Комплект заданий для практических работ по математике (второй курс) специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

-329565-83185Министерство образования и науки Самарской области
Государственное бюджетное образовательное
учреждение среднего профессионального образования
«Тольяттинский политехнический техникум»
(ГБОУ СПО «ТПТ»)
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора по УР
___________ С.А. Гришина
___ ____________ 2014
КОМПЛЕКТ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
учебной дисциплины математика
(второй курс)
Специальность: 190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

Тольятти, 2014
ОДОБРЕНО
Протокол ПЦК ЕНД
от ___ _____20__ № ____
Председатель ПЦК ЕНД
________ Л.А. Гончарова
___ ______ 20___
СОГЛАСОВАНО
Старший методист
________ Н.В. Роменская___ _______ 20___
Комплект заданий для практических работ разработан Лабгаевой Э.В. – преподавателем ГБОУ СПО «ТПТ»
Рецензенты
Комплект заданий для практических работ разработан для проведения практических занятий студентов второго
курса специальности 190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта, изучающих
дисциплину «Математика»
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Практическая работа №1 «Вычисление пределов функций» 4
Практическая работа №2 «Исследование функции на непрерывность» 6
Практическая работа №3 «Нахождение производных и дифференциалов функции, приложения производных и дифференциалов» 8
Практическая работа №4 «Исследование функции с помощью производной» 10
Практическая работа №5 «Вычисление интегралов» 12
Практическая работа №6 «Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла» 14
Практическая работа №7 «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений» 16
Практическая работа №8 «Решение прикладных задач с применением дифференциальных уравнений» 18
Практическая работа №9 «Определение сходимости рядов» 21
Практическая работа №10 «Выполнение операции над множествами и графами» 23
Практическая работа №11 «Нахождение вероятности событий» 25
Практическая работа №12 «Нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины» 30
Практическая работа №13 «Обработка статистических данных» 32
Практическая работа №14 Вычисления интегралов численными методами» 34
Практическая работа №15 Нахождение производных численными методами» 36
Практическая работа №16 Решение дифференциальных уравнений численными методами» 37
Практическая работа №1 «Вычисление пределов функций»
Вычислить пределы последовательностей и функций, использую правила раскрытия неопределённостей
1 2 3 4 5 6 7 8
1 limХ→∞ (9Х2+1-3Х)limХ→0 1-Cos 5X3tg2X
2 limХ→∞ (Х-Х2+Х+1)
3 limХ→0 (1- Cos 3X) ctg X4
4 limХ→∞ (Х+3-Х-3)
5 limХ→∞ (Х-2Х-3)limХ→0 1-Cos 5X1-Cos 3X
6
7 limХ→0 2X tg 3X1-Cos X
8 limХ→∞ (Х2+4Х-Х)
9 limХ→∞ (1+Х2-Х)
10 limХ→∞ (Х+3-Х
1 2 3 4 5 6 7 8
11 limХ→∞ (9Х2+1-3Х)
12 limХ→∞ (Х-Х2+Х+1)limХ→0 2X tg 3X1-Cos X
13
14 limХ→∞ (Х+3-Х-3)
15 limХ→∞ (Х-2Х-3)
Практическая работа №2 «Исследование функции на непрерывность»
Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность, найти точки разрыва и определить их тип. Построить график функции
1 2 3
1 у=-1Х+2; Х<-2 -4-Х2; -2≤Х≤2Х-2Х-2; Х>2 2 у=-2ХХ; Х<0 4-Х2; 0≤Х≤21Х-2; Х>2 3 у=Х+3Х+3; Х<-3 9-Х2; -3≤Х≤31Х-3; Х>3 4 у=-1Х+3; Х<-3 -9-Х2; -3≤Х≤3Х-3Х-3; Х>3 5 у=Х+2Х+2; Х<-2 4-Х2; -2≤Х≤21Х-2; Х>2 6 у=-Х-3Х-3; Х≤0 9-Х2; 0<Х≤31Х-3; Х>3 7 у=11-Х; Х<0 -1-Х2; 0≤Х≤1Х+1Х+1; Х>1 2 3 4
8 у=2ХХ; Х<-1 1-Х2; -1≤Х<1-1Х+1; Х≥1 9 у=Х-2Х-2; Х≤-2 4-Х2; -2<Х<0-1Х+2; Х≥0 10 у=-1Х+1; Х<-1 1-Х2; -1≤Х≤0ХХ; Х>0 11 у=Х+3Х+3; Х<-3 9-Х2; -3≤Х≤31Х-3; Х>3 12 у=-1Х+3; Х<-3 -9-Х2; -3≤Х≤3Х-3Х-3; Х>3 13 у=2Sin Х; Х<0 (Х+2)2; 0≤Х<22-Х; Х≥2у=Х+2Х+2; Х<-2 4-Х2; -2≤Х≤21Х-2; Х>2 14 у=3-Х; Х<-12Х+3; -1≤Х<2Х3+1; Х≥2 у=-Х-3Х-3; Х≤0 9-Х2; 0<Х≤31Х-3; Х>3 15 у= √x ; Х≤1 log2 Х; 1<Х≤2Х+3;Х>2 у=2ХХ; Х<-1 1-Х2; -1≤Х<1-1Х+1; Х≥1 Практическая работа №3 «Нахождение производных и дифференциалов функций.
Приложения производных и дифференциалов»
1 2 3 4 5 6
Найти производную сложной функции Найти дифференциал второго порядка для функции Найти частные производные и полный дифференциал функции Для функции найти частные производные второго порядка Вычислить приближенно с помощью дифферен-циалаТочка движется прямолинейно согласно уравнению S=S(t)м. Построить графики расстояний, скорости и ускорения для первых пяти секунд движения
1 S= 20t-5t2
2 S= 19t-5t2
3 S= 18t-5t2
4 S= 17t-5t2
5 S= 16t-5t2
6 S= 15t-5t2
7 S= 14t-5t2
8 S= 13t-5t2
9 S= 20t-4t2
1 2 3 4 5 6
10 S= 19t-4t2
11 S= 18t-4t2
12 S= 17t-4t2
13 S= 16t-3t2
14 S= 15t-4t2
15 S= 14t-4t2
Практическая работа №4 «Исследование функции с помощью производной»
Провести полное исследование функции и построить ее график
1 2 3*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3
11
12
13
14
15
Практическая работа №5 «Вычисление интегралов»
Вычислить определённые и неопределённые интегралы, используя подходяшие методы интегрирования
1 2 3 4 5 6 7 8
