Разработка урока Применение теорем косинусов и синусов к решению треугольников (9 класс)

Тема: Применение теорем синусов и косинусов при решении треугольников.
Цель: познакомить учащихся с основными алгоритмами решения произвольных треугольников, повторить методы решения прямоугольных треугольников, активизация познавательной деятельности, привитие навыков исследовательской деятельности; формирование познавательного интереса, наблюдательности, воспитание у учащихся чувства взаимопомощи.
Основные термины и понятия: синус угла, косинус угла, теорема синусов, теорема косинусов, решение треугольников.
Планируемые результаты обучения: уч-ся должны научиться применять теоремы синусов и косинусов при решении треугольников
Тип урока: совершенствование знаний и способов деятельности
Форма урока: комбинированный урок.
Ход урока
Организационный этап.
Актуализация
Проверка домашнего задания
- разобрать решение упражнений, вызвавших у учащихся затруднения при выполнении
Формирование новых понятий и способов действия
Задачи на решение треугольников делятся на три типа:
По данной стороне и двум углам.
По двум сторонам и углу между ними.
По двум сторонам и углу, противолежащему одной их них.
По трем сторонам.
СХЕМА РЕШЕНИЯ 1-го ТИПА ЗАДАЧ.
157734081280

1)Дано: a, α, β
Найти: b, c, γ
План решения:
sinαa=sinβbb=a∙sinβsinα;
γ = 1800-(α+β)
sinαa=sinγcc=a∙sinγsinα2)Дано: a, β, γ
Найти: b, c, α
План решения:
α = 1800-(γ +β)
sinαa=sinβbb=a∙sinβsinα;
sinαa=sinγcc=a∙sinγsinαСХЕМА РЕШЕНИЯ 2-го ТИПА ЗАДАЧ.
-48260184785
Дано: a, b, γ
Найти: c, β, α
Предложить учащимся по этой записи с помощью рисунка дать словесную формулировку задачи.
Вместе с учащимися наметить план решения задачи. Чтобы направить поиск решения задачи по нужному руслу, поставить следующие вопросы:
а) как найти длину третьей стороны треугольника? (с помощью теоремы косинусов);
б) можно ли, пользуясь только теоремой косинусов, найти остальные элементы (два угла треугольника)? (можно).
Записать решение в общем виде:
План решения:
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos γ c=a2+b2-2ab∙cosγ;
a2 = c2 + b2 – 2bc·cos α cosα=c2+b2-a22bcb2 = c2 + a2 – 2ac·cos β cosβ=c2+a2-b22ac (или β = 1800 – (α + γ))
СХЕМА РЕШЕНИЯ 3-го ТИПА ЗАДАЧ.
-19685161925
Дано: a, b, c
Найти: α, β, γ
План решения:
a2 = c2 + b2 – 2bc·cos α cosα=c2+b2-a22bcb2 = c2 + a2 – 2ac·cos β cosβ=c2+a2-b22ac
γ = 1800 – (α + β)
СХЕМА РЕШЕНИЯ 4-го ТИПА ЗАДАЧ
(повышенной трудности)
-19685161925
Дано: a, b, α
Найти: c, β, γ
План решения:
sinαa=sinβbsinβ=b∙sinαaγ = 1800-(α+β)
sinαa=sinγcc=a∙sinγaДалее решение делится на 3 возможных случая:
1-й случай: b > a
а) если sin β < 1, то задача имеет два решения: существуют два угла β2 (острый и тупой, причем β1 + β2 = 1800), синусы которых равны, тогда
γ1 = 1800 – α – β1, с1=a∙sinγ1aγ2 = 1800 – α – β2, с2=a∙sinγ2aб) если sin β = 1, то β = 900, решение единственное:
γ = 900 – α, c = b·cosα
в) если sin β > 1, то решения нет.
2-й случай: b < a
Решение единственное – угол β – острый, тогда
γ = 1800 – α – β, с=a∙sinγa3-й случай: b = a
а) при α < 900, решение единственное: α = β,
γ = 1800 – 2α, с=a∙sinγa;
б) при α ≥ 900 решения нет, т.к. углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми.
Применение. Формирование умений и навыков.
Выполнение упражнений
№ 1
Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны треугольника, если:
а = 5β = 300γ = 450
а = 20α = 750β = 600
№ 2 Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и сторону треугольника, если:
a = 12b = 8γ = 600
b = 14c = 10α = 1450
№ 3. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если
a = 2b = 3c = 4
a = 7b = 2c = 8
Этап информации о домашнем задании
Повторить схемы решения задач на решение треугольников, выполнить практикум
Подведение итогов уроков
Этап рефлексии.
1. Сегодня я узнал…….
2. Было интересно……
3. Было трудно…….
4. Я выполнял задание….
5. Я понял что…….
6. Теперь я могу…….
7. Я почувствовал что…..
8. Я приобрёл….
9. Я научился…….
10. У меня получилось………