Исследовательская работа на тему: Гаспар Монж-учёный тыл наполеоновских сражений
ГОБ ПОУ «Елецкий лицей сферы бытовых услуг»
Исследовательская работа
на тему:
«Гаспар Монж-учёный тыл наполеоновских сражений»
Выполнила:
преподаватель математики
Афанасьева
Светлана Викторовна.
г. Елец
2017 г.
Содержание
О работе.2
Введение3
Детство и семья Монжа5-7
Развитие начертательной геометрии...8-9
Мезьерская школа...9-10
Монж- академик....11-14
Дружба с Наполеоном..14-17
Заключение.....18
Приложения
Программа лекций по начертательной
геометрии...19-26
Теоремы Монжа....26-29
Книга Гаспара Монжа..29-30
О работе
Данная исследовательская работа называется «Гаспар Монж-учёный тыл наполеоновских сражений». Посвящена она 200-летию Бородинского сражения. На сегодняшний день тема довольно актуальна. Дело в том, что Наполеон во всех своих сражениях использовал так или иначе научные разработки своего друга- геометра Гаспара Монжа, так что без этого учёного вклада в наполеоновские сражения, кто знает, исход многих знаменитых битв мог бы быть другим?
Мы считаем, что данная тема интересна, так как она позволяет очень подробно изучить жизнь великого учёного и познакомиться с его вкладом в науку.
Объектом исследования является вся жизнь учёного, а предметом исследования – влияние его научных достижений на успешность наполеоновских сражений.
Цель работы – исследовать жизненный путь Монжа и показать, что его труд как учёного оказал огромное влияние на его друга Наполеона Бонапарта и на исход многих великих битв с его участием.
Задачи работы:
Показать значимость трудов Монжа.
Познакомиться с теми методами, с помощью которых решали задачи во времена Наполеона.
Рассмотреть влияние математиков того времени на Монжа.
Выяснить, при решении каких военных вопросов Наполеону могли пригодиться математические знания Монжа.
Методы исследования: поиск, анализ и синтез различных литературных источников информации и Интернет – ресурсов; самостоятельная оценка и самостоятельные выводы из неё некоторых «Монжевских» методов решения проблем.
Новизна данной работы заключается в том, что раньше не делалось таких глубоких исследований по данной теме на основе изучения всей жизни учёного. Теоретическая и практическая значимость данной работы в использовании её материалов в кружковой и факультативной деятельности.
Введение.
Многие учёные-люди удивительной судьбы, но мало кто прожил такую захватывающе интересную, полную приключений жизнь, как Гаспар Монж. Сын бедных родителей благодаря таланту и трудолюбию стал великим гражданином своей страны. Он был не только замечательным учёным (математиком, механиком, химиком и металлургом), но и активным участником Великой французской буржуазной революции, человеком, подписавшим смертный приговор королю Людовику XVI. Его жизнь драматична и противоречива. Революционер, якобинец Монж, боровшийся против абсолютизма и привилегий знати, стал графом и личным другом императора Наполеона. После реставрации монархии учёный был исключён из Французской академии наук и кончил свои дни в изгнании.
Создание Монжем «Начертательной геометрии», трактат которой появился в свет только в 1799 году под заглавием «Geometrie descriptive», послужило началом и основанием работ, позволивших новой Европе овладеть геометрическим направлением Древней Греции; работы же по теории поверхностей, помимо своего непосредственного значения, повели к выяснению важного принципа непрерывности и к раскрытию смысла той широкой неопределённости, которая порождается при интегрировании уравнений с частными производными, произвольными постоянными и ещё более появлением произвольных функций.
Из числа менее крупных вкладов в науку следует указать на данную Монжем теорию полярных плоскостей к поверхностям второго порядка; на открытие круговых сечений гиперболоидов; на создание первой идеи о линиях кривизны поверхностей и т.д.
Детство и семья Монжа.
На востоке Франции, в Бургундии, богатой виноградниками местности, расположен небольшой городок Бон (в пределах современного департамента Кот Л'Ор). Здесь 10 мая 1746 года родился Гаспар Монж. Достаточно широко распространённая фамилия Монж имеет провансальское звучание (Monge – monachus – Монах.
Его отец был малограмотным уличным торговцем, но своим детям (Гаспар был старшим из пяти детей) постарался дать наилучшее образование, доступное в то время представителям третьего сословия. О том, что он преуспел в своём стремлении, говорит такой факт. Два брата Гаспара тоже стали профессорами. Средний Луи- математики и астрономии. (Он был одним из трёх участников экспедиции Лаперуза, оставшихся в живых после её гибели.) Младший брат Жан стал профессором математики, гидрографии и навигации.
Учиться Гаспар начал в шесть лет (в городской школе ораторианцев-монахов) и вскоре стал лучшим её учеником , её гордостью. Его экзаменационная работа 1762 года напечатана в виде тетради большого формата на 25 страницах и хранится в магистрате города Бона. На первой странице сообщается, что Гаспар Монж отвечал на вопросы по арифметике, алгебре, по пропорциям и логарифмам, а также по геометрии и блестяще решил задачи. Но не стоит забывать, что преподавание в школе сосредотачивалось почти исключительно на древних языках; физико-математическими науками, к которым Монж имел особенное влечение, ему пришлось заниматься без посторонней помощи. После успешного окончания школы как лучшего ученика учителя рекомендовали Гаспара Монжа в Коллеж Св.Троицы в Лионе, куда он и был принят в 1762 году. Здесь он одновременно и учится, и преподаёт физику. Лето 1746 г. будущий учёный, как всегда, проводит дома. И здесь в его судьбу вмешивается Его Величество Случай.
В дни отдыха Гаспар вместе с одним из друзей начертил план своего родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и черчения линий были изобретены самим составителем. Этот план увидел подполковник инженерной службы дю Виньо и предложил Монжу поступить в возглавляемую им Мезьерскую школу на отделение кондукторов, которое готовило мастеров и производителей различных инженерных работ. К сожалению, из-за своего происхождения его взяли лишь на это, вспомогательное унтер-офицерское отделение, без какого-либо денежного содержания. Другое отделение готовило военных инженеров, но на него принимали только детей дворян.
Занимаясь в школе, Монж заинтересовался задачей фортификации, которая всегда стояла перед военными инженерами: как разместить на местности укрепления, чтобы они не были разрушены артиллерией противника, находящейся в определённой точке. Монж быстро решил задачу, но преподаватели школы не стали смотреть его решение, полагая, что ученик не мог справиться с такими сложными вычислениями. Монж всё же настоял на своём. Когда офицеры школы ознакомились с простым и совершенно необычным способом решения задачи, предложенным Монжем, они пришли в восторг. Молодой ремесленник при решении задачи использовал собственный метод, замечательный со всех точек зрения. Так появилась на свет начертательная геометрия, наука, которую в «Журнале» Политехнической школы Монж определил следующим образом: «Искусство представлять на листе бумаги, имеющем только два измерения, предметы, имеющие три размера, которые подчинены точному определению». Работа, как представляющая ценность для военного дела, сразу была засекречена. Вот почему труды учёного по начертательной геометрии появились много позже.
Значительные успехи в точных науках позволили Монжу в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.