1 (4x+5)е2xdxxcos–3xdx0π3tg3xdx1е3ln2xxdx2 (x+1)е–2xdxxsin3xdx0ln2e2xdx1е2dxx(4+ln2x)3 x2е–4xdxxcosxdx23x+2dx1еdxx(3-lnx)4 3xе–2xdxxcos4xdx- π2π2cos2xdx1еsinlnxxdx5 (2x+3)е4xdxsin5xxdxπ4π2sin2x-π2dx1еln2xxdx6 3x2е2xdx3xcosx3dx025sin5xdx1е1+lnxxdx7 (2–3x)е–3xdxsinx22xdx0πcosx2dx1еln2xxdx8 е2x4–3xdx4xcos5xdx0π2sin2xdxее2dxxlnx9 е–3x3x+2dxx2sin3xdxπ2πdxsin2x31еln2xdxx1 2 3 4 5 6 7 8
10 е4x8x+3dxcosx230xdx0π4cos2xdx1еdxxlnx11 е2x4x–1dxsin20xx3dx- π2π2cos2xdx1еsinlnxxdx12 е3xx+3dxc0s2xx10dxπ4π2sin2x-π2dx1еln2xxdx13 е–2x2+5xdx2xsin3x2dx025sin5xdx1е1+lnxxdx14 (3x+5)е2xdxsin2x3x2dx0πcosx2dx1еln2xxdx15 5x2е3dx5x2cos3xdx0π2sin2xdxее2dxxlnxПрактическая работа №6 «Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла»
1 2 3 4 5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Найти объем тела вращения вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z = z(t) (ден. ед/ч), где t – время в часах от начала работы, 0 ≤ t ≤ 8. Найти функцию
u = u(t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр (тариф перевозки) задается функцией
Определите затраты на перевозку одной тонны груза на расстояние S км Решить задачу
1 z(t) = - 0,0001t² + 0,01t + 0,2
Найти u(t) и его величину запервую половину рабочего дня
S = 10 км Скорость движения точки изменяется по закону (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения
2 z(t) = - 0,00625t² + 0,05t + 0,5
Найти u(t) и его величину заза вторую половину рабочего дня
S = 20 км Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки, если v(t)=6t-2t2(м/c)
3 z(t) = - 0,0003t² + 0,04t + 0,25
Найти u(t) и его величину заза весь рабочий день.
S = 30 км Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу 80 Дж?
4 z(t) = - 0,003t² + 0,04t + 0,5
Найти u(t) и его величину запервую половину рабочего дня
S = 10 км Скорость движения точки изменяется по закону (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за четвертую секунду
5 z(t) = - 0,001t² + 0,01t + 0,12
Найти u(t) и его величину заза вторую половину рабочего дня
S = 20 км Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону . Найти закон движения s, если за время точка прошла 20м
6 z(t) = - 0,0025t² + 0,15t + 0,25
Найти u(t) и его величину заза весь рабочий день.
S = 30 км Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 60Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12 м?
7 z(t) = - 0,003t² + 0,05t + 0,5
Найти u(t) и его величину запервую половину рабочего дня
S = 40 км Скорость движения точки изменяется по закону м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения
1 2 3 4 5
8 z(t) = - 0,0006t² + 0,02t + 0,2
Найти u(t) и его величину заза вторую половину рабочего дня
S = 20 км Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(3t2+4t) м/с, второе – со скоростью v=(6t+12) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?
9 z(t) = - 0,0005t² + 0,02t + 0,4
Найти u(t) и его величину заза весь рабочий день.
S = 30 км Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки, если v(t)=6t-2t2(м/c)
10 z(t) = - 0,00125t² + 0,025t + 0,5
Найти u(t) и его величину запервую половину рабочего дня
S = 10 км Скорость движения точки изменяется по закону м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения
11 z(t) = - 0,0023t² + 0,02t + 0,2
Найти u(t) и его величину заза вторую половину рабочего дня
S = 20 км Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 4см, если известно, что от нагрузки в 1Н она растягивается на 1см
12 z(t) = - 0,0025t² + 0,001t + 0,25
Найти u(t) и его величину заза весь рабочий день.
S = 30 км Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=3t2 м/с, второе – со скоростью v=(6t2+10) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10с?
13 z(t) = - 0,00015t² + 0,05t + 0,4
Найти u(t) и его величину запервую половину рабочего дня
S = 10 км Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н
14 z(t) = - 0,00325t² + 0,01t + 0,8
Найти u(t) и его величину заза вторую половину рабочего дня
S = 20 км При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м?
15 z(t) = - 0,0025t² + 0,01t + 0,15
Найти u(t) и его величину заза весь рабочий день.
S = 30 км Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(6t2+2t) м/с, второе – со скоростью v=(4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?
Практическая работа №7 «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений»
1 2 3 4 5 6
Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Решить однородное дифференциальное уравнение Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения Решить дифференциальное уравнение второго порядка понижением Дано ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти общее решение Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
1 y’’+4y’+5y=0y(0)=-3; y’(0)=0
2 y’’-12y’+35y=0y(1)=10; y’(1)=2
3 y’’+2y’+2y=0y(0)=1; y’(0)=1
4 ctgx - y’tgy=0 y’’ –4 y’=0y(0)=0; y’(0)=8
5 (1+x2)dy+ydx=0 y(0)=0; y(0)=7
6 y2dx+(x-3)dy=0 y(0)=0; y’(0)=7
7 xy’+1=y xy+y2=(2x2+xy)y’

