Формирование учебно – познавательной компетенции учащихся при обучении доказательству теорем в курсе стереометрии
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова»
Кафедра математики, информатики и МП
Формирование учебно – познавательной компетенции учащихся при обучении доказательству теорем в курсе стереометрии
Выпускная квалификационная работа
Исполнитель:
Попкова Елена Ивановна
студентка 5 курса дневного отделения
физико-математического факультета
Научный руководитель:
Кашлач Ирина Федоровна,
к.п.н., доцент
Допущена к защите
«___»___________ 2013 г.
Зав. кафедрой_________
(Подпись)
Работа защищена
«___»_____________ 2013 г.
Оценка_________________
Председатель ГАК________
(Подпись)
Ишим 2013
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u ВВЕДЕНИЕ PAGEREF _Toc359208850 \h 4ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ PAGEREF _Toc359208851 \h 91.1Компетентностный подход в образовании PAGEREF _Toc359208852 \h 91.2 Формирование ключевых компетенций учащихся при обучении математике PAGEREF _Toc359208853 \h 211.3 Формирование учебно-познавательной компетенции учащихся на уроках математики PAGEREF _Toc359208854 \h 34Выводы по первой главе PAGEREF _Toc359208855 \h 44ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ PAGEREF _Toc359208856 \h 462.1 Методики обучения доказательству теорем при изучении курса стереометрии PAGEREF _Toc359208857 \h 462.2 Организация обучения доказательству теорем, способствующая формированию учебно – познавательной компетенции на уроках стереометрии в 10 – 11 кл PAGEREF _Toc359208858 \h 612.3. Ход и результаты педагогического эксперимента PAGEREF _Toc359208859 \h 72Выводы по второй главе PAGEREF _Toc359208860 \h 79ЗАКЛЮЧЕНИЕ PAGEREF _Toc359208861 \h 81Библиографический список: PAGEREF _Toc359208862 \h 83Приложение 1 PAGEREF _Toc359208863 \h 87Приложение 2 PAGEREF _Toc359208864 \h 88Приложение 3 PAGEREF _Toc359208865 \h 93Приложение 4 PAGEREF _Toc359208866 \h 96Приложение 5 PAGEREF _Toc359208867 \h 99Приложение 6 PAGEREF _Toc359208868 \h 103Приложение 7 PAGEREF _Toc359208869 \h 105Приложение 8 PAGEREF _Toc359208870 \h 107
ВВЕДЕНИЕСовременному обществу необходимы активные, предприимчивые, творческие, социально мобильные молодые люди, обладающие не только определёнными знаниями, умениями и навыками в различных областях, но и способные принимать эффективные решения в проблемных ситуациях, осуществлять самостоятельную познавательную деятельность, привлекая полученные знания, умения и навыки.
Необходимость в такого рода качествах личности определяется не только требованиями общества к человеку, обеспечивающими ему успешность в нем, но и дальнейшим развитием самого общества, потенциал которого складывается из образовательного уровня каждого человека. В связи с этим меняются требования к результату подготовки учащихся на всех ступенях общего и профессионального образования.
Пересмотр требований к подготовке учащихся привел к тому, что одним из приоритетных направлений обновления российского общего образования явилось внедрение компетентностного подхода.
Выделению и определению содержания образовательных компетенций посвящены работы таких ученых, как В.В. Краевский, О.Е. Леднев, И.Д. Фрумин, Дж. Равен, А.Н. Дахин и многих других. В них отмечается, что одной из задач компетентностного подхода применительно к школьному образованию является не информированность ученика, а развитие его умения разрешать разнообразные задачи, близкие жизненному миру учащихся и демонстрирующие связь теоретических и практических знаний.
Основные результаты общего образования в рамках компетентностного подхода фиксируются через набор ключевых (базовых) образовательных компетенций, которые задают основной ориентир выбора предметного содержания и условий организации «основных видов деятельности ученика, позволяющих ему овладевать социальным опытом, получать навыки жизни и практической деятельности в современном обществе».
Среди ключевых образовательных компетенций, предлагаемых учеными (А.В. Хуторской, И.Д. Фрумин, И.А. Зимняя и др.), в качестве одной из основных выделяется учебно-познавательная компетенция, которая определяет характер и содержание учебно-познавательной деятельности учащегося, как основной деятельности, в которую включен учащийся в процессе обучения.
Требования к учащемуся владеть деятельностью, связанной с получением знаний, необходимых для решения определенных задач; владеть приемами самостоятельной и продуктивной учебно-познавательной деятельности, использовать различные средства и методы познания приводят к необходимости развития его учебно-познавательной компетентности.
Наличие учебно-познавательной компетентности у учащегося будет обеспечивать ему не только успешное обучение в школе, но и реализацию своих способностей за ее пределами, поскольку умение самостоятельно приобретать знания, владеть приемами действий в нестандартных ситуациях являются необходимыми для самостоятельной жизнедеятельности.
Развитие учебно-познавательной компетентности должно осуществляться средствами и возможностями каждого учебного предмета. Содержание геометрии позволяет внести определенный вклад в решении данной проблемы.
Основными объектами геометрии являются модели реальных объектов, для которых определяется геометрическая форма, размеры, взаимное расположение с другими объектами на плоскости и в пространстве, т.е. в отличие от алгебры и начал анализа ее содержание менее абстрактно, более образно, а потому есть возможность продемонстрировать связь математической теории и практических задач, с которыми учащиеся встречались (или могут встретиться). Выбор старшей ступени образования позволяет раскрыть эту связь, поскольку на уроках стереометрии учащиеся имеют дело не только с геометрическими фигурами, но и телами, а значит, большинство задач рассматривается в евклидовом трехмерном пространстве, описывающем при некоторых условиях свойства реального пространства.
Сегодня существует противоречие между новыми требованиями к подготовке выпускников в связи с реализацией задач модернизации образования и недостаточной теоретической и практической разработанностью проблемы развития учебно-познавательной компетентности учащихся.
Все сказанное позволяет сделать вывод об актуальности выбранной нами темы.
Объект исследования – процесс формирования учебно-познавательной компетенции учащихся при изучении курса стереометрии.
Предмет исследования – приемы формирования учебно-познавательной компетенции учащихся при обучении доказательству теорем стереометрии.
Цель исследования: разработать методические рекомендации по обучению доказательству теорем в курсе стереометрии, способствующие развитию учебно-познавательной компетентности учащихся.
Гипотеза исследования: если при обучении учащихся доказательству теорем в курсе стереометрии использовать разработанные методические рекомендации, то это будет способствовать формированию учебно-познавательной компетенции учащихся.
Поставленные цель и гипотеза позволили определить задачи исследования:
Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по теме исследования.
Разработать методические рекомендации по обучению учащихся доказательству теорем в курсе стереометрии, способствующие формированию учебно-познавательной компетенции.
Экспериментально апробировать разработанные рекомендации.
Методологическим основанием исследования является:
Компетентностностный подход в образовании (О.Е.Лебедев, Л.С. Выгодский, А.А. Леонтьев, И.Д. Фрумин, А.В. Хуторской и т.д.);
Формирование учебно-познавательной компетенции (познавательного интереса) (А.М.Урусова, В.А.Машарова и т.д.);
Методики обучения математике (Л.О.Денищева, Н.Л.Стефанова, Н.С.Подходова, В.И.Мишин и т.д.).
Методы исследования: изучение и анализ литературы, педагогический эксперимент, обобщение опыта учителей.
Теоретическая значимость работы заключается в выявлении возможностей обучения доказательству теорем для развития учебно-познавательной компетенции.
Практическая значимость работы заключается в разработке методических рекомендаций, направленных на развитие учебно-познавательной компетенции учащихся при обучении доказательству теорем в курсе стереометрии.
База исследования: Экспериментальная проверка теоретических положений выпускной квалификационной работы и их внедрение проводились в 2012 г. на базе МБОУ СОШ №1 г.Ишима.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические положения и идеи исследования обсуждались на международной научно-методической конференции «Студенты вузов - школе и производству» (Ишим, 2012г.).
Основные положения исследования отражены в следующих публикациях:
Попкова Е.И. Ключевые компетенции, формируемые через изучение математики / Проблемы и перспективы математического и физического образования в России: сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции / отв. ред. Л.В. Ведерникова — Ишим: Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2012.
Кашлач И.Ф., Попкова Е.И. Методика изучения аксиом стереометрии / Информационно-образовательное пространство как фактор повышения качества образования: сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции 29 марта 2013г. – Тюмень: РИЦ ТГАКИиСТ, 2013.
Структура работы. Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ КОМПЕТЕНЦИИКомпетентностный подход в образованииПонятия – «компетентностный подход» и «ключевые компетентности» получили распространение в связи с дискуссиями о проблемах и путях модернизации российского образования. Обращение к этим понятиям связано со стремлением определить необходимые изменения в образовании, в том числе в школьном, обусловленные изменениями, происходящими в обществе.
Компетентностный подход — это совокупность общих принципов определения целей образования, отбора содержания образования, организации образовательного процесса и оценки образовательных результатов.
К числу таких принципов относятся следующие положения:
• Смысл образования заключается в развитии у обучаемых способности самостоятельно решать проблемы в различных сферах и видах деятельности на основе использования социального опыта, элементом которого является и собственный опыт учащихся.
• Содержание образования представляет собой дидактически адаптированный социальный опыт решения познавательных, мировоззренческих, нравственных, политических и иных проблем.
• Смысл организации образовательного процесса заключается в создании условий для формирования у обучаемых опыта самостоятельного решения познавательных, коммуникативных, организационных, нравственных и иных проблем, составляющих содержание образования.
• Оценка образовательных результатов основывается на анализе уровней образованности, достигнутых учащимися на определённом этапе обучения.
Для обсуждения проблем компетентностного подхода в образовании необходимо ответить на вопросы о том, какие изменения в обществе обусловили поиск новой концепции образования и почему сложившийся подход к определению целей и содержания образования не позволяет провести его модернизацию. Модернизация образования, т.е. обеспечение его соответствия запросам и возможностям общества, осуществлялась всегда в той или иной мере. Эта мера зависит от способности системы образования к изменениям, а сама эта способность во многом определяется подходом к постановке целей, отбору содержания, организации образовательного процесса, оценке достигнутых результатов.
Главное изменение в обществе, влияющее на ситуацию в сфере образования, — ускорение темпов развития общества. В результате школа должна готовить своих учеников к жизни, к переменам, развивая у них такие качества, как мобильность, динамизм, конструктивность.
Многие идеи компетентностного подхода появились в результате изучения ситуации на рынке труда и в результате определения тех требований, которые складываются на рынке труда по отношению к работнику. Десять лет назад был подготовлен и опубликован доклад специалистов Мирового банка о развитии российского образования. В этом докладе отмечались многие достоинства советской системы образования, но отмечалось, в частности, и то, что в меняющемся мире система образования должна формировать такое качество, как профессиональный универсализм — способность менять сферы и способы деятельности. Дальнейшие исследования в области рынка труда привели к формуле, которую можно определить таким образом: необходим переход от хорошего специалиста — к хорошему сотруднику.
Школа всегда стремилась реагировать на изменения в обществе, изменения в социальных требованиях к образованию. Такая реакция выражалась, прежде всего, в изменениях программ по учебным предметам — как в связи с достижениями в науках, так и в связи с идеологическими переменами в обществе. Другой путь реагирования на новые социальные требования заключался в дополнении учебного плана новыми предметами.
Оба эти направления ориентированы на экстенсивное развитие школы, на увеличение объёма изучаемого учебного материала. Экстенсивный путь развития школы — путь тупиковый, ибо ресурсы времени, которое можно выделить на школьное образование, всегда будут ограниченны. Кроме того, невозможно достичь нового качества образования (новых образовательных результатов, соответствующих потребностям развития общества) за счёт увеличения объёма знаний и даже за счёт изменения содержания знаний по отдельным предметам.
Надо использовать другой путь — изменение характера связей и отношений между учебными дисциплинами.
Связи и отношения между учебными предметами определяются прежде всего содержанием целей общего образования, соотношением общих целей школьного образования и целей изучения учебных дисциплин.
Как известно, под целями понимаются ожидаемые результаты деятельности, в данном случае — образовательной. Различие подходов к определению целей школьного образования заключается в понимании сущности ожидаемого результата. При традиционном подходе под образовательными целями понимаются личностные новообразования, которые формируются у школьников. Цели обычно формулируются в терминах, которые описывают эти новообразования: ученики должны освоить такие-то понятия, сведения, правила, умения, у них необходимо сформировать такие-то взгляды, качества и т.д. Такой подход к постановке образовательных целей достаточно продуктивен, особенно по сравнению с распространённой практикой отождествления педагогических целей и педагогических задач, когда цели формулируются в терминах, описывающих действия учителя (раскрыть, объяснить, рассказать и т.п.).
Однако определение образовательных целей через описание личностных новообразований учащихся вступает в противоречие с новыми социальными ожиданиями в сфере образования. Традиционный подход к определению целей образования ориентирует на сохранение экстенсивного пути развития школы. С позиций этого подхода, чем больше знаний приобрёл ученик, тем лучше, тем выше уровень его образованности.
Но уровень образованности, особенно в современных условиях, не определяется объёмом знаний, их энциклопедичностью. С позиций компетентностного подхода уровень образованности определяется способностью решать проблемы различной сложности на основе имеющихся знаний. Компетентностный подход не отрицает значения знаний, но он акцентирует внимание на способности использовать полученные знания. При таком подходе цели образования описываются в терминах, отражающих новые возможности обучаемых, рост их личностного потенциала. В первом случае цели образования моделируют результат, который можно описать, ответив на вопрос: что нового узнает ученик в школе? Во втором случае предполагается ответ на вопрос, чему научится ученик за годы обучения в школе.
И в первом, и во втором случаях в качестве «конечных» результатов образования рассматривается развитие определённых личностных качеств, прежде всего, нравственных, формирование системы ценностей. Могут существовать различные взгляды на то, какие качества личности и какие ценностные ориентации нужно формировать у современных школьников, но эти различия не имеют тесной связи с подходом к определению целей образования. Различия в этих подходах связаны с различиями представлений о путях формирования ценностных ориентации и личностных качеств учащихся. При традиционном подходе к определению целей исходят из того, что личностных результатов можно достичь за счёт приобретения необходимых знаний. Во втором случае в качестве основного пути рассматривается получение опыта самостоятельного решения проблем. В первом случае решение проблем рассматривается как способ закрепления знаний, во втором — как смысл образовательной деятельности.
С позиций компетентностного подхода основным непосредственным результатом образовательной деятельности становится формирование ключевых компетентностей.
В современной науке встречаются различные толкования понятия компетентность. Проанализируем некоторые из них:
В трудах Дж. Равена под компетентностью понимается способность субъекта объединять различные (когнитивные, эмоциональные, волевые) компоненты деятельности с целью успешного достижения результата.
Компетенция — это готовность (способность) ученика использовать усвоенные знания, учебные умения и навыки, а также способы деятельности в жизни для решения практических и теоретических задач.
