Методическая разработка кружка Юный математик

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«МЕГИНО-АЛДАНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»
имени Е.П. Неймохова, МО Томпонский район, Республика Саха (Якутия)

678725 Томпонский район, с. Мегино-Алдан, ул. Алданская, 12, тел. 27-174, факс 27-139 E-mail: megaldanschool@yandex.ru
«Рассмотрено» «Согласовано» «Утверждаю» на заседании МО ЕМЦ заместитель директора по УЧ директор МБОУ МАСОШ и рекомендовано Николаева Л.П.____________ Николаев А.С.___________ к утверждению:
Протокол № ____ «___»___________2013 г. «___»___________2013 г. от «___»___________2013 г. руководитель МО
Винокурова Т.В.__________
Программа кружка по математике
«Юный математик»
Учитель математики Винокурова Т.В.
Мегино-Алдан, 2013-2014 уч.гг.
Кружок «Юный математик»
Математический кружок – это самодеятельное объединение учащихся под руководством педагога, в рамках которого проводятся систематические занятия с учащимися во внеурочное время.
Математические кружки по математике являются основной формой внеклассной работы с учащимися в 5 классе.
Основными целями проведения кружковых занятий  являются:
* создать условия для развития интереса учащихся к математике;
* привитие интереса учащимися к математике;
* углубление и расширение знаний по математике;
* развитие математического кругозора, мышления, исследовательских умений учащихся;
* воспитание настойчивости, инициативы.
Задачи кружка:
сформировать представление о методах и способах решения арифметических задач;
развить комбинаторные способности учащихся;
научить детей переносить знания и умения в новую, нестандартную ситуацию;
Ожидаемые результаты:
формирование интереса к творческому процессу;
умение логически рассуждать при решении текстовых арифметических задач;
умение применять изученные методы к решению олимпиадных задач;
успешное выступление учащихся на олимпиадах;
 Организация работы кружка
В основе кружковой работы лежит принцип добровольности. Он организован для всех желающих. Работа в кружке начинается в середине сентября, а заканчивается в начале мая. В течение года кружковые занятия связаны с другими формами внеклассной работы по математике, в подготовке которых активное участие принимают члены кружка. В каникулы кружковые занятия не проводятся.
Занятия кружка обычно проводятся 1 раз в 1-2 недели, продолжительность занятия кружка для учащихся 5 классов – 60-90 минут.
 Основные требования к программе кружка:
1) связь содержания программы кружка с изучением программного материала;
2) использование занимательности;
3) использование исторического материала;
4) решение нестандартных, олимпиадных задач;
5) учет желаний учащихся;
6) особенности школы;
7) наличие необходимой литературы у учителя.
Тематическое планирование занятий математического кружка
Месяц Неделя Тема Дата предварит. Дата фактич. Примечание
Сентябрь 1 Тема 1. Задачи гениального Гаусса 2 сентября 2,3 Тема 2. Задачи со спичками 9,16 сентября 4,5 Тема 4. Числовые выражения 23,30 сентября Октябрь 6,7 Тема 3. Ребусы с числами. Ребусы с буквами 7,14 октября 8,9 Тема 4. Взвешивания на чашечных весах (без гирь)
Взвешивания на чашечных весах (с гирями) 21,28 октября Ноябрь 10,11,12 Тема 5. Фальшивые монеты. Меняем монеты. 11,18,25 ноября Декабрь 13,14 Тема 6. Разрезания и перегибания 2,9 декабря 15,16 Тема 7. Задачи на движение (вверх и вниз). Задачи на движение (скорость, расстояние, время) 16,23 декабря Январь 17,18 Тема 8. Площадь и периметр фигур. Кубики 13,20 января 19 Тема 9. Отгадай возраст 27 января Февраль 20,21 Тема 10. Переливания 3,10 февраля 22,23 Тема 11. Делимость чисел. Деление с остатком 17,24 февраля Март 24,25 Тема 12. Магические квадраты 3,10 марта 26,27 Тема 13. Дроби. Среднее арифметическое 17,31 марта Апрель 28,29,30 Тема 14. Логические задачи. Разные геометрические задачи 7,14,21 апреля 31,32,33 Тема 15. Старинные задачи. Сколько страниц в книге 28 апреля
5,12 мая Май 34 Тема 16. Итоговое занятие (игра) 19 мая 1 резерв 26 мая Занимательные задания, задачи - шутки Дополнительные темы (можно заменить)
Итоговое занятие – игра
Цель занятия: проверить знание материала, изученного на занятиях кружка, и умение применять его в новой ситуации.
Правила игры
Для проведения игры необходимо сформировать три команды из учащихся, посещающих кружок. В каждой команде выбирается капитан. Он следит за порядком и дисциплиной в команде, участвует в игре, предоставляет выполненные задания жюри.
Жюри может состоять из старшеклассников или учителей. Каждая команда придумывает себе название, девиз и представление команды. Все команды получают одинаковые задания. Количество очков зависит от скорости выполнения заданий и правильности решения. Решения представляют в жюри. Жюри оценивает решение и заносит результаты в таблицу. В конце игры подводятся итоги. Победители награждаются.
Оборудование
Карточки с заданиями, чертежные инструменты.
Используемая литература
1. Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы. – М.:Айрис-пресс, 2005. – 144 с. – (Школьные олимпиады).
2. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. М.:Издательство НЦ ЭНАС, 2003. С.208.
3. Спивак А.В. Математический кружок. 6-7 классы. М.:Посев, 2003. С.128.
4. Олимпиадные задания по математике 5-8 классы (500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся). / автор-составитель Н.В.Заболотнева.-Волгоград: Учитель, 2006.
5. Задачи для внекласной работы по математике в 5-6 классах / сост.В.Ю.Сафонова, М.:МИРОС, 1995
6. Попов С.В., Дмитриев И.Г., Баишева М.И., Олимпиады. Математика (с 3 по 11 классы), Якутск: Бичик, 2009.-64 с.
7. Грицаенко Н.П. Ну-ка реши! М.: Просвещение, 1998.
8. Кенгуру. Задачи международного математического конкурса-игры. Выпуск 5. СПб, 2000.
9. Кордемский Б.А. Математическая смекалка – М.:Просвещение, 2000
10. Перельман Я.И. Живая математика – М.: Столетие, 1994
11. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку – М.: Просвещение, 2000
12. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: книга для уч-ся 5-7 кл. - М.:Просвещение, 2005
13. Баишева М.И., Дмитриев И.Г., Мартынова С.В. Материалы для подготовки к математическим олимпиадам уч-ся 3-5 классов.– Якутск, 2003
14. Тимофеева Н.М. и др. Зимняя школа, физико–математический форум «Ленский край», с.Чапаево, 2007
15. Дмитриев И.Г., Алексеева Г.И., Баишева М.И. Олимпиады по математике города Якутска 1995-2001 – Якутск, 2001. – 88 с.
Занимательные задачи (дополнительно собранный материал)
Что легче: пуд железа или пуд сена?
До какого места бежит олень в лес?
Сколько раз цифра 9 встречается в числах от 1 до 100?
В каком числе столько же цифр сколько и букв?
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?
Одно яйцо варят 4минуты. Сколько минут нужно варить 5 яиц?
Три мальчика играли в шашки. Всего было сыграно 3 партии. Поскольку партий сыграл каждый мальчик?
Из города А в город В вылетел самолет. Долетел он за 1 час 15 минут, на обратную дорогу ему потребовалось 75 минут. Почему он опоздал?
Между цифрами 2 и 3 поставьте знакомый всем математический символ, чтобы получить число больше 2, но меньше 3.