8 xydx=(1+x2)dy
9 3y2y’-x3=0 y(0)=1; y’(0)=3
1 2 3 4 5 6
10 (x3+1)ydx+x(y2-1)dy=0 y(0)=1; y’(0)=-6
11 x2dy + (2y-5)dx=0
; y(0)=0; y’(0)=1
12 (1+2y2)y’+2x2=3x ;
13 (3+y2)y’=2x+1 (x2+y2)dx – xy dy=0 ; y(0)=0; y’(0)=1
14 x(1+ey)dx-eydy=0 ; y(0)=1 ; y’(0)=2
15
;

Практическая работа №8 «Решение прикладных задач с применением дифференциальных уравнений»
1 2 3 4 5
1 Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из точки М (4;0) со скоростью Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=0 По Ньютону скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха. Если температура воздуха 20°C, и тело в течении 20 минут охладилось от 100°C до 60°C, то через сколько времени t° тела станет равной 30°C? Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент t=120с, если при t=0 он вращался со скоростью 12рад/c, а при t=10c его скорость стала равна 8рад/c Определить путь S, пройденный телом за время t, если его скорость пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100 м за 10 сек. и 20 м за 15 сек.. 2 Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=1, s=0 Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 20°С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждается от 100° до 60°С. Определить закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени t. Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения. Установлено, что трение пропорционально угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент t = 180с, если при t = 0 он вращался со скоростью = 20 рад/с, а при t = 20c. его скорость стала равной 10 рад/с. Популяция бактерий x(t) растет так, что скорость ее роста в момент времени t (t-часы) равна одной десятой от размера популяции. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Чему равен размер популяции спустя 10 часов, если начальное условие x(0) = 1000?
3 Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;5), если угловой коэффициент касательной в любой её точке равен ординате этой точке
Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=1 Скорость охлаждения, какого – либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела Т и температурой Т0. Если температура воздуха равна 200 С и тело в течение 20 минут охлаждается от 1000 С до 600 С, то через сколько времени его температура понизится до 300 С? Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости. В какой момент времени скорость вращения диска окажется равной 2рад/с, если при t = 0 он вращается со скоростью 20рад/с, а при t=8 со скоростью 16 рад/сДаны функции спроса q(p) и предложения s(p) на некоторый товар. Найти функцию p(t) равновесной цены при заданном начальном условии

4 Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0; 5), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой точке ее равен ординате этой точки, увеличенной в 7 раз Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=1 Скорость охлаждения сырья при замораживании в морозильном аппарате пропорциональна разности между температурой сырья и температурой воздуха. Температура в аппарате равна -50°С. Известно, что в течение первых 0,5 часа сырьё охлаждается от 20°С до 0°С. Определить закон изменения температуры Т сырья в зависимости от времени t. Какова температура сырья спустя час после начала охлаждения? Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения. Установлено, что трение пропорционально угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент t = 180с, если при t = 0 он вращался со скоростью = 20 рад/с, а при t = 20c. его скорость стала равной 10 рад/с.
Концентрация лекарственного вещества в крови животного уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,3 мг/л, а через 10 часов уменьшилась вдвое.
5 Найти закон движения тела по оси Оy, если оно начало двигаться из точки М (0;6) со скоростью Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=0 Скорость охлаждения тела при воздушном замораживании пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна -35°С. Известно, что в течение первого часа тело охлаждается от 20°С до 0°С. Определить закон изменения температуры тела в зависимости от времени. Какова температура тела спустя 2 часа после начала охлаждения? Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент t=120с, если при t=0 он вращался со скоростью 12рад/c, а при t=10c его скорость стала равна 8рад/c Даны функции спроса q(p) и предложения s(p) на некоторый товар. Требуется найти функцию p(t) равновесной цены при заданном начальном условии

1 2 3 4 5
6 Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2;-1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=0 Вода в открытом резервуаре с начала имела температуру 70°,а через 10 минут температура воды стала 65° ,температура окружающей резервуар среды 15°,определить момент времени когда температура воды в резервуаре станет равная 20°. Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти в какой момент времени он будет вращаться со скоростью 1рад/c?, если при t=0 он вращался со скоростью 12рад/c, а при t=10c его скорость стала равна 8рад/c Численность населения x(t) некоторого острова удовлетворяет уравнению:
где время t измеряется в годах. В начальный момент времени население составляло 10000 чел. Через сколько лет население возрастет в 5 раз?
7 Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из точки М (5;0) со скоростью Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=1, s=0 Температура воздуха равна 20°,тело охлаждается за 40 минут от 80° до 30° какую температуру будет иметь тело через 30 минут после первоначального измерения ?Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости. В какой момент времени скорость вращения диска окажется равной 2рад/с, если при t = 0 он вращается со скоростью 20рад/с, а при t=8 со скоростью 16 рад/сРост числа жителей некоторого района описывается уравнением:
где M – максимально возможное число жителей для данного района.
В начальный момент времени число жителей составляло 2% отмаксимального. Через какой промежуток времени число жителей составит 80% от максимального?
8 Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=1 В комнате, где температура 20°, некоторое тело остыло за 20 минут от 100° до 60°.Найти закон охлаждения тела. Через сколько минут оно остынет до 30° Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти в какой момент времени он будет вращаться со скоростью 1рад/c?, если при t=0 он вращался со скоростью 12рад/c, а при t=10c его скорость стала равна 8рад/c Даны функции спроса и предложения на некоторый товар. Требуется найти функцию p(t) равновесной цены при заданном начальном условии
9 Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;5), если угловой коэффициент касательной в любой её точке равен удвоенной ординате этой точке
Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=1 По Ньютону скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха. Если температура воздуха 20°C, и тело в течении 10 минут охладилось от 100°C до 60°C, то через сколько времени t° тела станет равной 40°C? Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент t=120с, если при t=0 он вращался со скоростью 12рад/c, а при t=10c его скорость стала равна 8рад/c Найти зависимость численности населения N от времени t, если известно, что скорость прироста dN численности населения зависит от его количества N в данный момент времени t. Пусть в начальный момент t=0 эта величина равна N0.
10 Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;7), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой точке ее равен ординате этой точки, увеличенной в 5 раз Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=0 Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 22°С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждается от 100° до 50°С. Определить закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени t. Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения. Установлено, что трение пропорционально угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент t = 180с, если при t = 0 он вращался со скоростью = 20 рад/с, а при t = 20c. его скорость стала равной 10 рад/с. Даны функции спроса q(p) и предложения s(p) на некоторый товар. Требуется: a) найти функцию p(t) равновесной цены при заданном начальном условии

1 2 3 4 5
11 Найти закон движения тела по оси Оy, если оно начало двигаться из точки М (0;5) со скоростью Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=0 Скорость охлаждения тела при воздушном замораживании пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна -35°С. Известно, что в течение первого часа тело охлаждается от 20°С до 0°С. Определить закон изменения температуры тела в зависимости от времени. Какова температура тела спустя 4 часа после начала охлаждения? Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости. В какой момент времени скорость вращения диска окажется равной 2рад/с, если при t = 0 он вращается со скоростью 20рад/с, а при t=8 со скоростью 16 рад/сИмеется 100 литров рассола, содержащего 10кг растворённой соли. В резервуар, в котором помещается рассол втекает вода со скорость 3л/мин и смесь вытекает из него с такой же скоростью, причём концентрация поддерживается равномерной путём помешивания. Сколько соли будет содержать рассол по истечении часа?
12 Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2;1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=1, s=0 Скорость охлаждения, какого – либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела Т и температурой Т0. Если температура воздуха равна 200 С и тело в течение 20 минут охлаждается от 1000 С до 600 С, то через сколько времени его температура понизится до 250 ?Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти в какой момент времени он будет вращаться со скоростью 1рад/c?, если при t=0 он вращался со скоростью 12рад/c, а при t=10c его скорость стала равна 8рад/c Определить путь, пройденный телом за время t, если его скорость пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100м за 10с и 20м – за 15с.
13 Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из точки М (5;0) со скоростью Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=1 В комнате, где температура 20°, некоторое тело остыло за 20 минут от 90° до 60°.Найти закон охлаждения тела. Через сколько минут оно остынет до 40° Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент t=120с, если при t=0 он вращался со скоростью 12рад/c, а при t=10c его скорость стала равна 8рад/c Численность населения x(t) некоторого поселка удовлетворяет дифференциальному уравнению:

