Конспект урока по математике на тему «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Тема урока: «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»
Девизом нашего урока будут слова русского математика В.П. Ермакова: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления».
Ход урока
Постановка проблемы
На доске- портрет Гаусса. Учитель или ученик, которому заранее было дано задание подготовить сообщение, рассказывает, что когда Гаусс учился в школе, учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту.
Вопрос. Как Гаусс получил ответ?
Поиск путей решения
Учащиеся высказывают свои предположения, затем подводится итог: сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д. равны, Гаусс умножил 101 на 50, то есть на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.
Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии
Записать на доске и в тетрадях тему урока. Ученики вместе с учителем записывают вывод формулы:
Пусть а1;а2; а3; а4;….;аn-2; аn-1; аn- арифметическая прогрессия.
Sn=a1+a2+a3+…an-1 + an
+
Sn=an + an-1 + an-2 +…+ a2 + a1
2Sn=(a1 + an )+ (a2+ an-1)+ (an-1 + a2 )+ (an + a1)
a2 + an-1 + a1 + d+ an-d= a1 +аn ,
a3 + an-2 = a2 + d+ an-1 -d= a2 + an-1 = a1 + an ,
…
2Sn= (a1+an)n,
S n=a1+an2 ×n.Первичное закрепление
1. Решим, используя формулу (1), задачу Гаусса:
S 100=1+1002 ×50=5050.2. Используя формулу (1), устно решить задачи (их условия записаны на доске или кодопозитиве), (аn)- арифметическая прогрессия:
а) a1=2, a10 =20. S10 - ? [110]
б) a1=-5, a7 =1. S7 - ? [-14]
в) a1=2, a6 =-17. S6 - ? [-57]
г) a1=-5, a11 =5. S11 - ? [0]
3. Выполнить задание №603 а)
Дано: (аn) – арифметическая прогрессия;
a1=3, a60 =57.
Найти: S60 .
Решение. Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии
S n=a1+an2 ×n, S 60=3+572 ×60=1800.Ответ: 1800.
Дополнительный вопрос. Сколько типов различных задач можно решить по этой формуле?
Ответ. Четыре типа задач:
- найти первый член арифметической прогрессии аn;
- найти количество членов арифметической прогрессии.
4. Выполнить задание №603(б).
Найти сумму шестидесяти первых членов арифметической прогрессии (аn), если а1= -10,5, а60 = 51,5.
Решение.
S 60=-10,5+51,52 ×60=41×30=1230.Ответ: 1230.
Дополнительный вопрос. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
Ответ: an = a1 + d (n-1).
Выполнить № 605 а)
5.Вычислите формулу девяти первых членов арифметической прогрессии ( bn ) если b1=-17, d=6.
-Можно ли вычислить сразу, используя формулу?
- Нет, так как неизвестен девятый член.
-Как его найти?
- По формуле n-го члена арифметической прогрессии.
Решение. b9 = b1 +8d=-17+8×6=31;
S 9=b1+b92 ×9=-17+312 ×9=63.
Ответ.63.
Вопрос. А нельзя ли найти сумму, не вычисляя девятого члена прогрессии?
Постановка проблемы
Проблема: получить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, зная ее первый член и разность d.
(Вывод формулы у доски учеником.)
S n=а1+an2 ×n=а1+a1+d (n-1)2 n=2а1 +d (n-1)2×n. (2)
Решим №371 (а) по новой формуле (2):
S 9=2×-17+8×62 ×9=-34+482×9=63.Устно закрепим формулы (2) (условия задач записаны на доске).
(an)- арифметическая прогрессия.
а) a1=3, d =4. S4 - ? [36]
б) a1=2, d =-5. S3 - ? [-9]
Выяснить у учащихся, какие вопросы непонятны.
Самостоятельная работа
Вариант 1
Дано: (an)- арифметическая прогрессия.
а) a1=-3, а6 =21. S6 - ? [54]
б) a1=6, d =-3. S4 - ? [6]
Вариант 2
Дано: (an)- арифметическая прогрессия.
а) a1=2, а8 =-23. S8 - ? [-84]
б) a1=-7, d =4. S5 - ? [5]
Ученики меняются тетрадями и проверяют решения друг у друга.
Подвести итог усвоения материала по результатам самостоятельной работы.
Домашнее задание: п.26 №604, 605, 606.