Теория проектирования и элементы начертательной геометрии существовали и до Монжа. Достаточно указать на работы Ж.Дезарга (1593/1-1662/1). Заслуга Монжа в том, что он из разрозненных сведений, решений отдельных задач и не всегда корректных способов изображения создал новую область знания. В этом смысле Монжа можно считать основоположником начертательной геометрии, цели которой он определял так: «во-первых, дать методы для изображения на листе чертежа, имеющего только два измерения, а именно длину и ширину, любых тел природы, имеющих три измерения- длину, ширину и высоту, при условии, однако, что эти тела могут быть точно заданы. Во-вторых, дать способ на основании точного изображения определять формы тел и выводить все закономерности, вытекающие из их формы и их взаимного расположения».
Идея Монжа была проста, как все великие идеи. Тела состоят из точек, рассуждал учёный, поэтому, чтобы изобразить тело в пространстве, надо найти способ изображения точек в пространстве. Возьмём точку и опустим из неё перпендикуляр на горизонтальную плоскость. Получим проекцию точки. Но такую проекцию будут иметь все точки, лежащие на перпендикуляре к плоскости. Чтобы точка в пространстве определялась однозначно, надо ввести вторую плоскость- вертикальную. Тогда две проекции (на горизонтальную и вертикальную плоскости) дадут однозначное изображение точки в пространстве.
Итак, резюмирует Монж, если при прямоугольном (ортогональном) проектировании на каждой плоскости известны проекции точки, то положение точки вполне определено.
Далее Монж делает следующее. Он поворачивает вертикальную плоскость вокруг прямой пересечения её с горизонтальной плоскостью, чтобы можно было изображать обе проекции на одном листе бумаги. Теперь все построения можно вести на одном чертеже- эпюре, как стали затем называть такой комплексный чертёж. Он обратим. По нему можно воссоздать пространственную фигуру, определить расстояние между точками и т.п.
Конечно, впоследствии начертательная геометрия претерпела некоторые изменения, но основы, заложенные Монжем, остались незыблемыми. «Подобно тому как элементарная геометрия и посейчас излагается почти как у Евклида или аналитическая геометрия- близко к тому, как её изложил Декарт, начертательная геометрия рассматривается и сейчас весьма близко к тому, как её изложил Монж». Эти слова принадлежат нашему современнику, известному советскому геометру Б.Н.Делоне.
Развитие
начертательной геометрии.
Лекции по начертательной геометрии Монж впервые прочёл для слушателей первого набора Нормальной школы. Это был первый публичный курс. Стенограммы лекций были отредактированы автором и напечатаны в «Журнале» Нормальной школы (т. I-IV за 1795 г.); первое издание книги осуществлено в 1798 г., тогда же его лекции начали выходить отдельными выпусками. Всего вышло 13 выпусков. Первые 9 выпусков были сведены затем в отдельную книгу, которая была издана в 1799 г. Третье издание, полностью совпадающее со вторым, вышло в свет в 1811 г. Четвёртое издание (1820 г.) содержало текст 1799 г. и тексты трёх последних лекций Монжа в Нормальной школе.
Обычно имя Монжа связывается с созданием начертательной геометрии: это не совсем так. Начертательная геометрия в основных своих идеях существовала и до Монжа: известен был координатный метод, ортогональное проектирование и его применение к построениям планов и чертежей. Однако не было ни общей теории, ни ясных и чётких способов её применения на практике. Монж создал начертательную геометрию как математическую науку, свёл воедино, в одну логическую систему, отдельные законы, теоремы и правила, известные до него, и, кроме того, сделал геометрию основным предметом в высшей технической школе. Как указывает Шаль (французский геометр, профессор Парижского университета), начертательная геометрия явилась общей теорией направлений техники, связанных с геометрией: она приводит к небольшому числу отвлечённых принципов и к удобным и достоверным построениям все геометрические действия, относящиеся к технике. Этим не исчерпывается её значение: «Начертательная геометрия,- говорит Шаль,- будучи графическим переводом общей рациональной геометрии, послужила светочем при изыскании и истолковании результатов геометрии аналитической; по характеру своих приёмов, имевших целью установить строгое и полное соотношение между фигурами, действительно начерченными на плоскости, и телами, воображаемыми в пространстве, она ближе ознакомила с геометрическими формами; она дала возможность представлять их скоро и точно и тем удвоила наши средства исследования в науке о пространстве».
Нормальная школа, которой положил начало Монж, была закрыта в мае 1795 г. С 1 сентября 1795 г. курс начертательной геометрии читался в Политехнической школе. Курс, прочитанный в Политехнической школе, отличался от курса Начальной школы и имел некоторые принципиальные особенности. Сама структура этого курса, который Монж считал важнейшим предметом подготовки инженеров, тесно увязана с технической практикой.
Особый интерес представляет программа первых 24 лекций. Их содержание приводится в приложении.
Мезьерская школа.
В 23 года Монж- профессор Мезьерской школы. В 1770 г. ему поручают возглавить кафедру физики, а вскоре- и математики. Кроме того он ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке- начертательной геометрии. Одновременно с преподаванием учёный ведёт большую научную работу, но о начертательной геометрии он не пишет: она ещё долго будет находиться под запретом («Начертательная геометрия» Монжа увидела свет только в 1799 г., хотя стенографическая запись лекций была сделана в 1795 году).
В это время появляются его первые математические мемуары по теории развёрток, по вариационному исчислению и по интегрированию некоторых функций. 31 августа 1771 г. на заседании Парижской академии наук Монж делает доклад о развёртках кривых двоякой кривизны, а 27 ноября того же года- об интегрировании некоторых дифференциалов. В результате 8 апреля 1772 г. Монж, которому нет ещё полных 26 лет, избирается членом- корреспондентом Парижской академии наук.
Очень много времени Монж уделяет преподаванию. Он читает теоретический и экспериментальный курс физики, химию, математику, резку камней, теорию перспективы и теней. При чтении лекций сильно жестикулирует. Когда в старости Монжу стало трудно изображать руками различные геометрические поверхности, он перестал читать лекции. «Я потерял свой жест»,- объяснял Монж своё решение.
Слушатели обожают молодого профессора. Он совершает с ними экскурсии в мастерские и на заводы, прогулки по окрестностям Мезьера, рассказывает много поучительного и интересного. «Случалось иногда, чтобы поскорее попасть с учениками на какой-либо завод, Монж, не тратя времени на разыскивание дорог и мостов, переходил вброд широкий ручей, не прерывая при этом своих объяснений. Молодые люди, окружавшие его, также не замечая препятствий на своём пути, продолжали внимательно слушать: так велика была магия его влияния на их умы!»- вспоминал впоследствии один из его учеников.
В 1777 г. Монж женился на молодой вдове владельца литейной мастерской Марии Катерине Орбон- спокойной и доброй женщине, которая родила Монжу трёх дочерей. Супруги прожили счастливо всю жизнь.
Мадам Орбон унаследовала от первого мужа металлургическую мастерскую, и в круг интересов Монжа входят работа с металлами и химия. Последней учёный увлекается настолько, что открывает в Мезьерской школе химическую лабораторию.
