Конспект урока по геометрии на тему Понятие многогранника (10 класс)

Геометрия
10 класс
Геометрия 10-11., Л.С. Атанасян, 2004 г.
Базовый уровень
Тема урока: «Понятие правильного многогранника»
Количество часов: 1
Место урока в системе уроков по теме: 1
Цель урока: Ввести понятие правильного многогранника. Сформировать у учащихся представление объемных фигур в пространстве.
Задачи:
1. Рассмотреть все пять видов правильных многогранников;
2. Создать условия для развития умений изображать геометрические фигуры и читать геометрические рисунки
3. Развить интерес к изучению темы и желание применять приобретенные знания и умения при решении задач.
Планируемые результаты: Научиться работать с чертежами, выполнять геометрические построения для дальнейшего решения задач.
Ход урокаОрганизационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цель урока.
Проверка домашнего задания
Проанализировать ошибки домашнего задания.
Актуализация знаний
Ответить на вопросы:
Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания может иметь куб, призма, пирамида?
В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте? (затрудняются ответить на данный вопрос, который перетекает в тему урока)
Изучение нового материала
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.
Вопросы к классу:
Какие вы знаете правильные многогранники?
Какие два условия определяют правильный многогранник?
Сколько может быть видов правильных многогранников?
На последний вопрос учитель отвечает вместе с учениками.
Пусть при одной вершине сходится n ребер, тогда плоских углов при этой вершине будет тоже n, причем они все равны между собой. Пусть один из этих плоских углов равен х, тогда сумма плоских углов при вершине nx, и по свойству плоских углов многогранного угла получим nx< 360°, откуда
x < (1).
Угол правильногоn-угольника равен
α = (2).
I. Таблица значений II. Таблица значений
3 4 5 6 7 3 4 5 6
120° 90° 72° 60° ≈ 51° 60° 90° 108° 120°
Начиная с n = 7 плоский угол станет меньше 60°, а такого правильного многоугольника не существует, поэтому остальные случаи рассматривать не будем.
I. Грани правильного многогранника – правильные треугольники, тогда α = 60° (таблица II).
1) 60° ∙ 3 = 180° < 360°.
В этом случае правильный многогранник имеет 4 грани и называется правильным тетраэдром.
2) 60° ∙ 4 = 240° < 360°.
В этом случае правильный многогранник имеет 8 граней и называется правильным октаэдром.
3) 60° ∙ 5 = 300° < 360°.
В этом случае правильный многогранник имеет 20 граней и называется правильным икосаэдром.
4) 60° ∙ 6 = 360°, это противоречит теореме о сумме плоских углов многогранного угла. Следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – правильные треугольники, не существует.
II. Грани правильного многогранника – правильные четырехугольники(квадраты),тогда α = 90° (таблица II).
1) 90° ∙ 3 = 270° < 360°.
В этом случае правильный многогранник имеет 6 граней и называется правильным гексаэдром(кубом).
2) 90° ∙ 4 = 360°, следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – квадраты, не существует.
III. Грани правильного многогранника – правильные пятиугольники; α = 108°.
1) 108° ∙ 3 = 324° < 360°.
В этом случае правильный многогранник имеет 12 граней, и называется правильным додекаэдром.
2) 108° ∙ 4 > 360°, следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – правильные пятиугольники, не существует.
IV. Начиная с правильного шестиугольника α ≥ 120° (таблица II).
Следовательно, nα> 360° (n ≥ 3), поэтому правильных многогранников, грани которых – многоугольники с числом сторон больше 5, не существует.
Во время беседы демонстрировать модели правильных многогранников, показывать рисунки из параграфа 3 учебника.
Все эти типы многогранников были известны в Древней Греции — именно им посвящена завершающая, XIII книга «Начал» Евклида. Их называют также «платоновыми телами» — они занимали видное место в идеалистической картине мира древнегреческого философа Платона. Четыре из них олицетворяют в ней четыре «сущности», или «стихии»: тетраэдр — огонь, икосаэдр — воду, куб — землю, октаэдр — воздух. Пятый же многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, почитался главнейшим. Уже по-латыни в средние века его стали называть «пятая сущность» или «квинта эссенция», отсюда происходит слово «квинтэссенция», означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.