В семье 5 сыновей и у каждого есть сестра, сколько всего детей в семье?
В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, и сумма лет Ани и Веры делится на 3?
Три ученика различных школ города Новгорода приехали на отдых в один летний лагерь. На вопрос вожатого, в каких школах Новгорода они учатся, каждый дал ответ: Петя: «Я учусь в школе №24, а Леня – в школе №8», Леня: «Я учусь в школе №24, а Петя – в школе №30», Коля: «Я учусь в школе №24, а Петя – в школе №8». Вожатый, удивленный противоречиями в ответахт ребят, попросил их объяснить, где правда, гделожь. Тогда ребята признались, что в ответах каждого из них одно утверждение верно, а другое – ложно.
Как перевезти в лодке с одного берега на другой волка, козла и капусту, если известно, что волка нельзя оставить без присмотра с козлом, а козел «неравнодушен» к капусте. В лодке только два места, поэтому можно брать с собой одновременно или одно животное, или капусту.
На соревнованиях по стрельбе Алеша 10 раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 76 очков. Сколько было попаданий в «пятерку» и «семерку», если «девяток» было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Один из пяти братьев разбил окно. Андрей сказал: «Это или Витя, или Толя». Витя сказал: «Это сделал не я и не Юра». Дима сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой неправду». Юра сказал: «Нет, Дима, ты не прав». Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что не менее трех братьев сказали правду. Кто разбил окно?
На улице, встав в кружок, беседуют 4 девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье – не Аня и не Валя – стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какого цвета платье у каждой из девочек?
Трое юношей: Коля, Петя и Юра – влюблены в трех девушек: Таню, Зину и Галю. Но это любовь без взаимности. Коля любит девушку, влюбленную в юношу, который любит Таню. Петя любит девушку, влюбленную в юношу, который любит Зину. Зина не любит Юру. Кто в кого влюблен?
У школьника была некоторая сумма денег монетами достоинством в 15 и 20 копеек. Причем двадцатикопеечных может было больше, чем пятнадцатикопеечных. Пятую часть всех денег школьник истратил, отдав две монеты за билет в кино. Половину оставшихся денег он отдал за обед, оплатив его тремя монетами. Сколько монет каждого достоинства было у школьника в начале?
Сереже 11 лет, Вове 1 год. Сколько лет будет Сереже, когда он станет втрое старше Вовы?
У 35-летнего отца 4 сына. Каждый младше другого на 2 года, причем старшему сыну 8 лет. Через сколько лет детям вместе будет столько же лет, сколько отцу?
Если к половине моих лет прибавить 7 лет, то получите мой возраст 13 лет тому назад. Сколько мне лет?
Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?
23. Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова - за 3, овца - за 6 суток. За какое время съедят копну сена лошадь, корова и овца вместе?
24. На мельнице имеются три жернова. На первом за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором - 54, а на третьем - 48. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна. За какое наименьшее время он сможет смолоть зерно?
25. Малыш съедает 900 граммов варенья за 9 минут. Карлсон делает этовдвое быстрее. За сколько минут они вместе съедят 1 килограмм 800граммов варенья?
26. Ковбой вышел в бар и попросил воды. Вместо ответа хозяин выхватил кольт и выстрелил в потолок. Ковбой поблагодарил и вышел. В чем дело?
27. Здесь зашифровано известное стихотворение. Расшифруйте его!
Мяжя Дяма клёнгё брящэд,
Юлёмыря ф лэщпо нащыг.
Дыжэ, Мяжэщгя, мэ брящъ,
Мэ юдёмэд ф лэщгэ нащ.
28. Юноша шел по дороге и заметил валявшийся на обочине моток колючей проволоки. Он побежал домой, взял кусачки, вернулся к проволоке и одну за другой откусил все колючки. Затем он бросил проволоку и колючки там, где стоял, и продолжил свой путь, как ни в чем не бывало. В чем дело?
29.Можно ли разменять 25 рублей десятью купюрами достоинством 1, 3 и
5 рублей?
30. Можно ли, не оторвав карандаш от бумаги и не проведя никакой линии более одного раза, нарисовать а) открытый конверт; б) закрытый конверт?
31 .Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня - 50 кг, Маня и Ваня - 90 кг, Ваня и Даня - 100 кг, Даня и Аня - 60 кг. Сколько весит Аня?
32. Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут 90 рублей, без второго - 85, без третьего - 80, без четвертого - 75 рублей. Сколько у кого денег?
33. Сколько воскресений может быть в году?
34. Может ли быть в одном месяце 5 воскресений?
35. Решите ребус ЧАЙ:АЙ = 5
36. а) ЛИК*ЛИК = БУБЛИК б) СУК*СУК = БАРСУК
37. В этом числовом ребусе почти все неизвестно, однако он имеет единственное решение. Какое?
* * *
* * *
* * * *
* * * *
А А А А А38. Сколько пальцев на двух руках? А на десяти руках?
39. Верблюд в течение одного часа выдерживает ношу в 10 пудов. В течение какого времени он выдержит ношу в 1000 пудов?
40. Сколько концов у трех палок? У четырех с половиной палок? У двух с четвертью?
41. Раз делите 5 лимонов между пятью лицами так, чтобы каждый получил по лимону, и один лимон остался в корзине.
42. В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой кошки по три кошки. На хвосте каждой кошки по одной кошке. Сколько же всего кошек в комнате?
43. Портной имеет кусок сукна в 16 метров, от которого он отрезает ежедневно по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок?
44. Чему равен: а) один в квадрате? б) двадцать один в квадрате? в) угол в квадрате?
45. Спортсмен хочет успеть на поезд. Но до отхода поезда остается 2 минуты, а путь до вокзала 2 км. Если первый километр он будет бежать со скоростью 30 км/час, то с какой скоростью он должен пробежать второй километр?
46. Шел мужик в Москву и повстречал 7 богомолок. У каждой из них было по мешку, а в каждом мешке по коту. Сколько существ направлялось в Москву?
47. Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
48. Два отца и два сына разделили между собой поровну 300 рублей, причем каждый получил по 100 рублей. Как это могло случиться?
49.Канат растягивается на ½ см от нагрузки в 100 кг. На сколько сантиметров растянется канат от нагрузки в 10 тонн?
50. На суку сидит ворона. Что надо сделать, чтобы отпилить сук, не потревожив ворону?
51. Можно ли изобразить сухую траву четырнадцатью спичками?
52. Можно ли 188 разделить пополам так, чтобы в каждой половине получилось по 100?
53. Можно ли число 66 увеличить в полтора раза, не производя над ним никаких арифметических действий?
54. Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равной дроби, в которой числитель больше знаменателя?
55. Мог ли человек написать о себе так: «... пальцев у меня двадцать пять на одной руке, столько же на другой, да на ногах десять ...»?
56. Можно ли двумя ударами топора разрубить подкову на шесть частей, не перемещая частей после удара?
57. Можно ли число 81 уменьшить в 4,5 раза, не производя над ним никаких арифметических действий?
58. Всегда ли после двенадцати следует тринадцать?
59. Сколько яиц можно съесть натощак?
60. Когда мы смотрим на цифру «2», а говорим «10»?
61. У трех маляров был брат Поликарп, а у Поликарпа братьев не было. Как это могло случиться?
62. Сын моего отца, а мне не брат. Кто это?
63. Из трех монет одна фальшивая, более легкая. Как при помощи одного взвешивания на чашечных весах определить ее? Ч 64.В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее испытание: - Вот тебе бочка, наполни ее водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, веревкой или чем - либо другим для измерения не пользуйся. Работник справился с заданием. Как он это сделал?