Об успехах Монжа в занятиях химией свидетельствует, например, такой факт. Учёный раньше Лавуазье доказал, что вода состоит из кислорода и водорода, и осуществил синтез воды из этих газов. (Лавуазье признавал приоритет Монжа в данном вопросе.) Вместе с Бертолле и Вандермонтом он занимался изучением различных состояний железа, производил опыты над капиллярностью, делал наблюдения над оптическими явлениями, работал, хотя и неудачно, над построением теории главных метеорологических явлений, наконец. в значительной степени усовершенствовал практическую механику. В этой последней он показал, что все сложные машины. Как бы сложны они ни были, приводятся к очень небольшому числу составных элементов; дал таблицы, объясняющие смену одних движений другими, вызываемую связью между частями машины; показал более выгодные способы употребления при работах сил воды, воздуха и пара. Но основное внимание учёный по-прежнему уделяет математике. Он разрабатывает различные приложения начертательной геометрии к практическим задачам, интересуется уравнениями в частных производных, исследует некоторые аспекты дифференциальной геометрии.
В Мезьерской школе Монж преподавал 20 лет. Там обучали геометрии, физике, фортификации, строительному делу с упором на практические занятия. Эта школа стала прообразом знаменитой в будущем Политехнической школы. Кроме основ начертательной геометрии, Монж разрабатывал и другие математические методы, в том числе теорию развёрток, вариационное исчисление и другие. Несколько докладов, с большим успехом сделанных им на заседаниях Парижской академии наук, и рекомендации академиков Даламбера, Кондорсе и Боссю обеспечили Монжу в 1772 году избрание в число двадцати членов Академии («присоединённых», то есть членов- корреспондентов Академии), а в 1780 году он уже избран академиком. Этот акт- признание научных заслуг Монжа, выдающегося геометра XVIII в. Монж переезжает в Париж, сохраняя за собой должность в Мезьерской школе. Кроме этого, преподаёт гидродинамику и гидрографию в Парижской Морской школе, а впоследствии занимает должность экзаменатора морских школ. Однако, работа и проживание по полгода поочерёдно в Париже и Мезьере со временем стало для него весьма утомительным и не устраивало руководство Мезьерской школы. В 1783 году Монж прекращает преподавание в школе и в 1784 году окончательно переселяется в Париж.
Монж-академик
Избранный в академики, Монж кроме исследований по математическому анализу, представленных в ряде мемуаров в изданиях Академии, занимался вместе с Бертолле и Вандермондом изучением различных состояний железа, производил опыты над капиллярностью, делал наблюдения над оптическими явлениями, работал над построением теории главных метеорологических явлений, независимо от Лавуазье и Кавендиша обнаружил, что вода представляет соединение водорода и кислорода, в 1781 году издал «Мемуар о выемках и насыпях», в 1786-1788 гг. подготовил учебник по практической механике и теории машин «Трактат по статике для морских колледжей». Этот курс переиздавался восемь раз, последний- в 1846 году, и неоднократно переводился на другие языки, в том числе на русский.
Монж активно включается в многогранную деятельность академии. Присутствует на её заседаниях, участвует в работе различных комиссий. Даёт заключения на всевозможные изобретения и научные труды. Одновременно не прекращает преподавательскую деятельность. В 1783 г. Монжа назначают экзаменатором морской и артиллерийской гвардий. Экзаменуя морских кадетов, он убеждается, что те плохо знают теоретическую механику, и пишет для них учебник по статике(1788).
Во Франции назревает революция. 14 июля 1789 г. восставший народ захватывает Бастилию. За Парижем поднимается на борьбу вся страна. Создаются новые органы власти, новая вооружённая сила- Национальная гвардия; 26 августа Учредительное собрание принимает Декларацию прав человека и гражданина.
«У науки нет отечества, но учёный не бывает без отечества»,- говорил Луи Пастер. Эти слова как нельзя более относятся к Гаспару Монжу. Он не может находиться вне происходящих событий. Учёный горячо приветствует Французскую революцию, провозгласившую социальную справедливость и равенство. Он на себе испытал, как тяжело представителю низшего сословия получить хорошее образование и занять положение в обществе. В отличие от многих сограждан, покинувших страну, Монж продолжал научную и преподавательскую деятельность, участвовал в заседаниях Академии наук, охотно и добросовестно выполнял поручения новой власти. Он вступает в Патриотическое общество, затем- в Народное общество и, наконец, в Якобинский клуб. (Якобинцы были наиболее революционной силой Великой французской буржуазной революции.) В мае 1790 года вместе с академиками Борда, Даламбером, Кондорсэ, Кулоном, Лагранжем, Лапласом он назначен Национальным собранием в комиссию по установлению новой, единой для всей страны, метрической системы мер и весов взамен старых мер, различных в каждой провинции. Одной из важнейших задач было укрепление морских границ. Монж организует в портах Франции 12 школ для подготовки специалистов-гидрографов и одновременно принимает экзамены в морских школах.
Против страны, охваченной революционным пожаром, организуется блок контрреволюционных государств. Законодательное собрание Франции объявляет: «Отечество в опасности!». 10 августа 1792 г. начинается новый этап революции- король свергнут и к власти приходит Временный исполнительный совет, состоящий из министров, избранных Законодательным собранием. В этот совет в качестве морского министра входит Гаспар Монж. Так Законодательное собрание приняло во внимание приверженность Монжа идеалам Революции и его знание морских дисциплин.
Порученный Монжу флот находился в тяжёлом состоянии: не хватало офицеров и матросов, боеприпасов и продовольствия. Франция потерпела уже несколько поражений на море, а в скором времени ей предстояло вступить в войну с Англией. Несмотря на скудность государственной казны, Монжу удалось отчасти пополнить опустевшие арсеналы и приступить к возведению на берегах необходимых укреплений.
21 сентября 1792 г. на своём первом заседании вновь избранный Конвент принял решение об упразднении монархии и провозглашении республики. Король был предан суду и приговорён к смертной казни. Приговор был утверждён Монжем, который в то время исполнял обязанности председателя Временного исполнительного совета (должность председателя Совета министры занимали по очереди). Во время своего полугодового исполнения обязанностей президента Совета Монжу пришлось поставить свою подпись не только под смертным приговором королю, но и под объявлением войны с Англией. Тем не менее, у него не было необходимого административного и военного опыта, он тяготился министерской работой и уже в апреле 1793 года ушёл в отставку, продолжая работать во имя Революции.
Французская республика находилась в тяжёлом положении. Не хватало оружия и продовольствия. Плохо обученные, недостаточно вооружённые и голодные солдаты сражались на многочисленных фронтах с превосходящими силами противника. По поручению революционного правительства Монж организует производство пороха, ружей, сабель, пушек. Поразительная работоспособность позволяет Монжу с успехом в кратчайшие сроки справиться со всеми поставленными задачами. Он разыскивает запасы селитры, необходимой для производства пороха, под его руководством железоделательные фабрики и заводы переходят на изготовление оружия, доводит производство ружей в одном только Париже до 1000 штук в день, создаёт при доменных мануфактурах литейные мастерские для отливки пушечных стволов. Монж нашёл и популярно изложил способы добычи селитры из земли в хлевах и погребах. Монж- душа всей оборонной деятельности. Он обучает рабочих приёмам работы, заботится об их отдыхе, питании. Сам же живёт впроголодь. Когда жена учёного к куску хлеба- обычному обеду его в то время- добавила сыр, Монж отказался: «Право же, ты ввязываешь меня в скверную историю; ведь я рассказывал тебе, что, когда на прошлой неделе я проявил некоторое чревоугодие, мне пришлось с горечью услышать, как депутат Ниу с загадочным видом говорил окружающим: «Монж перестаёт стесняться: глядите, он ест редиску».
