решения.
Формулировка задачи и план её решения.
В треугольнике или параллелограмме известны две стороны и высота (две высоты и сторона), требуется найти другую высоту (сторону).
План.
Выразить площадь треугольника (параллелограмма) с искомой величиной.
Выразить площадь треугольника (параллелограмма), используя известные величины.
Приравнять эти площади и выразить искомую величину.

C
B
H1
A
H2
H1
A
D
H2
C
B

Задача № 478.
A
B
D
C
O
В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.
Дано:
ABCD – произвольный выпуклый четырехугольник
AC, BD – диагонали ABCD
BD⊥AC
Доказать: SABCD=12AC∙BDПоиск решения (система вопросов).
- На какие фигуры «разбивают» диагонали DB и AC четырехугольник ABCD?
(на треугольники)
- Какие, например?
(∆BCA, ∆ACD; ∆BDC, ∆DBA; ∆BOC, ∆COD, ∆AOD, ∆BOA, где O – точка пересечения диагоналей)
- Выберете один из предложенных вам вариантов.
(например, ∆BCA, ∆ACD)
- Каким свойством обладает площадь многоугольника?
(если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников)
- Назовите мне формулу вычисления площади треугольника.
(площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию)
- Как можно преобразовать данное выражение?
(привести подобные)
- Чему равно BO+OD?
(BD)
- Чем являются AC и BD в ромбе ABCD?
(диагоналями)
Затем учитель или ученик решает задачу у доски по действиям, но числовые данные подставляет только в итоговую формулу (об этом просит сам учитель).
Решение.
1. ABCD – выпуклый четырехугольник «разбивается» диагоналями AC и BD, например, на два треугольника BCA и ACD.
2. По свойству площади многоугольника: SABCD=SABC+SADC(*)
3. BD⊥AC (по условию задачи).
Рассмотрим ∆BCA. В нем BO⊥AC, где AC – основание ∆BCA. По формуле для нахождения площади треугольника имеем:
SABC=12AC∙BO (1)
4. Аналогично рассуждая для ∆ACD, получаем:
SACD=12AC∙DO (2)
5. Подставим в (*) выражения (1) и (2):
SABCD=12AC∙BO+12AC∙DO=12ACBO+OD=12AC∙BD
SABCD=12AC∙BDЧто и требовалось доказать.
Анализ решения.
- Что было дано в задаче?
(произвольный выпуклый четырехугольник и его взаимно перпендикулярные диагонали)
- Что требовалось сделать (доказать) в задаче?
(доказать, что площадь произвольного выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей)
- Как мы это сделали?
(разбили четырехугольник на два треугольника и его вычислили площадь как сумму площадей этих треугольников)
- Какая ранее изученная вами теория была нами использована?
(формула площади треугольника, второе основное свойство площади)
- Итак, эту задачу мы с вами решили методом, который называется «методом разбиения». Это задача является ключевой задачей на этот метод. Запишем схему решения задач методом разбиения.
Схема метода «разбиения» – в следующем:
Разбить многоугольник на треугольники любым способом.
Записать (найти) площадь каждого из получившихся треугольников.
Выразить (вычислить) искомую площадь данного многоугольника как сумму найденных площадей треугольников.
Задача № 474.
A
B
H
M
C
Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.
Дано:
∆ABCBM – медиана ∆ABCСравнить: S∆ABM и S∆BMC
Проводится высота BH
Поиск решения (система вопросов).
- Что значит – сравнить площади? (Как можно сравнить площади?)
(Найти их отношение)
- Какие теоремы вам известны об отношении площадей треугольников?
(Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы; Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания)
- Итак, необходимо, чтобы были либо два равных угла, либо две равных высоты. Выясните, есть ли в данных треугольниках равные углы.
(Их нет)
- Что из этого следует?
(мы не можем воспользоваться теоремой об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу)
- Значит, будем решать с помощью следствия к теореме о площади треугольника. Для этого необходимо, чтобы в одном из двух треугольников была высота, равная высоте в другом треугольнике. Проведите в ∆ABM высоту так, чтобы она была равна высоте в ∆BMC.
(Провели BH)
- Давайте посмотрим на основания AM и MC, к которым вы провели высоту BH. Что о них известно?
(они равны)
- Почему?
(потому что медиана BM делит сторону AC пополам)
- Теперь мы можем составить отношение площадей.
- Отношение равно 1. Что из этого следует?
(площади равны)
Решение:
BH – высота ∆ABM, ∆BMC (*)
AM=MC (**), т.к. BM – медиана.
По теореме об отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, и с учетом (*) и (**) имеем:
S∆ABMS∆BMC=AMMC=1Значит, S∆ABM=S∆BMCОтвет: S∆ABM=S∆BMCАнализ решения:
- Что было дано в задаче?
(треугольник и медиана, проведенная к основанию)
- Что необходимо было выполнить в задаче?
(Сравнить площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой)
- Как мы это сделали?
(Провели общую высоту и воспользовались теоремой об отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты)
Задача № 461 (если на уроке хватит времени, то можно решить эту задачу. В противном случае разобрать с учащимися только анализ решения, а дома они оформят решение).
Смежные стороны параллелограмма равны 12 дм и 14 дм, а его острый угол равен 30º. Найдите площадь параллелограмма.
- Ребята, назовите, что нам дано в задаче и что нам требуется найти?
(Параллелограмм, две смежные стороны и острый угол, равный 30°, а необходимо найти площадь параллелограмма).
На доске появляется следующая запись
Дано:
ABCD-параллелограмм
AB=12 дм
AD=14 дм
Lα=30°
Найти: SABCD