где время t измеряется в годах. В начальный момент времени население составляло 1000 чел. Через сколько лет население возрастет в 4 раза?
14 Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2;3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=1 Температура воздуха равна 20°,тело охлаждается за 40 минут от 80° до 30° какую температуру будет иметь тело через 30 минут после первоначального измерения ?Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения. Установлено, что трение пропорционально угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент t = 180с, если при t = 0 он вращался со скоростью = 20 рад/с, а при t = 20c. его скорость стала равной 10 рад/с. Имеется 50 литров раствора, содержащего 10кг соли, остальная часть воды. В резервуар, в котором помещается раствор втекает вода со скорость 2л/мин и смесь вытекает из него с такой же скоростью, причём концентрация поддерживается равномерной путём помешивания. Сколько соли будет содержать рассол по истечении двух часов?
15 Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;5), если угловой коэффициент касательной в любой её точке равен абсциссе этой точке
Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=0, s=1 Вода в открытом резервуаре с начала имела температуру 70°,а через 10 минут температура воды стала 65° ,температура окружающей резервуар среды 15°,определить температуру воды в резервуаре через 30 минут от начального момента
Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости. В какой момент времени скорость вращения диска окажется равной 2рад/с, если при t = 0 он вращается со скоростью 20рад/с, а при t=8 со скоростью 16 рад/сКонцентрация лекарственного вещества в крови животного уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое.
Практическая работа №9 «Определение сходимости рядов»
Исследуйте числовые ряды на сходимость Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость Найдите интервал сходимости степенного ряда Разложите функцию в ряд Маклорена1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
11
12
13
14

15
Практическая работа №10 «Выполнение операций над множествами и графами»
1 2 3
Дано универсальное множество,
а также множества А, В, С.
Построить диаграммы Эйлера-Венна.
Найти множества (а) - (г) Решить задачу с использованием диаграммы Эйлера-Венна Найти Гамильтонов путь
от вершины 1
к вершине 5
1



В студенческом потоке 37 человек хорошо знают математику, а 25 человек – электротехнику, и 19 человек хорошо знают и математику и электротехнику. Если в потоке каждый из студентов знает хотя бы один из этих предметов, то сколько студентов в потоке?
2



Из 250 студентов 151 изучают немецкий язык, 136 – французский язык, 27 – итальянский, 63 – французский и немецкий, 7 – итальянский и французский, 11 – немецкий и итальянский, 4 – все три языка. Сколько студентов изучают немецкий или французский язык?
3



В отчете о количестве студентов, изучающих иностранные языки, сообщалось, что из 100 студентов все три языка изучают 5 человек, немецкий и английский – 10 человек, французский и английский – 8 человек, немецкий и французский – 20 человек, английский – 30, немецкий – 23, французский – 50. Инспектор, представивший этот отчет, был отстранен от работы. Почему?
4



Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по математике, физике, химии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и химии –25 студентов, спецкурс только по физике – 80 студентов. Известно также, что спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике – 145, по химии – 100 студентов. Сколько студентов посещают спецкурс только по химии?
5




Экзамен по математике содержал три задачи: по алгебре, геометрии и тригонометрии. Из 800 абитуриентов задачу по алгебре решили 250 человек; по алгебре или геометрии – 660 человек; по две задачи решили 400 человек, из них две задачи по алгебре и и геометрии решили 150 человек, по алгебре и тригонометрии – 50 человек; ни один абитуриент не решил все задачи; 20 абитуриентов не решили ни одной задачи; только по тригонометрии задачи решили 120 человек. Сколько абитуриентов решили задачи по тригонометрии?
6



На курсах иностранных языков учится 600 человек. Из них французский изучают 220 человек, английский – 270 человек. Слушатели, изучающие английский язык, не изучают немецкий язык; один французский язык изучают 100 человек, один немецкий язык изучают 180 человек. Сколько человек изучает один иностранный язык?
1 2 3
7




Группа студентов из 25 человек сдала экзаменационную сессию со следующими результатами: 2 человека получили только “отлично”; 3 человека получили отличные, хорошие и удовлетворительные оценки; 4 человека только “хорошо”; 3 человека только хорошие и удовлетворительные оценки. Число студентов, сдавших сессию только на “удовлетворительно”, равно числу студентов, сдавших сессию только на “хорошо” и “отлично”. Студентов, получивших только отличные и удовлетворительные оценки – нет. Удовлетворительные или хорошие оценки получили только 22 студента. Сколько студентов сдали сессию только на “удовлетворительно”?
8



На кафедре иностранных языков работают 18 преподавателей. Из них 12 преподают английский язык, 11 – немецкий язык, 9 – французский язык. 5 преподавателей преподают английский и немецкий языки, 4 – английский и французский, 3 – немецкий и французский. Сколько преподавателей преподают все три языка?
9




Каждый из 500 студентов обязан посещать хотя бы один из трех спецкурсов: по математике, физике, химии. Три спецкурса посещают 10 студентов, по математике и химии –25 студентов, спецкурс только по физике – 80 студентов. Известно также, что спецкурс по математике посещают 345 студентов, по физике – 145, по химии – 100 студентов. Сколько студентов посещают два спецкурса?
10



Экзамен по математике содержал три задачи: по алгебре, геометрии и тригонометрии. Из 750 абитуриентов задачу по алгебре решили 400 абитуриентов, по геометрии – 480, по тригонометрии – 420. Задачи по алгебре или геометрии решили 630 абитуриентов; по геометрии или тригонометрии – 600 абитуриентов; по алгебре или тригонометрии – 620 абитуриентов. 100 абитуриентов не решили ни одной задачи. Сколько абитуриентов решили только одну задачу?
11



Среди 100 деталей прошли обработку на первом станке 42 штуки, на втором – 30 штук, а на третьем – 28. Причем на первом и втором станках обработано 5 деталей, на первом и третьем – 10 деталей, на втором и третьем – 8 деталей, на всех трех станках обработано три детали. Сколько деталей обработано на первом станке и сколько деталей не обработано ни на одном из станков?
12



На курсах иностранных языков учится 600 человек. Из них французский изучают 220 человек, английский – 270 человек. Слушатели, изучающие английский язык, не изучают немецкий язык; один французский язык изучают 100 человек, один немецкий язык изучают 180 человек. Сколько человек изучает по два иностранных языка?
13