Не получая за работу никакого вознаграждения, Монж часто уходил на работу ранним утром и возвращался поздней ночью, питаясь одним хлебом, поскольку в стране не хватало продовольствия, а он не считал возможным выделяться среди голодающих рабочих.
Однако, даже это не спасало его от периодических обвинений в нелояльности к власти, так что однажды он был вынужден два месяца скрываться от преследований. (9 термидора (27- 28 июля 1794 г.) произошёл контрреволюционный переворот. Руководители якобинской диктатуры- Робеспьер, Сен- Жюст и другие- были казнены. Монжу, как активному якобинцу, пришлось скрываться.)
Конвент закрывает Академию наук, высшие и средние специальные школы. Сокращается производство оружия, перестают работать многие мастерские и мануфактуры- теперь Монж только преподаёт, занимается научной деятельностью и более не принимает непосредственного участия в делах государственного управления. Монж публикует руководство по производству пушек, читает аналогичный курс и в 1794 году приступает к организации Центральной школы общественных работ, долженствующей заменить упразднённые декретами Конвента в 1793 году Академии и университеты. По замыслу, это должен был быть новый тип высшей школы с трёхлетним обучением для подготовки на прочной научной основе инженеров и учёных по целому ряду гражданских и военных специальностей. Создаётся Центральная школа общественных работ, преобразованная позже (1 сентября 1795 г.) в знаменитую Политехническую школу, директором которой Монж был долгие годы. Это его любимое детище. В январе 1795 года была организована так называемая Высшая нормальная школа, предназначенная для четырёхмесячной подготовки профессиональных кадров (главным образом, учителей). Политехникуму Монж отдаёт всё своё свободное время и деньги (на стипендии нуждающимся студентам). И школа оправдала надежды учёного. Из неё в разные годы вышли такие выдающиеся деятели науки и техники, как Ампер, Кориолис, Гей-Люссак, Беккерель, Араго, Френель, Пуансо и многие, многие другие. Вместе с Монжем занятия в школе вели Бертолле, Лаплас, Лагранж и другие. Для слушателей первого набора Школы Монж подготовил и прочёл курс начертательной геометрии, запись которого была напечатана в Трудах Нормальной школы (1795). В октябре 1795 года Конвент образовал ассоциацию обновлённых академий, названную Французским институтом (позднее- Национальный институт науки и искусства). Предполагалось, что Институт станет научным учреждением, состоящим из трёх классов (отделений): физических и математических наук, моральных и политических наук, литературы и изящных искусств. Монж был в числе самых активных организаторов, а затем и преподавателей этих научных учреждений.
«Никто не преподавал так хорошо, как он,- вспоминал впоследствии ученик Монжа, известный инженер Бриссон.- Жесты, поза, модуляция голоса- всё служило ему для развития мыслей. Он всегда следил за глазами слушателей и знал, как угадать степень понимания каждого из них; он повторял свои доказательства, в некоторых местах изменял». «Мы узнали Монжа, этого добрейшего человека, привязанного к юношеству и преданного наукам. Он всегда был среди нас; после лекций геометрии, анализа и физики начинались частные беседы, которые ещё расширяли и укрепляли наши способности. Он был другом каждого воспитанника, побуждал нас к труду, всегда помогал и радовался нашим успехам».
Другой ученик, Дюпен, так описывает внешность Монжа: «Высокий, сильный, мускулистый. Лицо, широкое и короткое, напоминает льва. Глаза, большие и живые, сверкают из-под густых чёрных бровей, которые подчёркивают широкий и высокий лоб, оттенённый глубокими морщинами, свидетельствующий о большом уме. Это замечательное лицо обычно бывало спокойным- лицом человека, погруженного в размышления».
Для своих слушателей Монж написал несколько учебников по геометрии (начертательной, аналитической и дифференциальной), по которым училось не одно поколение политехников.
Дружба с Наполеоном
События в стране тем временем шли своим чередом. В феврале 1796 г. Директория назначает молодого 26- летнего генерала Бонапарта главнокомандующим французскими войсками, сражающимися в Италии. Армия была плохо вооружена, дезорганизована, солдаты голодали, дисциплина падала. Бонапарт быстро навёл порядок (иногда жестокими мерами) и стал одерживать одну победу за другой. В мае того же года по заданию Директории в Италию выехали Монж и Бертолле. Им было поручено принять участие в комиссии по отбору в счёт контрибуции памятников искусства и науки в завоёванных армией Республики областях Италии. Монж выполнил поручение, доставив в Париж полотна Рафаэля, Микеланджело, Тициана, Веронезе и другие художественные произведения, а также научные экспонаты и приборы для Политехнической школы. Во время пребывания в Италии и произошла встреча Монжа с Наполеоном, которая сыграла такую большую роль в жизни учёного.
Бонапарт и Монж один раз встречались ранее в бытность последнего военным министром, но учёный не запомнил одного из многочисленных посетителей. Теперь Наполеон, улыбаясь, напомнил о том свидании: «Один молодой артиллерийский офицеробращался в 1792 году с просьбой к морскому министру. Может быть, министр и не запомнил этого случая- мало ли просителей у него тогда перебывалоЧто же касается безвестного офицера, то он никогда не забудет его внимания».
Между полководцем и учёным сразу же установились доверительные отношения. Это была взаимная симпатия двух умных людей, перешедшая затем в искреннюю дружбу. Наполеон не отпускал Монжа от себя ни на шаг. Он всегда хотел иметь подле себя друга, которому безгранично бы доверял и с которым мог бы советоваться по любым вопросам. Такого друга Бонапарт нашёл в Монже- этом бескорыстном простодушном учёном, не способном на малейшую фальшь, неискренность, интригу. Будущий император не ошибся в своём выборе. Монж остался верен этой дружбе до самой смерти.
Наполеон и Монж часто путешествовали вместе в одной карете, заваленной книгами. Прочитав очередной трактат, они выбрасывали его в окно. В поездке беседовали на различные темы, иногда касались вопросов религии. Наполеон спорил с атеистом Монжем: «Моя религия проста; я гляжу на Вселенную и убеждаюсь, что она не могла быть делом слепого случая, а сотворена каким-то неизвестным и всемогущим существом, настолько же превосходящим человека, насколько Вселенная превосходит самые лучшие наши машины. Попробуйте-ка, Монж, с помощью ваших друзей- математиков и философов- пошатнуть мою религию». Под «вашими друзьями» Наполеон подразумевал Ж.Л. Лагранжа, П.С. Лапласа, Ж.Ж. Ф. Лаланда и других товарищей Монжа по академии.