Компетенция — заранее заданное социальное требование (норма) к образовательной подготовке, выраженное совокупностью взаимосвязанных смысловых ориентаций, знаний, умений, навыков и опыта деятельности ученика по отношению к определенному кругу объектов реальной действительности, необходимых для осуществления личностно и социально значимой продуктивной деятельности.
Высокий уровень компетенций – это обширный набор навыков, умений и установок. Он является одним из основных факторов личностного, институционального и общественного развития в целом.
Компетентностный подход в обучении математики, как средство повышения качества образования, – приоритетное направление модернизации систем обучения в мировом образовательном пространстве.
С одной стороны, компетентностный подход – это подход, акцентирующий внимание на результате образования, причем в качестве результата рассматривается не сумма усвоенной информации, а способность человека действовать в различных проблемных ситуациях.
С другой стороны, компетентностный подход – это подход, при котором результаты образования признаются значимыми за пределами системы образования.
Наиболее приемлемыми для педагогической практики в компетентностном подходе к обучению учащихся являются идеи О.Е. Лебедева, утверждающего значимость компетентностного подхода с позиций успешной адаптации выпускников к жизни в обществе. Согласно его идеям, выделяются следующие компоненты компетентностей обучающихся:
• общеучебная компетентность — высокая информированность учащихся об основных идеях, понятиях, концепциях в предметных областях знаний; сформированность общеучебных (дидактических) умений и навыков, интеллектуальных способностей в самостоятельном приобретении новых знаний, средств и способов познавательной деятельности и др.;
• общекультурная компетентность — готовность учащихся к гармоничному вхождению в культурное пространство человечества, к диалоговой форме общения с окружающими людьми; коммуникативная, эстетическая и этическая культура выпускника и др.;
• общеметодологическая компетентность — целеполагание и умение самостоятельно критически мыслить, навыки анализа ситуаций и умение видеть возникающие проблемы, проектировать и планировать пути рационального их преодоления, самостоятельно управлять собственным развитием и собственной деятельностью по достижению поставленных целей, рефлексивно оценивать свое поведение и события в окружающем мире.
Общеобразовательная школа не в состоянии сформировать уровень компетентности учеников, достаточный для эффективного решения проблем во всех сферах деятельности и во всех конкретных ситуациях, тем более в условиях быстро меняющегося общества, в котором появляются и новые сферы деятельности, и новые ситуации. Цель школы — формирование ключевых компетентностей.
Под ключевыми компетентностями применительно к школьному образованию понимается способность учащихся самостоятельно действовать в ситуации неопределённости при решении актуальных для них проблем. Эта способность может быть реализована и за рамками школьного образования.
Отметим несколько особенностей такого понимания ключевых компетентностей, формируемых школой. Во-первых, речь идёт о способности эффективно действовать не только в учебной, но и в других сферах деятельности. Во-вторых, речь идёт о способности действовать в ситуациях, когда может возникнуть необходимость в самостоятельном определении решений задачи, уточнении её условий, поиске способов решения, самостоятельной оценке полученных результатов. В-третьих, имеется в виду решение проблем, актуальных для школьников.
При традиционном подходе часто образовательные цели отождествляются с педагогическими. Необходимое условие осуществления педагогических целей — взаимосоответствие целей педагогов и целей обучаемых, причём с каждым новым поколением учеников значение этого фактора возрастает, ибо каждое новое поколение школьников становится более самостоятельным, более независимым от взглядов и суждений взрослых.
Образовательные цели (или цели школьного образования) могут стать значимым фактором результативности образовательной деятельности, если они будут моделировать результаты, соответствующие ожиданиям как педагогов, так и учащихся. Это могут быть разные, хотя и не альтернативные ожидания. Подлинные педагогические цели всегда ориентированы на длительную перспективу, на создание условий для саморазвития личности. Цели учащихся всегда ориентированы на ближнюю перспективу, на конкретный результат, обеспечивающий успех сейчас или в ближайшем будущем. Естественно, что с возрастом масштабы целей учащихся меняются, хотя их прагматизм неизбежно сохраняется.
При традиционном подходе к определению целей образования педагогические цели на практике концентрируются на непосредственных результатах обучения — усвоении сведений, понятий и т.д. Эти результаты могут и не иметь особой ценности для учеников, поэтому их цели могут концентрироваться на достижении некоторых формальных показателей (отметка, медаль, способность сдать экзамен и т.д.).
Компетентностный подход к определению целей школьного образования даёт возможность согласовать ожидания учителей и обучаемых. Определение целей школьного образования с позиций компетентностного подхода означает описание возможностей, которые могут приобрести школьники в результате образовательной деятельности.
Цели школьного образования, с этой точки зрения, заключаются в следующем:
• Научить учиться, т.е. научить решать проблемы в сфере учебной деятельности, в том числе: определять цели познавательной деятельности, выбирать необходимые источники информации, находить оптимальные способы добиться поставленной цели, оценивать полученные результаты, организовывать свою деятельность, сотрудничать с другими учениками.
• Научить объяснять явления действительности, их сущность, причины, взаимосвязи, используя соответствующий научный аппарат, т.е. решать познавательные проблемы.
• Научить ориентироваться в ключевых проблемах современной жизни — экологических, политических, межкультурного взаимодействия и иных, т.е. решать аналитические проблемы.
• Научить ориентироваться в мире духовных ценностей, отражающих разные культуры и мировоззрения, т.е. решать аксиологические проблемы.
• Научить решать проблемы, связанные с реализацией определённых социальных ролей (избирателя, гражданина, потребителя, пациента, организатора, члена семьи и т.д.).
• Научить решать проблемы, общие для различных видов профессиональной и иной деятельности (коммуникативные, поиска и анализа информации, принятия решений, организации совместной деятельности и т.п.).
• Научить решать проблемы профессионального выбора, включая подготовку к дальнейшему обучению в учебных заведениях системы профессионального образования.
Особая цель математического образования – развитие речи на уроках математики. В наше прагматичное время культурный человек должен уметь излагать свои мысли четко, кратко, раскладывая «по полочкам», умея за ограниченное время сформулировать главное, отсечь несущественное.
Математическое образование, с точки зрения компетентстного подхода, играет, пожалуй, одну из самых важных ролей в достижении поставленной цели. Однако методы обучения должны быть усовершенствованы в связи с изменениями в подходах к среднему (полному) образованию.
С позиций компетентностного подхода функциональная математическая грамотность определяется, как способность человека видеть и понимать роль математики в мире, в котором он живет, высказывать хорошо обоснованные математические суждения и использовать математику так, чтобы удовлетворять в настоящем и будущем потребности, присущие созидательному, заинтересованному и мыслящему гражданину.
Конкретизация понятия математической грамотности выражена в следующих положениях:
Распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики;
Формировать эти проблемы на языке математики;
Решать эти проблемы, используя математические знания и методы;
Анализировать использованные методы решения;
Интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы;
Формулировать и записывать окончательные результаты решения поставленной проблемы.
Суть компетентностного обучения заключается в акцентировании внимания на результате образования, причем в качестве результата рассматривается не сумма усвоенной информации, а способность действовать в различных проблемных ситуациях.
Сторонники традиционного подхода к школьному образованию, который часто называют «знаниевым», заявляют о том, что в современных дискуссиях проявляется ироническое отношение к необходимому базису образования, каковым, с их точки зрения, является объём обретённых учащимися знаний. Надо заметить, что компетентностный подход к решению проблем школьного образования совсем не отрицает значения знаний. Но при этом надо учитывать, что знания могут иметь различную ценность и что увеличение объёма знаний не означает повышения уровня образованности. Более того, повышение уровня образованности в ряде случаев может быть достигнуто лишь при уменьшении объёма знаний, который обязаны усвоить школьники.
Компетентностный подход к определению целей школьного образования соответствует и объективным потребностям учеников. Вместе с тем он соответствует и направлениям творческих поисков учителей (по крайней мере, в последней трети XX века). Эти поиски были связаны с реализацией идей проблемного обучения, педагогики сотрудничества, личностно ориентированного образования. Все эти идеи отражают попытки решить проблему мотивации учебной деятельности школьников, создать модель «учения с увлечением». Компетентностный подход позволяет избежать конфликтов между учениками и педагогами, неизбежные при обучении с принуждением.
Компетентностный подход в обучении математики предполагает освоение учащимися различного рода умений, позволяющих им в будущем действовать эффективно в ситуациях профессиональной, личной и общественной жизни. Причем особое значение придается умениям, позволяющим действовать в новых, неопределенных, проблемных ситуациях, для которых заранее нельзя наработать соответствующих средств. Их нужно находить в процессе решения подобных ситуаций и достигать требуемых результатов.
Таким образом, компетентностный подход в математике является усилением прикладного, практического характера (в том числе и предметного обучения).
Компетентностный подход расширяет сферу влияния образования на личность ученика за счет установки на саморазвитие во всех видах жизнедеятельности – познавательной, профессиональной, социальной, личностной и предполагает качественно иную систему оценки готовности выпускника к продолжению обучения и успешной адаптации к быстро меняющемуся обществу. Поэтому нынешняя ситуация в семейном воспитании и школьном образовании требует создания и апробации благоприятных условий для саморазвития личности, способствующих формированию у нее общеучебных, общекультурных и общеметодологических компетенции.
Особую трудность составляет процесс проверки полученных в ходе обучения компетенций. Так для проверки компетентности учащихся на международном уровне используются два типа задач – чисто математические и контекстные (практико-ориентированные).
К контекстным относят задачи, у которых контекст обеспечивает подлинные условия для использования математики при решении, оказывает влияние на решение и его интерпретацию. Не исключается использование задач, у которых условие является гипотетическим, если оно не слишком отдалено от реальной ситуации.
Центр тяжести при решении задач такого типа лежит в области построения самой модели реальной ситуации. Именно составление модели требует высокого уровня математической подготовки и является результатом обучения, который целесообразно назвать общекультурным (общеобразовательным).
Таким образом, компетентностный подход в общем образовании объективно соответствует и социальным ожиданиям в сфере образования, и интересам участников образовательного процесса. Вместе с тем этот подход вступает в противоречие со многими сложившимися в системе образования стереотипами, существующими критериями оценки учебной деятельности детей, педагогической деятельности педагогов, работы школьной администрации. На данном этапе развития общеобразовательной школы осуществить компетентностный подход, скорее всего можно в опытно-экспериментальной работе образовательных учреждений. Наряду с этим необходима теоретическая и методическая подготовка кадров к реализации компетентностного подхода в системе педагогического образования, в том числе в центрах повышения квалификации.
1.2 Формирование ключевых компетенций учащихся при обучении математикеКонцепция модернизации российского образования ставит перед общеобразовательной школой ряд задач, одна из которых – формирование ключевых компетенций, определяющих современное качество содержания образования.
Под ключевыми компетенциями понимается целостная система универсальных знаний, умений, навыков, а так же опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся.
От педагога требуется научить детей тем знаниям, обучить тем умениям и развить те навыки, которыми современный ученик сможет воспользоваться в своей дальнейшей жизни.
Задача системы образования всегда состояла в формировании у подрастающего поколения тех знаний, поведенческих моделей, ценностей, которые позволят ему быть успешным вне стен школы. В современной экономике конкурентоспособность человека на рынке труда во многом зависит от его способности овладевать новыми технологиями, адаптироваться к изменяющимся условиям труда, ориентироваться в гигантских информационных потоках.
В науке нет общего подхода к понятию компетентность, каждый автор понимает его по-своему. В этом широком контексте трактовки компетентности в мире продолжается работа по изменению содержания стандартов и процедуры аттестации преподавателей. В этом же контексте в России в 2001 году были сформулированы основные положения компетентностного подхода в образовании, узловое понятие которого – компетентность.
Ключевой характеристикой компетентности является возможность переносить способности в условия, отличные от тех, в которых эта компетентность изначально возникла.
В связи с практической ориентированностью современного образования основным результатом деятельности образовательного учреждения должна стать не система знаний, умений и навыков сама по себе, а набор ключевых компетентностей.
В теории А. В. Хуторского основной целью общеобразовательной школы является практическая отработка механизмов формирования у современного школьника набора ключевых компетенций, которые позволяют выявить уровень готовности выпускника к жизни в современном обществе (схема 1).
Схема №1
А. В. Хуторским предложено содержание основных ключевых компетенций, в перечень которых входят:
ценностно-смысловая;
общекультурная;
учебно-познавательная;
информационная;
коммуникативная;
социально-трудовая;
личностная и др. компетенции.
Любому человеку необходимо быть эффективным, конкурентоспособным работником, быть творческим, самостоятельным, ответственным, коммуникабельным человеком, способным решать проблемы личные и коллектива. Ему должна быть присуща потребность к познанию нового, умение находить и отбирать нужную информацию.
Все эти качества можно успешно формировать в школе, используя компетентностный подход в обучении любому предмету, в том числе и математике, что является одним из личностных и социальных смыслов образования.
У учащихся формируются ключевые компетенции – универсальная целостная система знаний, умений, навыков, опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности.
К наиболее типичным методам формирования и развития ключевых компетенции при обучении математики, пригодных к использованию также на уроках по любым предметам и во внеурочной деятельности, относятся:
обращение к прошлому или только что сформированному опыту учащихся;
открытое обсуждение новых знаний, в ходе которого непосредственно оказывается задействованной субъектная позиция учащихся и, опосредованно, – их прежний опыт;
решение проблемных задач и обсуждение проблемных ситуаций, «соразмерных» опыту учащихся данного возраста;
дискуссия учащихся, столкновение их субъектных позиций;
игровая деятельность: ролевые и деловые игры, игровой психологический тренинг или практикум;
проектная деятельность: исследовательские, творческие, ролевые, практико-ориентированные мини-проекты и проекты, практические работы, имеющие жизненный контекст.
Далее приведем конкретные приёмы, способствующие реализации предложенных ключевых образовательных компетенций.
Ценностно-смысловая компетенция. Ученик должен четко для себя представлять, что и как он изучает сегодня, на следующем занятии и каким образом он сможет использовать полученные знания в последующей жизни. Для развития этого вида компетентности можно применять следующие приемы:
1. Перед изучением новой темы учитель рассказывает учащимся о ней, а учащиеся формулируют по этой теме вопросы, которые начинаются со слов: “зачем”, “почему”, “как”, “чем”, “о чем”, оценивается самый интересный, при этом ни один из вопросов не остается без ответа. В результате учащиеся четко представляют, что, когда и как они будут изучать. Кроме того, данный прием позволяет им понять не только цели изучения данной темы в целом, но и осмыслить место урока в системе занятий, а, следовательно, и место материала этого урока во всей теме.
2. На каком-либо конкретном занятии учащиеся самостоятельно изучают отдельные параграфы учебника и составляют краткий конспект этого параграфа. Перед ними стоит задача – пересказать или пояснить прочитанное, выделить, обозначить, подвести итог, подчеркнуть, перечислить, произнести.… В итоге учащиеся не только более глубоко понимают изучаемый материал, но и учатся выбирать главное, обосновывать его важность не только для других, но и, самое главное, для себя.
3. Подходит проведение предметной олимпиады, которая включает в себя нестандартные задания, требующие применения учеником именно предметной логики, а не материала из школьного курса.