65. Через канал, ширина которого всюду одинакова, надо построить мостик. Есть четыре доски, длина каждой из которых равна ширине канала. Как построить мостик?
66. Можно сложить 16 спичек так, чтобы все сооружение можно было поднять, держась только за одну спичку?
67. Можно ли расположить шесть спичек так, чтобы каждая из них касалась пяти остальных?
68. На противоположных берегах реки друг напротив друга стоят два дерева. Высота одного 20 метров, другого - 30 метров, ширина реки -50 метров. На каждом из деревьев сидит по птице. Обе птицы видят в реке рыбу и одновременно летят по прямым линиям на нее. Они достигают поверхности воды одновременно в точке, находящейся на прямой, соединяющей основания деревьев. Определить место их встречи.
69. Некто купил круглую доску из дорогого дерева и захотел сделать из нее два стола овальной формы и одинаковой величины. Середина каждого из них должна быть покрыта овальным же куском сукна. Как должен поступить столяр, чтобы выполнить поручение?
70. Как измерить с помощью линейки длину пространственной диагонали кирпича, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, т.е. как измерить расстояние между двумя его наиболее удаленными друг от друга вершинами?
71. Верхняя часть тростника, растущего в реке, выступает над поверхностью воды. Определить глубину реки, производя измерения только на поверхности или над поверхностью реки.
72. Решите ребусы:
а)* * *б)* * *в)* * * *
* ** 2 * * * *
* * * 3 * * * 1
* * * * * * * * *
* * * * * 3 * * *
* * 9 * 2 *
73. КОКАКОЗАМАГНИЙ
+ + +
КОЛА КОЗАТАНТАЛ
ВОДА СТАДО МЕТАЛЛЫ
74. ПОДАЙБАЛЕТРЮМКА
- + +
ВОДЫ БАЛЕТРЮМКА
ПАШАТЕАТР АВАРИЯ
75. ДРАМАБУЛОККОШКА
+ + +КОШКА
ДРАМА БЫЛО КОШКА
ТЕАТРМНОГО СОБАКА
76. ВАГОНДОСКАЦВЕТОК
+ВАГОН + ДОСКА +ЦВЕТОК
ВАГОНДОСКАЦВЕТОК
СОСТАВ ЛОДКА БУКЕТИК
77. АТАКАДОМНАПАРУС
+ УДАР +ДОМНА +ПАРУС
УДАРДОМНАПАРУС
НОКАУТ ЗАВОДПАРУС
РЕГАТА
78. СЛОВОБАРБОСВОБЛА
СЛОВО + +
СЛОВО БОБИКВОБЛА
+СЛОВО СОБАКИ ПЛОТВА

Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число -15, Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.
(А)1; (В) 2; (С) 3; ( D ) 9; ( Е ) 15;

Предположим, что Коля прав. Тогда обе девочки неправы, так как 9 не равно 15 и 9 - нечетное число, а это противоречит условию задачи. Остается, что прав Роман и тогда не права Наташа, так как 15 не простое число. Остается предположить, что искомое число простое и четно (так как Катя права), а это только 2. Проверка подтверждает, что условие соблюдено. Итак верно (В).
У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна - белая.Сколько серых мышей у Йозефа ? (А) 1; (В) 49; (С) 50; (D) 99; (Е) невозможно определить
Вариант 1. Устроим перебор пар мышей так, чтобы одна мышь серая (упомянутая в условии), адругая - какая придется. Из условия следует, что все мыши, которых мы присоединяем к серой -белого цвета. Ответ: (А) (одна мышь серая). Вариант 2. Предположим, что имеются две, или болеесерых мышей. В этом случае существует, по меньшей мере, пара мышей серого цвета, что противоречитусловию. Следовательно, предположение наше ошибочно и в хозяйстве Йосефа имеется лишь однасерая мышь, факт существования которой оговорен условием. ! На скамейке сидит Мари, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с| куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Мари ?! (А) Мари; (В) бабушка; (С) Мари и бабушка; (D)Mapn и кукла; (Е) бабушка и кукла.
С бабушкой, по условию, сидит внучка.То есть остается пристроить куклу и маму. Поскольку кукла не может сидеть рядом с мамой, то кукла и мама сидят по разные стороны от бабушки с внучкой. Остается, что бабушка сидит рядом с мамой. Легко проверить, что эти расположения удовлетворяют условию. Верный ответ- (В).
У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью "Огурцы"," Цветы ' и "Ромашки".
Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так , что все надписи оказал исьневерными. Что вырастет в ящике с надписью "Ромашки"? (А) огурцы; (В) колокольчики ; (С) ромашки; (D) нельзя определить; (Е) арбузы. В силу своей рассеянности, хозяйка не могла посадить в ящик с названием "Цветы" ниромашки, ни колокольчики. Следовательно, она посадила в этом ящике огурцы. Теперьосталось ей посадить ромашки и колокольчики. Для них осталось два ящика с надписями:"Ромашки" и "Огурцы". Но рассеянная хозяйка не посадила ромашки в ящик с названием"Ромашки", как они того они заслуживали, а посадила их в ящик под названием "Огурцы". Аколокольчики она посадила в ящик с надписью "Ромашки". Так что в ящике с названием"Ромашки" у нее вырастут колокольчики. Верный ответ - (В).
Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильке. Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательно:
(А) кошка в комнате; (В) мышка в норке; (С) кошка в комнате или мышка в норке; (D) кошка в подвале, а мышка в комнате.
Сначала поищем, где сидит кошка в этот дождливый день. По условию задачи, она можетбыть в двух местах: в комнате или в подвале. Но в комнате кошка не может быть, так как сырне лежит в холодильнике (он лежит на столе). Следовательно, кошка находится в подвале.Итак, нам известно, что сыр лежит на столе, а кошка - в подвале. По условию, в этом случае мышка -в комнате. Верный ответ - (D).
Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые:
а)делятся одновременно на 2 и на 3?
б)делятся на 2, но не делятся на 3?
в)делятся на 3, но не делятся на 2?
г)делятся на 3, или на 2 ( по крайней мере на одно из этих двух чисел)?
д) не делятся ни на 2, ни на 3?
а)Среди первых 99-ти натуральных чисел делятся на 2 и на 3, т.е. делятся на 6 [99 : б] = 16 чисел.
б)Чисел, делящихся на 2 (четных), среди первых 99-ти [99 : 2] = 49 .Среди этих чисел есть 16, которые делятся и на 3.
Поэтому чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, в рассматриваемом интервале всего 49 -16 = 33.
в)Чисел, делящихся на 3, в рассматриваемом интервале 99 : 3 = 33.16 из них делятся также и на 2.
Поэтому, чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, всего 33 - 16 = 17..
г)Количество чисел, которые делятся и на 2 или на 3, определим, добавив к 49 четным числам 17чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2 : 49 + 17 = 66.
д)Всего в рассматриваемом интервале 99 чисел, из них 66 делятся либо на 2, либо на 3. Остается 99- 66 = 33 числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3.
Из 60-ти одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе.
Двумя взвешиваниями на рычажных весах без гирь определить, легче она или тяжелее ?Разделим подлежащие проверке монеты на 3 равные группы, одну из которых используем в качестве контрольной. При первом взвешивании кладем на чаши весов по 20 монет. В случае равновесия, заключаем, что некондиционная монета - в третьей группе. Убрав монеты с одной из чаш и поместив туда монеты третьей группы, определим, как соотносятся массы настоящей и фальшивой монет. Если при первом взвешивании перевесит одна из чаш, то, заменив монеты на этой чаше монетами третьей группы (здесь все монеты настоящие), мы определим, легче ли некондиционная монета настоящей (если чаша с монетами, оставшимися на весах после первого взвешивания, вновь поднимется), либо тяжелее (если весы уравновесятся).