Когда Наполеон затеял Египетский поход (1798- 1799 гг.), Монж принял в нём участие. Бонапарт очень рассчитывал в этом походе на помощь учёных в постройке дорог, каналов, плотин, составлении карт, организации производства пороха, ружей и пушек, а также в создании на завоёванных территориях новых научных учреждений по типу французских. 29 августа 1798 года в Каире членами этой экспедиции и некоторыми военными. К числу которых принадлежал и сам Бонапарт, был учреждён Египетский институт наук и искусств, устроенный по образцу Французского и избравший своим президентом на первый триместр Монжа, вице- президентом Бонапарта, непременным секретарём Фурье. Монж продолжал научную работу, печатался в издаваемом Институтом научном и литературном сборнике «Египетские декады». В нём в первый раз был напечатан его мемуар с простым объяснением явления миража, который пугал солдат в пустыне. Временами Монжу приходилось вспоминать своё недолгое военное прошлое- он руководил в октябре 1798 года обороной Института против восставшего каирского населения, в 1799 году участвовал в неудачном походе Бонапарта в Сирию.
Вообще поход Монжа в Италию едва не стоил ему жизни. Во- первых, учёный мог погибнуть в многочисленных стычках с неприятелем, а во- вторых, он чуть не умер во время эпидемии чумы. Только благодаря химику Бертолле, самоотверженно ухаживавшему за больным Монжем, тот поправился.
Именно к Египетскому походу относятся слова Наполеона, сказанные им в минуту опасности: «Ослов и учёных в середину!». Эту фразу некоторые пытаются трактовать как неуважение его к учёным. Наоборот, Наполеон приказал поместить в середину каре тех, кем более всего дорожил: учёных, а также животных, которые перевозили оружие, продовольствие, воду.
В Египте Монж и другие учёные, входившие в экспедицию Наполеона, вели научную работу. Их целью было, по определению Монжа, содействовать прогрессу и просвещению Египта. Французские учёные составляли «Описание Египта», изучали древние памятники и сельское хозяйство, работали над проектом канала, который соединил бы Средиземное и Красное моря.
Положение французских войск ухудшается. И не только в Египте. Суворов освобождает от французов Италию. Тяжёлое положение на других фронтах. В этих условиях Бонапарт принимает решение вернуться в Париж. В августе 1799 г. он покидает армию и отплывает во Францию. Вместе с ним- Монж, Бертолле, Мюрат и другие приближённые лица. 16 октября Наполеон вместе со своими спутниками въезжает в Париж. Его приветствуют восторженные толпы народа.
18 брюмера (9 ноября) была упразднена Директория, а назавтра- парламент. К власти пришли три консула, но вся полнота власти сосредоточилась в руках первого консула- Наполеона Бонапарта, который получил широкие полномочия. 24 декабря 1799 г. Наполеон назначает Гаспара Монжа пожизненным сенатором.
Монж уходит с поста директора Политехнической школы, оставаясь в ней профессором. Он продолжает свои исследования приложений алгебры и анализа к геометрии, начинает заниматься наукой о машинах и механизмах, в становлении которой он сыграл определённую роль.
Многие учёные считали, что машины состоят из простых механизмов, которые преобразуют силы (по величине и направлению). Монж подошёл к изучению машин иначе. Он предположил, что они преобразуют не силы, а движения. По Монжу, целью «элементарных машин» является преобразование некоторой кривой в другую линию. Такой геометрический подход к исследованию машин и механизмов позволил учёному получить новые результаты.
21 августа 1803 г. Монж был назначен вице- президентом сената, а 28 сентября- сенатором Льежа. В задачи сенатской администрации входило в основном выполнение специальных поручений первого консула. Монж должен был наладить в Льеже производство пушек.
В конце 1803 г. Наполеон восстанавливает статус личных наград, отменённых революцией. Первым по списку гражданских лиц орден Почётного легиона получает математик Монж. «Завидую я вам, учёным,- говорит Наполеон Монжу.- Как вы должны быть счастливы тем, что прославились, не запятнав кровью своего бессмертия!»
18 мая 1804 г. во Франции провозглашается новая конституция, по которой Наполеон- пожизненный император. Многие отнеслись к «нововведению» отрицательно. Учащиеся Политехнической школы отказались поздравить Наполеона с новым титулом. «Однако твои политехники открыто воюют со мною»,- заметил император Монжу. Но тот стал на защиту своих питомцев: «Государь, мы долго старались сделать их республиканцами, дайте им, по крайней мере, время превратиться в сторонников империи. Вы поворачиваете слишком круто».
В это время Монж выполняет различные поручения главы государства. Он изучает возможность проведения канала от реки Урк к Парижу для снабжения города водой, работает над проектом высадки десанта в Англии при помощи 100 воздушных шаров диаметром 100 м каждый с возможностью поднимать по 1000 солдат со снаряжением и т.д.
20 мая 1806 г. Наполеон назначает Монжа президентом сената. Вскоре Монж получает звание графа Пелузского и 100 000 франков на покупку имения. Он в апогее своей славы, но здоровье учёного начинает сдавать. В начале 1809 г. у него отнимается рука. Монж вынужден оставить преподавание в Политехнической школе. Но он по- прежнему консультирует императора по различным научным вопросам. В 1810 г. он по распоряжению Наполеона председательствует в комиссии по изучению ракеты, даёт заключение на мемуар о скафандре, на монографию по металлургии чугуна, железа и стали. Император спрашивает его мнение о тосканской железной промышленности, о рудах о-ва Эльба, о производстве пушек и т.д. и т.п.
Империя Наполеона идёт к закату. Разгром «непобедимой армии» в России, поражение в «Битве народов» под Лейпцигом повлекли за собой отречение и ссылку Наполеона. Монж оставался приверженцем Империи и в период всех Ста дней по-прежнему был на стороне Бонапарта.
Когда Наполеон вернулся с Эльбы, Монж прибыл во дворец Тюильри в первый же день воцарения там императора и всё время находился при нём. После второго отречения и восстановления власти Бурбонов Монж был лишён званий, наград, пенсии, исключён (правда, всего лишь на год) из Политехнической школы. Распоряжением правительства в 1816 году он и Карно были исключены из преобразованного на новый лад Института и замещены Коши и Брегетом. Монж уезжает в Бельгию. Как один из «цареубийц», Монж мог ожидать и более серьёзных репрессий. От всех ударов судьбы, довершённых ссылкой его зятя Эшассерио, как бывшего члена Конвента, Монж заболел и умер 28 июля 1818 г. Жена Монжа пережила его на 24 года.
После смерти его тело было перевезено в Париж и похоронено на кладбище Пер-Лашез. Официальной церемонии не было, но многие академики, товарищи, друзья и ученики Монжа пришли проводить его в последний путь. Теперь в Париже есть улица, названная именем великого геометра.
Заключение
Монж вошёл в историю науки как создатель начертательной геометрии, как человек, который сделал чертёж рабочим инструментом инженеров и техников всех стран и народов. «Если чертёж является языком техники, то начертательная геометрия служит грамматикой этого всемирного языка, так как она учит нас правильно читать чужие и излагать на нём наши собственные мысли»,- говорил известный русский учёный В.И. Курдюмов (1853-1904). И создатель этого всемирного языка- Гаспар Монж. Но не надо забывать, что помимо математики учёный занимался ещё химией, металлургией, метрологией, оптикой, гидравликой, оружейным и стекольным производствами и даже выдвинул гипотезу о происхождении жизни на Земле. Монж был одним из последних учёных- энциклопедистов.