4. В этом виде компетенции можно говорить и о профориентации, именно в школьные годы мы способствуем выбору детьми той сферы, которая им наиболее интересна – это либо гуманитарная сфера, либо сфера точных наук. Некоторые из задач подобного рода требуют не только знания математики и арифметики, но и практической смекалки, умения ориентироваться в конкретной обстановке.
Самообразовательная компетенция. Лучше всего для реализации данной компетенции подходит проведение различных предметных олимпиад или конкурсов, необходимо, чтобы они включали в себя нестандартные задания, требующие применения учеником именно предметной логики, а не только материала из школьного курса.
Рассмотрим предложенную детям задачу: «Васе поручили за несколько дней посадить в одну линию ровно 321 цветок. Каждый следующий день он должен сажать по одному цветку во все промежутки между уже посаженными цветами. На какое наибольшее число дней ему удастся растянуть эту работу?» Не все ученики могут найти верный ответ, но несколько детей смогут правильно составить краткую запись — наглядное изображение задачи, т.е. именно у этих учеников развито математическое мышление, они смогли интерпретировать текст задачи схематически.
Таким образом, склонность ученика к тому или иному предмету не может быть выявлена по результатам контрольных проверок знаний, одним из приёмов её выявления является проведение олимпиады и конкурсов.
Также с целью реализации данной компетенции, можно ввести такой вид деятельности на уроках математики как решение задач с «лишними данными».
Следует так же отметить, что работа над такими заданиями показала, что «лишние данные» помогают ученикам при работе с понятийным аппаратом.
Еще одним методом формирования самообразовательной компетенции служит метод проектов. Так, например, проект «Показательные уравнения» помогает не только в лучшем усвоении основных методов решения показательных уравнений предложенных в школьном курсе математики, но и расширяет знания по данной теме. Школьники находят новые способы решения уравнений, закрепляют их на практике.
Общекультурная компетенция. Использование материала из других наук на уроках математики, и использование понятий и методов математики на других уроках и в жизни. Очень часто ученики, уверенно используя какие-то умения на одном предмете, далеко не всегда смогут применить его на другой дисциплине. На уроках математики учитель может помочь ребенку прояснить задачу, выделить предметную составляющую, показать применение известных способов в новой ситуации. Например, при решении текстовых задач с помощью систем уравнений на уроках физики и химии дети испытывали трудности. Причины – сложно построить математическую модель процесса, присутствие непривычных символов, непонимание условия задачи, ее особенностей, стратегии ее решения, неспособность применить математический аппарат в новых обозначениях. Пути устранения этих проблем:
1. Продемонстрировать некоторые способы работы с символическим текстом, раскрывая смысл, логику, особенности преобразований.
2. Можно организовать работу с символическим текстом, в которой необходимо переводить текст с обычного языка на математический, с геометрического – на язык векторов, а также переводить модель, заданную одним способом, в иную модель, т.е. перефразировать задачу.
Эффективность работы возрастает при хороших межпредметных связях учителей по поводу одного предметного умения или при использовании методов одной науки в другой. Работа учителей состоит в создании условий для накопления опыта детей и его осмысления.
3. В формировании грамотной, логически верной речи хорошо помогает составление математического словаря, написание математического диктанта, выполнение заданий, направленных на грамотное написание, произношение и употребление имен числительных, математических терминов.
4. В ходе проведения внеклассных мероприятии, предметных недель можно практиковать написание сказок, фантастических историй, рассказов на заданные темы.
5. При решении текстовых задач в условии могут быть умышленно пропущены числа или заменены словом (год, неделя, сутки, десятиэтажный дом и т.п.) Предлагается выбрать из записанных на доске чисел те, которыми могла быть выражена данная величина (скорость, цена, масса). Кроме того, можно предложить текстовые задачи со скрытой информативной частью. Важно при подведении итогов урока акцентировать внимание учеников не только на математических составляющих урока, но и на общекультурных.
6. По уравнению, схеме к задаче составляются различные текстовые задачи, которые могут быть решены при помощи этого уравнения или схемы. Если решение требует большого количества действий, то к условию составляется минимальное количество вопросов, ответив на которые можно ее решить.
7. По тексту задачи можно составить перечень вопросов начиная с вопроса задачи. На пример: Какие данные надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Какие из необходимых данных известны по условию задачи? Каких данных недостает?
Гражданская компетенция. На первый взгляд, довольно трудно реализовать данную компетенцию на уроках математики. Однако, возможно использование задач со скрытой информативной частью.
Например: «По переписи населения в 1805 году в Росии проживало 53 млн. человек, что составляет 5 часть населения Росси перед войной. Сколько людей жило перед войной в Росси?». Таким образом, работая над данной задачей, обучающийся невольно усваивает исторические факты своей родины.
Задачи со скрытой, неявной информативной частью не сложны в работе и данный прием вполне применим в школе. Важно только при подведении итогов урока акцентировать внимание учеников не только на математических составляющих урока, но и на общекультурных.
Учебно-познавательная компетенция. Познавательный интерес является основой положительного отношения к учению. Под его влиянием у человека постоянно возникают вопросы, ответы на которые он сам постоянно и активно ищет. При этом поисковая деятельность школьника совершается с увлечением, он испытывает эмоциональный подъем, радость от удачи. Познавательный интерес – это один из важнейших мотивов обучения школьников. Активизация познавательной деятельности ученика без развития его познавательного интереса не только трудна, но практически и невозможна. Особенно эффективно данный вид компетентности развивается при решении нестандартных, занимательных, исторических задач, задач-фокусов, а так же при проблемном способе изложения новой темы: учитель создает такую ситуацию, чтобы проблема опиралась на личный опыт ребенка.
При изучении начального геометрического материала (длина окружности, периметр и площадь прямоугольника, объем прямоугольного параллелепипеда) можно дать следующие задачи:
– Нахождение периметра:
Вам необходимо огородить свой садовый участок прямоугольной формы, сколько метров изгороди необходимо изготовить, если длина участка 55м, а его ширина 20м.
– Координатная плоскость:
Соединить отрезками точки с заданными координатами, в результате получится фигура.
В координатной плоскости из отрезков построить фигуру и записать координаты точек – узлов.
– Мини-исследования на основе изучения геометрического материала (от “плоских” фигур до “объемных”).
По развертке собрать модели многогранников, исследуя простейшие свойства стереометрических фигур, получая начальные геометрические сведения.
Задание-исследование: “Определение зависимости длины окружности от радиуса”. Результатом экспериментальной деятельности с помощью реальных, доступных предметов (нитка, посуда, имеющая форму цилиндра) становится приближенное значение числа.
Информационная компетенция. Обращение к примерам из жизни дает учителю возможность формировать у учащихся информационную компетенцию.
Решение расчетных задач на движении и стоимость.
За несколько дней до урока по теме, учащиеся получают задание собрать необходимые данные (цены на отдельные товары, расстояния между населенными пунктами своего района и т.п.). На уроке эти данные используются учителем при объяснении и детьми при составлении своих задач.
Изучение новых терминов учащиеся, пользуясь толковым словарем, дают различные определения математического понятия, например: в математике модуль – это…, в строительстве модуль – это…, в космонавтике модуль – это…
Проведение уроков-семинаров и уроков-конференций, при подготовке к которым учащиеся самостоятельно готовят свои доклады, они не только ищут нужную информацию, но и преобразуют ее нужным образом.
Этот вид компетенции в своей сути заключает процесс освоения учеником современных информационных технологий. Т.е. на уроке математики мы должны, как всегда, непреднамеренно для ученика, обучить его способам работы с информационными технологиями. От урока к уроку необходимо повышать уровень “первоисточников”, таким образом, подготавливая ученика к адаптации в информационном пространстве современного мира.
Для развития данного вида компетентности можно предложить учащимся практико-ориентированные задачи – задания с практическим содержанием, ориентирующие учащихся на математические исследования явлений реального мира.
Таким образом, реализация данной компетенции, после предварительной подготовки учителя и учеников, вполне возможна и на уроках математики.
Коммуникативная компетенция. Коммуникативная компетенция не является новой в школьной системе обучения, т.к. её реализация подразумевает использование различных коллективных (коммуникативных) приёмов работы (таких, как дискуссия, групповая работа, парная работа, при разборе задачи диалог с учителем или соседом по парте и др.). Данные приёмы активно используются в современной школе и им посвящено множество исследований.
Главным при реализации данной компетенции является соблюдение принципа полезности проводимой работы.
Социально-трудовая компетенция. Данная компетентность подразумевает овладение детьми теми предметными знаниями, умениями и навыками, которые они будут использовать непосредственно в своей дальнейшей жизнедеятельности.
Развитию способствуют следующие приемы: контрольные работы, тесты по усовершенствованию устного счета. Причем задания можно давать социально-трудового характера, которые будут вводить ребенка в нестандартную, но бытовую ситуацию. Например, вычисление суммы покупок в магазине, до того момента, как подойти к кассе.
Рефлексивная компетенция. Рефлексия одна из необходимых способностей современного учащегося. Способность человека к рефлексии дает ему возможность определять границы знания и незнания.
Рефлексивные способности являются теми, которые в принципе обеспечивают условия для саморазвития, самокоррекции, влияя в целом на развитие личности и ее отношения с миром».
Компетенция личного самосовершенствования. Опираясь на классификацию компетенций А. В. Хуторского, для воспитания данного вида компетенции подходят задачи на развитие навыков самоконтроля, в этом помогают задачи, содержащие информативную часть, влияющую на самосознание детей.
Одним из приемов выработки самоконтроля является проведение проверки решения математических упражнений. Проверка решения требует настойчивости и определенных волевых усилий. В результате, у учащихся воспитываются ценнейшие качества – самостоятельность и решительность в действиях, чувство ответственности за них.
Развитие навыков критического отношения к результатам вычислений, навыков самоконтроля требует не только обучения учащихся приемам контроля, но и проведения специальных упражнений, структурно отличных от обычных распространенных упражнений. Специфика этих упражнений состоит в том, что они не только составляются и решаются, но и неизбежно проверяются учащимися.
Особое место в совокупности характеристик компетентностного подхода занимает оценка достижений учащихся. Адекватная оценка обеспечивает школьникам осознание своего уровня компетентности, позволяет соотнести индивидуальные возможности с требованиями школы, образовательного стандарта, рынка труда. А главное – приводит к пониманию “некомпетентности”, создавая тем самым предпосылки для дальнейшего самосовершенствования.
В атмосфере успеха формируется всесторонне развитая личность школьника.
А. А. Ярулов в статье «Познавательная компетентность школьников» очень четко выделяет следующие условия, в которых может быть сформирована успешность обучения:
1) школьник имеет ясные представления о целях своей учебной деятельности и ориентирует их на решение задач, которые ставит перед ним школа.
2) школьник осознает мотивы своей учебной деятельности.
3) школьник планирует свою учебную деятельность и оценивает ее последствия.
4) при возникновении трудностей школьник концентрирует свои психологические и физические силы на достижение поставленных целей.
5) школьник учится нести ответственность за правильность выбора задания, темпа изучения материала.
При этих условиях ученику предоставляется возможность:
Взглянуть на себя “изнутри” и “извне”, сравнить себя с другими учащимися, оценить свои поступки поведение, научиться принимать себя и других как отдельную личность.
Вырабатывать силу воли.
Учиться преодолевать собственные эмоциональные барьеры, которые мешают принять волевое решение;– развивать в себе способность быстро принимать решения, позволяющие концентрировать усилие воли не на том, чтобы предпочесть одно другому, а на размышления о положительных и отрицательных свойствах выбранного решения.
Учиться продуктивному общению, достигая гармонии с окружением.
Именно, компетентностный подход способствует реализации этих условий.
1.3 Формирование учебно-познавательной компетенции учащихся на уроках математикиВыпускнику современной школы, вступающему в самостоятельную жизнь в условиях современного рынка труда и быстро изменяющегося информационного пространства, необходимо быть конкурентно способным работником. Он должен быть творческим, самостоятельным, ответственным, коммуникативным человеком способным решать проблемы личные и коллектива. Ему должна быть присуща потребность к познанию нового, умение находить и отбирать нужную информацию.
Все эти качества можно успешно формировать, используя компетентностный подход в обучении любому предмету, в том числе и математике, что является одним из личностных и социальных смыслов образования.
Учебно-познавательная компетенция – это совокупность компетенций в сфере самостоятельной познавательной деятельности, включающей элементы логической, методологической, общеучебной деятельности, соотнесённой с реальными познаваемыми объектами. Сюда входят знания и умения, организации целеполагания, планирования, анализа, рефлексии, самооценки учебно-познавательной деятельности, а так же овладение креативными навыками продуктивной деятельности: добыванием знаний непосредственно из реальности, владение приемами действий в нестандартных ситуациях, эвристическими методами решения проблем.
Актуальность формирования и значение учебно–познавательной компетенции можно представить в следующих аспектах. Учебно–познавательная компетенция учащихся, являясь ключевой, актуальна как:
Фактор, формирующий методы и способы познавательной деятельности.
Фактор, влияющий на возрастание мотивации и познавательной активности.
Фактор позволяющий заниматься самообразованием в течение всей жизни.
Готовность к продуктивной практической деятельности.
Итак, учебно-познавательная компетенция – интегрированное качество личности, функционально-поисковый алгоритм реализации познавательных потребностей учащегося в ходе мотивированной, активной познавательной деятельности, направленный на приращение знаний, умений и навыков реализующихся в практической деятельности.
Школа сегодня – это своеобразный институт знаний, выходя из стен которого учащиеся должны владеть не только определёнными знаниями, умениями и навыками, но и быть гармонично развитыми личностями, так как в современном обществе образовалась потребность в разносторонне образованных, нравственных, предприимчивых людях, которые могут самостоятельно принимать решения и прогнозировать их возможные последствия. Формирование этих качеств сегодня связывают с реализацией компетентностного подхода.
В учебной деятельности особое внимание уделяется формированию и развитию учебно-познавательной компетенции, которая представляет собой совокупность компетенций в сфере самостоятельной познавательной деятельности. Формирование этой компетенции возможно только при умелом использовании учителем разнообразных технологий обучения и воспитания. Очень часто используются те, которые наиболее полно отражают принципы компетентностного подхода и положительно влияют на мотивацию учащихся к учебному труду, на развитие личности, способной к творческой и исследовательской деятельности (схема 2).
Схема №2
Компетентность выпускника и технологии ее достижения
Как известно, роль познавательного интереса в обучении и воспитании очень велика: он обладает возможностями анализировать наиболее важные элементы знаний, содействовать успешному приобретению обучающимися умений и навыков, является мотивом учения и активной деятельности, способствует формированию личности, необходимой современному обществу – пытливой, активной, творческой.
Познавательный интерес, как и всякая черта личности и мотив деятельности школьника, развивается и формируется в деятельности, и прежде всего в учении. Формирование познавательных интересов учащихся в обучении может происходить по двум основным каналам, с одной стороны само содержание учебных предметов содержит в себе эту возможность, а с другой – путем определенной организации познавательной деятельности учащихся.
