Геометриялы? есептерді сызбасы бойынша жылдам шешуді? тиімді жолдары

Геометриялық есептерді сызбасы бойынша жылдам шешудің
тиімді жолдары
Раманова Мульдер Джаксимуратовна
Талас ауданы М.Жұмабаев атындағы орта мектебінің
математика және информатика пәндерінің мұғалімі
Геометриялық есептерді шешу есептерді шығарудың әр кезеңдерінің логикалық байланысын түсіне отырып, нақты және жүйелі ойлануды қажет етеді. Геометриялық есептерді тиімді шешу жолдарының өзіне тән ерекшеліктері бар: олардың алуан түрлілігі, формальды сипаттау қиындығы, қолдану облысының нақты шекараларының болмауы және т.б. Геометриялық есеп шығаруда оқушылардың геометриялық интуициясы, геометриялық ойлауы, геометриялық көзқарасы дамиды.
Геометриялық есептер оқушының ақыл-ойын дамытудың маңызды құралы болып табылады. Осындай есептерді шешуге оқыту мақсаттарының ішінде негізгілері – оқушылардың логикалық ойлауларын және кеңістіктік елестетулерін дамыту. Бұл ой әрекеттерін оқыту процесінде қатар дамыту тиімді екенін практика көрсетіп отыр.
Логикалық ойлау – ұғымдарды, логикалық байланыстарды пайдаланумен сипатталады. Геометриялық ұғымдарды қалыптастыру үшін осы ұғыммен сипатталатын объектілер туралы түсініктер маңызды роль атқарады. Түсініктердің ролі қандай да бір ой тұжырымдарын алу процесінде де өте маңызды. Оқу материалын түсіну кезінде бейнелерді актуалдау ойдың жалпылылық дәрежесін арттыруға мүмкіншілік туғызады. Басқа жағынан қалыптастырылып отырған түсініктерде тиісті ұғымдардың елеулі қасиеттері және пайымдау негізінде алынған қорытындылар байқалады.
Психологтардың ойынша, орта және жоғарғы сынып оқушыларында абстрактты ойлаудың нақтылы ойлауға ықпалы білінеді және бұл ықпал бейнелердің тек сипатталып қана қоймай, сонымен қатар олар интерпретациялануы (кескінделуі) кезінде де көрінеді, жалпыланған білімдерді қолдану әсерінен объектілерді қабылдау аясы кеңейеді.
Геометриялық есептерді шешуге сәйкес, бейнелі ойлаудың ең манызды қызметтерінің бірі болжамдарды ұсыну болып табылады. Осы арқылы есептің шешімін іздестіру кезеңіндегі ойлаудың берілген түрінің маңызды ролі түсіндіріледі. Ұсынылған болжамды негіздеу немесе жоққа шығару, қарастырылып отырған материалдың логикалық өңдеуінің салдары болып табылатын пайымдау процесінде жүзеге асырылады. Осылайша жасалған қорытынды көрнекі түрде интерпретацияланып кетеді, яғни есеп шығарушы қайтадан бейнелі сипаттағы есеппен кездеседі, т.с.с. Сондықтан бейнелі ойлаудың екінші маңызды қызметі ретінде ауызша және графикалық ақпаратты интерпретациялау болып табылады және бұл ақпарат негізгі де, шешу жолында алынған да бола алады.
Геометриялық есептерді шешу процесінде оқушылар бар білімдерін пайдаланып кеңістіктік фигуралар сияқты кеңістіктегі жазық фигуралардың бейнелерімен де жұмыс жасайды. Бұл жағдайда сурет, яғни фигураның және оның элементтерінің параллель проекциядағы кескіні кеңістіктік конструкцияның моделі болып табылады. Мұндай модельдермен жұмыс өздерінің ерекшеліктеріне ие болады. Сызбамен, яғни шартты графикалық кескінмен жұмыс жасай отырып, оқушы оның нақты геометриялық кеңістіктегі геометриялық түпбейнесін «ойда ұстайды». Бірақ шартты кескінді салу заңдарын білу есептің шешімін іздестіру мақсатымен бұл кескінмен жұмыс жасау кезіндегі динамикалық кеңістіктік елестетулердің бар болуын әлі қамтамасыз етпейді.
Геометрия курсында стандарт түрдегі есептер көп кездеспейді, әрбір есеп «жеке» талдауды керек етеді. Қиын есептерді шығаруда бірнеше әдістердің комбинациясы қолданылады. Ал мектеп геометриясында бұл әдістері жете оқытылмайды. Төменде ұсынылып отырған әдістер бойынша геометрия курсы бойынша планиметриялық және стереометриялық есептерді шығарудың арнайы әдістері көрсетіліп, оқушылардың ҰБТ-ға дайындығын жақсартылып, геометриялық білімдер тереңдетіледі.