Создание «Начертательной геометрии», трактат которой вышел в свет только в 1799 году, послужило началом и основой работ, позволивших новой Европе овладеть геометрическими знаниями Древней Греции; работы же по теории поверхностей, помимо своего непосредственного значения, привели к выяснению важного принципа непрерывности и к раскрытию смысла той обширной неопределённости, которая возникает при интегрировании уравнений с частными производными, произвольными постоянными и тем более с появлением произвольных функций.
Принцип непрерывности в том виде, в каком он сформулирован Монжем, может быть изложен следующим образом. Всякое свойство фигуры, выражающее отношения положения и оправдывающееся в бесчисленном множестве непрерывно связанных между собой случаев, может быть распространено на все фигуры одного и того же рода, хотя бы оно допускало доказательство только при предположении, что построения, осуществимые не иначе как в известных пределах, могут быть произведены на самом деле. Такое свойство имеет место даже в тех случаях, когда вследствие полного исчезновения некоторых необходимых для доказательства промежуточных величин предполагаемые построения не могут быть произведены в действительности.
Из других, менее значительных вкладов Монжа в науку следует назвать теорию полярных плоскостей применительно к поверхностям второго порядка; открытие круговых сечений гиперболоидов и гиперболического параболоида; открытие двоякого способа образования поверхностей этих же тел с помощью прямой линии; создание первого представления о линиях кривизны поверхностей; установление начал теории взаимных поляр, разработанной впоследствии Понселе, доказательство теоремы о том, что геометрическое место вершины трёхгранного угла с прямыми плоскими углами, описанного около поверхности второго порядка, есть шар, и, наконец, теорию построения ортогональных проекций трёхмерных объектов на плоскости, получившую название эпюр Монжа (Epure- от фр. чертёж, проект).
Приложения
Программа лекций
по начертательной геометрии.
I. Основные принципы (лекции 1-4).
1. Изложение теории проекций. Способы, упрощающие ее применение.
2. Способы построения пересечения поверхностей, касательных и плоскостей, нормальных к кривым линиям, нормалей и плоскостей, касательных к искривленным поверхностям.
3. Примеры применения изложенных принципов к решению некоторых вопросов, относящихся к форме тел и к их взаимным положениям.
4. Образование, свойства и построение развертывающихся поверхностей и поверхностей двоякой кривизны.
II. Резка камней (лекции 5-8).
1. Устройство сводов и камней сводов; изложение условий, которым они должны удовлетворять.
2. Разборка сводов на камни (своды из мелкого камня, из кирпичей, из пиленого камня). Условия, которым должна удовлетворять такая разборка относительно устойчивости, прочности камня, относительно общих условий.
3. Способы, при помощи которых каждому из камней, входящих в состав сооружения, придается форма, необходимая для того, чтобы они, будучи уложены на свое место, произвели необходимое действие.
4. Применение метода проекций для достижения указанной цели.
III. Резка дерева (лекции 9-12).
1. Общие предписания плотничного дела (деревянные плиты, доски, ступени, машины, суда).
2 и 3 Способы, при помощи которых каждой части придаётся та форма, которую она должна иметь: в случае, если часть - прямая (чего требуют способы обмера и обтёсывания дерева);в случае, если часть кривая.
Применение метода проектирования для двух последних случаев.
IV. Тени (лекции 13 и 14).
1. Геометрическое определение тени, которую отбрасывает произвольно заданное тело на любую заданную поверхность, полагая, что светящееся тело является единственной точкой.
2. Определение тени и полутени от произвольного тела на любую поверхность в предположении, что размеры светящегося тела являются конечными и что форма его задана.
V. Перспектива (лекции 15 и 16).
1. Линейная перспектива; геометрическое построение перспективы любого тела, заданного своей формой и положением на таблице, также заданной формой и направлением.
2. Воздушная перспектива; об интенсивности оттенков поверхностей объектов, находятся ли они в тени или освещены, учитывая их положение как относительно светящегося тела, так и относительно глаза, который их видит, а также несовершенство зрения.
VI. Топография (лекции 17-20).
1. Методы точного определения положения основных точек на большой карте.
2. Методы заполнения с помощью планшетки для объектов, которые требуют определенной точности, по буссоли, если срочность не позволяет воспользоваться иными способами.
3. Различные приёмы нивелирования.
4. Искусство изображать на картах формы и пересечения местности.
VII. Машины (лекции 21-24).
1. Представление способов, с помощью которых можно преобразовать поступательное движение в движение по окружности и наоборот, движение по окружности в возвратно-поступательное движение и наоборот, обратно-поступательное движение в поступательное движение и наоборот.
2. Представление способов облегчения движений всех видов.
3 и 4 Описание основных машин, приводимых людьми, животными, силами, заимствованными у природы, подобно текущей воде, падающей воде, ветру и водяному парy.
Таково содержание программы, составленной Монжем. Оно значительно шире наименования самого предмета и охватывает не только геометрию, но и некоторые новые прикладные и технические науки. У него, очевидно, была идея создания общего графического метода решения технических задач. Это явствует из предисловия ("Программы"), которое Монж предпослал своему курсу. Он утверждает, что целью подготовки специалистов является обучение их "пользованию всевозможными инструментами, предназначенными для того, чтобы вносить точность в работу и измерять её степень". И далее: "Народному образованию будет дано полезное направление, если наши молодые специалисты привыкнут применять начертательную геометрию к графическим построениям, необходимым во многих областях, и пользоваться ею для построения и определения элементов машин, при помощи которых человек, используя силы природы, оставляет за собой только работу разума.
Первый раздел "Начертательной геометрии" посвящён изложению метода проекций. Монж начинает с изображения точки и исследует возможные способы определения её положения в пространстве. Прежде чем перейти к ортогональному проектированию, он определяет положение точки относительно трёх точек в пространстве, положение которых известно, затем - относительно трёх заданных прямых. Так, если точка находиться на некотором расстоянии от первой прямой «А», то, следовательно, она находится на поверхности кругового цилиндра, осью которого является «А», а радиус основания равен заданному расстоянию. Если, кроме того, искомая точка находиться на некотором другом (также определённом) расстоянии от иной прямой «В», это означает, что она лежит и на поверхности второго кругового цилиндра, осью которого служит «В». Следовательно, точка находится на линии пересечения обоих цилиндров, которая, очевидно, является кривой двоякой кривизны. Вводя затем подобным образом третий цилиндр с осью «С», расстояние которой от точки задано, мы приходим к определению пересечений кривой двоякой кривизны с цилиндром; таких пересечений в общем случае будет восемь. Итак, искомая точка может быть одной из восьми и для точного определения её положения необходимо задать ещё некоторые дополнительные условия.
Исходя из этого рассуждения, Монж приходит к выводу, что определять положение точки в пространстве следует не относительно трёх точек или трёх линий, а относительно трёх плоскостей. Таким образом, пишет он, пользуются при применении алгебры к геометрии. Но в начертательной геометрии, "которая начала применяться гораздо раньше и значительно большим числом людей, и притом людей, время которых дорого, методы ещё более упростились; вместо того, чтобы рассматривать три плоскости, научились при помощи проекций ограничиваться рассмотрением только двух плоскостей." [5]
Второй раздел "Начертательной геометрии" посвящён изучению построения касательных плоскостей и нормалей к кривым поверхностям. Монж определяет касательную плоскость как плоскость, проведённую через две касательные к образующим в точке их пересечения; прямую, проведённую через точку касания перпендикулярно к касательной плоскости, он называет нормалью к поверхности. В преамбуле раздела Монж указывает на прикладную важность этой теории; примеры он заимствует из архитектуры и живописи. В первом случае он рассматривает обтёсанные камни, предназначенные для кладки сводов, и грани их соприкосновения между собой.