Первое, что является предметом познавательного интереса для школьников – это новые знания о мире. Вот почему глубоко продуманный отбор содержания учебного материала, показ богатства, заключенного в научных знаниях, являются важнейшим звеном формирования интереса к учению. Прежде всего, интерес возбуждает и подкрепляет такой учебный материал, который является для учащихся новым, неизвестным, поражает их воображение, заставляет удивляться. Но познавательный интерес к учебному материалу не может поддерживаться все время только яркими фактами, а его привлекательность невозможно сводить к удивляющему и поражающему воображение. Еще К.Д.Ушинский писал о том, что предмет, для того чтобы стать интересным, должен быть лишь отчасти нов, а отчасти знаком. Новое и неожиданное всегда в учебном материале выступает на фоне уже известного и знакомого. Поэтому для поддержания познавательного интереса необходимо научить школьников умению в знакомом видеть новое, помочь прийти к осознанию того, что у обыденных, повторяющихся явлений окружающего мира множество удивительных сторон, о которых он сможет узнать на уроках, т.е., стараться перевести школьников со ступени чисто житейских представлений о мире на уровень научных понятий, обобщений, понимания закономерностей.
Далеко не все в учебном материале может быть для учащихся интересно. И тогда выступает еще один, не менее важный источник познавательного интереса – сам процесс деятельности. Что бы возбудить желание учиться, нужно развивать потребность ученика заниматься познавательной деятельностью, а это значит, что в самом процессе ее школьник должен находить привлекательные стороны, что бы сам процесс учения содержал в себе положительные заряды интереса.
И здесь на помощь приходят задачи, вносящие элемент занимательности в учебный процесс, помогающие снять усталость и напряжение на уроке. Они ставят ученика в условия поиска, пробуждают интерес к победе, а отсюда – стремление быть быстрым, собранным, ловким, находчивым, уметь четко выполнять задания, соблюдать правила.
Формировать учебно-познавательную компетенцию можно не только с помощью задач. Рассмотрим примеры формирования компетенции на разных этапах урока:
Проверка домашнего задания – формирование компетенций учебно-познавательной и личного самосовершенствования.
Рецензирование ответов – формирование учебно-познавательной компетенции.
Математический диктант – формирование компетенции личного самосовершенствования.
Доказательство теорем, лемм, составление математического словаря – формирование общекультурной, учебно-познавательной компетенций;
Объяснение нового материала:
лекция с использованием приобретенной учениками информации – формирование информационной, учебно-познавательной, ценностно-смысловой компетенции.
коллективная экспериментальная работа, исследование – формирование компетенций учебно-познавательной, личного самосовершенствования, социально-трудовой, коммуникативной.
Творческая работа:
создание проектов – формирование учебно-познавательной и общекультурной компетенции.
Не последнюю роль в формировании познавательной деятельности играет развитие творческих способностей учащихся. Целесообразно давать ученикам такие задания, как: придумать сказку или стихотворение, составить кроссворд, ребус или викторину, нарисовать свой рисунок и записать координаты точек для собственного рисунка. Благодаря творческим заданиям у учащихся развиваются умения самостоятельной творческой работы, вызывая мотивацию к учению, интерес к предмету.
В последнее время очень сильно побуждает к познавательной деятельности и формирует личностные качества: творчество, самостоятельность, создает условия роста, успеха, самопознания личности – использование на уроках компьютерной техники. Самостоятельное создание презентаций к уроку, поиск материалов в Интернете по заданному вопросу, компьютерное тестирование, все это изменяет процесс обучения, способствует лучшему усвоению учебного материала. Такие уроки позволяют показать связь предметов, учат применять на практике теоретические навыки работы на компьютере, активизируют умственную деятельность ученика, стимулируют их самостоятельному приобретению знаний. На таких уроках каждый ученик работает активно и увлеченно, у учащихся развивается любознательность, познавательный интерес. Однако, так же необходимо не забывать о работе учащихся с учебником.
Наиболее ярко работа учащихся с книгой проявляется в групповой форме работы при изучении нового материала, например, по теме: «Движения плоскости». На первом уроке учитель делит класс на три группы, исходя из названия преобразований:
1 группа – параллельный перенос;
2 группа – поворот;
3 группа – гомотетия.
Члены каждой группы делятся внутри самостоятельно на микрогруппы, которые образуются исходя из структуры урока:
1 – введение нового материала (теория);
2 – закрепление материала (примеры задач);
3 – закрепление данной темы учащимися (подбор упражнений для учащихся всего класса);
4 – домашнее задание и проверка домашней работы на следующем уроке (подбор задач; составление карточек т.д.).
Весь необходимый материал учащиеся готовят самостоятельно, используя учебную литературу, но по необходимости возможна и консультация учителя. Проводят урок, выставляют оценки и обязательно анализируют урок всем классом в присутствии учителя.
Таким образом, групповая форма работы позволяет учащимся:
овладевать умениями самостоятельно приобретать знания из учебной литературы;
самостоятельно подбирать и решать системы задач по заданной теме;
анализировать знания учащихся, проверяя выполнение ими заданий в классе или дома.
Специальную систему упражнений можно рассмотреть на примере парной формы работы учащихся при закреплении изученного материала. Так, например, при изучении тригонометрических формул каждый урок начинается с проверки знаний учащихся по раннее изученным формулам. Каждый учащийся (количество учащихся зависит от количества изученных раннее групп формул) на доске пишет определенную группу формул и доказывает одну из них (по указанию учителя), если рассчитывает на оценку «4» или «5» (без доказательства «3»). Другой учащийся проверяет, задают друг другу вопросы, выставляют оценки.
Такая форма работы может применяться при изучении любых свойств фигур, плоскостей и т.д. В результате парной формы работы происходит осознанное усвоение изучаемого материала, так как учащиеся могут видеть недостатки и оценить полноту, как своих знаний, так и одноклассников.
Решение задач различного уровня рассмотрим на примере индивидуальной формы работы, часто применяемой при обобщении и систематизации пройденного учебного материала. Такой урок-консультация проходит в конце каждой четверти перед итоговой контрольной работой. К этому уроку учащиеся дома самостоятельно готовят вопросы, исходя из своих пробелов. Учитель начинает урок с ответов на эти вопросы, объясняя еще раз теоретический материал и решая номера, с которыми учащиеся не справились дома. Таким образом индивидуально устраняются оставшиеся «белые пятна» по изученным раннее темам.
Далее учитель предлагает учащимся заполнить таблицу, структуру которой разрабатывает сам, исходя из изученных тем в каждой четверти. Так, например, таблица по теме: «Параллельность прямых и плоскостей» выглядит следующим образом (таблица 1).
Параллельность прямых и плоскостей
Таблица 1
Формулировка
Определение Признак
Параллельность прямых Две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не имеют общих точек Через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести прямую параллельную данной и при том только одну
Параллельность прямой и плоскости Прямая и плоскость называются параллельными, если у них нет общих точек Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, принадлежащей плоскости, то она параллельна и самой плоскости
Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если у них нет общих точек Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны
Завершает урок учитель дифференцированной домашней контрольной работой, состоящей из трех обязательных и четвертого - дополнительного задания, которую учащиеся выполняют дома каждый самостоятельно. Такую контрольную работу по геометрии можно провести после изучения аксиом стереометрии и следствий из них, сечений многогранников, параллельности прямых и плоскостей (Приложение 1).
В итоге на таких уроках происходит повторение всего раннее изученного материала и его систематизация, что позволяет учащимся быстро и качественно подготовиться к классной итоговой контрольной работе.
Важным этапом каждого занятия является контроль усвоения предыдущего материала, часто сочетающийся с контролем подготовленности класса к восприятию нового материала. Одним из средств являются карточки самостоятельной работы. Каждый ученик получает карточку с заданиями, с которыми должен справиться в течение 5 – 10 мин. Карточки бывают:
а) одноуровневые – одинаковые по степени сложности для всех учащихся;
б) разноуровневые – учащийся сам определяет уровень своих возможностей и выбирает соответствующие примеры, которые ему необходимо решить на оценку («3», «4» или «5»).
Исходя из выше изложенного, можно сделать вывод, что самостоятельная работа оказывает значительное влияние на глубину и прочность знаний учащихся по математике, на развитие их познавательных способностей.
Таким образом, если учитель будет в системе предоставлять учащимся возможность работать самостоятельно: доказывать, решать, опровергать и анализировать, то у учащихся будет развиваться мышление, память, любознательность, целеустремленность, инициатива и творчество. А разнообразие по характеру деятельности и степени трудности воспитывать в них уверенность в своих способностях и возможностях.
Конечно, самостоятельная работа – это только одно из направлений деятельности учителя по формированию ключевых компетенций, но в определенной степени можно сказать, что уроки математики способствуют формированию у выпускника набора основных компетенций, одной из которых является учебно-познавательная.
Выводы по первой главеКомпетентностный подход в обучении математики, как средство повышения качества образования, – приоритетное направление модернизации систем обучения в мировом образовательном пространстве.
Компетентностный подход в обучении математике наиболее точно отражает суть модернизационных процессов в сфере образования. Компетентностный подход — это системообразующий элемент формирования ключевых компетенции учащихся с позиции субъекта деятельности, требующий понимания выдвигаемой цели, умения использовать средства, адекватные складывающейся ситуации.
Суть компетентностного обучения заключается в акцентировании внимания на результате образования, причем в качестве результата рассматривается не сумма усвоенной информации, а способность действовать в различных проблемных ситуациях.
Для реализации компетентностного подхода в обучении математики учителя на уроках применяют различные педагогические технологии: проектную деятельность; применение ИКТ; мозговой штурм; игровые технологии; модульное обучение; обогащающая модель обучения «Математики. Психология. Интеллект» и т.д.
Ключевыми называют компетенции, которые являются универсальными, применимыми в различных жизненных ситуациях. Ключевыми компетенциями должен обладать каждый член общества. Термин ключевые подчеркивает, что компетенции данного вида являются своего рода ключом к успешной жизни человека в обществе.
Все множество ключевых компетенции — образовательная, исследовательская, социальная, личностная и др. — складывается из четырех «кирпичиков». Это информационная, коммуникативная, проблемная и кооперативная компетенции.
К наиболее типичным методам формирования и развития ключевых компетенции при обучении математики, пригодных к использованию также на уроках по любым предметам и во внеурочной деятельности, относятся:
обращение к прошлому или только что сформированному опыту учащихся;
открытое обсуждение новых знаний, в ходе которого непосредственно оказывается задействованной субъектная позиция учащихся и, опосредованно, — их прежний опыт;
решение проблемных задач и обсуждение проблемных ситуаций, «соразмерных» опыту учащихся данного возраста;
дискуссия учащихся, столкновение их субъектных позиций;
игровая деятельность: ролевые и деловые игры, игровой психологический тренинг или практикум;
проектная деятельность: исследовательские, творческие, ролевые, практико-ориентированные мини-проекты и проекты, практические работы, имеющие жизненный контекст.
ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ2.1 Методики обучения доказательству теорем при изучении курса стереометрииФормой связи понятий друг с другом является суждение. Если суждения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными; в противном случае суждения будут ложными. Процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений называется умозаключением. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы.
Аксиома (греч. – авторитетное предложение “то, что приемлемо”) – предложение, принимаемое без доказательства. Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории.
К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются требования независимости, непротиворечивости, полноты.
При изучении свойств различных математических объектов приходится делать те или иные заключения, то есть на основе понятий и суждений того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать.
Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой. В теореме должно быть указано:
при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы);
что об этом объекте утверждается (заключение теоремы);
на какой предметной области рассматривается тезис (разъяснительная часть)
Следует отметить, что в разных учебниках геометрии одно и то же утверждение может являться как теоремой, так и аксиомой. Например, в учебнике Л.С.Атанасяна утверждение: «Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости» – аксиома, в то время как, в учебнике А.В.Погорелова это же утверждение является теоремой.
Усвоить содержание теорем (правил, формул, тождеств и т. д.), которые изучаются в школе, не так уж трудно. Оперируя теоремами, применяя их при решении задач, при доказательстве других теорем, учащиеся непроизвольно усваивают их содержание, запоминают их формулировки.
Значительно труднее научить доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не только не нужно, но и вредно, нужно научить учащихся самим доказывать теоремы. При этом следует всячески поощрять доказывать одну и ту же теорему разными способами.
Доказательство в широком смысле – это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений. В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то, т. е. доказывать.
Доказательство геометрических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция – выведение), т.е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. Геометрическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.
Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т.д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.
Работа с теоремой включает в себя следующие этапы:
Нулевой этап – выполнение логико-математического анализа;
Первый этап – подготовительный, который подразумевает: актуализацию знаний, мотивацию необходимости изучения факта, подведение к теоретическому факту;
Второй этап – основной – включает:
формулировку теоремы;
работу с формулировкой: перевод из категоричной формы в импликативную, если это необходимо, переформулирование, выделение условия и заключения;
мотивацию необходимости доказательства;
анализ условия и заключения, поиск способа доказательства, составление схемы доказательства или образца доказательства;
работу с доказательством: выделение основной идеи, общей структуры и шагов доказательства, выдвижение аргументов и демонстрация доказательства;
подведение итогов (основные идеи и теоретические факты, положенные в основу доказательства);
Третий этап – закрепление, т.е. непосредственное применение теоремы.
Классификация теорем. Классифицировать теоремы можно по разным основаниям:
1) по виду суждения;
2) по их применению.
По виду суждения выделяют теоремы существования и принадлежности.
Теоремы существования выражают сам факт существования (или не существования) математического объекта или отношения между объектами. Таким образом, в этих теоремах утверждается, что «существует объект х, обладающий некоторым свойством Р(х)», или «не существует объекта х, обладающего свойством Р(х)».
Доказательство теорем существования проводится по следующей схеме:
1) объект строится так, чтобы он мог заранее удовлетворять определенному условию (свойству Р(х));
2) доказывается, что построенный таким образом объект удовлетворяет свойству Р(х), т. е. имеет право на существование.
Теоремы принадлежности характеризуют наличие у объекта того или иного свойства. В этих теоремах утверждается, что для любого объекта х из множества М выполняется свойство Р. Например, диагонали прямоугольника равны. Такие теоремы позволяют раскрывать содержание некоторого понятия (в данном случае понятия «прямоугольник»).
Доказательства таких теорем следует проводить для всех объектов х из множества М. Обычно для этого выбирается произвольный объект из множества М и показывается, что он удовлетворяет свойству Р(х). Далее делается заключение о том, что так как объект выбирался произвольно из множества М, то данное свойство Р(х) будет справедливым и для остальных объектов из этого множества.
По применению теоремы делятся на теоремы, раскрывающие содержание понятия, на теоремы-свойства, теоремы-признаки и теоремы, объединяющие необходимые и достаточные условия принадлежности объекта к объему некоторого понятия.
Напомним, что условие А называется достаточным для В, если А ⇒ В. Условие А называется необходимым для В, если В ⇒ А.
В школьном курсе стереометрии для словесной формулировки теоремы используются три формы суждения:
1) Категорическая.
2) Условная.
3) Разделительная.
Теоремы категорической и разделительной форм можно переформулировать, используя словосочетание «если... то...», т. е. обратить ее формулировку в условную. Пусть, например, дана теорема: «В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны». В условной форме формулировка этой теоремы будет выглядеть так: «Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны».
Заметим, что разбор структуры теоремы более доступен для учащихся в том случае, когда она сформулирована в условной форме.