І. Планиметриялық есептерді шешудің тиімді жолдары
1-есеп. Тік бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер гипотенузаны 5 см және 12 см-ге бөледі. Үшбұрыштың катеттерін тап.
Шешуі:
139705937885AD=5
BD=12
AC, BC=?
AD=AF, BD=BE, FC=EC – жанасу қасиеттері бойынша EC=a деп алсақ, онда (а+5)2+(а+12)2=172
а2+10а+25+а2+144+24а=289
2a2+34a–120=0
a2+17a–60=0
a1=3
a2=–20 бөгде
Демек, AC=3+5=8; BC=3+12=15
Жауабы: AC=8; BC=15
2-есеп: Теңбүйірлі үшбұрыштың Р=24 см. Бүйір қабырғасына түсірілген биіктік оны екі кесіндіге бөледі. Табан жағындағы кесіндінің ұзындығы 2 см. Табанының ұзындығын тап.
Шешуі:
22860965835BD биіктігін жүргізсек, онда ∆AKC ~ ∆BDC шығады. Бұдан BCAC=DCKCAC=2*DC
BC+D=12
BC=12–DC
12-DC2DC=DC2DC2=12–DC
DC2+DC–12=0
DC=3; AC=6
Жауабы: АС=6 см
3-есеп: Тік бұрышты үшбұрыштың биіктігі гипотенузаны ұзындықтары 1 және 9 болатын кесінділерге бөлсе, үшбұрыштың ауданын тап.
Шешуі:
1-тәсіл:
АВС үшбұрышын АКВС төртбұрышына толтырамыз.
КС – диагоналын жүргіземіз.
53574955309235AD=1; DB=9→AB=10; AO=OB
DO=AO–AD
DO=5–1=5
Демек, CD – Египет үшбұрышы бойынша DC=h=3
SABC=SADC+SDBC=12*1*3+12*9*3=15399542068046602349546901102-тәсіл:
h=BD*DA=9=3 – метрикалық қатынас
S=a*h=10*32=15Жауабы: S=15 см2
4-есеп: Теңбүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр. Диагоналының ұзындығы 60 см-ге тең болса, трапецияның ауданын тап.
Шешуі:
1-тәсіл:
-146051003935BD﬩AC
15093951308735ﮮB=ﮮC=45°
BKDM – квадрат, себебі BK=KD
Sтр=SBKDM=12*60*60=18002-тәсіл:
S=12d1d2sinφ формуласына саламыз, яғни S=12*60*60*sin90°=1800Жауабы: S=1800 см2
5-есеп: Бұрыштың біреуі 20°-қа тең болатын үшбұрыштың басқа екі бұрышының биссектрисаларының арасындағы бұрышты тап.
Шешуі:
ﮮА=20°
BK∩CD=O-152403747135 нүктесінде биссектирса.
Егер ойша ﮮА=20° болса, ﮮВ=120°, ал ﮮС=40° деп алайық, онда ﮮСВО=60°, ﮮВСО=20°
15855954737735→ﮮО=100°
ﮮСОК=180– ﮮВОС=80°. Яғни ізделінуші бұрыш 80°.
Жауабы: 80°
6-есеп: Катеттері 4 және 12-ге тең тікбұрышты үшбұрышқа тік бұрышты ортақ квадрат сызылған. Осы квадраттың қабырғасын тап.
Шешуі:
-1460566998853357245681418518427706823710
~
FMBA=MCAC , x4=12-x12FM=EF=x деп аламыз
12x=48–4x
16x=48
x=3 Жауабы: АЕ=3 см
7-есеп: Екі шеңбер сырттай өзара жанасады, жанасу нүктесі арқылы жүргізілген түзу шеңберлерден бірі екіншісінің 135 бөлігіне тең хордалар жасайды. Шеңберлердің центрінің ара қашықтығы 36-ға тең. Үлкен шеңберің радиусын тап.
Шешуі:
40201851448435
~
25076151448435-95251320800ABBC=OBBO1→135=R36-R13*36-R=5RR=13*3618=26
Жауабы: R=26 см
8-есеп: Координаталық бұрышты 3x+4y–12=10 түзуімен қиып өткенде пайда болатын үшбұрыштың ауданын тап.
Шешуі:
-1270005212715x=0, 4y=12, y=3
-1270005212715y=0, 3x=12, x=4
S=4*32=6Жауабы: S∆=6
9-есеп: Координат осьтерімен (–3;0) және (0;–3) нүктелерінде жанасатын шеңбердің теңдеуін жаз.
А) (х–3)2+(у+3)2=9
B) (х–3)2–(у+3)2=9
C) (х+3)2+(у–3)2=9
D) (х+3)2+(у+3)2=9
E) х2+(у+3)2=9
Шешуі: (–3;0) және (0;–3) нүктелері бірдей (x–a)2+(y-b)=R2 шеңбер теңдеуін қанағаттандыруы қажет.
