Методические рекомендации для выполнения практических работ по тема Производная функция
Методические рекомендации
для выполнения практических работ
по теме Производная функции и её приложения.
Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом видах, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя для нахождения пределов.
1. Приращение аргумента и приращение функции
Пусть дана функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Зафиксируем некоторое значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Дадим переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 произвольное приращение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функция будет иметь значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Разность между новым значением функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и ее старым значением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется приращением функции и обозначается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, приращением функции называется величина
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Понятие производной.
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 произвольная функция пере менной х. Зафиксируем некоторое значение аргумента х и вычислим соответствующее значение функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Придадим аргументу приращение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим новое значе ние 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и вычислим соответствующее приращение функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Составим отношение
13 EMBED Equation.3 1415 и рассмотрим предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Этот предел называется производной функции у = f(x) в точке х и обозначается у', у'x , f'(x) или 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, производной называется предел отношения прираще ния функции к приращению аргумента, когда приращение аргу мента стремится к нулю.
13 EMBED Equation.3 1415
Операция нахождения производной функции на зывается дифференцированием этой функции.
3. Геометрический смысл производной
Пусть функция у = f(x) имеет производную в точке x0. Тогда к графику функции в точке М0(x0, y0) можно провести касательную, уравнение которой имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
В этом уравнении 13 EMBED Equation.3 1415= tg( – где ( – угол наклона касательной к оси Ох.
Рис.2.1
Таким образом, геометрически производная есть угловой коэффициент касатель ной к кривой в рассматриваемой точке.
4. Физический смысл производной
Пусть точка движется по прямой так, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – путь, пройденный точкой к моменту времени t. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени (t от момента t до момента t+(t, равен (S = f(t+(t)–f(t). В этом случае
13 EMBED Equation.3 1415
есть средняя скорость точки за промежуток времени от t до t+(t.
Скоростью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точки в данный момент называется предел ее средней скорости за промежуток времени (t, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Из (1.2) и определения производной (1.1) следует, что 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. производная от пути по времени при прямолинейном движении есть скорость.
5. Правила вычисление производных
Справедливы следующие формулы, выражаю щие правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций, а также вычисления производной от постоянной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) Производная постоянной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равна нулю:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) Производная суммы равна сумме производных:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3) Производная произведения:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4) Постоянную можно выносить за знак производной:
13 EMBED Equation.3 1415.
Это правило является следствием правила 1) и правила 3).
Пример 3
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5). Производная частного:
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь предполагается, что рассматриваемые значения знаменателя не равны нулю.
Пример 4
13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415.
6. Производная сложной функции.
Таблица производных
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется сложной функцией от переменной x. Рассмотрим примеры сложных функций.
Пример 5
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – сложная функция переменной x.
Пример 6
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – сложная функция переменной x.
Пример 7
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – сложная функция переменной x.
Пример 8
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4
· сложная функция переменной t.
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415имеет производную по переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – по переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Рассмотрим вопрос о нахождении производной сложной функции y(u(x)) по x. Используя определение производной, последовательно получаем
13 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, если сложную функцию записать в виде цепочки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то производная от y по x вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(2.1)
Пример 9
Найти производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Положим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и по формуле (2.1) получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 10
Найти производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В таблице производных 2.1 все формулы приведены при условии, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(в формуле 14 табл. 2.1).
Таблица 2.1
1
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7. Производные высших порядков
Пусть функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана на промежутке Х и имеет на нем производную13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Производная от производной, если она существует, называется производной второго порядка (второй производной) функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, по определению 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично определяется производная 3-го порядка: 13 EMBED Equation.3 1415 Производная от производной (n–1)-го порядка называется про изводной п-го порядка или п-й производной и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, по определению
13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415.
Выполнить задания: Найдите производные следующих функций
№
Задания
№
Задания
1)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
8)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2)
(4x+1)2
9)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3)
13 EMBED Equation.3 1415
10)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4)
13 EMBED Equation.3 1415
11)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5)
13 EMBED Equation.3 1415
12)
(x2–4x+8)ex/2
6)
1–2x3
13)
(x–1)13 EMBED Equation.3 1415
7)
13 EMBED Equation.3 1415
14)
x2(2x–1)
Ответы
№
Ответы
№
Ответы
1)
13 QUOTE 141513 QUOTE 13 QUOTE 1415 1415
8)
13 EMBED Equation.3 1415
2)
8(4x+1)
9)
13 EMBED Equation.3 1415
3)
13 EMBED Equation.3 1415
10)
13 EMBED Equation.3 1415
4)
13 EMBED Equation.3 1415
11)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5)
13 EMBED Equation.3 1415
12)
13 EMBED Equation.3 1415
6)
–6x2
13)
13 EMBED Equation.3 1415
7)
13 EMBED Equation.3 1415
14)
6x2–2x
8. Правило Лопиталя
Теорема 2.1. (Теорема Лопиталя). Пусть функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дифферен цируемы в некоторой окрестности точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , кроме, быть может, самой этой точки, и g'(x)( 0 для всех х(U(х0), 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда если 13 EMBED Equation.3 1415f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415g(x) = 0 (или 13 EMBED Equation.3 1415f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415g(x) = () и существует 13 EMBED Equation.3 1415, то существует и 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Если отношение13 EMBED Equation.3 1415 в свою очередь представляет собой неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, то правило Лопиталя можно приме нять второй раз и т. д.
Пример 10
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=
= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 11
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 12
Найти 13 EMBED Equation.3 1415xlnx.
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить задания
Найти пределы, используя правило Лопиталя.
№
Задания
Ответы
1)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
-8/3
2)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
-5
3)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2
4)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1/3
5)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
log(4)/3
6)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 608Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native