Условная форма теоремы может быть эффективно использована и для того, чтобы дать ответ на вопрос: «О свойстве или о признаке идет речь в теореме?» На этот вопрос легко ответить, если теорему сформулировать в условной форме. Если окажется, что рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие находится в заключении теоремы, то она выражает признак.
В школьном курсе стереометрии формулируются и доказываются теоремы, имеющие различный вид: в одних теоремах из одного условия вытекает одно заключение, в других – из одного условия вытекает несколько заключений, в третьих – из нескольких условий вытекает одно заключение и т. д.
Но в любом случае доказательство теоремы состоит из трех частей:
предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом;
логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям;
логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.
В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать.
Проведение любого доказательства опирается на три блока знаний и умений: содержательный, структурный, логический. В содержательный блок входят элементы, связанные с ранее изученными математическими понятиями и фактами, которые использованы или в формулировке утверждения, или в качестве аргументов при проведении рассуждений. Эти элементы существенно зависят от логической структуры курса, от его аксиоматики, от методических особенностей изложения и т. д., а поэтому для одной и той же теоремы в различных учебниках содержательный блок может оказаться различным.
В структурный блок входят знания и умения, связанные со структурой утверждения и возможностями ее преобразования. В этот блок входят умения выделять условие и заключение теоремы, преобразовывать логическую форму теоремы с целью получения более простых под теорем и т. д.
Логический блок содержит знания и умения, связанные с правилами логических рассуждений.
Усвоение учащимися формулировки теоремы. В зависимости от характера теоремы, наличия учебного времени на уроке, от уровня развития учащихся, учитель может выбрать один из следующих способов ознакомления школьников с формулировкой теоремы.
Учитель подготавливает учащихся к самостоятельному "открытию" теоремы.
Учитель организует работу, которая способствует сознательному восприятию и пониманию учащимися новой теоремы, формулировка которой сообщается им в готовом виде.
Учитель формулирует теорему сам, без предварительной подготовки учащихся, а затем направляет их усилия на ее усвоение.
Формулировка теоремы отрабатывается учащимися самостоятельно по учебнику.
Перед изучением теоремы целесообразно на уроке создать проблемную ситуацию, которая бы мотивировала необходимость ее изучения. С этой целью можно использовать различные практические ситуации и мотивационные упражнения.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Формулы объемов тел вращения учащиеся могут получить, поработав с телами Архимеда: шар радиуса R; цилиндр с основанием, радиус которого R, а высота 2R; конус такой же как и цилиндр. Эти тела можно изготовить из жести и они должны быть полыми.
Опытным путем (переливание воды) устанавливается, что цилиндр вмещает втрое больше воды, чем конус; пространство, остающееся в цилиндре свободным, после помещения в него шара, равновелико конусу. Отсюда следует, что объем шара равен двойному объему конуса или 23 объема цилиндра: Vшара= 23∙ πR2∙2∙R= 43∙πR3.
Окончательно будем иметь: Vцил:Vшар:Vкон=3:2:1.
Интересно заметить для учащихся, что полученное отношение Архимед считал самым важным своим открытием и просил высечь на надгробном камне рисунок, на котором должен быть изображен цилиндр, с вписанным в него шаром и конусом.
Пример 2. Формулу площади сферы, школьники могут получить опытным путем. Для этого они должны поступить следующим образом. На полусферу наматывается веревка так, как это показано на рис. 1 а (пусть длина затраченной веревки будет l1). Будем укладывать такую же веревку в круг, радиус которого равен радиусу сферы (рис. 1б) (пусть длина затраченной веревки будет l2). Если сравнить длины l1 и l2, то окажется, что l1 = 2l2. Но так как веревка длины l2 покрыла площадь πr2, то Sполусферы=2πr2, тогда Sсферы=4πr2.
рис.1
Для выявления сознательности усвоения учащимися учебного материала нужна педагогически целесообразная постановка вопросов. Вопрос считается педагогически целесообразным, если ответ на него не копирует учебник, а будит активную, самостоятельную мысль ученика; такой вопрос должен выявлять степень понимания, а не степень запоминания материала. Зачастую безупречная формулировка, воспроизведенная учеником, еще не есть свидетельство полного благополучия. А поэтому чрезмерное увлечение вопросами типа: "Что называется ...?", "Напишите формулу ...", "Назовите основные свойства ...", "Как формулируется ...?" не позволит проверить сознательно или формально усвоили учащиеся учебный материал.
Формальное заучивание знаний, зубрежка, подкрепляемая бесконечным повторением, калечит мышление ученика. Математического знания не существует, если учащийся просто запоминает материал, так как работу мысли нельзя заменить работой памяти.
Однако, в обучении математике заучивание определений и формулировок теорем играет большую роль. А.Я.Хинчин указывал на то, что "... заучивание определений является актом высокой логической культуры, а не схоластической зубрежкой". Но такому заучиванию должна предшествовать работа, которая бы помогла школьнику осознать каждый элемент формулировки.
Большое значение для сознательного усвоения теоремы имеет работа по выделению из формулировки условия и заключения. Как установила И.С.Якиманская, анализ условия теоремы целесообразно осуществлять в трех следующих основных формах:
анализ понятий;
анализ их отношений;
анализ фигур, наиболее полно насыщенных данными и искомыми теоремы.
Чтобы подготовить учащихся к осознанию доказательства, полезно заменить понятия, содержащиеся в условии и заключении теоремы, их определениями. Заметим, что часто наблюдается несоответствие между правильно данной формулировкой теоремы и сделанной краткой записью условия.
Для лучшего усвоения формулировки теоремы надо предложить учащимся прочитать ее по учебнику, так как в таком случае упор будет сделан еще и на их зрительную память.
Для сознательного усвоения формулировок теорем учитель должен специально вести работу по выяснению смысла таких логических связок как "и", "или", "если ..., то ...", "не", "неверно, что...", "тогда и только тогда", "необходимо", "достаточно", и т.п., которые часто входят в сами формулировки.
Заметим, что такая работа имеет большую ценность не только для формирования у учащихся умения проводить анализ формулировок теорем, но и для качественного обучения математике в целом.
Различают частные и общие методы доказательства теорем. Рассмотрим, более подробно, общие методы доказательства.
Общими методами доказательства теорем в курсе геометрии средней школы являются синтетический, аналитический методы, доказательство противоречием, доказательство методом исключения, метод бесконечных исключений, метод конструирования.
Среди всех методов доказательства теорем в школьном курсе геометрии основную нагрузку несет синтетический метод, ибо он является составной частью доказательства любым другим методом.
К достоинствам синтетического метода следует отнести сжатость, краткость, исчерпывающую полноту, логическую безупречность образца рассуждений. В методическом отношении синтетический метод имеет и свои недостатки: для учащихся остается неясным, как можно обнаружить такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; не аргументируется, почему нужны те или иные дополнительные построения; школьники не представляют, в каком направлении должны протекать рассуждения, так как этому методу свойственна большая неопределенность и многозначность при выборе пути доказательства теоремы. Перечисленные недостатки отрицательно сказываются на развитии у учащихся продуктивного, творческого мышления.
При аналитическом доказательстве теоремы ∀ x ∈ M: A(x) ⇒ B(x) цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).
Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения, подбирают для него достаточное условие — такое суждение В1(х), что В1(х) ⇒ В(х), затем подбирают достаточное условие В2(х) для В1(х), такое, чтобы В2(х) ⇒ В1(х) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие Вп(х) для Вп-1(х), что Вп(х) ⇒ Вп-1(х) и Вп(х) выполняется (истинно). При этом используется как условие А(х) доказываемого предложения, так и некоторая совокупность Т связанных с А(х) и В(х) предложений данной теории, истинность которых уже была установлена.
Сущность метода восходящего анализа состоит в том, что рассуждения строятся по схеме: для того чтобы В(х) было верно, достаточно, чтобы было верно С(х), и т. д.
Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения В(х) доказываемого предложения А(х) ⇒ В(х), рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий: В(х) ⇒ В1(х) ⇒ В2(х) ⇒... ⇒ Вп(х), где Вп(х) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из В(х) временно допускают, что оно истинно.
При нисходящем анализе, так же как и при восходящем, рассуждения ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные, а необходимые условия.
При использовании нисходящего анализа возможны два основных случая.
1) Следствие Вп(х), полученное из B(x), истинно. В этом случае об истинности доказываемого предложения А(х) ⇒ В(х) ничего нельзя сказать, так как из ложного предложения может следовать и истинное.
Но в том случае, когда применение нисходящего анализа к доказательству теоремы ∀ x ∈ M: A(x) ⇒ B(x) приводит к следствию Вп(х), которое истинно, целесообразно попытаться обратить этот аналитический процесс рассуждений в синтетическое доказательство:
(Bn(x)∧(A(x))⇒Bn-1(x)⇒…⇒B1(x)⇒B(x)В таком случае нисходящий анализ позволит нам отыскать путь синтетического доказательства.
2) Следствие Вп(х), полученное из В(х), ложно, тогда всегда ложно и само В(х).
Этот случай нисходящего анализа используется и для доказательства от противного. Так, чтобы доказать истинность предложения А(х) ⇒ В(х), преобразуют его в предложение Ax ⇒ B(x) и к доказательству последнего применяют метод нисходящего анализа. Если следствие Вп(х) окажется ложным, то этим будет доказана ложность предложения Ax ⇒ B(x), а это, в свою очередь, доказывает истинность А(х) ⇒ В(х).
Такое доказательство можно привести на примере теоремы: «Признак перпендикулярности прямой и плоскости»
Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости
подвести учащихся к признаку, сформулировать его;
выполнить рисунок, краткую запись теоремы;
сообщать общую идею доказательства теоремы;
выполнить доп. построения;
сообщать идею доказательства теоремы в более конкретной форме;
привести план доказательства;
изложить доказательство;
закрепить доказательство по частям;
воспроизведения доказательства полностью.
С помощью этой методической схемы можно разработать конспект урока по данной теме. (Приложение 2)
Доказательство методом исключения строится на конструкции исключения, к которой затем применяется метод противоречия. Если нужно доказать теорему ∀ x ∈ M: A(x) ⇒ B(x) методом исключения, то наряду с заключением В(х) рассматривают все остальные возможности: В1(х), В2(х), ..., Вп(х). Затем предполагают, что вместо заключения В(х) имеет место В1(х), и показывают, что это приводит к противоречию. Так поступают и со всеми остальными возможностями: В2(х), ..., Вп(х). В результате остается лишь одна возможность: ∀ x ∈ M: A(x) ⇒ B(x).
Обычно такой метод доказательства применяется там, где нужно использовать аксиому трихотомии (для любых чисел а и b возможно одно из трех: а = b, а < b, а > b).
Проиллюстрируем доказательство методом исключения на такой теореме:
«Для того чтобы две прямые в пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы всякая плоскость, пересекающая одну из них, пересекала бы и другую».
Докажем и необходимость указанного условия, и его достаточность. При доказательстве достаточности как раз и будет использован метод исключения.
Доказательство
1. Условие необходимо. Пусть а ‖ b, причем а и b принадлежат плоскости γ. Плоскость α, пересекающая прямую а, пересечет и плоскость γ. Пусть плоскости α и γ пересекаются по прямой l. Прямая l, пересекая одну из параллельных прямых — а, должна пересечь и другую прямую — b. Точка пересечения прямых l и b как раз и будет единственной общей точкой плоскости α и прямой b.
2. Условие достаточно. Пусть любая плоскость, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b. Прямые а и b не могут быть пересекающимися, так как тогда существует плоскость, пересекающая а и не пересекающая b. Прямые а и b не могут быть и скрещивающимися, так как тогда существует плоскость, пересекающая прямую а и не пересекающая прямую b. По методу исключения остается только одно: прямая а параллельна прямой b.
Замечание. При доказательстве достаточности использовалось утверждение: «Для двух прямых в пространстве возможно только одно из трех положений: прямые пересекаются, прямые параллельны, прямые скрещиваются».
Доказательство теоремы методом полной индукции строится следующим образом: перебираются все возможные случаи, к каждому из которых применяют либо синтетический метод, либо метод противоречия.
Примером может служить доказательство теоремы об измерении вписанного угла половиной дуги, на которую он опирается. Доказывая эту теорему методом полной индукции, мы должны рассмотреть все три возможных случая: центр окружности лежит на стороне вписанного угла, центр окружности лежит между сторонами вписанного угла, центр окружности лежит вне вписанного угла.
Итак, суть метода полной индукции заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом конкретном случае из числа тех, которые могут представиться.
Суть метода конструирования состоит в том, что путем геометрических построений, основанных на свойствах геометрических фигур, известных определениях и теоремах, строится объект, о котором идет речь в математическом утверждении. Построение указанного объекта на плоскости производится путем определенного набора инструментов и опирается на постулаты построения, т. е. на элементарные задачи на построение; построение объекта считается выполненным, если оно сведено к конечному числу этих задач – постулатов. Этим методом в школьном курсе геометрии доказаны, например, теорема о существовании и единственности окружности, описанной около треугольника, теорема о существовании и единственности окружности, вписанной в треугольник, теорема о касательной к окружности.
Итак, требования к проведению доказательств следующие:
Прежде всего, должно быть совершенно ясно, что дано и что требуется доказать.
Очень велика роль чертежа, причем чертежи сопровождают весь ход доказательства, в динамике, а не как обычно — на одном чертеже сразу все.
Главное — постоянно формировать потребность у учащихся в проведении доказательств, общая стратегия доказательства и любого его этапа должны быть смотивированы, обсуждены, самостоятельно осмыслены, только после этого есть смысл в проведении этих доказательств.
Все основные этапы доказательства нумеруются, при этом, во-первых, их удобно видеть, а во-вторых, на них удобно ссылаться (очень важно, что в конце каждого пункта доказательства в скобках даны основания сделанных выводов — это либо определения, либо доказанные ранее теоремы, либо ссылки на предыдущие этапы доказательства).
2.2 Организация обучения доказательству теорем, способствующая формированию учебно – познавательной компетенции на уроках стереометрии в 10 – 11 клОсновой современных образовательных стандартов российского образования и главной задачей современного учителя математики является формирование базовых компетентностей современного человека.
В этот период характерен переход от установки на запоминание большого количества информации к освоению новых видов деятельности – проектных, творческих, исследовательских.
Определение содержания учебно-познавательной компетентности школьников предусматривает раскрытие сущности учебно-познавательной деятельности, при осуществлении которой собственно и проявляется данная компетентность.
Учебно-познавательную деятельность определяют как самоуправляемую деятельность учащегося по решению личностно-значимых и социально-актуальных реальных познавательных проблем, сопровождающуюся овладением необходимыми для их разрешения знаниями и умениями по добыванию, переработке и применению информации.
Формирование учебно-познавательной компетенции может происходить по двум основным каналам: само содержание учебного предмета и путем определенной организации познавательной деятельности.
Формирование учебно – познавательной компетенции через содержание учебного предмета. Прежде всего, интерес возбуждает и подкрепляет такой учебный материал, который является для учащихся новым, неизвестным, поражает их воображения, заставляет удивляться. Удивление – сильный стимул познания, его первичный элемент.