Жауабы: (х+3)2+(у+3)2=9
10-есеп: А(–2;3), В(2;0), С(–2;–3), ∆АВС үшбұрышының СМ медианасы арқылы өтетін түсудің теңдеуін жаз.
Шешуі:
-946153489960M=A+B2
x=-2+20=0y=3+02=1,5M0;32СМ теңдеуін x-x1x2-x1=y-y1y2-y1 формуласы бойынша анықтаймыз.
x+20+2=y+31,5+3 → 4,5x+2=2(y+3)Жауабы: 9x–4y+6=0
ІІ. Стереометриялық есептерді шешудің тиімді жолдары
1-есеп: Дұрыс төртбұрышты қиық пирамида көлемі 430 см3, биіктігі 10 см және табан қабырғасы 8 см. Басқа табанының қабырғасын тап.
Шешуі:
-82551135380SO=h
3881120140843020796251449705
~

A1C1AC=SO1SO , x8=h-10hx8=h-10h340=1364h-h-10x2 , x=8(h-10)h
1290=64h-h-10*8h-10h2 теңдеуін шешіп, һ-ты табамыз.
h=803 →x=8*803-10803=5
Жауабы: А1В1=5 см
2-есеп: Пирамиданың қабырғасы тік төртбұрыш, қабырғалары 6 см, 8 см, бүйір қыры 13 см. Биіктігін тап.
А) 24 В) 15 С) 16 D) 12 Е) 20
Шешуі:
323857413625 SO<SB, демек SO<13
20796257577455Демек жауаптары бойынша
D – екендігі 12<13 бірден айқындалады. Ең бастысы сызбасын сызып, көре алсақ жеткілікті.
Жауабы: һ=12
3-есеп: Тік бұрышты параллелопипедтің бір төбеде түйісетін үш жақтарының диагональдары a, b, c-ға тең. Параллелопипедтің сызықтық өлшемдерін табу керек.
Шешуі:
Мұндай есептерді жауаптары бойынша анықтауға болады, себебі a, b, с үш өлшем бойынша бір заңдылық болу қажет.
А) x=y=b+c2-a22 , z=a2+b2-c22 болмайды.
В) x=b2+c2-a22 , y=a2+c2-b22 , z=a2+b2-c22
осы В жауабы бола алады.
4-есеп: Үшбұрышты пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4, 5, 6-ға тең. Пирамида көлемін тап.
Шешуі: Есептің сызбасын дұрыс сыза білсе, жеңіл жауабын анықтауға болады.
330203606165V=13*Sтаб*H=13*12*4*5*6=20
(4, 5, 6-ны қою тәртібі сақталмайды)
Жауабы: V=20
207962565131955-есеп: Конус табанының радиусы 12 см, жасаушысы 40 см. Конус жазбасының бұрышын тап.
Шешуі:
-1581156812915OB=R=12
SA=SB=40
α=360*Rl=360*1240=108°Жауабы: α=108°
6-есеп: Егер кубтың қыры а-ға тең болса, онда куб диагоналының табан жазықтығымен жасайтын бұрышын тап.
2298065589915Шешуі:
-8255781050
1-тәсіл:
-82553169285AC=a2tgα=C1CAC=aa2=22α=arctg222-тәсіл:
-895355161915AC1=a3 –кубтың диагоналі
sinα=C1CAC1=aa3=33α=arcsin33
Жауаптары: α=arctg22α=arcsin33α=arccos23
3-тәсіл:
-1854207167880AC1=a3AC=a2cosα=ACAC1=a2a3=23α=arccos237-есеп: Конустың осьтік қимасы – ауданы Q-ге тең тең үшбұрыш. Конустың жасаушысы табан жазықтығымен α бұрыш жасайды. Конустың бүйір бетін тап.
Шешуі:
33020794385АВС – осьтік қима
S=12AB*CD=R*h=Q21342351494790l=hsinαSбб=πRl=πR*hsinα=πQsinαЖауабы: πQsinα8-есеп: Шар мен конус берілген. Конустың төбесі шардың центрінде, ал табаны шардың бетін жанайды. Егер шар беті конустың толық бетіне тең болса, конустың жасаушысы мен биіктігінінің арасындағы бұрышты табу керек.
Шешуі:
330205284470О – шар центрі
4πR²=πl2-R2+l2-R2lR=lcosαl2-R2=l2sin2α4l2cos2α=l2sin2α+l2sinα4l2-4l2sin2α-l2sin2α-l2sinα=0l2 →4-5sin2α-sinα=0sinα=45 → α=arcsin45Жауабы: α=arcsin459-есеп: Берілген b бүйір қырының a қабырғасы арқылы пирамиданың биіктігін табыңыз.
Шешуі: Берілген есепті шешу кезінде төмендегі тәсілдер мен формулаларды қолданған тиімді.
1-тәсіл:
-82551231265h=b2-a332-тәсіл:
-82553662680
H=b2-a323-тәсіл:
h=b2-a21260156363099