Из 250 студентов 151 изучают немецкий язык, 136 – французский язык, 27 – итальянский, 63 – французский и немецкий, 7 – итальянский и французский, 11 – немецкий и итальянский, 4 – все три языка. Сколько студентов изучают только итальянский язык?
14



Экзамен по математике содержал три задачи: по алгебре, геометрии и тригонометрии. Из 750 абитуриентов задачу по алгебре решили 400 абитуриентов, по геометрии – 480, по тригонометрии – 420. Задачи по алгебре или геометрии решили 630 абитуриентов; по геометрии или тригонометрии – 600 абитуриентов; по алгебре или тригонометрии – 620 абитуриентов. 100 абитуриентов не решили ни одной задачи. Сколько абитуриентов решили все задачи?
Практическая работа №11 «Нахождение вероятности событий»
1 2 3 4 5 6 7
1 Из 5000 взятых наугад деталей 32 бракованных. Извлекается 1 деталь. Какова вероятность того, что взяли деталь без брака?
В группе 15 студентов, из них 7 девушек. Группе нужно послать 5 человек на собрание. Какова вероятность того, что пойдут 2 юношей и 3 девушки
Данное предприятие в среднем дает 11% продукции высшего сорта и 80% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта В мастерской два мотора работают, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,9, для второго мотора эта вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера Литьё на болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго, при этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха - 20% Найти вероятность того, что одна взятая на удачу болванка не имеет дефектов Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены: а) два электродвигателя; б) хотя бы один электродвигатель; в) три электродвигателя
2 Для контроля качества продукции из партии готовых изделий выбирают для проверки 100 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 8 деталей. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие будет качественным? Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Какова вероятность того, что в делегацию попадут 2 женщины и 1 мужчина? Студент сдаёт экзамен по математике. Вероятность получить на экзамене «неуд» равна 0,1, «уд» - равна 0,5, «хор» - 0,3, «отл» - 0,1. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен
Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8, и для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа все станки потребуют внимания рабочего На склад поступили детали с трёх станков, на первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором 35% и на третьем 25%, причём на первом станке было изготовлено 90% процентов деталей первого сорта, на втором - 80% и на третьем - 70%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь окажется первого сорта?В цеху имеются 3 резервных мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он включён, равна 0,2. Найти вероятность того, что в данный момент выключены 2 мотора
Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий - 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя: а) не менее двух станков; б) два станка; в) три станка.
3 Среди 500 изделий, подвергавшихся термической обработке, в среднем 430 высшего сорта. Найти вероятность извлечения не высококачественного изделия В партии из 20 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих деталей две окажутся бракованными
Студент сдаёт экзамен по математике. Вероятность получить на экзамене «неуд» равна 0,1, «уд» - равна 0,6, «хор» - 0,2, «отл» - 0,1. Какова вероятность того, что студент хорошо сдаст экзамен
Прибор, работающий в течение суток, состоит из 3 узлов, каждый из которых, независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,8, второго – 0,95, третьего – 0,85. Найти Р того, что в течение суток прибор будет работать безотказно В ящике сложены детали.16 деталей с первого участка, 24 со второго и 20 - с третьего, вероятность того, что деталь изготовленная на втором участке, отличного качества равно 0,6, а для деталей изготовленных на первом и третьих участках вероятности равы 0,8, найти вероятность того, что на удачу извлечённая деталь отличного качества В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент 10 моторов работают с полной нагрузкой На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго - 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления: а) трех препятствий; б) не менее двух препятствий; в) двух препятствий
1 2 3 4 5 6 7
4 Студент знает 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что предложенный вопрос студент не знает?
Из трёх юношей и двух девушек выбирается комиссия из трёх человек. Какова вероятность того, что в комиссию попадут одна девушка и два юноши?
Мастер обслуживает 5 станков. 30% рабочего времени он проводит у первого станка, 20 – у второго, 15 – у третьего, 25 – у четвертого и, наконец, 10 % – у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится у первого или третьего станка Прибор, работающий в течение суток, состоит из 3 узлов, каждый из которых, независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,9, второго – 0,95, третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Известно, что станки первого типа производят 0,94 деталей отличного качества, второго- 0,9, третьего - 0,85.Все детали в пересортированном виде сложены на складе. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь отличного качества, если станков первого типа 5 штук, второго 3 штуки, третьего 3 штуки? В цеху 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено 4 мотора
Для аварийной сигнализации установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7. Найти вероятность того, что при аварии: а) сработают оба сигнализатора; б) не сработает ни один сигнализатор; в) сработает хотя бы один сигнализатор
5 При передаче сообщения в среднем происходит искажение трёх знаков из 100. Найти вероятность того, что сообщение будет принято без искажения
В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными
Данное предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта
Участок электрической цепи состоит из трёх элементов, каждый из которых работает независимо от двух других. Элементы не выходят из строя за определённый промежуток времени соответственно с вероятностью . Определить вероятность нормальной работы всего участка В ящике сложены детали.16 деталей с первого участка, 24 со второго и 20 - с третьего, вероятность того, что деталь изготовленная на втором участке, отличного качества равно 0,6, а для деталей изготовленных на первом и третьих участках вероятности равы 0,8, найти вероятность того, что на удачу извлечённая деталь отличного качества Вероятность допустить ошибку сверх требуемой точности при одном измерении данным прибором равна 0,2. Найдите вероятность того, что при 10 измерениях этим же прибором число измерений с подобными ошибками будет равно трём В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, соответственно равны: 0,9; 0,8; 0.7. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) две камеры; б) не более одной камеры; 3) три камеры.
6 Из 2000 взятых наугад изделий 5 бракованных. Извлекается 1 изделие. Какова вероятность того, что взяли изделие без брака?
Из 10 железобетонных конструкций две высокого качества. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти конструкций две высокого качества В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек 50%, красных – 20, зеленых – 20, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей
Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст все экзамены
На сборку попадают детали с трёх станков автоматов, известно, что первый автомат даёт 3% брака, второй - 0,2,третий - 0,4. найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000,со второго 2000 и с третьего 2500 деталей Продукция, поступающая из цеха в ОТК, не удовлетворяет условиям стандарта в среднем в 8 % случаев. Найти вероятность того, что из наугад взятых семи изделий не удовлетворяют условиям стандарта шесть изделий В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них соответственно равны: 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя: а) не менее двух радиоламп; б) ни одной радиолампы; в) одна радиолампа?