Примером нестандартного обучения доказательству могут служить задания на установление последовательности действий доказательства теоремы (признака). В таких заданиях учащимся уже даны все пункты доказательства теоремы (признака), им необходимо лишь составить их в правильной последовательности (Приложение 3). Такие задания так же могут использоваться на уроках закрепления пройденного материала.
Но познавательный интерес к учебному материалу не может поддерживаться все время только яркими фактами. Новое и неожиданное всегда в предмете выступает на фоне уже известного и знакомого. Поэтому для поддержания познавательного интереса нужно научить школьников умению в знакомом видеть новое, помочь прийти к осознанию того, что у обыденных, повторяющихся явлений окружающего мира множество удивительных сторон, о которых он сможет узнать на уроках.
Формирование учебно–познавательной компетенции путем определенной организации познавательной деятельности.
Одним из активных методов формирования учебно-познавательной компетенции на уроке является создание проблемных ситуаций, суть которых сводится к воспитанию и развитию творческих способностей учащихся, к обучению их системе активных умственных действий. Иначе говоря, проблемная ситуация – это такая ситуация, при которой ученик хочет решить какие-то трудные для себя задачи, но ему не хватает данных и он должен сам их искать.
При ознакомлении учащихся с новыми геометрическими понятиями, при определении новых понятий знания не сообщаются в готовом виде. Здесь уместно побуждать учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов, в результате чего и возникает поисковая ситуация.
Существует несколько способов создания проблемных ситуаций на уроках:
Первый способ: Использование учебных и жизненных ситуаций, возникающих при выполнении учащимися практических заданий. Проблемные ситуации в этом случае возникают при попытке учащихся самостоятельно достигнуть поставленной цели. Обычно ученики в итоге анализа ситуации сами формулируют проблему.
Второй способ: Побуждение учащихся к теоретическому объяснению явлений, фактов, внешнего несоответствия между ними. Это вызывает поисковую деятельность учеников и приводит к активному усвоению новых знаний.
Пример. Тема «Перпендикулярность плоскостей».
Учитель начинает урок не с объявления его темы, а с беседы о реальной ситуации, в которой невозможно верно решить вопрос и привлечения математики. Учитель напоминает о кладке стен, которую школьники наблюдали не раз. Вертикальность стен является правилом строителей. Правда, имеется несколько зданий, построенных с нарушением этого условия (наклонные башни в Ницце, шаровой дом в Дрездене), но известно что, с какими трудностями было связано их возведение и какие меры приходится принимать, чтобы эти сооружения не рухнули. Как же осуществляют строители контроль за вертикальностью стен? Выясняется, что для этого используют отвес. Естественно возникает вопрос: правильно ли поступают строители, является ли такая проверка достаточной? Проблема сформулирована, но пока класс ответить на поставленный вопрос не может. Несколько позже, рассмотрев одно из свойств перпендикулярных плоскостей, учащиеся смогут это сделать и только теперь объявляется тема урока. После доказательства теорем о перпендикулярных плоскостях учащиеся возвращаются к выдвинутой проблеме.
Третий способ: побуждение учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов, явлений, правил, действий, в результате которых возникает проблемная ситуация.
Пример 1. Тема: «Два перпендикуляра к плоскости». До сообщения темы урока учащиеся повторяют признаки параллельности прямых на плоскости, делают схематические рисунки. Затем с помощью моделей убеждаются, что второй признак параллельности прямых на плоскости в пространстве оказывается ложным высказыванием, то есть зависимости между параллельностью и перпендикулярностью прямых, которая существует на плоскости, в пространстве не существует.
Тогда возникает вопрос: «Какова же зависимость между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве?»
С помощью моделей учащиеся выдвигают соответствующие гипотезы.
Пример 2. Тема: «Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей».
После рассмотрения взаимного расположения двух плоскостей и введение учащимся определения параллельных плоскостей по аналогии с определением параллельных прямых им предлагается выполнить упражнение: «Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если а) прямая лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости? Б) две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельно двум прямым другой плоскости?» Возникает вопрос при каком же условии две плоскости параллельны? Учащиеся сами формулируют проблему и после сопоставления фактов выдвигают гипотезу об условии параллельности плоскостей.
Четвертый способ: решение нешаблонных задач. Прежде всего, следует отметить, что нередко смешивают нешаблонные задачи с трудными. Задача оказывается трудной, если учащиеся недостаточно подготовлены к ее решению (не знают некоторых формул, теорем, не знакомы с некоторыми приемами работы, для решения нужно использовать весьма удаленные факты). Проблемную ситуацию создают не трудные, а нешаблонные задачи. Примерами их могут быть, в частности, задачи логического содержания. Весьма эффективно использование связок задач. В каждой связке по 3-5 задач, первые достаточно просты, но работа над ними готовит к решению последней, которая содержит проблему.
Проблемный подход легко можно применить на уроке геометрии в 10-м классе по теме: "Параллельные плоскости и их свойства". (Приложение 4)
Следующим из активных методов формирования учебно-познавательной компетенции на уроке является организация исследовательской деятельности школьников на уроках геометрии. Для того чтобы ученик стал субъектом учения, необходимо поставить его в такие условия, в каких бывает ученый в момент открытия. Во время организации такой работы необходимо держать «паузу незнания», чтобы включить детей в дискуссию. Каждый из учеников имеет право на свою точку зрения, каждый ответ проверяется как возможный вариант. Дети довольно быстро отказываются от руководства учителя и берут управление в свои руки. Самостоятельно фантазируя, школьники предлагают выполнить следующий этап исследования, что позволяет учителю перейти от малоэффективной фронтальной работы к индивидуальной творческой учебно-исследовательской деятельности. Подобные задания могут быть использованы учителем на любом этапе урок. Более того, они становятся личностно значимыми, позволяют каждому ученику почувствовать себя ученым-первооткрывателем.
Учебные исследования можно разделить на три вида: монопредметные, межпредметные, надпредметные.
Монопредметное исследование — это исследование, выполняемое по конкретному предмету, предполагающее привлечение знаний для решения какой-либо проблемы именно по данному вопросу. Результаты выполнения этого вида исследования не выходят за рамки отдельного учебного предмета и могут быть получены в процессе его изучения.
Межпредметное исследование — это исследование, направленное на решение проблемы, требующей привлечения знаний из разных учебных предметов. Результаты выполнения межпредметного исследования выходят за рамки отдельного учебного предмета и не могут быть получены в процессе его изучения.
Такое исследование можно провести на уроке геометрии в 10 классе по теме: «Правильные многогранники». Удобнее всего такой урок подготовить в проектной форме. За два месяца до проведения урока можно предложить учащимся выполнить следующие виды работ:
Изготовить модели пяти правильных многогранников.
Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов Номера задач: 271, 272, 273, 274, 275.
Изготовить модели звездчатых, полуправильных многогранников.
Создать слайдовые презентации на тему "Многогранники".
Провести учебно-исследовательскую работу: "Моделирование окружающего мира с помощью фрактальной геометрии"
Предметная тема такого урока: «Правильные многогранники».
Межпредметная тема: "Задача"
Используя задачную организацию учебного процесса, формировать у обучающихся новые способы мышления. Попав в ситуацию "ловушка", т.е. в ситуацию невозможности получить результат сразу и имея уже определенные накопленные знания, учащиеся самостоятельно осуществляют практическую деятельность, направленную на решение поставленной задачи. В результате открывают для себя новое в исследуемом предмете. (Приложение 5)
Надпредметное исследование – это исследование, предполагающее совместную деятельность учащихся и учителя, направленное на исследование конкретных личностно значимых для учащихся проблем.
В процессе обучения геометрии на уроке и во внеклассной работе, чаще всего, используется монопредметное исследование. Вместе с тем многие знания по геометрии используются в других видах исследований.
Исследовательская деятельность школьников может быть организована на уроках, на курсах по выбору и во внеурочной деятельности.
Например, в качестве внеурочной деятельности, можно предложить учащимся 11-х классов работу над проектом «Стереометрия и архитектура», в котором они собрав интересный материал оформляют его в виде презентации, в которой отражены известные архитектурные сооружения древности и современности, показана их связь со стереометрией.
Следующим методом формирования учебно-познавательной компетенции является применение информационно-коммуникативных технологий на уроках стереометрии. Наши дети – это люди нового поколения, нового информационного общества. А значит, им нужны новые навыки и умения, касающиеся работы с информацией. В последнее время очень сильно побуждает к познавательной деятельности и формирует личностные качества: творчество, самостоятельность, создает условия роста, успеха, самопознания личности – использование на уроках компьютерной техники. Самостоятельное создание презентаций к уроку, поиск материалов в Интернете по заданному вопросу, компьютерное тестирование, все это изменяет процесс обучения, способствует лучшему усвоению учебного материала. В настоящее время на уроках использую следующие формы подачи материала и оценивания знаний с помощью компьютера: презентация, информационно-обучающие программы и тренажёры, тесты.
Круг методических и педагогических задач, которые можно решить с помощью компьютера, разнообразен. Компьютер – универсальное средство, его можно применить в качестве калькулятора, тренажёра, средства контроля и оценки знаний и средств моделирования, к тому же это – идеальная электронная доска. Важной методической задачей, в плане применения компьютера, является обучение решению задач, а так же некоторым основным способам математических действий, алгоритмам.
Рассмотрим пять основных дидактических функций компьютера в преподавании математики.
Выполнение упражнений, когда учащимся предлагаются ранжированные по трудности задания.
Электронная доска, использование мультимедиа – проектора на уроках стереометрии.
Моделирование.
Исследование, когда из числа предлагаемых вариантов ученик выбирает, аргументируя, собственное решение.
Математические расчеты в курсах других дисциплин.
Рассмотрим некоторые типы уроков с использованием информационных технологий. Компьютер на уроке стереометрии может применяться в демонстрационном режиме, в индивидуальном режиме и в дистанционном, индивидуальном режиме.
1. Использование компьютера в демонстрационном режиме:
при устной работе, когда в начале урока через мультимедиа-проектор проводится решение различных заданий;
при объяснении нового материала, когда учителем демонстрируется через мультимедиа-проектор новый материал;
при проверке домашнего задания, через мультимедиа-проектор;
при работе над ошибками и т.д.
2. Использование компьютера в индивидуальном режиме:
при устной, индивидуальной работе;
при закреплении;
при тренировке;
при отработке ЗУН;
при повторении;
при контроле и т.д.
3. Использование компьютера в дистанционном, индивидуальном режиме:
в исследовательской деятельности;
в проектной деятельности учащихся;
при проверке домашней работы;
при проверке контрольной работы и т.д.
Такие уроки позволяют показать связь предметов, учат применять на практике теоретические навыки работы на компьютере, активизируют умственную деятельность ученика, стимулируют их самостоятельному приобретению знаний. На таких уроках каждый ученик работает активно и увлеченно, у учащихся развивается любознательность, познавательный интерес. В процессе интегрированных уроков у школьника вырабатывается умение сосредотачиваться, мыслить самостоятельно. Увлекшись, он не замечает, что учится – он познает, запоминает новое, ориентируется в необычной ситуации. Одним из способов реализации учебно-познавательной компетенции является проведение проверочных работ в форме теста. Применение на уроке компьютерных тестов, проверочных игровых работ, позволяет за короткое время получать объективную картину уровня усвоения изучаемого материала и своевременно его скорректировать. При компьютерном тестировании учащийся видит свой результат сразу после выполнения задания, а не по прошествии какого-либо времени, когда для него оценка теряет свою актуальность.
В зависимости от цели обучения рассматриваются следующие виды учебной деятельности и применение различных видов тестирования.
I уровень обучения – воспроизведение знаний с подсказкой (осознал, запомнил, воспроизвел). Возможна совместная деятельность учителя и ученика.
II уровень – воспроизведение знаний по образцу в знакомой ситуации, но без подсказки, самостоятельно, где проверяется усвоение знаний в течение обучения.
III уровень – применение знаний в незнакомой ситуации, без предъявления алгоритма решения, где целью является определение трудностей обучения.
IV уровень – действия, для которых характерна проверка умений и навыков в конце обучения.
Тесты состоят из двух видов, различающихся по форме и способу предъявления их учащимся.
В тестовых заданиях 1 вида требуется установить пропущенный текст – слова, выражения, числа, знаки, сравнения, которые заменены многоточием, при этом должно получиться истинное утверждение или правильная формулировка определения, теоремы, правила.
В тестовых заданиях 2 вида – необходимо выбрать правильный ответ из числа предложенных. Второй вид предусматривает применение учебного материала для решения практических и теоретических задач. Если тесты первого вида рассчитаны на устное выполнение заданий, то тест с выбором ответов не исключает заданий, требующих письменных действий. Отметим, что различия применяемых видов действий связаны с характером деятельности по выполнению заданий, отражающих важные проявления результатов обучения.
Такой метод возможно реализовать изучая тему: «Взаимное расположение сферы и плоскости». После изучения новой темы можно предложить учащимся пройти проверочную работу на компьютере. (Приложение 6)
Целесообразность данной работы с точки зрения компетентностного подхода заключается в том, что в ходе работы ученики приобретают общеучебные умения и навыки. Причем именно умение решать тесты для детей будет очень полезным в будущем, т.к. им предстоит сдавать единый государственный экзамен в форме теста. Надо отметить, что сегодня практически у всех учащихся, имеются дома компьютеры и подключение к Интернету. В связи с этим можно практиковать электронные домашние задания, которые могут быть выполнены и в математическом классе, и в кабинете информатики. Например, подготовка презентации по какой-либо теме, или построение графиков, диаграмм в электронных таблицах Excel, или поиск информации в Интернете.
Реализация компетентностного подхода – это важное условие повышения качества образования. Практика работы в школе убеждает в том, что каждому учителю необходимо выработать свою стратегию формирования учебно-познавательной компетенции. Есть стратегия, значит легче обеспечить практику, которая включает все то, что значимо в ближайшие уроки: оснащение задач жизненным материалом, включение игровых и деловых ситуаций, поощрений, соревнований, различных форм сотрудничества.
2.3. Ход и результаты педагогического экспериментаПедагогический эксперимент по проблеме исследования проводился с 12 ноября по 23 декабря 2012 года с учащимися 10 «а» класса МБОУ СОШ №1 г.Ишима.
Цель эксперимента состояла в повышении уровня сформированности учебно-познавательной компетентности учащихся в процессе обучения доказательству теорем в курсе стереометрии.
Педагогический эксперимент состоял из следующих этапов:
Констатирующий;
Поисковый;
Заключительный.
На первом этапе были проанализированы психолого-педагогические и учебно-методические основы проблемы исследования, опыт учителей, в результате чего были выявлены проблема, цель, задачи, гипотеза исследования.
На втором этапе осуществлялись: методический анализ учебного материала, изучение опыта работы учителей. Были отобраны экспериментальная (10 человек) и контрольная (10 человек) группы учащихся.
В этих группах был проведён на первом уроке тест для проверки уровня сформированности учебно-познавательной компетентности учащихся. (Приложение 7)
Тест содержал 6 заданий: задания 1–4 – это аналогичные раннее решённым, задания 5 и 6 – усложнённого варианта. Результаты теста отображены в таблице.