Третий раздел книги посвящён теории пересечения кривых поверхностей. Эта теория получила важное значение для развития построения машин. Рассматривая пересечение таких поверхностей, Монж замечает, что последовательность точек, общая для обеих поверхностей, будет в общем случае кривой линией; в частности, она может выродиться в прямую линию или лежать в одной плоскости; наиболее общим случаем будет кривая двоякой кривизны. Он указывает при этом, что можно установить соответствие между операциями алгебры и методами начертательной геометрии. В алгебре способ исключения неизвестных приводит к одному уравнению с одним неизвестным, аналогично в начертательной геометрии кривые и поверхности могут принимать различные положения, но образующиеся при этом новые объекты будут выражаться соответствующим уравнением.
При изложении самого способа построения Монж пользуется системой вспомогательных плоскостей. В некоторых случаях, чтобы получить более легкое и изящное решение, можно вместо этого пользоваться совокупностью кривых поверхностью; иногда - системой горизонтальных плоскостей. Наконец, для случая двух поверхностей вращения, оси которых лежат в одной плоскости, но не параллельны друг другу, самым подходящим будет применение системы сферических поверхностей, общий центр которых находится в точке пересечения осей.
Четвёртый раздел собрал прикладные задачи начертательной геометрии. Здесь Монж обращается к общеобразовательному значению этой науки, которое, по его мнению, должно постоянно возрастать. В конце XVIII в. это было чем-то вроде энциклопедии общей техники; кроме того, изучение начертательной геометрии развивало у учащихся пространственное воображение, совершенно необходимое инженеру.
Первые три задачи имеют скорее теоретический, чем практический интерес:
- нахождение центра и радиуса шара, поверхность которого проходит через
четыре произвольно заданные точки в пространстве;
- вписание шара в заданную треугольную пирамиду;
- построение проекции точки, расстояние которой до трёх заданных точек
известно.
Четвёртая и пятая задачи относятся к картографии. Любопытна шестая задача, где Монж рассматривает военную новинку конца XVIII в. "Генерал армии, стоящей перед лицом врага, не имеет карты местности, занимаемой последним; она ему нужна, чтобы составить план предпринимаемой атаки. В его распоряжении имеется аэростат. Он поручает инженеру подняться на аэростате и составить карту, чтобы сделать приближённую нивелировку местности.
Но Монж имеет основание думать, что если аэростат будет менять своё положение над местностью, враг догадается о его намерениях; поэтому он позволяет инженеру подниматься на разные высоты, если это нужно, но не разрешает менять положение аэростата. Инженер имеет угломерный инструмент, снабжённый также и отвесом. Спрашивается, как он может исполнить приказание генерала?"[6] Далее Монж приводит рассуждения разъясняющие решение задачи, которое (по его словам) настолько просто, что не требует рисунка.
Пятый раздел книги посвящён исследованию некоторых теоретических вопросов, касающихся кривизны пространственных кривых и кривизны поверхностей. Монж указывает на необходимость этой теории для профилирования кулачков и зубьев зубчатых колёс. В XVIII веке "кулачки вращающихся валов" выходили буквально "из-под топора", и, как известно, до конца века подавляющее количество зубчатых колёс было деревянным, в том числе колёса карманных часов, "яиц".
После изложения теории кривых двоякой кривизны и в качестве частного случая плоских кривых, Монж переходит к доказательству теоремы о кривых поверхностях. Каждая поверхность имеет в любой своей точке только две кривизны; каждая кривизна имеет своё собственное направление, свой собственный радиус, а две дуги, по которым эти кривизны измеряются, перпендикулярны друг другу на поверхности. При этом он пользуется исключительно геометрическими соображениями. Он делит все поверхности (с точки зрения кривизны) на три класса: к первому относятся те, которые во всех своих точках не имеют ни какой кривизны (т.е. плоскости); ко второму – поверхности, имеющие в каждой данной точке единственную кривизну; к третьему - поверхности, имеющие в каждой точке две различные кривизны, которые могут изменяться независимо одна от другой (в частном случае, например, в случае сферы, обе кривизны равны между собой).
К начертательной геометрии Монжа примыкает его "Теория перспективы". Однако между этими двумя разделами курса, который Монж читал в Политехнической школе и в Высшей нормальной, есть существенная разница. Начертательная геометрия представляет собой не что иное, как классическую геометрию в применении к некоторым построениям. Теория перспективы является принципиально новым разделом геометрии; впоследствии Понселе построит на её основании проективную геометрию и таким образом выйдет за пределы классических идей.
Изложив основы линейной перспективы, Монж переходит к воздушной перспективе, которую излагает весьма тщательно, подчеркивая при этом её экспериментальный характер: "Мы далеки от мысли что изложенное, представляет законченное учение; это лишь отдельно высказанные мысли, предназначенные для того, чтобы открыть более или менее новые пути. Мы хотели бы, чтобы из наших попыток выросли более глубокие исследования и чтобы они стали для науки началом некоторых будущих успехов". [7] Монж изучает освещённость с точки зрения физики и физиологии. Он учитывает сопротивление среды распространению светового луча, оценивает отражение света гладкой и шероховатой (матовой) поверхности. Далее рассматривает случай сферической поверхности: несмотря на то, что освещённость поверхности одинакова, сила света будет тем меньше, чем ближе к нормали направление светового луча. В качестве примера Монж приводит Луну, которую рассматривает как матовую поверхность, отражающую солнечные лучи. Поскольку Луна не имеет атмосферы, то из-за её сферической поверхности мы видим возле её краёв под тем же углом зрения большие поверхности, чем в её центре, и, следовательно, освещённость Луны у краёв представляется нам большей, чем в центральной части.
"Рассмотрим два ряда одинаковых предметов, расположенных на большом расстоянии; пусть один ряд состоит из освещённых предметов, другой из предметов, погружённых в тень. Освещённость предметов, составляющих первый ряд, будет ослабевать по мере их удаления от источника света. Если предположить, что предметы белого цвета, то их белизна будет становиться менее яркой и будет незаметно изменяться при переходе от одного предмета к другому, и весьма ощутимо заметно это изменение на протяжении всего ряда. Белизна приобретает голубоватый оттенок; в то же время тень предметов, составляющих второй ряд, будет ослабевать в той же интенсивности, приближаясь, однако, не к белому, а к голубому цвету. Если оба ряда рассматриваемых предметов простираются исключительно далеко, то наступит такой момент, когда белизна освещённых предметов и чернота находящихся в тени, всё время убывающая с переходом в синеву, сольются в цвете атмосферы. Мы наблюдаем подобное явление, рассматривая высокие горы... их покрытые снегом и сверкающие, их сильные тени, столь резко выраженные при рассмотрении с небольшого расстояния в ясный день,- всё почти совсем гаснет и растворяется в лазури неба". [8]
Как видим, геометрия переходит в теорию искусства, а геометрические построения тесно связаны с проблемами изображения. Монж был не только ученым - он был практиком и поэтому ближе других подошел к решению комплексных проблем, равно относящихся к той или иной области человеческой деятельности; поэтому, возможно, начертательная геометрия именно у него приобрела свою классическую форму. Действительно, чтобы предпринять какие-либо технологические операции над телом, имеющим вполне определённую форму, нужно найти адекватное изображение этой формы; в противном случае любое решение будет частным и не сможет привести к созданию соответствующей теории. У начертательной геометрии в использовании и в понимании Монжа была двоякая роль: она, во-первых, подменяла собой определённый свод технических познаний, была в некотором роде "энциклопедией техники"; во-вторых, она давала в руки инженера ряд графических методов решения задач. Наконец, с начертательной геометрией был создан общепонятный язык техников, очень скоро получивший международное значение.