В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов.
В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не
было.
Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса,
лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы.
Как это он понял ?Общее число депутатов в парламенте - четное (в обеих палатах равное число депутатов). Следовательно, четно суммарное число депутатов, голосовавших за принятие решения и против. Но при четной сумме двух величин четна и их разность. Поэтому, преимущество в 23 голоса (т.е. разность между числом депутатов, голосующих за принятие решения, и числом депутатов, голосующих против) есть не что иное, как фальсификация (либо, что менее вероятно, ошибка при подсчете голосов).Доказать, что полу сумма двух последовательных простых чисел, начиная с 3, число составное.
Все простые числа, начиная с 3, - нечетные. Поэтому сумма двух простых чисел, больших 2, -число четное, и полусумма этих чисел (или их среднее арифметическое) - целое число. Среднее арифметическое двух чисел больше меньшего из чисел и меньше большего и располагается на числовой оси между этими числами. Поскольку взяты последовательные простые числа, то между ними всегда находится число составное.
Три мальчика А, В и С выступали на школьном вечере. Из следующих ниже утверждений одно - ложное:
А старше, чем В;
С моложе, чем В;
•Сумма возрастов В и С равна удвоенному возрасту А;«С старше, чем А.
Кто из певцов самый младший?
Красивое решение прислал девятиклассник Мысин Юрий из г. Ступина: "Для того, чтобы найти самого младшего, будем предполагать, что одно из утверждений ложно.
Пусть А моложе чем В. Тогда А < С < В. Но тогда не может выполниться условие 3. Отсюда условие 1 правдиво.
Пусть С старше В. Отсюда С >А >В. . Отсюда условие 2 - ложно.
Но необходимо проверить на ложность остальные условия.
3.Пусть условие 3 ложно.
Тогда А>В, С < В и С > А, что невозможно. Тогда условие 3 правдиво.
4.Пусть С > А. Тогда А >В >С.
Но тогда не может выполниться условие 3.
Отсюда условие 4 правдиво и условие 2 точно ложно. Тогда самый младший из мальчиков - В."
Задача 3. Расставьте цифры !Расставьте цифры 1, 2, 3, ..., 8 в клетки неполного квадрата так,
4 8 3 7
6 1 5
чтобы получить одинаковые суммы по горизонталям, вертикалям и большой диагонали.
Сумма цифр, которые надо расставить в клетках квадрата
,
равна : 1 + 2 + 3 + ... + 8= [(1 + 8) • 8] :2 = 36.
При равенстве сумм в строках, (в столбцах) сумма в строке, в столбце, а также на большой диагонали составит 36 : 3 =12.
Сумму 12 в неполных строке и столбце можно набрать из имеющихся цифр двумя способами : 4 + 8 = 5 + 7= 12.
Цифра 8 не может находиться на большой диагонали, поскольку на другом конце диагонали могут быть только цифры 5, либо 7 (оба конца большой диагонали принадлежат неполным строке и столбцу).
Ставим на одном конце диагонали цифру 4, на другом - 5 (или 7 - оба варианта идентичны).
В центральную клетку квадрата помещаем цифру 3, обеспечивая сумму цифр 12 по большой диагонали.
Дальнейшее заполнение не представляет трудности.
Часть 1. Арифметика
Наполненный доверху водой сосуд весит 5 кг, а наполненный наполовину - 3 кг 250 г. Сколько воды вмещает сосуд?
Девять одинаковых открыток стоят меньше десяти рублей, а десять таких же открыток стоят больше одиннадцати рублей. Сколько стоит одна открытка? (Известно, что одна открытка стоит целое число копеек.)
В банк кладется 100 руб. В каком случае спустя 5 лет вкладчик получит больше денег: если банк начисляет 7 процентов имеющейся суммы раз в год или если он начисляет 7/12 процента раз в месяц?
Города А и Б расположены на реке в 10 км друг от друга. На что пароходу потребуется больше времени: проплыть от А до Б и обратно, или проплыть 20 км по озеру?
Фрекен Бок съедает торт за полчаса, Малыш - за час, а Карлсон - за 5 минут. За какое время они съедят торт вместе?
Часть 2. Делимость и остатки
2.1Кузнечик прыгает по прямой на 6 и на 8 см (в любую сторону). Сможет ли он попастьв точку, расстояние от которой до исходной равно
а)7 см;
б)4 см?
Вася рвет газету на 8 частей, одну из получившихся частей - еще на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2002 части?
Число при делении на 2 дает в остатке 1, а при делении на 3 дает в остатке 2. Найдите остаток от деления этого числа на 6.
Докажите, что к -к делится на 6 при любом целом к.
На какую цифру оканчивается число з2002?
Часть 3. Комбинаторика
3.1а) В заборе 20 досок, каждую надо покрасить в синий, зеленый или желтый цвет,причем соседние доски должны быть покрашены в разные цвета. Сколькими способамиэто можно сделать?
б) А если требуется еще, чтобы хоть одна из досок была синей?
3.2В классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно выбрать из них
а)дежурного и старосту;
б)двух дежурных;
в)трех дежурных?
У Пети есть 5 книг по математике, а у Васи - 7. Сколькими способами они могут обменять две книги одного на две книги другого?
В кухне 5 лампочек, каждая может гореть или не гореть. Сколькими способами можно осветить кухню?
Меню в школьном буфете постоянно и состоит из 10 разных блюд. Чтобы разнообразить свое питание, Петя решил каждый день выбирать себе завтрак по-новому.
а)Сколько дней ему удастся это делать?
б)Сколько блюд он съест за это время?
Часть 4. Принцип Дирихле
4.1В классе учится 25 учеников.
а)Докажите, что найдутся 2 ученика, родившиеся в одном и том же месяце.
б)Обязательно ли найдутся 3 таких ученика?
15 ребят собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то 2 из них собрали одинаковое число орехов.Докажите, что из любых 10 натуральных чисел, ни одно из которых не делится на 10, можно выбрать
а) 2 числа, разность которых делится на 10;
б)* несколько чисел, сумма которых делится на 10.
4.4Из чисел 1, 2,..., 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся двачисла, отличающиеся друг от друга на 1 ?4.5* Можно ли накрыть равносторонний треугольник двумя меньшими равносторонними треугольниками?
Часть 5. Логика
Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 л и 5 л, набрать из крана в больший из этих сосудов 4 л воды ?В числе 3141592653589793 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.
5.3
У Димы больше тысячи книг!
Да нет, у него меньше тысячи книг.
Ну уж одна-то книга у него есть.
Известно, что среди этих утверждений ровно одно верное. Сколько книг может быть у Димы?
У Сережи было 7 картофелин, у Паши было 5, а у Коли вообще не было. Они сварили картошку и разделили ее поровну на троих. Благодарный Коля дал Сереже с Пашей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?
Соревнование по стрельбе из лука проводилось в два дня. Каждый участник в первый день выбил столько очков, сколько все остальные вместе во второй день. Докажите, что все участники выбили поровну очков.
Часть 6. Геометрия
6.1Нарисуйте на плоскостиа) 4;
6)5;
в) 6 точек так, чтобы любые 3 из них образовывали равнобедренный треугольник.
6.2а) На сколько частей могут делить плоскость три различные прямые? Для каждогослучая нарисуйте пример.
б) Тот же вопрос для четырех прямых.
В треугольнике ABC угол В прямой, АВ=ВС=Т. На стороне АС взяли точку и нашли сумму расстояний от нее до сторон АВ и ВС. Можно ли наверняка сказать, какое получилось число?
Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на два остроугольных треугольника?
Дан лист клетчатой бумаги. Как с помощью карандаша и линейки нарисовать квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки?
В треугольнике отметили середины двух сторон. С помощью только карандаша и односторонней линейки без делений найдите середину третьей стороны.
В трапеции ABCD основание AD больше основания ВС. Что больше: сумма углов А и D или сумма углов В и С?
В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы этого треугольника.
На стороне АВ квадрата ABCD построили (снаружи) равносторонний треугольник АКВ. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CKD, если АВ=1.
Часть 7. Разные задачи
Король со свитой движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждый час он высылает гонцов в Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б?
Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: "В лесу 99 процентов сосен. Мы будем рубить только сосны. После рубки сосны будут составлять 98 процентов всех деревьев". Какую часть леса вырубит леспромхоз?
- А у нас в классе 25 человек, и каждый дружит ровно с семью одноклассниками!
- Не может быть этого, - ответил приятелю Витя Иванов, победитель олимпиады. Почему он так ответил?
Сумма квадратов двух целых чисел делится на 3. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 3.
В стране 15 городов, каждый соединен дорогами не менее, чем с 7-ю другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой: либо напрямую, либо через один промежуточный город.
В классе 28 человек. Каждая девочка дружит с четырьмя мальчиками, а каждый мальчик - с тремя девочками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
Докажите, что среди учеников любого класса найдутся двое, имеющие одинаковое число знакомых в этом классе (если, конечно, в этом классе не менее двух учеников).
а) Сколько чисел от 1 до 1000 не содержат в своей записи цифру 3? А сколько содержат?
б) Сколько чисел от 1 до 1000 содержат в своей записи цифры 1 и 2?
7.9Ожерелье должно состоять из пяти бусин. Сколько таких ожерелий разного видаможно составить, если имеется неограниченное количество синих и зеленых бусин?
Можно ли в таблице 5x5 расставить несколько чисел так, чтобы сумма чисел в любом столбце равнялась восьми, а в любой строке - девяти?
Квадрат 8x8 сложен из доминошек 1x2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат 2x2.
Дано 2002 целых числа. Известно, что сумма любых 23-ех из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел также положительна.
Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?
Две каменные лестницы одинаковой высоты 1 м и с одинаковым основанием длины 2 м, покрыты дорожками. У первой лестницы 7 ступенек, а у второй - 9. Хватит ли дорожки, покрывающей первую лестницу, для покрытия второй?
7.15* Кубик 3x3x3 легко распилить на 27 единичных кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если перекладывать распиленные части?
В ожесточённом бою 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 - одно ухо. 80 -одну руку и 90 - одну ногу. Страховая компания «Весёлый Роджер», в которой были застрахованы все пираты, задалась вопросом, каково минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу? (Л.Кэрролл «Логическая игра»)
Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Два игрока по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он четен, то выигрывает первый игрок, если нечётен, то второй. Кто выиграет при правильной игре?
Два тракториста вспахали поле за 6 часов совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить эту же работу за 10 часов. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?
Павел с сыном и Семён с сыном были на рыбалке. Павел поймал столько же рыб, сколько и его сын Игорь, а Семён втрое больше, чем его сын. Всего они поймали 35 рыб. Как зовут сына Семёна? Кто сколько поймал рыб?
Сколько времени, если до конца суток осталось 4/5 того, что прошло от начала суток?
Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число, в результате в первом случае получили остаток 4, а во втором - 18. На какое число делили?
Пока океанский лайнер стоял на якоре, миссис Смит не покидала каюты. В полдень иллюминатор у её койки находился на высоте ровно 7 м над уровнем моря.
Во время прилива уровень воды поднимается со скоростью 1 м/ч. Через какое время вода достигнет иллюминатора?
На столе 6 ящичков. В первом - 60 камешков, во втором - 30, в третьем - 20, в четвёртом - 15. Сколько камешков в пятом и шестом ящичках?
Король со свитой движется из пункта А в пункт В со скоростью 5 км/ч. Каждый час он высылает гонцов в В, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в В?
В комнате сидят мальчики и девочки. Мальчики сидят на трёхногих табуретках, а девочки на обычных стульях. Всего в комнате 49 ног. Сколько в комнате мальчиков и сколько девочек?
На вопрос: «Сколько у тебя конфет?», Петя ответил: «У меня две трети конфет и ещё две трети конфеты». Сколько у него конфет?
Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы - 10% от помола, осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет.
Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четвёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?
Из группы задачу решили не все, но не менее 85% студентов. Найти наименьшее количество студентов в группе.
Можно ли разлить 50 литров бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 литров бензина больше, чем во втором, а после переливания 26 литров из первого бака в третий в третьем баке стало столько же, сколько во втором?
Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озёрах. Сколько было гусей?
Играя в рулетку. Виктор удвоил количество своих денег, потом потерял 10 рублей, затем он утроил количество своих денег и потерял 12 рублей. После этого у него осталось 60 рублей, С какой суммой он начинал игру?
Решите ребус: КОКА + КОЛА = ВОДА.
На доске записаны числа от 1 до 1 миллиона. Какая цифра стоит на 2005 месте?
Из квадрата 5х5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2x2*2.
На столе стоят шесть стаканов. Из них 5 стоят правильно, а один перевёрнут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?
Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет достоинством 1 и 5 рублей?
Конь вышел с поля а\ шахматной доски и через несколько ходов вернулся в него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
2006 человек выстроились в шеренгу. Всегда ли можно их расставить по росту, если за один ход разрешается переставлять только двух людей, стоящих через одного?
16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1 ?Отметьте шесть точек на плоско'сти так, чтобы на расстоянии ровно 1 см от каждой были ровно три другие (Математика, №8, 2007).
От пристани одновременно отправились два катера, у которых одинаковая скорость в стоячей воде. Один катер направился по течению, другой - против течения. В это же время от пристани отчалил плот. Спустя 90 минут с плота поступил сигнал «SOS». Оба катера сразу же направились к плоту. Который катер прибудет на помощь быстрее?
На столе стоят шесть стаканов. Три с водой и три пустых (см. рис.). Дотроньтесь рукой лишь до одного стакана и добейтесь, чтобы пустые и полные стаканы чередовались.
Расшифруйте ребус: Б + БЕЕЕ = МУУУ.
Алёша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алёша?
Из бочки, содержащей не менее 10 л бензина, отлейте ровно 6 л, используя бидон вместимостью 5 л и девятилитровое ведро.
Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на 2 равные части.
Игнату сейчас вчетверо больше лет, чем было его сестре в тот момент, когда она была вдвое моложе его. Сколько лет сейчас Игнату, если через 15 лет ему и сестре будет вместе 100 лет?
Докажите, что из трёх целых чисел всегда можно найти два, сумма которых делится на 2.
Из числа 12345678910111213...5657585960 вычеркните 100 цифр так. чтобы оставшееся число было наибольшим.
Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт.
Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трёхзначное.
Расставьте скобки в записи 7*9+12:3-2 так, чтобы значение полученного выражения было равно: а) 23; б) 75.
Школьный драмкружок, готовясь к постановке отрывка из сказки А.С.Пушкина о царе Салтане решил распределить роли между участниками:
Я буду Черномором, - сказал Юра.
Нет, Черномором буду я, - заявил Коля.
Ладно, уступил ему Юра, - я могу сыграть Гвидона.
Ну, я могу стать Салтаном, - тоже проявил уступчивость Коля.
Я же согласен быть только Гвидоном! - произнёс Миша. Желания мальчиков были удовлетворены. Как распределились роли?