Закрепление изученной темы: №№ 279, 280 (а), 281, 282, 287.
№279 (решается самостоятельно с последующей проверкой у доски)
Дано:
ABCDA1B1C1D1 — куб.
A1C1 и A1В — диагонали граней куба, имеющие общий конец.
Найти:
∠ВA1C1 =?
Решение:
Пусть a — ребро куба. Так как все грани куба равные квадраты, то диагонали граней равны A1C1 = A1В = ВC1=a2+ a2=2a2=a2∆ A1B1C1 — равносторонний, значит, ∠ВA1C1 = 60°Ответ:60°№ 280 (а)a22 ;a232№ 281 (для решения ученик вызывается к доске)
Дано:
ABCDA1B1C1D1 — куб.
D1A, D1Cи D1В — диагонали граней куба.
Доказать:
D1AB1C– правильный тетраэдр
Найти:
SкубаSтетраэдра = ?
Решение:
Все грани куба – равные квадраты. Диагонали граней куба, являющиеся ребрами тетраэдра, равны. D1AB1C – правильный.
Пусть а – сторона куба. Значит, из ∆АВС:
AC=a2+ a2=2a2=a2– ребро тетраэдра.Sкуба=6a2Sтетраэдра=4∙SAB1C=4a2234=23a2SкубаSтетраэдра = 6a223a2=3Ответ:3№ 287 (для решения ученики вызываются к доске)
Дано:
ABCDEF — правильный октаэдр.
АВ = а
Найти:
а)BD;
б) KL – расстояние между центрами
двух смежных граней;
в) HM – расстояние
между противоположными гранями.
Решение:
а) Расстояние между противоположными вершинами для всех вершин одинаково. ∆АВD– прямоугольный.
BD = AB2+AD2=a2+ a2= a2б) Расстояние между центрами двух смежных граней одинаково для всех смежных граней.
1) В грани DEA проведем высоту EP, в грани проведем высоту EQ. Точки K, L – центры граней. KL – расстояние между центрами граней.
2) В плоскости POE проводим KN⊥PO; в плоскости EQO проводим LM⊥QO. Тогда MN – проекция искомого отрезка KL на основание, KLMN – прямоугольник.
3) В ∆PENпо теореме косинусовEH2=PE2+PH2-2PE∙PH∙cosαa322=a322+a2+2∙a∙a32a2=2a232cosαcosα=13∆EHB – прямоугольный. EH=a2-a22=3a24=a23sin2α+cos2α=1sinα=1-cos2α=1-13=23PK – радиус окружности, вписанной в правильный ∆EADPK = r = a23; из ∆PNK :PN = PK∙cosα=a23∙13=a6NO = OM = a3∆NOM – прямоугольный и равнобедренный.
NM= NO2+OM2=a32+a32=a23. Тогда KL = NM = a23.
в) 1) Проведем через середину квадрата ABCDPH∥AB. FH⊥BC, EP⊥AD.
FH⊥BCBC∥ADEP⊥AD→FH∥EP, грани AED и FBC параллельны.
2) Плоскость (PEH) ⊥ плоскости (FBC). В плоскости (PEH) проведен отрезок MN⊥PE.
3) (PEH) ⊥ AD → HM ⊥ AD, HM ⊥ PE, значит, MH ⊥ (AЕD) и MH ⊥ (FBC). Значит, HM – искомое расстояние.
4) sinα=23;HM=PH∙sinα=a23=a63Ответ:a) a2 ; б) a32 ; в) a63Подведение итогов:
Сколько видов правильных многогранников вы узнали? Назовите их.
Приведите примеры, где в повседневной жизни встречаются данные фигуры.
Оценки за урок.
Домашнее задание: 1)§ 31-33, вопросы 13, 14
2) Решить задачи № 283, 286.