Однако, кроме своего практического применения, начертательная геометрия несет ещё одну важную функцию, на которую указал в своё время ученик Монжа Дюпен: она является графической традицией рациональной геометрии. Геометрия имеет дело с предметами, ориентированными в трёхмерном пространстве; целью начертательной геометрии в таком случае является представление в воображении пространственных форм, их сочетаний и операций над ними. Мы говорим здесь о геометрии конца ХVIII - начала ХIХ в., с которой имели дело математики до опубликования революционных идей Н. И. Лобачевского. Ум человека приучается представлять пространственные образы не как индивидуальные образования - точки, линии, поверхности и тела, существующие в идеальном абстрактном пространстве, а как совокупности, которые можно приближать друг к другу, комбинировать; можно предвидеть результаты их пересечений. Для геометрии той эпохи идеи эти несли с собой новую мысль; они послужили стимулом к созданию новой геометрии, одним из основоположников которой явился сам Монж.
Мы видели, основной задачей, поставленной Монжем, было представление трёхмерных тел природы на двумерной поверхности. Второй его задачей было определить для подобного представления математические соотношения, основанные на форме и положении тел.
К решению он подходит планомерно, детально разбирая построение точки, линии, поверхности. Именно этой планомерности не было у его предшественников; они предлагали либо теоретические исследования, которым трудно было найти практическое применение, либо ряд проверенных рецептов, которые следовало выучить на память без рассуждений.
Монж не стал относить положение изучаемых объектов к фиксированным точкам или к прямым линиям; его метод заключается в том, что он относит объекты к плоскостям, перпендикулярным между собой, тогда каждая точка и каждая линия проектируемого объекта также проектируются на эти плоскости. В некоторых простейших случаях принцип проектирования упрощается. Так, плоскость полностью определяется прямыми линиями, "следами" на плоскостях проектирования; сфера - двумя проекциями её центра и большого круга; цилиндр - своим пересечением с одной из плоскостей проектирования и проекцией его сечения.
Следующей задачей, поставленной Монжем, было изображение сочетаний точек, линий и поверхностей. При построении плоскостей Монж рассматривает три случая: плоскости, параллельные между собой, перпендикулярные и наклонные. Естественно, в первом случае ему приходится определять расстояние между плоскостями, а в последнем - величину наклонения.
Затем Монж переходит к изучению линий и плоскостей, которые занимают относительно кривых поверхностей какие-либо важные положения; главными из них являются касательные плоскости и нормали. Монж разработал графические методы изображения подобных плоскостей и линий исходя из таких предположений; точки, через которые следует провести нормаль касательную плоскость, заданы на поверхности, вне поверхности заданы одна точка нормали и две точки касательной плоскости. Он специально занимается также случаями, когда касательная плоскость проведена к одной, двум или трём сферам.
Изложение курса завершают построения, выполняемые в развитие основных идей. Однако Монжа не удовлетворяло пассивное изучение его предмета, от своих учеников он требовал активности, чтобы они решали и такие задачи, которые выходили за пределы курса. Это стремление ввести учащегося в творческую лабораторию учёного особенно характерно для Монжа. Он не создал научной школы, но среди его учеников оказалось много крупных учёных, продвинувших вперёд и математику и механику. Его начертательная геометрия очень быстро перестала быть ведущим предметом в системе преподавания, но, несмотря на это, именно с ней была связана важнейшая задача высшего технического образования, выполненная уже в ХIХ в., - становление прикладной и технической механики.
Теоремы Монжа.
Приведу здесь три теоремы. Все они носят имя Монжа.
Теорема 1. Пусть выпуклый четырехугольник вписан в окружность. Пусть середины его сторон и соответственно. Тогда перпендикуляры, опущенные из точек на противоположные стороны четырехугольника, пересекаются в одной точке.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Доказательство. Обозначим через центр окружности. Пусть точка пересечения отрезков и . Пусть точка, симметричная относитлеьно . Докажем, что перпендикуляры на противоположные стороны, опущенные из точек и , пересекаются в точке .
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Рассмотрим четырехугольник . Так как центр окружности, а отрезки и соединяют с серединами хорд окружности, то эти отрезки перпендикулярны соответствующим хордам. Кроме того, параллелограмм, поскольку противоположные его вершины симметричны относитлеьно точки . Следовательно, прямая перпендикулярна , а прямая перпендикулярна .
Аналогично доказывается, что перпендикуляры на противоположные стороны четырехугольника из точек и , пересекаются в точке .
Теорема 2. Пусть на плоскости даны три окружности, каждая из которых не лежит целиком внутри ни одной из остальных. Тогда точки пересечения внешних касательных, проведенных к каждой паре окружностей, лежат на одной прямой.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Доказательство. Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Плоскость , касающаяся всех трех сфер, пересекает данную плоскость (ту, которая проходит через центры окружностей) по прямой . Тем самым, общие касательные к каждой паре окружностей, лежащие в плоскости , пересекают . Однако общие касательные к парам окружностям, лежащие в плоскости , проходят через точки пересечения рассмотренных касательных и в силу симметрии.
Теорема 3. Пусть на плоскости даны три окружности, которые имеют общие точки (все три). Тогда общие хорды каждой пары окружностей, соединяющие общие точки этой пары, пересекаются в одной точке.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Доказательство. Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Каждая пара сфер пересекается по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной плоскости , которая проходит через центры окружностей. Каждая пара этих окружностей имеет общие точки. Следовательно, все три окружности имеют общие точки. Таких точек две, причем они расположены на перпендикуляре к плоскости симметрично относительно ее. Точка пересечения трех хорд окружностей точка пересечения этого перпендикуляра и плоскости .
Книга Гаспара Монжа.
Искусство лить пушки
Монж Г. (1746-1818).Искуство лить пушки/ Сочинение г- на Монжа; Перевод с французскаго языка [Петра Раткевича и Ивана Горбовского]. - Прижизн. изд. - Во граде Св. Петра [Спб.]:Печатано в типографии Шнора,1804. - [8], VIII, 274 с., 4 л. табл., LX л. ил., черт., пл.
Содержание
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Источник: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215
Рисунок 2Рисунок 5Рисунок 9Рисунок 14Рисунок 16Рисунок 21Рисунок 22Рисунок 23Рисунок 26Рисунок 27Рисунок 28Рисунок 32Рисунок 33Рисунок 42Рисунок 43Рисунок 44Рисунок 115