Поиск решения (система вопросов).
- Что требуется найти в задаче?
(Площадь параллелограмма ABCD)
-Как вычисляется площадь параллелограмма?
(Площадь параллелограмма равна произведению основанию на высоту к нему)
Учитель на доске: SABCD=a∙h-Можем ли мы сейчас найти площадь параллелограмма?
(Нет)
-Почему?
(Мы не знаем, чему равна высота параллелограмма)
-Давайте проведем высоту BH. Откуда мы можем найти высоту BH?
(Из Δ ABH)
Замечание. Если класс слабый, то учитель сам предлагает рассмотреть Δ ABH.
-Каким является треугольник ABH?
(Прямоугольным)
- Что нам известно в Δ ABH?
(Гипотенуза AB и угол 30°)
- Давайте вспомним св-во прямоугольного треугольника с углом в 30°.
(В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы).
Решение:
SABCD= a∙h =AD∙BH;
Δ ABH- прямоугольный, где гипотенуза AB=12 см, L BAH=30°;
В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
Значит, BH = 12 AB
BH= 12 ∙12 = 6 (см);
h= BH = 6 (см);
SABCD = AD∙ BH = 14∙6 = 84 ( см2 )
Ответ: 84 см2 Анализ решения:
- Что было дано в задаче?
(Параллелограмм, его смежные стороны, острый угол 30°)
- Что надо было найти?
( Площадь параллелограмма)
- Как мы ее нашли?
(Провели высоту и использовали свойство прямоугольного треугольника с углом 30°)
План решения аналогичных задач:
Находим из прямоугольного треугольника с углом в 30° неизвестную величину (По свойству прямоугольного треугольника: против угла в 30° лежит катет равный половине гипотенузы).
Используя найденный элемент, вычисляем искомую площадь многоугольника.
ΙΙΙ. Рефлексивно-оценочный этап (5минут).
- Какова была цель урока?
(научиться решать задачи на применение формул площадей фигур)
- Достигли мы её?
(да)
- Как мы её достигли?
(решали ключевые зачади по теме «площадь параллелограмма, треугольника, трапеции». Записали схемы решения каждой из этих задач)
Домашнее задание.
Номера заданий из учебника: №470 (аналогичны № 469), № 476 (сказать, что эта задача является следствием № 478), № 475 (аналогично № 474)
Задача на дополнительную оценку! (предполагается, что ученики уже выполняли подобные задания)
По рисунку составьте задачу, дополнив условия, и решите её.
D
C
B
A
4
8
12

Решение домашнего задания.
Задача №470.
Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.
H2
B
A
H1
C
Дано:
Δ ABC;
AC=7,5 (см);
BC=3,2 (см);
BH1=2,4 (см);
Найти: AH2
Решение:
S ΔABC= 12AC∙BH1=12∙7,5∙2,4=7,5∙1,2=9см2;
S ΔABC= 12BC∙AH2=12∙3,2∙AH2=1,6∙AH2=9см2;
AH2=9÷1,6=5,625 (см)Ответ: AH2=5,625 см2.Задача №475
Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющих равные площади.
Дано:
Δ ABC
Разделить Δ ABC на три треугольника, имеющих одинаковые площади.

B
M1
M2
H
A
C
Решение:



Для того чтобы разбить Δ ABC на три треугольника, имеющие одинаковые площади, необходимо разделить сторону BC на три равные части.
Докажем, что Δ ABМ1, Δ AМ1М2, Δ AМ2С имеют равные площади. Данные треугольники имеют общую высоту AH1. Тогда по следствию 2 к теореме о площади треугольника имеем:
S ΔABМ1S ΔAМ1М2=ВМ1М1М2=1т.к. по построению ВМ1=М1М2=М2С. (1)
S ΔABМ1S ΔАМ2С=ВМ1М2С=1А так как отношение площадей равно 1, то значит, все треугольники равны между собой.
Задача № 476.
Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.

Дано:
ABCD – ромб
AC, BD – диагонали ромба ABCD
а) BD=3,2 дм, AC=14 см
б) BD=4,6 дм, AC=2 дм
Доказать: S=12AC∙BDВычислить: SABCD
Решение.
1. Ромб ABCD разбивается диагоналями AC и BD, например, на два треугольника BCA и ACD.
2. По свойству площади многоугольника:SABCD=SABC+SADC (*)
3. BD и AC перпендикулярны, следовательно, BO является высотой в треугольнике ABC, DO – высотой в треугольнике ACD. По формуле для нахождения площади треугольника:
SABC=12AC∙BO 1 и SADC=12AC∙DO (2)4. Подставим в (*) выражения (1) и (2):
SABCD=12AC∙BO+12AC∙DO=12ACBO+OD=12AC∙BDS=12AC∙BD5. а) S=12∙3,2 дм ∙1,4 дм=2,24 дм2=224 см2;б) S=12∙4,6 дм ∙2 дм=4,6 дм2 Ответ: а) 224 см2;б) 4,6 дм2.
Задача на дополнительную оценку.
D
C
B
A
4
8
12

Условие можно дополнить следующим образом:
AB=4 см, BC=8 см, AD=12 см, угол A=30º. Найти площадь трапеции.
Решение:
1. Проведем высоту BH
1. Рассмотрим ∆ABH. В нем угол A=30º, угол H=90º, AB=4.
По свойству прямоугольного треугольника с углом 30º имеем: BH=2 см.
3. По формуле площади трапеции получаем:
S=AB+CD2∙BH=8+122∙2=20Ответ: 20 см2.