1 2 3 4 5 6 7
7 Из партии готовых изделий выбирают для проверки 200 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 8 деталей. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие будет качественным?
В партии из 20 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 3 стандартных
В ящике с деталями оказалось 300 деталей первого сорта, 200 деталей второго и 50 деталей третьего сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь второго или третьего сорта Из трёх станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки на протяжении одного часа составляет для первого станка 0,21, для второго - 0,15 и для третьего - 0,12. Какова вероятность бесперебойной работы всех трёх станков на протяжении одного часа?
Электролампы изготавливаются на 3-х заводах,1 завод производит 45% процентов общего количества электроламп, второй - 40%,третий - 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80%,третьего- 81%, в магазины поступает продукция со всех трёх заводов, какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной? Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров 36 выдержат гарантийный срок.
Первый рабочий изготавливает 40 % изделий второго сорта, а второй – 30 %. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что: а) все четыре изделия – второго сорта; б) хотя бы три изделия второго сорта; в) менее трех изделий - второго сорта.
8 Студент знает 23 вопроса из 30. Какова вероятность того, что предложенный вопрос студент не знает?
В группе 25 студентов, из них 8 девушек. Группе нужно послать 5 человек на собрание. Какова вероятность того, что пойдут 2 юношей и 4 девушки
Студент сдаёт экзамен по математике. Вероятность получить на экзамене «неуд» равна 0,1, «уд» - равна 0,6, «хор» - 0,2, «отл» - 0,1. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен
В мастерской два мотора работают, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,8, для второго мотора эта вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера Литьё на болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго, при этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха - 20% Найти вероятность того, что одна взятая на удачу болванка не имеет дефектов 30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность, что 4 из них высшего сорта Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, – высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что высшего качества будут: а) все подшипники; б) два подшипника; в) хотя бы один подшипник?
9 При передаче сообщения в среднем происходит искажение 2-х знаков из 50. Найти вероятность того, что сообщение будет принято без искажения В группе 20студентов, среди которых 6 отличников. По списку наудачу выбирают 5 студентов. Какова вероятность того, что среди них 3 отличника? В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек 50%, красных – 20, зеленых – 20, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или красной Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течении часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,9, а для второго автомата эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что в течении часа ни один из автоматов не потребует внимания рабочего На склад поступили детали с трёх станков, на первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором 35% и на третьем 25%, причём на первом станке было изготовлено 90% процентов деталей первого сорта, на втором - 80% и на третьем - 70%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь окажется 1сорта?Станок состоит из 2000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна 0,0005. Найти вероятность отказа в течение года двух узлов В коробках находятся детали: в первой-20, из них 13 стандартных; во второй – 30, из них 26 стандартных. Из каждой коробки наугад берут по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся нестандартными; б) хотя бы одна деталь нестандартная; в) обе детали стандартные
1 2 3 4 5 6 7
10 По статистике, на каждые 1 000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?
В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу выбирают 5 студентов. Какова вероятность того, что среди них 3 отличника?
В ящике с деталями оказалось 400 деталей первого сорта, 200 деталей второго и 50 деталей третьего сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь первого, второго или третьего сорта Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течении часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что в течении часа ни один из автоматов не потребует внимания рабочего На склад ежедневно поступают детали с 3-х предприятий, с первого 30 деталей, со второго - 20 и с третьего - 40. Установлено что 2, 4 и 5% продукции этих предприятий соответственно имеют дефекты. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что через некоторое время только 8 приборов будут работать
В ящике 50% деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 % – на заводе № 2 и 30 % – на заводе № 3. Наугад взято три детали. Найти вероятность того, что: а) все три детали – с завода № 1; б) хотя бы две детали – с завода № 1; в) все три детали – с разных заводов.
11 Среди 200 изделий, подвергавшихся термической обработке, в среднем 180 высшего сорта. Найти вероятность извлечения не высокосортного изделия В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных
Мастер обслуживает 5 станков. 20% времени он проводит у первого станка, 10 – у второго, 15 – у третьего, 25 – у четвертого и, наконец, 30 % – у пятого. Найти Р того, что в наудачу выбранный момент времени он находится у 1или 3 станка Из трёх станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки на протяжении одного часа составляет для первого станка 0,2, для второго - 0,15 и для третьего - 0,12. Какова вероятность бесперебойной работы всех трёх станков на протяжении одного часа?
Электролампы изготавливаются на 3-х заводах,1 завод производит 45% процентов общего количества электроламп, второй - 40%,третий - 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80%,третьего- 81%, в магазины поступает продукция со всех трёх заводов, какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной? После зубофрезеровки шестерен у рабочего в среднем получается 20 % нестандартных шестерен. Найти вероятность того, что среди взятых шести шестерен нестандартных будет три
Первый станок-автомат дает 1 % брака, второй – 1,5%, а третий – 2%. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартными окажутся: а) три детали; б) две детали; в) хотя бы одна деталь?
12 В ящике 80 деталей, из них 23 окрашенных. Наугад извлекается одна деталь. Найти вероятность, что деталь окажется не окрашенной
Из трёх юношей и пяти девушек выбирается комиссия из трёх человек. Какова вероятность того, что в комиссию попадут одна девушка и два юноши?
В ящике с деталями оказалось 300 деталей первого сорта, 200 деталей второго и 50 деталей третьего сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь первого, второго или третьего сорта При изготовлении детали заготовка должна пройти через 4 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событием независимым, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02, на второй – 0,01, на третьей – 0,02, на четвертой – 0,03.
Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причём первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй 35%,третий 40%.В продукции первого рабочего брак составляет 5%,в продукции второго 4%,третьего-2%,.Найти вероятность того, что случайно выбранная для контроля деталь окажется бракованная При обработке деталей на станке в среднем 4% из них бывают с дефектами. Какова вероятность того, что каждые две детали из 30 взятых на проверку окажутся с дефектами Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6, четвертого – 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают: а) все четыре блока; б) три блока; в) не менее трех блоков
1 2 3 4 5 6 7
13 По статистике, на каждые 1 000 лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Собрание, на котором присутствует 30 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 4 человек. Какова вероятность того, что в делегацию попадут 3 женщины и 1 мужчина? Данное предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 65% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта
Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго – 0,87, и для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа все станки потребуют внимания рабочего
На склад ежедневно поступают детали с 3-х предприятий, с первого 30 деталей, со второго - 20 и с третьего - 40. Установлено что 2, 4 и 5% продукции этих предприятий соответственно имеют дефекты. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна Вероятность приёма радиосигнала при каждой передаче равна 0,8. Найти вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят ровно 4 раза
На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок дает 20%, второй – 30%, третий – 50 % однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей: а) три с разных станков; б) хотя бы одна с третьего станка; в) две со второго станка
14 Для контроля качества продукции из партии готовых изделий выбирают для проверки 200 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 6 деталей. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие будет качественным?
Среди 25 студентов группы, из которых 12 девушек, разыгрывается 3 билета. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 1 юноша?
Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у первого станка, 10 – у второго, 15 – у третьего, 25 – у четвертого и, наконец, 30 % – у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится у второго или третьего станка При изготовлении детали заготовка должна пройти через 4 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событием независимым, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,03, на второй – 0,01, на третьей – 0,02, на четвертой – 0,03.
В цехе 3 типа автоматических станков производят одни и те же детали, производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки I типа производят 0,94 деталей отличного качества, II - 0,9, III - 0,85.Все, произведённые в цехе за смену детали в пересортированном виде сложены на складе. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь отличного качества, если станков первого типа 5 штук, II - 3 штуки, III - 3 штуки? Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет На трёх станках обрабатываются однотипные детали. Появление бракованной детали для станка № 1 составляет 3 %, для станка № 2 – 4 %, - 2 №3- 2 %. С каждого станка взяли по одной детали. Найти вероятность того, что: а) все детали стандартные; б) хотя бы одна деталь стандартная; в) две детали нестандартные
15 В ящике 50 деталей, из них 15 окрашенных. Наугад извлекается 1 деталь. Найти вероятность, что деталь окажется не окрашенной Среди 30 студентов группы, из которых 12 девушек, разыгрывается 3 билета. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 юноши? В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек 40%, красных – 20, зеленых – 30, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей Участок электрической цепи состоит из трёх элементов, каждый из которых работает незави- симо от двух других. Элементы не выходят из строя за определённый промежуток времени соответственно с вероятностью -0,8, 0,7, 0,9. Определить вероятность нормальной работы всего участка Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причём первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй 35%,третий 40%.В продукции первого рабочего брак составляет 5%,в продукции второго 4%,третьего-2%,.Найти вероятность того, что случайно выбранная для контроля деталь окажется бракованная Прибор состоит из 12 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,4. Найти вероятность того, что что откажут 7 узлов В первом ящике 20 деталей, 15 из них – стандартные, во втором ящике 30 деталей, 25 из них - стандартные. Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что: а) обе детали будут стандартными; б) хотя бы одна деталь стандартная; в) обе детали нестандартные?
Практическая работа №12 «Нахождение функции распределения и
числовых характеристик дискретной случайной величины»
Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) X и её функцию распределения F(x).
Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х).
Построить график функции распределения Дан закон распределения случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики
1 2 3
1 Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1 Вероятность того, что деталь с первого авто мата удовлетворяет стандарту, равна 0,9, для второго автомата – 0,8, для третьего – 0,7. СВ X – число дета лей, удовлетворяющих стандарту, при условии, что с каждого автомата взято наугад по одной детали Х 0,21 0,52 0,63 0.14
Р0,1 0,4 р0.3
2 В цеху имеются 4 резервных мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он включён, равна 0,2. СВ X – число выключенных моторов Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока каждого из трех узлов прибора соответственно равны: 0,2; 0,3; 0,1. СВ X – число узлов, вышедших из строя в течение гарантийного срока Х 0,21 0,52 0,63 0.14
Р0,1 0,4 р0.3
3 Вероятность выхода из строя каждого из трех блоков прибора в течение гарантийного срока равна 0,3. СВ X – число блоков, вышедших из строя в течение гарантийного срока Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 – 0,8, для СУ-3 – 0,7. СВ X - число СУ, перевыполнивших план Х 2 4 6 8
Р0,2 р0,1 0.3
4 Проводятся 4 независимых измерения исследуемого образца. Вероятность допустить ошибку в каждом измерении равна 0,01. СВ X – число ошибок, допущенных в измерениях. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для приборов первого типа равна 0,9, второго типа – 0,7, третьего типа – 0,8. СВ X – число приборов, проработавших гарантийный срок, среди трех приборов разных типов. Х 3,2 5,2 8,1 4.5
Рр0,3 0,2 0.1
5 Вероятность отказа прибора за время испытания на надежность равна 0,2. СВ X – число при боров, отказавших в работе, среди трёх испытываемых Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность выхода из строя в течение смены для первого станка равна 0,6, для второго – 0,5, для третьего - 0,4, для четвертого – 0,5. СВ X – число станков, вышедших из строя за смену Х 23 45 76 34
Р0,5 0,1 0,1 р6 90% панелей, изготовляемых на железобетонном заводе, – высшего сорта. СВ X – число пане лей, высшего сорта из четырёх, взятых наугад Вероятность успешной сдачи первого экзамена для данного студента равна 0,9, второго экзамена - 0,8, третьего – 0,7. СВ X – число сданных экзаменов. Х 6 2 4 5
Р0,1 0,5 р0.1
7 Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из трёх студентов равна 0,8. СВ X – число студентов, сдавших экзамен В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. СВ X – число включенных электродвигателей Х 12 23 34 45
Рр0,4 0,1 0.2
1 2 3
8 При обработке деталей на станке в среднем 4% из них бывают с дефектами. На проверку взяли три детали. СВ Х - число деталей с дефектами Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий - 0,3. СВ X – число станков которые выйдут из строя в течении смены Х 0,2 0,7 0,3 0.5
Р0,1 р0,5 0.3