Если Серёжа поедет в школу автобусом, а обратно пойдёт пешком, то он затратит на весь путь 1 ч 30 мин. Если же в оба конца он поедет автобусом, то затратит всего 30 мин. Сколько времени затратит Серёжа, если пойдёт пешком и в школу и обратно?
У Ивана имеется деревянный параллелепипед с измерениями 6 см, 12 см и 18 см. Он распиливает его на кубики с ребром 1 см и ставит их один на другой. Сможет ли Иван достроить вышку из этих кубиков, если даже он заберётся на трёхметровую лестницу?
У щенят и утят вместе - 44 ноги и 17 голов. Сколько щенят и сколько утят?
Если школьник купит 11 тетрадей, то у него останется 5 рублей. А на 15 тетрадей у него не хватает 7 рублей. Сколько денег у школьника?
Как, имея два сосуда вместимостью 5 л и 7 л налить из водопроводного крана 6 л?
Как разрезать прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 9 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат?
Есть 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Как в три приёма отвесить 2 кг крупы?
Три сосуда вместимостью 20 литров наполнены водой, причём в первом - 11 л, во втором - 7 л, а в третьем - 6 л. Как разлить имеющуюся воду поровну, если разрешается наливать в сосуд только такое количество воды, сколько в нём уже имеется?
Учитель задал на уроке сложную задачу, в результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равно количеству девочек, её не решивших. Кого больше в классе - решивших задачу или девочек?
Один биолог открыл удивительную разновидность амёб. Каждая из них за1 минуту делилась на две. В пробирку биолог кладёт амёбу, и ровно через час пробирка оказывается заполненной амёбами. Сколько времени потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё вначале положить не одну, а две амёбы?
В ящике лежат 100 чёрных и 100 белых шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было 2 шара: а) одного цвета; б) белого цвета.
В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?
В пакете содержится 3 кг 600 г крупы. Как разделить крупу на два веса по 800 г и вес в 2 кг, сделав 3 взвешивания на чашечных весах, имея одну гирю в 200 г?
(Чулков П.В.) В трёх ящиках лежат орехи. В первом орехов на 6 меньше, чем в двух других вместе, а во втором - на 10 меньше, чем в первом и третьем Вхместе. Сколько орехов в третьем ящике?
(Чулков П.В.) После 7 стирок длина, ширина и высота куска хозяйственного мыла. имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося мыла?
(Чулков П.В.) Ученик написал на доске пример на умножение двузначных чисел.Затем он стёр все цифры и заменил их буквами. Получилось равенство:
АВ х CD = MLNKT Докажите, что ученик ошибся.
(Чулков П.В.) Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорости машин - 60 км/ч и 80 км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 час?
(Чулков П.В.) Как при помощи только пяти цифр 5, знаков арифметических действий и скобок представить каждое из чисел от 0 до 10 включительно?
В стране 27 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в стране?
Сложили 111 тысяч, 111 сотен и 111 единиц. Какое число получили?
Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась с тремя остальными (части соприкасаются, если у них есть общий участок границы).
В коробке лежат 4 красных и 3 синих карандаша. Их берут в темноте. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них был один синий?
Во сколько раз лестница, ведущая на шестой этаж дома, длиннее лестницы, ведущей на второй этаж того же дома?
Найдите наименьшее четырёхзначное число, у которого сумма цифр больше, чем у любого меньшего числа?
Как разложить семь алмазов в четыре одинаковые шкатулки, чтобы вес всех шкатулок получился одинаковым, если вес алмазов 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 граммов?
Цифра десятков в записи некоторого двузначного числа втрое больше числа единиц. Если эти цифры переставить, получится число, меньше данного на 36. Найдите исходное число.
В феврале некоторого года было 2 505 600 секунд. Високосным ли был этот год?
Три пятиклассника купили 14 пирожков, причём Коля купил в 2 раза меньше, чем Вася, а Женя - больше Коли, но меньше Васи. Сколько пирожков купил каждый?
Нарисуйте восемь точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и из каждой точки исходили ровно 4 отрезка.
Разместите на трёх грузовиках 7 полных бочек, 7 бочек, наполненных наполовину, и 7 пустых бочек так, чтобы на всех грузовиках был одинаковый по массе груз.
На школьной викторине участникам предложили 20 вопросов. За правильный ответ ученику ставилось 12 очков, а за неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из учеников, если он ответил на все вопросы и набрал 86 очков?
Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25?
Внучке столько месяцев, сколько лет дедушке. Вместе им 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?
В трёх мешках находятся крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано «крупа», на другом - «вермишель», а на третьем - «крупа или сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?
Найдите сумму: 1+2+3+...+111.
В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?
На прямой линии посажено 10 кустов так, что расстояние между любыми соседними кустами одно и то же. Найдите это расстояние, если расстояние между крайними кустами 90 дм?
Выразите х из формулы: а = (х + 8):9.
Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге?
Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на три части. Всего стало 15 листов. Сколько листов бумаги разрезали?
Когда велосипедист проехал 2/3 пути, лопнула шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое больше времени, чем на велосипедную езду. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шёл.
Угадайте корень уравнения: уу + 5 = 21.
Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть - пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?
Найдите значение выражения:
26-25-25-24+24-23-23-22+22-21-21 -20+20-19-19-18+18-17-17-16+16-15-15-14.
В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3?
Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали немецкий и 83 знали французский. Сколько туристов знали французский и немецкий языки?
Решите уравнение: 3 + 210 / (х - 3)=33.
Из 18 одинаковых кубиков сложили прямоугольный параллелепипед высотой в три кубика. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если площадь поверхности одного кубика равна 19 см2.
Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 26. Найдите уменьшаемое.
3 ученика делают 3 самолетика за 3 минуты. Сколько учеников сделают 9 самолетиков за 9 минут?
Рыбаки поймали 19 рыбин массой 100 г, 200 г,..., 1900 г. Можно ли весь улов поделить поровну между 10 рыбаками? Если можно, то как? Если нет, то почему?
Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года. Когда одного игрока удалили с поля, средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет удалённому игроку?
Цена билета на стадион была 159 руб. После снижения цены билета количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. На сколько снизили цену билета?
Внуку столько же месяцев, сколько лет бабушке. Бабушке с внуком вместе 52 года. Сколько лет бабушке и сколько лет внуку?
Петя провёл три прямые линии и отметил на них 6 точек. Оказалось, что на каждой прямой он отметил 3 точки. Покажите, как он это сделал.
Три охотника варили кашу. Один положил 2 кружки крупы, второй - 1 кружку, а у третьего крупы не было. Каши же они съели все поровну. Третий охотник и говорит: «Спасибо за кашу! - и вот вам задача: Я даю вам 5 патронов. Как поделить эти патроны в соответствии с вашим вкладом в мою порцию каши?»
Четверо девочек выбирали водящую с помощью считалки. Та, на которую падало последнее слово, выходила из круга, и счёт повторялся вновь. Считающая девочка каждый круг начинала с себя и в результате стала водящей, причём счёт каждый раз кончался перед ней. Какое наименьшее число слов могло быть в считалке?
Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Насколько далеко расположен орешник от гнезда, если налегке белка бежит со скоростью 5 м/с, а с орехом - 3 м/с?
Среди шести монет находится одна фальшивая, но неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Среди этих монет известна также и одна настоящая
монета. Необходимо с помощью двух взвешиваний на чашечных весах определить фальшивую монету.
99.В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, чтокаждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семёнов, Герасимов.Миша - не Герасимов. Отец Володи - инженер. Володя учится в 6 классе.Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова - учитель. Какая фамилия у каждого издрузей?
