Презентация по геометрии на тему Понятие правильного многогранника

Понятие правильного многогранникаПодготовила ученица 10 «A» классаМКОУСОШ№2Нижникова КсенияПреподавательШубина Елена АлександровнаОсторогожск 2015 Понятие правильного многогранникаВыпуклый многогранник называется правильным, если все его грани-равные правильные прямоугольники ,и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.ПравильныйМногогранник-куб(все его Грани-квадраты, к каждой вершине сходится 3 ребра). История Мир полон симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.История правильных многогранников уходит глубокую древность. Правильными многогранниками интересовался еще Пифагор, а также его ученики. Их поражала красота, гармония и совершенство этих фигур. Ученики школы Пифагора считала правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих работах по философии. Несколько позже, учение про правильные многогранники, которые имели популярность в школе Пифагора, изложил в своих работах Платон. Именно поэтому правильные многогранники имеют другое название – Платоновы тела. Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим, символизировал мироздание, т.е. “все сущее”. В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира» Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера и правильных звёздчатых многогранников. Рёбра правильного многогранника равны друг другу.Все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром равны.cвойства теоремаНе существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.Угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 120.При каждой вершине многогранника должно быть не менее 3 плоских углов, поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого все грани-правильные n-угольники при n≥6 , то сумма углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше 360°(120°×3=360°), но это невозможно, т.к. сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°. По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной 3, 4 или 5 равносторонних треугольников, квадратов , правильных пятиугольников.В соответствие с этим получаем следующие многогранники (их всего 5). Правильный тетраэдр Составлен из 4 равносторонних треугольников.Каждая его вершина-вершина 3 треугольников.Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180° Правильный октаэдрСоставлен из 8 равносторонних треугольников.Каждая вершина-вершина 4 треугольников.Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240° Правильный икосаэдрСоставлен из 20 равносторонних треугольников.Каждая вершина-вершина 5 треугольников.Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° кубСоставлен из 6 квадратов.Каждая вершина-вершина 3 квадратов.Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270° Правильный додекаэдрСоставлен из 12 правильных пятиугольников.Каждая вершина-вершина 3 правильных пятиугольников.Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324° Названия многогранников Названия пришли из Древней Греции.В них указывается число граней:«эдра»-грань;«тетра»-4«гекса»-6«окта»-8«икоса»-20«додека»-12 Замечания:Число граней f,рёбер k и вершин e каждого правильного многогранника можно найти с помощью теоремы Эйлера.Пусть n-число рёбер каждой грани,m-число рёбер, сходящихся к каждой вершине. Поскольку каждое ребро принадлежит двум граням,nf=2k. me=2k, т.к. каждое ребро содержит две вершины. По теореме Эйлера f+e-k=2.f=4𝑚2𝑚+2𝑛−𝑚𝑛 ,k= 2𝑚𝑛2𝑚+2𝑛−𝑚𝑛, e=4𝑛2𝑚+2𝑛−𝑚𝑛  Докажем, что каждый правильный многогранник действительно существует.Существование тетраэдра- правильной треугольной пирамиды со стороной основания а, и высотой а63 и куба очевидно.Центры граней куба-вершины правильного октаэдра.Правильный икосаэдр составлен из 2 правильных пятиугольных пирамид и многогранника, напоминающего призму. Высоты правильного икосаэдра выражаются через ребро а, поэтому его существование не вызывает сомнений.центры граней икосаэдра-вершины правильного додекаэдра, поэтому он тоже существует.  Полуправильные многогранникиполуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов. Курносый додекаэдр80 треугольников 12 пятиугольников Кубооктаэдр8 треугольников 6 квадратов Правильные многогранники в природеПримерами правильных многогранников в природе могут послужить пчелиные соты, водоросль вольвокс Феодария (одноклеточный организм) и различные минералы Правильные многогранники в живописи Правильные геометрические тела - многогранники –имели особое очарование для художника Маурица Эшера. Во многих его работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос«. В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что, анализируя картину, можно догадаться о природе источника света для всей композиции – это окно, которое отражается левой верхней части сферы. Додекаэдр в произведении Сальвадора Дали Звёздчатые многогранникиКроме правильных выпуклых многогранников существуют правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звёздчатыми(самопересекающимися).Звёздчатый многогра́нник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у незвёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в рёбрах (при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами). Виды звёздчатых многогранниковПравильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые (конгруэнтные) правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников (платоновых тел), данные многогранники не являются выпуклыми телами.В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера — Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо Полуправильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С. П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон. Звёздчатый октаэдр (или соединение двух тетраэдров)Представленное изображение данного многогранника иллюстрирует именно второе его название - соединение двух тетраэдров. (тетраэдр красного цвета ,направленный вверх сквозь который проходит белый тетраэдр, направленный вниз).Однако математики предпочитают именовать многогранник звёздчатым октаэдром.Звёздчатый октаэдр можно было бы признать правильным многогранником, так как все его грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны. Но на самом деле это геометрическое тело не является шестым правильным многогранником на равне с пятью известными Платоновыми телами. Причина в том, что в определении правильного многогранника присутствует слово выпуклый, то есть все грани должны лежать по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них. Звёздчатый октаэдр был впервые изображен в 1509 г. в книге «О божественных пропорциях». Автором которой являлся математик Лука Пачоли .А иллюстрация для книги принадлежит руке Леонардо да Винчи.Звёздчатый октаэдр был выполнен в виде восьми каркасных тетраэдров соединенных между собой.Затем, спустя почти 100 лет многогранник был переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им звезда восьмиугольная. Именно такая иллюстрация звёздчатого октаэдра вызывает споры о том, каким образом был открыт этот многогранник.история 1. Многогранник является единственной звёздчатой формой октаэдра.2. Если соединить между собой все остроконечные вершины, то линии пересечения точно соответствуют ребрам куба. Таким образом, звёздчатый октаэдр может быть вписан в куб.свойства 3. Если посмотреть на многогранник сверху, либо на отбрасываемую тень, то контуры рисунка будут создавать правильную шестиугольную звезду.Шестиугольная звезда в виде двух перекрещивающихся треугольников это древнейший символ, который именуется как Звезда Давида (еще одно название - Печать царя Соломона). Звёздчатые формы додекадра Иоганн Кеплер открыл два из четырёх возможных правильных звёздчатых тел: большой додекаэдр и малый звёздчатый додекаэдр. В отличие от октаэдра, любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.В результате продолжения ребер додекаэдра возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром.У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые сходятся по пять в каждой из вершин. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. Звёздчатые формы икосаэдраИкосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.Одна из этих звёздчатых форм называемая большим икосаэдром является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера — Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром. Звездчатые многогранники в природеСнежинки – это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.