Урок геометрії у 8 класі Вписані й описані чотирткутники

Головне управління освіти і науки
Дніпропетровської державної адміністраціїВідділ освіти Петропавлівської районної державної адміністраціїМиколаївська загальноосвітня школа І-ПІ ступенів урок з геометрії у 8-Б класі
Учитель математики
Ріпна Ніна Петрівна
Тема. Вписані і описані чотирикутники
Мета:
Активізувати знання і вміння учнів про вписані та описані трикутники, пригадати місцезнаходження центрів цих кіл для різних видів трикутників.
Активізувати знання учнів про вписані та центральні кути .
Практично дослідити: суму протилежних кутів вписаних чотирикутників та суму протилежних сторін описаних чотирикутників.
Дослідити та довести з учнями місцезнаходження центрів вписаних та описаних кіл для різних видів чотирикутників, обґрунтувати навколо яких чотирикутників не можна описати коло та в які неможливо вписати коло.
Узагальнити і систематизувати знання учнів про вписані та описані
чотирикутники у вигляді таблиці.
Вчити застосовувати набуті знання при розв’язуванні задач.
Розвивати розумові здібності учнів, логічне мислення, пам’ять, їх інтерес до навчання, сприяти виробленню навичок постановки і досягнення власної мети, заохочувати до самостійної навчально – дослідницької та пошукової роботи учнів з метою систематизаці і узагальнення знань.
Виховувати працьовитість, взаємоповагу, охайність, старанність, відповідальність, виховувати позитивну мотивацію до навчання.
Очікувані результати :
1.Учні чітко розрізняють вписані і описані чотирикутники.
2.Учні знають і вільно оперують означеннями , властивостями та ознаками вписаних і описаних чотирикутників.
3.Учні вміють будувати вписані і описані чотирикутники, пояснювати випадки неможливих побудов вписаних і описаних чотирикутників.
4.Учні чітко доводять властивості й ознаки вписаних та описаних чотирикутників, та вміють їх застосовувати до розв’язування задач.
Прилади та матеріали: транспортир, лінійка, таблиці, записи на дошці для доведення теорем, розроблених тестових завдань та набором задач , що розв’язуються за готовими малюнками, набором задач для розв’язування.
Тип уроку: урок – дослідження.
Хід уроку :
І. Організаційний момент ( мотивація позитиву до навчання ).
ІІ. Актуалізація опорних знань, вмінь і навичок учнів.
У 7 класі ми з вами вивчили властивість дотичної й радіуса, проведеного в точку дотику; властивість двох дотичних, проведених до одного кола з однієї точки; досліджували властивості трикутника. Зокрема, з'ясували який трикутник називається вписаним в коло та описаним навколо нього; при вивченні теми «Геометричні побудови» ви розглядали різні види трикутників і практично досліджували де знаходяться центри вписаних та описаних кіл та будували їх. Отже давайте пригадаємо:
властивість дотичної і радіуса, проведеного в точку дотику;
властивість двох дотичних до кола, проведених до одного кола з однієї точки ( рівні );
Яка властивість центрального і відповідного вписаного кута, що спирається на ту ж дугу? ( вписаний кут дорівнює половині центрального, або дорівнює половині дуги, на яку він спирається ).
Якщо вписаний кут спирається на діаметр, то його величина дорівнює… ( 90 градусів ).
Якщо вписані кути спираються на однакові дуги, то вони … ( рівні).
які трикутники називають вписаними та описаними? ( Вписаним називається трикутник, кожна вершина якого належить колу. Трикутник називається описаним, якщо коло дотикається до всіх сторін трикутника );
де лежить центр вписаного кола трикутника ? (точка перетину бісектрис);
як знайти центр описаного кола трикутника ? ( треба знайти точку перетину серединних перпендикулярів) ;
де знаходяться центри вписаних і описаних кіл для:
рівностороннього трикутника ( співпадають-точка перетину медіан );
прямокутному трикутнику ( середина гіпотенузи – центр описаного кола);
у тупокутному трикутнику ( центр описаного кола лежить поза трикутником )
Демонструються таблиці з вписаними та описаними колами для різних трикутників.
Проблемне запитання.
Як ви думаєте, який чотирикутник називається вписаним в коло?
Який чотирикутник називається описаним навколо кола?
ІІІ. Мотивація теми і мети уроку.
Можливо хтось із вас допоможе сформулювати мені тему уроку?
Учитель записує тему уроку. «Вписані і описані чотирикутники»
Діти записують у зошит.
А сьогодні, я думаю, для вас буде цікавим дізнатися про вписані та описані чотирикутники, і не тільки дізнатись про них, а й дослідити та довести їх властивості та ознаки. В кінці уроку впевнена ви зумієте пояснити (роздаю учням листки з даними запитаннями):
1. Які чотирикутники називаються вписаними та описаними?
2. Чи навколо кожного чотирикутника можна описати коло?
3. Чи в кожний чотирикутник можна вписати коло?
4. Яка умова повинна виконуватись для того, щоб в чотирикутник можна б було вписати коло?
5.Яка умова повинна виконуватись, щоб навколо чотирикутника можна було б описати коло?
6.Де знаходиться центр вписаного та описаного кіл чотирикутника?
7.Зробити висновки про описані та вписані чотирикутники.
8.Вміти доводити властивості вписаних та описаних чотирикутників.
Вправа на уважність. Листки лежать на столах учнів
Порівняйте кути АОВ, COD, ВОС

Яка фігура вписана в коло – квадрат чи близька до квадрата фігура?