Отгадайте ребус: УДАР + УДАР = ДРАМА.
Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято ещё 2 сообщения, которые, как установили учёные, являются ложными:
а) А - не третья планета от звезды; б) Б - вторая планета. Какими планетами от звезды являются А, Б, В?
Найдите среди чисел вида За + 1 первые три числа, кратные 5.
Ни у кого из тысячи пиратов Не наберётся тысячи дукатов,
Но даже самый маленький пират Имеет всё же хоть один дукат. Так можно ли сказать о тех пиратах, Что среди них - безусых и усатых, Косматых, безбородых, бородатых -Есть двое одинаково богатых?
Расставьте числа в порядке убывания.
Масса бидона с молоком 32 кг, без молока - 2 кг. Какова масса бидона, заполненного молоком наполовину?
Три подруги вышли в белом, синем, зелёном платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадает. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зелёных туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой подруги.
В классе 35 учеников. Из них 20 школьников занимаются в математическом кружке, 11 - в экологическом, 10 ребят не посещают кружки. Сколько экологов увлекается математикой?
Коля, Боря, Вова, Юра заняли первые четыре места в соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили: Коля - ни 1-е, ни 4-е; Боря - 2-е; Вова - не 4-е. Какие места заняли мальчики?
Имеются три карточки, одна из сторон которых - красная или зелёная, или синяя, другая сторона у всех белая. На белой стороне одной из карточек написано «красный», на другой - «зелёный», на третьей - «красный или синий». Ни одна из записей не соответствует действительности. Какого цвета каждая карточка?
Тетрадь, ручка, карандаш и книга стоят 37 р. Тетрадь, ручка, карандаш стоят 19 р. Книга, ручка карандаш стоят 35 р. Тетрадь и карандаш вместе стоят 5 р. Сколько стоит каждая вещь в отдельности?
Даны 8 точек. Ни какие три из них не лежат на одном отрезке прямой. Сколько всего разных отрезков прямых можно провести через эти восемь точек?
Решите ребус: УРАН+УРАН=НАУКА.
ИЗ.Восстановите числа в примере ВОРОН + СТАЯ = ЛЕТЕЛА, если разные
буквы обозначают разные цифры и число СТО делится на 139.
114.Назовите известный роман Жюля Верна «20000 лье под водой» в
существующих ныне единицах длины.
Изобразите числа 7; 23; 28; 100 только одинаковыми цифрами 2, 3, 5, 9, применяя различные арифметические действия.
Какое число нужно поставить вместо * в последовательности 7; 17; 37; 77; *; 317;...?
Вычислите с помощью распределительного закона умножения: 34-48+18-12+23-24
Расставьте числа 1,1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 в таком порядке, чтобы между единицами оказалась одна цифра, между двойками - две, между тройками - три, а между четвёрками - четыре цифры.
Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них
49 рублей и 20 алтын. За каждого старого барана он платил 15 алтын и 4 полушки, а за молодого - 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено? (В одном алтыне 3 копейки, а в одной копейке - 4 полушки)
120.Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама -за 2, малыш - за 5, а бабушка - за 10 минут. У них есть один фонарик. Моствыдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если идут двое, тоони идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя.Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонарикомнельзя.)Если бы школьник купил 11 тетрадей, у него осталось бы 4 рубля. А на 15 тетрадей у него не хватило бы 8 рублей. Сколько денег было у школьника?
В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.
Пошёл охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца. Расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки, а расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков. За сколько скачков собака догонит зайца? Подразумевается, что скачки делаются одновременно и зайцем и собакой.
Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на две части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в четыре раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в три раза». Как внукам разделить орехи?
На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором - 54 четверти, а на третьем - 48 четвертей. Некто хочет смолоть на этих трёх жерновах 81 четверть зерна за наименьшее время. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов можно насыпать?
Вычислите:
Найдите дробь со знаменателем 19, которая больше 5/7, но меньше 6/7.
Сократите дробь:
Баба Яга поссорилась со Змеем Горынычем и стала рубить ему головы. При этом она может отрубить ему 1, или 2, или 3 головы. Первоначально у Змея Горыныча было 3 головы. Когда ему отрубают 1 голову, то у него вырастают
3 новые головы, если же отрубают 2 головы, то ничего не вырастает, если отрубают 3 - вырастает одна новая голова. Сможет ли баба Яга отрубить ему все 3 головы окончательно, так чтобы голов у него больше не осталось?
130.Из 26 спичек длиной по"5 см сложили прямоугольник наибольшей площади.Чему равна его площадь?
Записана сумма двух чисел: 68791+245194. Вычеркните четыре цифры из этой записи так, чтобы получилась наименьшая сумма. При этом из каждого числа нужно вычеркнуть хотя бы по одной цифре. Чему равна получившаяся сумма?
Сколько существует двузначных чисел, представимых в виде суммы двух натуральных чисел, каждое из которых кратно 11 или 17. Выпишите эти числа.
Даны шесть чисел: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Разрешено к любым двум числам прибавлять по единице. Можно ли через несколько ходов сделать все числа равными?
Сколько знаков после запятой в десятичной записи числа 1/1024000. Объяснить, не выполняя вычислений.
Найдите все натуральные числа, которые в 7 раз больше своей последней цифры.
Мальчик и поросёнок весят столько, сколько 5 ящиков. Поросёнок весит столько, сколько 4 кошки, 2 кошки и поросёнок весят столько, сколько 3 ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика?
Не выполняя вычислений, найдите частное: (454*889 - 435):(454 + 889*453).
У вас есть одно- и двухрублёвые монеты. Сколькими разными способами вы можете разменять одну 10-рублёвую купюру?
Шофёр, взглянув на счётчик своей машины, увидел число 15951. Он обратил внимание, что количество километров, пройденных машиной, читается одинаково как слева направо, так и справа налево. Ровно через 2 часа счётчик показал новое число, которое тоже в обе стороны читалось одинаково. С какой скоростью ехал эти два часа шофёр?
Четыре чашки и один кувшин для воды весят столько, сколько 17 свинцовых шариков. Кувшин весит столько, сколько одна чашка и семь шариков. Сколько шариков уравновесят кувшин?
Найдите значение слова ROBERT, если известно, что . DONALD + GERALD = ROBERT и D = 5.
Один кувшин наполнен вином на 1/3 часть, а другой такой же кувшин -на 1/4. Каждый из этих кувшином наполнили до краёв водой, а затем содержимое этих кувшинов слили в ведро и смешали, а потом снова разлили по кувшинам. В каком отношении теперь в кувшине оказались вино и вода?
10 кур за 10 дней съедают 10 кг зерна. Сколько зерна съедят 100 кур за 100 дней?
30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби - по 2 и пара воробьев - по монете. Сколько птиц каждого вида?
Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько у каждого?
Трое хотят купить дом за 2400 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет А до встречи с В,
2004- 20034-2002-2001 + ... + 2-1
Вычислите:2004-45 + 55-2QQ4
Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович вступили в бой с великанами. Получив по три удара богатырскими палицами, великаны обратились
в бегство. Больше всего ударов нанёс Илья Муромец - 7, меньше всех Алёша Попович - 3. Сколько всего было великанов?
Когда у рыбака спросили, как велика пойманная щука, он сказал: «Я думаю, что хвост её - 1 кг, голова - столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище - сколько голова и хвост вместе». Сколько весит щука?
Произведение цифр трёхзначного числа равно 4. Найдите все такие числа.
Разделите прямоугольник 3x4 на две равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно лишь по стороне квадрата 1 * 1 и способы считаются разными, если получаемые фигуры не будут равными при каждом способе.