9 Вероятность поступления вызова на АТС в течение 1 мин равна 0,4. СВ X – число вызовов, посту пивших на АТС за 4 мин В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них соответственно равны: 0,3; 0,2; 0,4. СВ X – число радиоламп, которые выйдут из строя течение гарантийного срока Х 110 230 450 280
Р0,1 0,4 0,2 р10 Вероятность выпуска прибора, удовлетворяющего требованиям качества, равна 0,9. В контрольной партии 4 прибора. СВ X – число приборов, удовлетворяющих требованиям качества. Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6, четвертого – 0,4. СВ X – число блоков, которые проработают в течение заданного времени ТХ 0,1 0,2 0,3 0.4
Рр0,1 0,2 0.3
11 Вероятность допустить ошибку сверх требуемой точности при одном измерении данным прибором равна 0,2. Произведено три измерения. СВ X – число измерений этим прибором Первый станок-автомат дает 1 % брака, второй – 1,5%, а третий – 2%. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. СВ X – число стандартных деталей Х 21 52 63 14
Р0,5 р0,1 0.1
12 Устройство состоит из 4 независимо работающих элементов. Вероятность бесперебойной работы каждого элемента в 1 опыте равна 0,9. СВ Х - число отказавших элементов в одном опыте На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок дает 20%, второй – 30%, третий – 50 % однотипных деталей, поступающих на сборку. СВ X – число взятых однотипных деталей Х 2 4 6 8
Р0,2 р0,1 0.3
13 Прибор состоит из трёх узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,4. СВ Х - число отказавших узлов в приборе Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, – высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. СВ X – число подшипников высшего качества Х 3,2 5,2 8,1 4.5
Рр0,3 0,2 0.1
14 Продукция, поступающая из цеха в ОТК, не удовлетворяет условиям стандарта в среднем в 8 % случаев. СВ X – число изделий не удовлетворяют условиям стандарта среди четырёх испытываемых В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, соответственно равны: 0,9; 0,8; 0.7. СВ X – число включенных камер
Х 12 23 34 45
Рр0,4 0,1 0.2
15 Выход из строя коробки передач происходит по трем основным причинам: поломка зубьев шестерен, недопустимо большие контактные напряжения и излишняя жесткость конструкции. Каждая из причин приводит к поломке коробки передач с одной и той же вероятностью, равной 0,1. СВ X – число причин, приведших к поломке в одном испытании Для аварийной сигнализации установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7. СВ X – число сигнализаторов, срабатываемых при аварии Х 0,2 0,7 0,3 0.5
Р0,1 р0,5 0.3
Практическая работа №13 «Обработка статистических данных»
В результате эксперимента была получена последовательность данных, составляющих выборочную совокупность наблюдений над случайной величиной X.
По выборочным данным требуется:
определить объем и размах выборки
определить моду и медиану
составить вариационный ряд
составить статистическое распределение частот и относительных частот
построить эмпирическую функцию распределения
построить полигон частот и относительных частот
построить гистограмму частот и относи тельных частот
найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю; выборочную дисперсию; выборочное среднее квадратическое отклонение
1 88 94 91 98 87 88 86 89 86 82 82 86 81 87 89 89 81 81 90 89 84 91 87 83 90 89 100 96 99 94
2 82 86 81 87 89 89 81 81 90 89 84 91 87 83 90 89 100 96 99 94 93 86 81 83 84 92 93 85 84 88
3 84 91 87 83 90 89 100 96 99 94 93 86 81 83 84 92 93 85 84 88 83 87 87 81 95 90 89 95 96 84
4 93 86 81 83 84 92 93 85 84 88 83 87 87 81 95 90 89 95 96 84 82 89 88 83 90 92 80 81 85 81
5 83 87 87 81 95 90 89 95 96 84 82 89 88 83 90 92 80 81 85 81 84 96 86 94 85 92 89 85 94 96
6 82 89 88 83 90 92 80 81 85 81 84 96 86 94 85 92 89 85 94 96 88 89 89 85 92 91 90 95 84 91
7 84 96 86 94 85 92 89 85 94 96 88 89 89 85 92 91 90 95 84 91 91 84 83 83 85 85 86 83 86 96
8 88 89 89 85 92 91 90 95 84 91 91 84 83 83 85 85 86 83 86 96 81 85 92 84 90 82 90 93 89 87
9 91 84 83 83 85 85 86 83 86 96 81 85 92 84 90 82 90 93 89 87 92 96 86 95 91 86 94 95 84 96
1-8
10 81 85 92 84 90 82 90 93 89 87 92 96 86 95 91 86 94 95 84 96 87 85 93 96 97 84 88 93 92 89
11 88 94 91 98 87 88 86 89 86 82 84 91 87 83 90 89 100 96 99 94 93 86 81 83 84 92 93 85 84 88
12 88 94 91 98 87 88 86 89 86 82 93 86 81 83 84 92 93 85 84 88 83 87 87 81 95 90 89 95 96 84
13 84 96 86 94 85 92 89 85 94 96 91 84 83 83 85 85 86 83 86 96 81 85 92 84 90 82 90 93 89 87
14 91 84 83 83 85 85 86 83 86 96 92 96 86 95 91 86 94 95 84 96 87 85 93 96 97 84 88 93 92 89
15 86 94 91 98 87 88 86 89 86 82 84 96 86 94 85 92 89 85 94 96 91 84 83 83 85 85 86 83 86 96
Практическая работа №14 «Вычисления интегралов численными методами»
1 2
Вычислите определённый интеграл: а) точно по формуле Ньютона-Лейбница
б) приближенно по формуле прямоугольников
в) приближенно по формуле трапеций
г) приближенно по формуле Симпсона
Приближёнными методами считать при n=10. Результаты округлите до тысячных. Сравнить полученные результаты, вычислив абсолютную и относительную погрешности. Сделать вывод о наиболее точном приближении Вычислить определенный интеграл:
по формуле прямоугольников. Оценить погрешность вычислений
по формуле трапеций. Оценить погрешность вычислений
по формуле Симпсона с точностью до тысячных
Сделать вывод о наиболее точном приближении
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2
9
10
11
12
13
14
15
Практическая работа №15 «Нахождение производных численными методами»
1 2
Составить таблицу конечных разностей функции, заданной аналитически от начального значения х0 до конечного значения х7, приняв шаг h Для функции заданной таблично найти
аналитическое выражение первой производной
1 y=x3-x2+6x-8; x0=0 h=0,2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 8 6 10 26 60 118 206 330 496
2 y=2x3-8x+2; x0=0,5 h=0,5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y -2 15 58 139 270 463 730 1083 1534
3 y=5x3-8x+4; x0=0 h=0,4 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y -1,5 16 70,5 180 362 636 1018 1528 2182
4 y=x4-2x2+1; x0=0 h=0,5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 5,5 18 40,5 76 127,5 198 290,5 408 553,5
5 y=x4-2x2+10; x0=0 h=0,2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 7 24 63 136 255 432 679 1008 1431
6 y=3x4-x2+1; x0=0 h=0,3 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 0 18 78 204 420 750 1218 1848 2664
7 y=x3-3x2-x-8; x0=1 h=0,5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 0 8 30 72 140 240 378 560 792
8 y=10x3+5x+10; x0=0 h=0,2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 2 26 102 260 530 942 1526 2312 3300
9 y=x3+x2-x-10; x0=0 h=0,1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 4 22 56 106 172 254 252 466 596
10 y=6x3-x2+x-1; x0=0 h=0,5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 8 50 162 380 740 1278 2030 3032 4320
11 y=3x4-x2+1; x0=1 h=0,5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 89 179 267 457 879 908 1002 1590 1234
12 y=x3+3x2+x-8; x0=0 h=0,5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 89 123 234 657 123 789 567 123 123
13 y=5(x-3)(x+2); x0=1 h=0,4 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 12 123 234 345 567 789 909 1234 678
14 y=x(x-1)(x+2); x0=0 h=0,3 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 1 123 231 342 543 675 786 875 987
15 y=3(x+1)(x-6); x0=0 h=0,2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 54 123 431 567 678 765 862 983 1092
Практическая работа №16 «Решение дифференциальных уравнений численными методами»
1 2
Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение.
Вычисления провести с абсолютной погрешностью,
не превышающую =0,01 Применяя метод Эйлера численно решить дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями с шагом h
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2
9
10
11
12
13
14
15