Методическая разработка учебного занятия по математике «Логарифмы и их свойства»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Гремячевская средняя общеобразовательная школа







«Логарифмы и их свойства»






Краюшкина Татьяна Николаевна
учитель математики































Методическая разработка учебного занятия по математике
«Логарифмы и их свойства»


Цель урока:

Образовательная – ввести понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

Развивающая - развивать математическое мышление; технику вычисления; умение логически мыслить и рационально работать; способствовать развитию у обучающихся навыков самоконтроля.

Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к теме, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Задачи урока:

Развить у учащихся умения сравнить, сопоставлять, анализировать, делать самостоятельные выводы.

Ключевые компетенции: способность самостоятельно искать, извлекать, систематизировать, анализировать и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию; способность самостоятельно осваивать знания и умения, необходимые для решения поставленной задачи.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Ключевые слова: логарифм; свойства логарифма.

Программное обеспечение: MS Power Point.

Межпредметные связи: история.

Внутрипредметные связи: «Корень n-ой степени и их свойства».

План урока

Организационный момент.
Повторение пройденного материала.
Объяснение нового материала.
Закрепление.
Самостоятельная работа.
Домашнее задание. Подведение итогов урока.


Ход урока:

1. Оргмомент: проверка готовности учащихся к уроку.

- Этот урок я хочу начать со слов А.Н. Крылова: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».


2. Повторение пройденного материала.
- Учащимся предлагается вспомнить:
Что такое степень, основание и показатель.
Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а. 34 = 81.
Основные свойства степеней.

3. Сообщение новой темы.
- А теперь перейдем к новой теме. Тема сегодняшнего урока - Логарифмы и их свойства.

- На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов. Тема эта актуальна, т.к. логарифм всегда встречается на итоговой аттестации по математике.

Зададим вопрос:
1) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 9, равен 2.
2) В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? Очевидно, в третью.
Показатель степени, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить 8, равен 3.

Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.

Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получаем, т.е. число, которое мы ищем: log3 9=2
Эта запись читается так: «Логарифм числа 9 по основанию 3». Логарифм числа 9 по основанию 3 это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 9. Этот показатель равен 2.
Аналогично второй пример.

Дадим определение логарифма.

Определение. Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a
· 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Логарифмом числа b по основанию a обозначается loga b.

История возникновения логарифма:
Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632). 
Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов». 
С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации. 
Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку.
Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы. 

Рассмотрим примеры:
log327=3; log525=2; log255=1/2; log5 1/125=-3; log-2-8- не существует; log51=0; log44=1

Рассмотрим такие примеры:
10. loga1=0, а>0, a
· 1;
20. logaа=1, а>0, a
· 1.
Эти две формулы являются свойствами логарифма. Запишите свойства и их необходимо запомнить.

В математике принято следующее сокращение:
log10а= lg а- десятичный логарифм числа а (буква «о» пропускается, а основание 10 не ставят).
logеа= ln а - натуральный логарифм числа а. «е» - это такое иррациональное число, равное (2,7 (буква «о» пропускается, а основание «е» не ставят).
Рассмотрим примеры:
lg 10=1; lg 1=0
ln e=1 ; ln 1=0 .

Как перейти из логарифмического равенства к показательному: logаb=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Следовательно, а в степени с равен b: а с= b.
Рассмотрим пять логарифмических равенств. Задание: проверить их правильность. Среди этих примеров есть ошибки. Для проверки воспользуемся данной схемой.
lg 1 = 2 (10 2=100)- это равенство не верное.
log1/2 4 = 2- это равенство не верное.
log31=1 - это равенство не верное.
log1/3 9 = -2 - это равенство верное.
log416 = -2- это равенство не верное.

Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b

Рассмотрим пример.
5 log 5 13 =13

Свойства логарифмов:

3°. logа ху = logах + logау.
4°. logа х/у = logах - logау.
5°. logах p = p · logах, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:
log28 + log232= log2 8
·32= log2 256=8
3 +5 = 8
Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:
3
· log28= log283= log2512 =9
3
·3 = 9

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:





Эта формула потребуется при вычислении логарифма по калькулятору.
Возьмем пример: log3 7 = lg7 / lg3. В калькуляторе можно вычислить только десятичный и натуральный логарифм. Вводим цифру 7 и нажмем кнопку «лог», также вводим цифру 3 и нажмем кнопку «лог», делим верхнее значение на нижнее и получаем ответ.

4. Закрепление.
Для закрепления новой темы решим примеры.
Пример 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):
log66
log 0,51
log63+ log62
log36- log32
log448
Пример 2. Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.
log232+ log22= log264=6
log553 = 2;
log345 - log35 = log340
3
·log24 = log2 (4
·3)
log315 + log33 = log345;
2
·log56 = log512
3
·log23 = log227
log2162 = 8.


Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам.

Вариант 1.
Вычислите:
log416
log25125
log82
log66

Вариант 2.
Вычислите:
log327
log4 8
log49 7
log55


5. Подведение итогов. Домашнее задание. Выставление оценок.