Результаты входного контроля
Таблица 2
№ Список экспериментальной группы Номера заданий теста Оценка
1 2 3 4 5 6 1 Бочкун Мария + + + + + – 4
2 Вагина Лилия + + + + + – 4
3 Желудкова Татьяна + + + + + – 4
4 Ламерт Денис + + + + + + 5
5 Рязанов Максим + + + – + – 3
6 Танаева Дарья + + + + – – 3
7 Фефелов Илья + + + – + – 3
8 Цеслинская Анастасия + + – + + + 4
9 Цвырко Снежанна + + + + + + 5
10 Щербаков Максим + + + + – + 4
% выполнения 100 100 90 80 80 40 Ср.балл 3,9
Сравнительные результаты входного контроля
Таблица 3
№ задания Экспериментальная группа (решили правильно, % ) Контрольная группа (решили правильно, % )
1 100 100
2 100 90
3 90 90
4 80 70
5 80 50
6 40 20
Уровни первоначального усвоения темы: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Таблица 4
Уровень усвоения Экспериментальная группа Количество учащихся (%) Контрольная группа Количество учащихся (%)
1 уровень 70 60
2 уровень 20 20
3 уровень
• 10 20
рис. 2. Диаграмма первоначальных уровней усвоения темы
В результате чего на данном этапе эксперимента нами была разработана система уроков, направленных на повышение уровня сформированности учебно-познавательной компетентности учащихся, следствием чего является подбор методических рекомендаций по обучению доказательству теорем в курсе стереометрии.
Третий этап — заключительный. На данном этапе была реализована разработанная методика, направленная на повышение уровня сформированности учебно-познавательной компетентности учащихся. По разработанной методике было проведено 3 урока. После этого был проведён контрольный тест в экспериментальной и контрольной группах.
В тесте было 6 заданий: задания 1-4 аналогичные ранее решенным, 5 задание связано с построение графика, 6 задание достаточно сложное, чтобы его выполнить учащийся должен отлично знать теорию и применять знания при анализе задачи и учащийся должен написать решение задания.
Результаты итогового контроля
Таблица 5
№ Список экспериментальной группы Номера заданий теста Оценка
1 2 3 4 5 6 1 Бочкун Мария + + + + + – 4
2 Вагина Лилия + + + + + + 5
3 Желудкова Татьяна + + + + + – 4
4 Ламерт Денис + + + + + + 5
5 Рязанов Максим + + – + + + 4
6 Танаева Дарья + + + + + – 4
7 Фефелов Илья + + – + + + 4
8 Цеслинская Анастасия + + + + + – 4
9 Цвырко Снежанна + + + + + + 5
10 Щербаков Максим + + + + – + 4
% выполнения 100 100 80 100 90 70 Ср.балл 4,3
Сравнительные результаты итогового контроля
Таблица 6
№ задания Экспериментальная
группа
(решили правильно, % ) Контрольная
группа
(решили правильно, % )
1 100 100
2 100 100
3 80 90
4 100 70
5 90 70
6 70 50
Уровни усвоения темы на конец эксперимента
Таблица 7
Уровень усвоения Экспериментальная
группа
Количество учащихся (%) Контрольная
группа
Количество учащихся (%)
1 уровень 80 70
2 уровень 20 20
3 уровень
• 0 10
рис. 3. Диаграмма уровней усвоения темы на конец эксперимента
Сравнительные результаты входного и итогового контроля
Таблица 8
№ Экспериментальная группа
Решили правильно (%) Контрольная группа
Решили правильно (%)
До эксперимента После эксперимента До эксперимента После эксперимента
1 100 100 100 100
2 100 100 90 100
3 90 80 90 90
4 80 100 70 70
5 80 90 50 70
6 40 70 20 50
Сравнительные результаты уровней усвоения темы
Таблица 9
Уровень усвоения темы Экспериментальная
группа
Количество учащихся (%) Контрольная
группа
Количество учащихся (%)
До эксперимента После эксперимента До эксперимента После эксперимента
1 уровень 70 80 60 70
2 уровень 20 20 20 20
3 уровень
• 10 0 20 10
На приведенных выше таблицах и диаграммах более наглядно представлены результаты проведённой экспериментальной работы. По диаграмме на рис.3 видно, что в экспериментальной группе, после реализации методики, результаты выше, чем в контрольной.
Выводы по второй главеВажнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления является доказательство теорем. Поэтому ключевые компетентности на уроках стереометрии формировать через специально подобранные методы доказательства, наиболее целесообразно и эффективно. Данный подход организует деятельность учащегося, а не воспроизводит информацию или отдельные математические операции и действия.
Доказательство геометрических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках. Геометрическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.
Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т.д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.
В ходе работы мы выделили основные требования к проведению доказательств:
прежде всего должно быть совершенно ясно, что дано и что требуется доказать;
очень велика роль чертежа, причем чертежи сопровождают весь ход доказательства, в динамике, а не как обычно — на одном чертеже сразу все;
главное — постоянно формировать потребность у учащихся в проведении доказательств, общая стратегия доказательства и любого его этапа должны быть смотивированы, обсуждены, самостоятельно осмыслены, только после этого есть смысл в проведении этих доказательств;
все основные этапы доказательства нумеруются, при этом, во-первых, их удобно видеть, а во-вторых, на них удобно ссылаться.
Реализация компетентностного подхода – это важное условие повышения качества образования. Практика работы в школе убеждает в том, что каждому учителю необходимо выработать свою стратегию формирования учебно-познавательной компетенции. Есть стратегия, значит легче обеспечить практику, которая включает все то, что значимо в ближайшие уроки: оснащение задач жизненным материалом, включение игровых и деловых ситуаций, поощрений, соревнований, различных форм сотрудничества.
Следовательно, можно сделать вывод, что компетентностно-ориентированный подход к доказательству теорем необходимо чаще применять на уроках стереометрии, так как он требует умения, желания и опыта самостоятельно приобретать новую информацию, требует от учащихся готовности выходить за пределы заданного и включаться в не сформулированную из вне интеллектуальную деятельность.
ЗАКЛЮЧЕНИЕИтак, так как формирование учебно-познавательной компетентности учащихся является одной из основных целей обучения, то оно должно осуществляться систематически и целенаправленно. Учебно-познавательная компетентность - это владение учащимися комплексной процедурой, интегрирующей совокупность взаимосвязанных смысловых ориентации, знаний и умений и позволяющей эффективно осуществлять самоуправляемую учебно-познавательную деятельность.
Стереометрия имеет все возможности для того, чтобы эффективно осуществлять самоуправляемую учебно-познавательную деятельность, но эти возможности на практике обучения не в полной мере реализуются, что, в первую очередь, связано с нехваткой времени на уроках.
В ходе эксперимента нами была выдвинута гипотеза: если при обучении учащихся доказательству теорем в курсе стереометрии использовать разработанные методические рекомендации, то это будет способствовать формированию учебно-познавательной компетенции учащихся. На основании этой гипотезы были сформулированы задачи исследования:
Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по теме исследования;
Разработать методические рекомендации по обучению учащихся доказательству теорем в курсе стереометрии, способствующие формированию учебно-познавательной компетенции;
Экспериментально апробировать разработанные рекомендации.
В ходе решения первой задачи были рассмотрены теоретические основы по формированию познавательного интереса, проанализированы различные толкования терминов «компетенция» и «компетентность».
На втором этапе проводился поисковый эксперимент, по результатам которого составлялись методические рекомендации по обучению учащихся доказательству теорем в курсе стереометрии, направленная на формирование учебно-познавательной компетенции старшеклассников, уточнялись положения разрабатываемой методики.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент, направленный на проверку разработанной методики в процессе обучения доказательству теорем стереометрии. Выявлялись различия результатов обучения экспериментальной и контрольной групп учащихся. Осуществлялся сбор, а также количественная и качественная обработка данных эксперимента. Обобщались результаты теоретического и экспериментального исследований, формулировались выводы по проведенному исследованию.
Исходя из полученных результатов эксперимента, был сделан вывод, что если при обучении учащихся доказательству теорем в курсе стереометрии использовать разработанные методические рекомендации, то это будет способствовать формированию учебно-познавательной компетенции учащихся, что подтверждает выдвинутую нами гипотезу.
Библиографический список:Виленский, В.Я. Технологии профессионально-ориентированногообучения в высшей школе [Текст]: учеб. пособие / В.Я. Виленский, П.И.Образцов, А.И. Уман; под ред. В.А. Сластёнина. - М.: Педагогическое общество России, 2005. – 2-е изд. – 192 с.
Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: Учеб. пособие / Л.В. Виноградова. – Ростов н/Д.: Феникс, 2005. – 252 с.
Гусев, В.А. Методика обучения геометрии: Учеб. Пособие для студ. высш.пед.учеб. заведений [Текст] / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия». – 368 с.
Далингер, В.А. Обучение учащихся доказательству теорем [Текст]: Учебное пособие / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. – 419 с.
Демченкова, Н., Моисеева, Е. Формирование познавательного интереса у учащихся [Текст] / Математика. – 2004. – №19. – 30с.
Денищева, Л.О. Теория и методика обучения математике в школе [Текст]: учебное пособие / Л.О. Денищева, А.Е. Захарова, М.Н. Корчагина и др.; под общей редакцией Л.О. Денищевой. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – 247 с.
Епишева, О.Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе [Текст]: Курс лекций: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. пед.вузов. / О.Б. Епишева. – Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2002. – 138 с.
Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приёмов учебной деятельности: кН. для учителя [Текст] / О.Б. Епишева, В.И. Крупич. – М.: Просвещение, 1990. – 128 с.
Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе формирования приёмов учебной деятельности учащихся [Текст]: Теоретические основы: уч. Пособие для ст-тов педвузов по спец. 010100 Математика / О.Б.Епишева. – Тобольск, 1998. – 158 с.
Иванова, Т.А. Урок как целостная динамическая система обучения математике [Текст] / Т.А.Иванова // Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации российского образования: материалы Всерос. науч.–прак. конф. – Волгоград, 2004. – С. 30–32.
Кашлач, И.Ф. Теория и методика обучения математике [Текст]: учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов педвузов по специальности 032100 «Математика». Ч.1.: Общие вопросы методики обучения математике / И.Ф. Кашлач. – Ишим: ИГПИ им. П.П. Ершова, 2010. – 196 с.
Кашлач, И.Ф., Попкова, Е.И. Методика изучения аксиом стереометрии [Текст]: Информационно-образовательное пространство как фактор повышения качества образования: сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции 29 марта 2013г. – Тюмень: РИЦ ТГАКИиСТ, 2013. с. 111 – 114
Крутецкий, В.А. Психология: Учебник для учащихся педагогических училищ. – М.: Просвещение, 2000. – 345с.
Маер, Р.А. Роль педагогической практики в формированиипрофессиональных компетенций учителя математики [Текст] /Р.А. Майер // Современные проблемы шк. и вуз. мат. образования: тез. докл. 14 Всеросс. семинара препод, математики ун-тов и педвузов. – Саратов, 2005. - С. 60.
Мамонтова, Т.С. Роль приёмов методической деятельности впрофессиональной подготовке учителей математики [Текст] / Т.С. Мамонтова // Роль молодых учёных в решении проблем средней и высшей школы: материалы межвуз. науч. конф. молодых учёных. – Ишим, 2002. – С. 25–31.
Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика [Текст]: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987 – 416 с.
Покровский, В. Модернизация школьного образования иметодическая подготовка учителя математики [Текст] / В. П. Покровский / Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации рос. образования: мат-лы Всерос. науч.-прак. конф. – Волгоград, 2004. – С. 69–73.
Попкова, Е.И. Ключевые компетенции, формируемые через изучение математики [Текст]: Проблемы и перспективы математического и физического образования в России: сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции / отв. ред. Л.В. Ведерникова. – Ишим: Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2012.
Саранцев, Г.И. Методология методики обучения математике [Текст] / Г.И. Саранцев. – Саранск: «Красный Октябрь», 2001. – 144 с.
Саранцев, Г.И. Актуальные проблемы методической подготовкиучителя математики [Текст] / Г.И. Саранцев // Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики: сб. ст. Всеросс. науч. конф. – Тольятти, 2003. – Т.1. – 458 с.
Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций [Текст]: пособие для вузов / Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов, А.В. Орлова и др.; под науч. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С Подходовой. – 2-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2008. – 415 с.
Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум [Текст]: учеб. пособие для студентов матем. факультетов пед. университетов/ Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов, А.В. Орлова и др.; под науч. ред. В.В. Орлова. – М.: Дрофа, 2007. – 320 с.
Стратегия модернизации содержания общего образования [Текст]: Материалы для разработки документов по обновлению общего образования / под. ред. А.А. Пинского. – М.: ООО «Мир книги», 2001. – 95
Татарченкова, С.С. Формирование ключевых компетентностей учащихся через проектную деятельность [Текст]: Учебно-методическое пособие / С.С. Татарченкова, С.В. Телешов.; под ред. С.С. Татарченковой. – СПб.: КАРО, 2008, - 160 с.
Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике [Текст]: Учебное пособие / Л.М. Фридман.; Изд. 3-е. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 248 с.
Щукина, Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе: Учебное пособие для студентов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1980. – 156с.
Янсуфина, З.И. Совершенствование методической подготовкибудущего учителя математики в педвузе на основе инновационных подходов к обучению [Текст]: дис. ...канд. пед. наук / З.И. Янсуфина. Тобольск, 2003.-159 с.
Приложение 1Пример контрольной работы по геометрии, которая проводится после изучения аксиом стереометрии и следствий из них, сечений многогранников, параллельности прямых и плоскостей:
1. Точки К, М, Р, Т не принадлежат одной плоскости. Могут ли прямые КМ и РТ пересекаться. Ответ обоснуйте.
2. Через точки А, В и середину М отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1, М1 соответственно. Найдите длину отрезка ММ1, если АА1=13 см, ВВ1=7 см, причем отрезок АВ не пересекает плоскость .
3. Точка Р не лежит в плоскости трапеции АСВД с основаниями АД и ВС. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков РВ и РС, параллельна средней линии трапеции.
Плоскости и параллельны, причем плоскость пересекает некоторую прямую l . Докажите, что и плоскость пересекает прямую l.
4. Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости, точки К, М, Р – середины отрезков АВ, ВС, СД. Докажите, что плоскость (КМР) параллельна прямым АС и ВД.
Приложение 2Фрагмент конспекта урока по теме: «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Тип урока: Урок изучения нового материала
Цели урока:
Обучающая: продолжить формирование умений самостоятельного доказательства теорем.
Развивающая: продолжить развивать познавательный интерес учащихся.
Воспитательная: воспитание интереса к предмету.
Ход урока
Действия учителя Действия ученика
………………. ……………….
Один ученик читает формулировку теоремы по учебнику с места
Читают доказательство теоремы по учебнику
Доказываю теорему вместе с учениками Ученик: Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости.
Учитель: Давайте рассмотрим доказательство этой теоремы приведенное в учебнике
Учащиеся: Доказательство. Пусть прямая АО, пересекающая плоскость α в точке О, перпендикулярна прямым ОВ и ОС этой плоскости (рис. 4).
