Показательная функция, её график и свойства.

ГОУ СПО Краснодарский краевой базовый медицинский колледж МЗ КК «Показательная функция» Автор преподаватель математики Высоцкая В.М. Цель: Рассмотрение основных свойств показательной функции.Построение графика.Решение показательных уравнений.Решение показательных неравенств. Определение Показательная функция – это функция вида , где x – переменная, - заданное число, >0, 1. Примеры: Свойства показательной функции Область определения: все действительные числа Множество значений: все положительные числаПри > 1 функция возрастающая;при 0 < < 1 функция убывающая. D(y) = R; E(y) = (0; + ∞); График показательной функции Т.к. , то график любой показательной функции проходит через точку (0; 1) 1 1 х х у у 0 0 Показательные уравнения Определение Простейшие уравнения Способы решения сложных уравнений Определение Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Примеры: Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени. Способы решения сложных показательных уравнений. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Замена переменной Деление на показательную функцию Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Данный способ используется, если соблюдаются два условия: 1) основания степеней одинаковы;2) коэффициенты перед переменной одинаковы Например: Замена переменной При данном способе показательное уравнение сводится к квадратному. Способ замены переменной используют, если показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой. Например: 3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0 коэффициенты передпеременной противоположны. Например: 2 2 - х – 2 х – 1 =1 б) а) основания степеней одинаковы; Деление на показательную функцию Данный способ используется, если основания степеней разные. а) в уравнении вида ax = bx делим на bx Например: 2х = 5х | : 5xб) в уравнении A a2x + B (ab)x + C b2x = 0 делим на b2x. Например: 325х - 815х + 59х = 0 | : 9x Показательные неравенства Определение Простейшие неравенства Решение неравенств Определение Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Примеры: Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида: где a > 0, a  1, b – любое число. При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции. Для решения более сложных показательных неравенств используются те же способы, что и при решении показательных уравнений. Построение графикаСравнение чисел с использованием свойств показательной функцииСравнение числа с 1 а) аналитический способ; б) графический способ. Задача 1 Построить график функции y = 2x x y -1 8 7 6 5 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 х у 3 8 2 4 1 2 0 1 Задача 2Сравнить числа Решение Ответ: Задача 3Сравнить число с 1. Решение -5 < 0 Ответ: Задача 4 Cравнить число р с 1 р = 2 > 1, то функция у = 2t – возрастающая. 0 < < 1, то функция у = – убывающая Ответ: 23 > 1. Ответ: > 1 р = Простейшие показательные уравненияУравнения, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателемУравнения, решаемые заменой переменной случай 1; случай 2.Уравнения, решаемые делением на показательную функцию случай 1; случай 2. Простейшие показательные уравнения Ответ: - 5,5. Ответ: 0; 3. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Ответ: 5 x + 1 - (x - 2) = = x + 1 – x + 2 = 3 Замена переменной (1) основания степеней одинаковы, показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой . 3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0 t = 3x (t > 0) t 2 – 4t – 45 = 0По т. Виета: t1· t 2 = - 45; t1+ t 2 =4t1 = 9; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию 3x = 9; 3x = 32; x = 2. Ответ: 2 Замена переменной (2) Основания степеней одинаковы, коэффициенты перед переменной противоположны. По т. Виета: - Не удовлетворяет условию Ответ: 1 Деление на показательную функцию Ответ: 0 Деление на показательную функцию Ответ: 0; 1. Простейшие показательные неравенстваДвойные неравенстваНеравенства, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателемНеравенства, решаемые заменой переменной Простейшие показательные неравенства Двойные неравенства Ответ: (- 4; -1). 3 > 1, то Решение показательных неравенств Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Ответ: х >3 Т.к. 3 > 1, то знак неравенства остается прежним : 10 Решение показательных неравенств Метод: Замена переменной Ответ: х < -1. 3>1, то