Планирование к уроку алгебры на тему Логарифмические уравнения

17.12.15Урок-лекция по теме "Логарифмические уравнения. Основные методы их решения"
1 урок
Лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”.
Слайд 1.
Эпиграфом своей сегодняшней лекции я привожу слова Ричарда Олдингтона (1892 – 1962гг., английский поэт, прозаик, критик): “Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, - всё, что может сделать учитель, это указать дорожки”.
Слайд 2.
А так же – русскую народную пословицу: “Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает”.
В самом начале моей лекции я хотела бы обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Здесь возможны два подхода:
Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.
Нахождение области допустимых значений уравнения (ОДЗ). Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.
В своей лекции я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится. Следует отметить, что при решении логарифмических неравенств возможен только один из них: ОДЗ!
Основные методы решения логарифмических уравнений.
Слайд 3.
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.
Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Т. е. 
Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:
при этом 
Пример 1: 



Число 16 удовлетворяет ОДЗ, значит 16 – корень исходного уравнения.
Ответ: 16.
Слайд 4.
Пример 2: 



Проверка:   - верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.
Ответ: 4.
Пример 3: 
По определению логарифма  значит 
Ответ: 
Слайд 5.
А сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид при этом Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!
Пример 4: 
ОДЗ:.





С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.
Ответ: 2.
Как мы видим, наличие выражения с переменной в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать, не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.
Метод потенцирования.
Слайд 6.
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.
, где 
Пример 5: 
 


Проверка:
 - верно.
 - не верно.
Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.
Ответ:1.
Слайд 7.
Если же в основании – выражение с переменной, то рассуждения не меняем! В этом случае уравнение будет иметь вид
, где 
И пример такого уравнения можно разобрать на предыдущем примере 5.
Пример 6: 



Проверка:
 - верно.
 - не верно.
Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.
Ответ:1.
ОДЗ для данного уравнения выглядит следующим образом:

Мы видим, что в этом уравнении рациональнее выполнить проверку, а не искать ОДЗ. Но ещё раз повторюсь, что при решении неравенств ОДЗ находить придётся ОБЯЗАТЕЛЬНО.
Рассмотрим пример, который, на первый взгляд, не может относиться к данному типу уравнений.
Слайд 8.
Пример7: 
Сделаем замену , получим  воспользовавшись свойством логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений: ), получим уравнение которое в свою очередь замечательно решается методом потенцирования, т.е.  А это линейное уравнение, решив которое, получим 
Проверка:  - верно.
Ответ: 0.
Замечу, что часто перед применением какого-либо метода решений, необходимо преобразовать уравнение, применив различные свойства логарифмов. Предыдущий пример, тому подтверждение.
Метод подстановки.
Слайд 9.
Данный метод мы достаточно часто встречаем в математике, вспомните тригонометрические или показательные уравнения. Поэтому применение его при решении логарифмических уравнений я вам покажу на примере.
Пример 8: .В этом уравнении рациональней найти ОДЗ: 
Пусть , тогда уравнение примет вид
,


Значит  или . А это уравнения, которые мы решим, используя определение: 1) 
2) 
Мы видим, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба числа являются решениями исходного уравнения.
Ответ: 
Слайд 10.
Если в основании логарифма лежит выражение с переменной, то уравнение в общем виде будет выглядеть следующим образом:
, где 
И опять, вы сами выбираете: ОДЗ или проверка.
Пример 9: .ОДЗ:
Приведём логарифмы к одному основанию – 7, пользуясь свойством перехода к новому основанию , получим:
, выполним подстановку , получим уравнение
,


Значит,
или .


Оба числа удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 
Метод логарифмирования.
Слайд 11.
Данный метод является “обратным” методу потенцирования, т. е. мы от уравнения без логарифмов переходим к уравнению, их содержащему.
, при этом
Этот метод обычно используется, если в уравнении есть показательные функции, логарифмы – в показателе. Рассмотрим этот метод на примере.
Пример 10: 
ОДЗ: 
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
 а теперь воспользуемся свойством логарифмов , получим

Выполним подстановку , получим уравнение



Значит,
или .


Оба числа удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 3, 27.
Этот пример показывает, что при решении логарифмических уравнений, возможна комбинация нескольких методов. А значит необходимо уметь пользоваться каждым из них. Научиться этому – теперь ваша задача.
Слайд 12.
Итак, сегодня мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений:
На основании определения логарифма.
Метод потенцирования.
Метод постановки.
Метод логарифмирования.
Главным, по моему мнению, является метод, основанный на определении логарифма. Практически в каждом их других методов происходит “выход” на него. Кроме того, на примерах мы увидели, что все методы взаимосвязаны, в “чистом” виде при решении уравнений не используется ни один из них. Поэтому вам необходимо уметь пользоваться КАЖДЫМ!
Для отработки навыков решения логарифмических уравнений, я вам предлагаю следующее домашнее задание. Уравнения являются базовыми, т. е. решать их должен уметь решать каждый. Отмечу, что подборка сделана из открытого банка заданий для экзамена по математике ЕГЭ http://mathege.ru .№ п/п Уравнения Комментарии (даётся для слабых учащихся)
1 Пользуясь определением
2 Пользуясь определением
3 Потенциирование4 Потенциирование5 Потенциирование6 Потенциирование7 Применить свойства логарифмов и затем потенциировать8 Применить свойства логарифмов и затем потенциировать9 Пользуясь определением
10 Пользуясь определением, выход на показательное уравнение
11 Показательное уравнение, выход на логарифмическое
Замечание: домашнее задание распечатано на листах для каждого ученика.
Слайд 13.
2, 3 урок
Решение задач по теме “Логарифмические уравнения”. Зачёт.
Уравнения (примерные, зависит от математической подготовки учащихся).
Обязательный уровень Повышенный уровень
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9 . Найти все корни, принадлежащие отрезку . ЕГЭ, 2013
10 10 . Найти все корни, принадлежащие отрезку . ЕГЭ, 2012.
11 11
12 12
Подборка уравнений к уроку, зачёту проводится на сайтах www.fipi.ru , http://mathege.ru ,http://mathus.ru/ , http://reshuege.ru/ , http://www.math.md/school/praktikum/logr/logr.html (Виртуальная школа юного математика).
Тест к зачёту.
№ п/п Задание Ответ
1 Обязательный уровень Найдите корень уравнения . 
2 Найдите корень уравнения . 
3 Найдите корень уравнения . 
4 Найдите корень уравнения . 
5 Найдите корень уравнения . 
6 Найдите корень уравнения . 
7 Найдите корень уравнения . 
8 Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.  
9 Найдите корень уравнения.  
10 Найдите корень уравнения   
11 Повышенный уровень
(решать по выбору) Решить уравнение  log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3. Развёрнутое решение
12 Решить уравнение log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2. 13 Решить уравнение 16log4(1 - 2x) = 5x2 - 5. 14 Решить уравнение 2log3(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0. 15 Решить уравнение log2x + log3x = 1. 16 Решить уравнение  17 Решить уравнение .18 Решить уравнение Найти произведение корней.