рис.4
Докажем, что прямая АО перпендикулярна любой прямой ОХ, лежащей в плоскости α. Для этого проведем произвольную прямую, пересекающую прямые ОВ, ОС и ОХ в точках В, С и X, а на прямой ОА в разные стороны от О отложим равные отрезки ОА и ОМ. Соединив отрезками точки А и М с точками В, С, X, получим несколько пар треугольников. Треугольники ABC и МВС — равнобедренные, так как их медианы ВО и СО являются и высотами. Значит, АВ = ВМ и АС = СМ. Треугольники АВМ и МВС равны по трем сторонам, поэтому ААВС = АМВС. Равны и треугольники АВХ и МВХ. Так как треугольник АХМ — равнобедренный, то его медиана ХО является и высотой, т.е. АО ⊥ ХО.
Учитель: Ребята, понятно ли вам приведённое доказательство?
Учащиеся: Нет, это доказательство очень краткое и самостоятельно с ним сложно разобраться
Учитель: Давайте докажем эту теорему самостоятельно.
Доказательство. Из условия теоремы имеем следующее.
1. Прямая а пересекает плоскость а.
(Дано),
(рис. 5 , a)
2. а ⊥ b, b ∈ α.
3. a ⊥ c, с ∈ α.
4. Прямые а и с пересекаются в точке О
5. а ⊥ α (требуется доказать).
Прежде всего надо расшифровать п. 5. Если вспомнить определение перпендикуляра прямой и плоскости, то п. 4 можно переформулировать так: если через точку О провести произвольно прямую d и доказать, что а ┴ d, то докажем п. 5.
6. Проведем прямую d, проходящую через точку О (построение) (рис. 2, б).
7. a ⊥ d (требуется доказать).
рис. 5
Как можно доказать перпендикулярность прямых a и d?
Один из ответов может быть таким: нужны два треугольника A1DO и A2DO, стороны которых принадлежат этим прямым, а углы A1OD и A2OD являются смежными и равными (см. рис. 5, в). Как получить эти треугольники, а точнее, как построить точки А1, А2 и D так, чтобы в дальнейшем доказать равенство треугольников A1OD и A2OD? Возможны такие построения?
8. Отложим ОА1 = ОА2 (построение) (см. рис. 5, в).
9. Проведем через точку D прямую т, пересекающую прямые b и с в точках В и С (построение) (см. рис. 5, в).
10. Соединим точки А1 и А2 с точками В, С и D (построение) (рис. 5, г).
Получили на рис. 2, г довольно много треугольников. Вспомним, что надо доказать равенство ∆ A1OD и ∆ A2OD. В этих треугольниках A1OD = A2OD, сторона OD — общая, значит, нужно доказать, что A1D = A2D.
11. A1O = A2O (8).
12. OD — общая сторона ∆ A1OD и ∆ A2OD (8, 11).
13. AD = AD (требуется доказать).
(2, 8, 10 признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам)
Для доказательства п. 11 следует рассмотреть несколько пар равных треугольников.
14. ∆ A1OB = ∆ A2OB.
15. ∆ A1OC = ∆ A2OC.
16. A1В = А2В, А1С = А2С (14, 15).
17. ∆ А1ВС = ∆ А2ВС (14, признак равенства треугольников по трем сторонам).
18. ∠ ABC = ∠ ABC, ∠ ACB = ∠ ACB (17).
19. ∆ A1BD = ∆ A2BD (14, 16, признак равенства треугольников по трем сторонам).
20. A1D = A2D (19).
21. ∆ A1BD = ∆ A2BD (8, 20, признак равенства треугольников по трем сторонам).
22. ∠ AOD = ∠ AOD (21).
23. ∠ AOD = ∠ AOD = 90° (21, 22).
24. a ⊥ d (23).
25. а ⊥ α (7, определение перпендикуляра и плоскости). ■
Учитель: Ребята, как вам такой вариант доказательства этой теоремы?
Учащиеся: Хотя, это доказательство намного объемней, но оно понятней чем то, которое приведено в учебнике. К тому же доказывать теорему самим интереснее, чем просто читать уже данное доказательство.
………………. ……………….
Приложение 3Задания на установление последовательности действий доказательства теоремы (признака)
Задание 1.
Установите правильную последовательность действий в доказательстве признака параллельности плоскостей:
«Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны».
Плоскость α проходит также через прямую b , параллельную плоскости β.
Допустим, что плоскости α и β не параллельны.
Но по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой c.
Тогда они пересекаются по некоторой прямой с.
Таким образом, через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с.
Поэтому b ∥ с.
Отсюда следует, что а ∥ с.
Отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости а ∥ β и b ∥ β.
Плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой с.
В плоскости α лежат пересекающиеся в точке М прямые а и b, в плоскости β – прямые а1 и b1 , причем а ∥ а1 и b ∥ b1.
Значит, наше допущение неверно и α ∥ β.
Рассмотрим две плоскости α и β.
Задание 2.
Установите правильную последовательность действий в доказательстве утверждения:
«Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны».
Если бы прямые а и b пересекались, то плоскости α и β имели бы общую точку, что невозможно, так как α ∥ β.
Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, т.е. α ∥ β.
Эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости γ) и не пересекаются.
Докажем, что а ∥ b.
Рассмотрим прямые а и b, по которым параллельные плоскости α и β пересекаются с плоскостью γ.
Задание 3.
Установите правильную последовательность действий в доказательстве утверждения:
«Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны».
Но в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD.
Плоскость γ, проходящая через параллельные прямые AB и CD, пересекается с плоскостями α и β по параллельным прямым AC и BD.
Рассмотрим отрезки AB и CD двух параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями α и β. Докажем, что AB = CD.
Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, т.е. ABCD – параллелограмм.
Приложение 4Фрагмент урока геометрии по теме: «Параллельные плоскости и их свойства»
Тип урока: Урок изучения нового материала
Цели урока:
Обучающая: продолжить формирование умений разрешать проблемные ситуации.
Развивающая: продолжить развивать познавательный интерес учащихся.
Воспитательная: воспитание интереса к предмету.
Ход урока
Действия учителя Действия ученика
………………. ……………….
Объясняю новый материал;
Искусственно создаю проблемные ситуации в объяснении Учитель: На прошлом уроке мы познакомились с новым понятием «параллельные плоскости». Но они не единственные в пространстве, кроме них существуют и другие фигуры. А уж еще одну плоскость точно можно найти. Как же эта плоскость может располагаться относительно нашей пары параллельных плоскостей?
Учащиеся: Она может быть параллельна или пересекать их.
Учитель: Параллельность мы сегодня рассматривать не будем, а вот о секущей поговорим подробнее. Может ли третья плоскость пересечь одну плоскость и не пересекать другую?
Учащиеся: Нет.
Учитель: Тогда на первом рисунке, который вы приготовили дома, нарисуйте третью плоскость, пересекающую обе плоскости.
рис.6
Просмотрев ваши рисунки я увидела что, у вас получилось два основных варианта, а у нас появилась проблема. Какая?
Учащиеся: Какой рисунок верный?
Учитель: Кто сможет выдвинуть гипотезу?
Учащиеся: Верным будет второй вариант.
Учитель: Тогда подтвердите ее или опровергните.
Учащиеся: Прямые, а и b параллельны, т.к. а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, потому что они лежат в параллельных плоскостях.
Учитель: А теперь грамотно сформулируем наш вывод и запишем его в тетрадь.
Свойство: «Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны»
рис.7
Действительно, согласно определению параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости — секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
Учитель: Мы справились с первой проблемной ситуацией. Но в пространстве есть и другие фигуры – прямые. Какое взаиморасположение может быть между прямыми?
Учащиеся: Они могут пересекаться, быть параллельными и скрещиваться.
……………….
………………. ……………….
Приложение 5Фрагмент урока геометрии в 10 классе с использованием элементов межпредметного подхода. (презентация к уроку представлена на диске)
Тип урока: Урок изучения нового материала
Цели урока:
Обучающая: продолжить формирование умений разрешать проблемные ситуации.
Развивающая: продолжить развивать познавательный интерес учащихся.
Воспитательная: воспитание интереса к предмету.
Урок подготовлен в проектной форме.
За два месяца до урока ученикам было предложено изготовить модели, презентации, по теме: "Правильные многогранники":
а) Изготовить модели пяти правильных многогранников.
Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов Номера задач: 271, 272, 273, 274, 275.
б) Изготовить модели звездчатых, полуправильных многогранников.
в) Создать слайдовые презентации на тему "Многогранники".
г) Учебно-исследовательская работа: "Моделирование окружающего мира с помощью фрактальной геометрии"
Ход занятия
Действия учителя Действия ученика
1. Анализирует подготовку обучающихся к уроку.
2. Предлагает учащимся дать рекомендации Учащемуся по защите исследовательской работы и качеству моделей из приложения к работе.
Учитель обращает внимание учеников на модель пирамиды из приложения, гранями которой служат фракталы - "Треугольники Серпинского" (Учитель создает ситуацию "ловушку" - идею смоделировать фрактальный многогранник)
- Учащаяся в работе рассмотрела геометрические фракталы, расположенные на плоскости.
Вы, ученики 10 класса, рассматриваете тему: "Правильные многогранники". Посмотрите внимательно на модель пирамиды из приложения, фрактал "Треугольник Серпинского",решетку Серпинского 1.Демонстрируют изготовленные по разверткам модели пяти правильных многогранников.
2.Демонстрируют изготовленные модели звездчатых, полуправильных многогранников.
3.Представляют слайдовые презентации на тему: "Многогранники"
4. Слушают (рецензируют) исследовательскую работу одноклассницы на тему: "Моделирование окружающего мира с помощью фрактальной геометрии", ученики предлагают смоделировать такой многогранник в пирамиде, чтобы на ее гранях выстраивался "Треугольник Серпинского"
Предлагает составить инструкцию построения геометрического фрактала "Треугольник Серпинского". Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении геометрических фракталов поступают так: берется "затравка"- аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме), бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал Составляют инструкцию для построения фрактала "Треугольник Серпинского":
0-й шаг. Начертить треугольник.
1-й шаг. В треугольнике провести три средние линии. Закрасить внутренний треугольник. (затравка)
2-й шаг. В оставшихся трех треугольниках повторить 1 шаг (правило)
3-й шаг. В образовавшихся 9 треугольниках повторить 1 шаг (правило)
И т.д. до бесконечности.
Предлагает высказывать все идеи, мысли для моделирования многогранника, используя инструкцию построения фрактала "Треугольник Серпинского" Ученики предлагают:
1. Выбрать пирамиду - правильный многогранник - тетраэдр.
2. Вставить в тетраэдр или куб (?), или тетраэдр (?), или икосаэдр (?), или додекаэдр (?), или октаэдр (?) (гипотеза)
Учитель делит обучающихся на группы, учитывая их предложения. И предлагает изготовить модели правильных многогранников. Ребята в группах изготавливают предложенные модели, выяснив предварительно отношения размеров моделей правильных многогранников.
Учитель консультирует и направляет действия учеников. Обучающиеся вставляют в пирамиду последовательно изготовленные модели правильных многогранников и выбирают нужное решение.
0 шаг - взять тетраэдр.
1 шаг - вставить октаэдр, ребро которого равно половине длины ребра пирамиды. Это "затравка"
2 шаг - вставить в образовавшиеся четыре пирамиды по октаэдру. Это "правило"
ИДЕЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СРАБОТАЛА!
Учитель консультирует и направляет действия учеников.
Подводит итог проделанной работе. Анализируют выбранное решение. Опираясь на инструкцию построения "Треугольника Серпинского" и новую модель фрактальной пирамиды составляют инструкцию построения "Пирамиды Серпинского"
Одноклассники предлагают Евгении дополнить приложение к исследовательской работе и выполнить модель фрактальной пирамиды в три шага
Приложение 6Вариант компьютерного теста по теме: «Сфера. Шар»
1. Сфера - это:
поверхность, состоящая из всех точек пространства.
тело вращения.
поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящаяся на заданном расстоянии от данной точки.
2. Шар – это:
сфера
тело, ограниченное сферой
3. Верно ли: Шар можно получить вращением полукруга вокруг стягивающего его диаметра
да
нет
4. Уравнение с тремя неизвестными х, у, z называется:
уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.
уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки
уравнением плоскости, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки плоскости и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на плоскости.
уравнением плоскости, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки плоскости.
5. В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (хо; уо; zо) имеет вид:
(х – хо) + (у – уо) + (z – zо) = R
(х – хо)2 + (у – уо)2 + (z – zо)2 = R2
хо2 + уо2 + zо2 = R2
хо + уо + zо = R
6. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если А(0;0;0), R=
x2 + y2 + z2 = 0
x + y + z =2
х2 + у2 + z2 = 2
Приложение 7Вариант входного контроля
1. Точки М и К принадлежат рёбрам ВВ1 и СС1 куба ABCDA1B1C1D1. Точка Т лежит на прямой МК. Какой плоскости принадлежит точка Т?
1) ADD1 2) ABD 3) BB1C1 4) A1B1C1
2. Точки М и N являются серединами рёбер АВ и ВС пирамиды DABC. По какой прямой пересекаются плоскости BDM и ACN?
1) AD 2) AB 3) MN 4) BN
3. Точки А и В принадлежат ребрам MN и ММ1 куба KLMNK1L1M1N1. Через какие указанные точки можно провести единственную плоскость?
1) N, A, M 2) B, M, M1 3) N, A, L
4. Точки М и К принадлежат рёбрам ВВ1 и АВ куба ABCDA1B1C1D1. Точка Т лежит на прямой МК. Какой плоскости принадлежит точка Т?
1) A1C1D1 2) CDC1 3) BB1C1 4) AA1B1
5. Угол ABC лежит в плоскости α, точка К не принадлежит плоскости α. Сколько прямых, параллельных сторонам угла, можно провести через точку К?
6. Точка М принадлежит ребру SB пирамиды SABC. Сколько прямых, параллельных рёбрам пирамиды, можно провести через точку М?
Приложение 8Вариант итогового контроля
1. Точки М и N являются серединами рёбер АВ и BD пирамиды DABC. По какой прямой пересекаются плоскости BDM и ВСN?
1) AB 2) MN 3) BD 4) BC
2. Точки А и В принадлежат ребрам LL1 и L1M1 куба KLMNK1L1M1N1 Через какие из указанных точек можно провести единственную плоскость?
1) A, B, M 2) B, L1, M 3) A, L, L1
3. Вершина О прямоугольника принадлежит плоскости β, а остальные его вершины не принадлежат этой плоскости. Как расположены прямые ТР и TR относительно плоскости β?
1) ТР не пересекает β, a TR пересекает β
2) ТР пересекает β и TR пересекает β
3) ТР пересекает β, a TR не пересекает β
4) ТР не пересекает β и TR не пересекает β
4. На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью PRT?
5. Сторона АВ угла ABC лежит в плоскости α, точка К не принадлежит плоскости α. Сколько прямых, параллельных сторонам угла, можно провести через точку К?
6. Точка К принадлежит ребру АС пирамиды SABC. Сколько прямых, параллельных рёбрам пирамиды, можно провести через точку К?