Вычислите: 89089089089-7373 - 73073073073-8989.
Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Фёдором и котом, то кот окажется крайним слева. В каком порядке они сидят?
Лев поручил лисе посчитать, сколько в лесу медведей, зайцев, волков. После подсчёта лиса доложила, что всего медведей, зайцев и волков в лесу 100. но волков на 25 больше, чем медведей; зайцев на 30 больше, чем волков. Один из зайцев, услышав такой ответ, расхохотался и сказал, что такого быть не может. Кто прав: лиса или заяц и почему?
Вычислите:
666666-666666-77777.777^7
1- 2 -3-4-5- 6-5 -4 ч- 3-2-rl ~ 1-2-3-4-5-6 -7-6-5-4-
Серёжа пошёл с отцом в тир. Уговор был такой: Серёжа делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель он получает право сделать ещё 2 выстрела. Серёжа сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?
Можно ли выбрать из таблицы 5 чисел, сумма которых делилась бы на 20? Ответ объяснить.
Нарисуйте на плоскости три одинаковых квадрата таким образом, чтобы получилось семь квадратов.
У Коли есть фанерный прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см и карандаш. Разрешается прикладывать прямоугольник к бумаге и обводить его (полностью или частично) карандашом. Любые другие действия (например, пометки на фанере) запрещены. Как Коле, не нарушая запрета, нарисовать квадрат со стороной 1 см? Опишите, что он должен делать и в каком порядке.
Хозяин, нанимая работника, предложил ему испытание:
- Вот тебе бочка, наполни ее' водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, верёвкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся. Работник справился с заданием. Как он это сделал?
Три прыжка волка равны пяти прыжкам лисы. Но за то время, когда волк делает 4 прыжка, лиса делает 7 прыжков. Кто из них бежит быстрее?
Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Шоколадка состоит из 24 (6x4) долек. Сколько разломов потребуется сделать, чтобы разделить её на 24 части? Накладывать части друг на друга не разрешается.
В клетках таблицы, содержащей 4 строки и 7 столбцов, расставьте натуральные числа так, чтобы их сумма в каждой строке была равна 28, а в каждом столбце 15. Можно ли осуществить требуемое? Если да, то покажите, как, если нет, то объясните, почему.
Можно ли расставить 10 стульев вдоль стен квадратной комнаты так, чтобы вдоль каждой стены было поровну стульев?
Найдите все корни уравнения: \х - 2008| = 2009.
Девочки составляют 3/5 от 6 «В» класса, 1/7 их числа - отличницы. Сколько учащихся в 6 «В» классе?
В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько процентов числа всех учащихся секции составляют девочки?
Мастер переплетает 3 книги в час, а его ученик - 2 книги. Как распределить между ними срочный заказ на переплетение 140 книг, чтобы они выполнили работу в кратчайший срок? За сколько дней они выполнят заказ? Рабочий день считать 7-часовым.
На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям - на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезённого корма и уткам, и гусям вместе.
В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков? Объясните, как вы рассуждали.
В первый месяц бригада перевыполнила задание на 10%, а во второй - на 20%. На сколько процентов бригада перевыполнила план двух месяцев?
Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит 1 гусёнок?
На клетчатой бумаге нарисовали фигуру. Разделите её на 4 части по линиям клетчатой бумаги. Найдите все возможные фигуры, на которые можно разрезать данную фигуру согласно условию задачи.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
Сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел 19011902-1903-.., 1999-2000?
Заполните свободные клетки "шестиугольника" целыми числами от 1 до 19,
чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.
Сумма чисел от 1 до 19 равна (1 + 19)- 19:2=190.
Все числа требуется расставить в пять рядов по одному из трех направлений (одна вертикаль идве диагонали).
Следовательно, сумма чисел в одном ряду равна 190:5 = 38.
Заполнение свободных клеток начинаем с рядов, в которых нехватает одного числа.
Это число должно дополнить сумму имеющихся в ряду чисел до 38. 1) 16+3 = 19; 38-19 = 19. 2) 18+3 = 21; 38-21 = 17. 3) 18+9 = 27; 38-27=11.
Рассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и 5.
Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть только 5 и 6.
Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях — соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.
Он: Сколько детей у твоей сестры?
Она: Трое.
Он: И сколько им лет?
Она: Если перемножить все три возраста, то получится 36.
Он: Этой информации недостаточно.
Она: В сумме их возраст равен номеру моего дома, и ты его знаешь.
Он: Всё равно сведений мало.
Она: Самый старший ребенок любит играть в теннис.
Он: Отлично, теперь я смогу назвать возраст каждого из этой троицы.
А вы можете?
ответ
Есть восемь комбинаций, когда произведение трёх чисел даёт 36: 3x3x4, 1x1x36, 12x3x1, 2x2x9, 6x3x2, 6x6x1, 9x4x1, 18x2x1. После подсказки о том, что сумма возрастов равна номеру дома, а он известен сведений всё равно недостаточно, следовательно такую сумму дают как минимум две комбинации из всех возможных. Единственным числом, которому в сумме равны две комбинации чисел, является 13 (6+6+1 и 2+2+9). Последняя подсказка исключает первый вариант, следовательно возраст детей 2, 2 и 9 лет.
Ванна заполняется холодной водой за б минут 40 секунд, горячей за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?
ответ
Переведем все времена в секунды.
Чтобы наполнить ванну холодной водой требуется 400 секунд, значит, за одну секунду наполняется 1/400 часть ванны.
Аналогично для горячей воды. За одну секунду наполняется 1/480 часть ванны.
Аналогично для спуска воды. За одну секунду выливается 1/800 часть ванны.
Примем за общий знаменатель 4800 и запишем уравнение: 12/4800 + 10/4800 - 6/4800 = 16/4800 = 1/300
Полученная величина равна количеству воды, пребывающей в ванну каждую секунду. Таким образом, потребуется пять минут, чтобы наполнить ванну.
По словам рыболова он поймал рыбу, у которой голова была длиной 60 футов, хвост длиной с голову и половину туши, а туша с половину длины рыбины с головы до хвоста. Какой же она длины?
ответ
Голова 60, туша 240, хвост 180, всего 480 футов.
Два города, А и В, находятся на расстоянии 30 км друг от друга. Из этих городов одновременно выходят друг другу навстречу два пешехода и двигаются, не останавливаясь, каждый со скоростью 5 км/ч. Но вместе с первым пешеходом из города А вылетает муха, пролетающая в час 10 км. Муха опережает первого пешехода и летит навстречу второму, вышедшему из В. Встретив его, она сразу поворачивает назад к пешеходу А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу пешеходу В, и так продолжала она свои полёты вперед и назад до тех пор, пока пешеходы не встретились. Тогда она успокоилась и села одному из пешеходов на шапку. Сколько километров пролетела муха?
ответ
Очень часто при решении этой задачи пускаются в разные "тонкие" и сложные выкладки и соображения, не дав себе труда уяснить, что муха, не останавливаясь, летела ровно 3 часа, а следовательно, пролетела 30 километров.
Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы - 10% от помола, осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет.
ответ
111 и 1/9 часть фунта зерна (111,111 фунта минус 10% равняется 100 фунтам)
Сколько детей в семье, если известно, что у каждой дочки братьев столько же, сколько и сестёр, а у каждого СЫН0 сестёр вдвое больше, чем братьев, Итак Сколько братьев и сколько сестёр в семье?
ответ
4 дочери и 3 сына
Получите верные математические выражения, используя указанные числа и математические символы. 1. 2 3 6 8 8 16 = * *// () ()