Яка фігура вписана в коло – трикутник чи близька до трикутника фігура?

Відповіді:
Кути рівні. Тут ілюзорну деформацію викликають гострі центральні кути, на які розбиті кути АОВ і COD і тому вони здаються більшими за кут ВОС.
і 3) Тут домінуючими є кола. Кути вписані в коло в одному випадку утворюють квадрат, а в другому – правильний трикутник. Ці фігури за рахунок багатьох кіл виглядать близькими до квадрата і трикутника відповідно, їхні сторони здаються вгнутими всередину.
В даних завданнях застосована оптична ілюзія. Ми часто її спостерігаємо і використовуємо, але мало знаємо про неї. Ілюзію зору використовують архітектори, модельєри, художники. Ілюзію часто можна застосовувати на практиці і в повсякденному житті. Наприклад з її допомогою можна приховати вади форм обличчя чи фігури.
Запропонвані задачі ще раз переконують нас в тому, що в геометрії все треба доводити, а не вірити очам.ІV. Вивчення нового матеріалу .
Серед запропонованих малюнків виберіть чотирикутники вписані в коло.
7620070485
Мал.2
Мал.1


Мал.4
Мал.3
Чотирикутник називається вписаним в коло, якщо всі його вершини належать колу. Це коло називається описаним навколо даного чотирикутника.
Виміряйте градусну міру А й С; В й D.
Результат записати в таблицю
Виміряти
А Виміряти С А +С
Виміряти
D Виміряти В В +D.
Виміряти
А Виміряти С А +С
Виміряти D Виміряти В В +D.
Оголосити результат. Зробити висновок.
Сума двох протилежних кутів чотирикутника, вписаного в коло,
дорівнює 1800.
Кожний висновок повинен бути доведений.


В С
А D
Доно: ABCD — чотирикутник вписаний в коло.
Довести: а) А +С=1800;
б) В +D=1800.
Доведення. а) ВСD =12ВАD , ВАD =12ВСD Додамо ліві й праві частини рівностей.
ВСD+ВАD =12(ВАD +ВСD)=123600=1800.
Аналогічно доводимо В +D=1800.
Виберіть чотирикутники описані навколо кола.
Чотирикутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола. Це коло називається вписаним в даний чотирикутник.
Виміряйте довжини сторін чотирикутника ABCD
Заповніть таблицю. Зробіть висновок.
AB BC CD AD AB+CD AD+BC
Якщо чотирикутник описаний навколо кола, то сума довжин двох його протилежних сторін дорівнює сумі довжин двох інших сторін.
Доведемо дане твердження.
Доно: ABCD — чотирикутник описаний наколо коло. М,N,P,T —точки дотику кола до сторін чотирикутника.
Довести: AB+DC= AD+BC.
Доведення. Ми сьогодні з вами вже пригадали, що довжини відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.
AB+DC= AD+BC
АК+КВ+DP+PC= AT+TD+MC+MB
АК PC DP КВ
Отже AB+DC= AD+BC.
Фізкульт хвилинка
Із-за парт всі миттю встали,
Гарно спинки підрівняли.
Учні встають, вирівнюються, руки на поясі Вгору тягнемось усі,
Мов трава в дрібній росі.
(Стають на носочки, піднімають руки вгору.)
Потім легко всі присіли,
Наче ноги заболіли.
(Руки на пояс, присідають.)
Потім встали, руки в боки
І зробили два підскоки.
(Встають, руки в боки, підскакують.)
Каблучками цок-цок-цок.
І продовжимо урок.
1 й 2 групи ( різні чотирикутники): Для даного довільного чотирикутника, навколо якого описано коло, побудуйте серединні перпендикуляри до сторін і перевірте чи вони перетинаються в центрі даного кола.
Обговоріть результати.
Оголошують результати іншим групам.
3 й 4 групи( різні чотирикутники) : Для даного чотирикутника і вписаного в нього кола перевіряють чи бісектриси кутів чотирикутника перетинаються в центрі даного кола.
Висновки:
Центр кола, описаного навколо будь-якого чотирикутника знаходиться в точці перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін чотирикутника.
Якщо серединні перпендикуляри, проведені до сторін чотирикутника перетинаються в одній точці, то навколо даного чотирикутника можна описати коло, а якщо серединні перпендикуляри не перетинаються в одній точці, то навколо даного чотирикутника неможливо описати коло.
Центр вписаного кола довільного чотирикутника є точкою перетину бісектрис кутів чотирикутника.
Назва чотирикутника Вписати коло Де лежить центр вписаного кола Описати коло Де лежить центр описаного кола
прямокутник + Точка перетину діагоналей
квадрат + Точка перетину діагоналей + Точка перетину діагоналей
ромб + Точка перетину діагоналей
Трапеція рівнобічна + Перепин бісектрис + Перетин серединних перпендикулярів
Якщо бісектриси кутів чотирикутника перетинаються в одній точці, то ця точка є центром вписаного кола і в даний чотирикутник можна вписати коло, інакше в чотирикутник неможливо вписати коло.
Для квадрата: можна вписати в нього і описати навколо нього коло. Центр – точка перетину діагоналей.
Для прямокутника можна описати коло з центром в точці перетину діагоналей, але вписати коло в нього неможливо.
Для ромба можна вписати в нього коло, але описати навколо нього коло неможливо.
Для трапеції можна і вписати в неї і описати навколо неї коло при умові виконання умов теорем.
В довільний паралелограм – тільки при умові виконання умов теорем.
V. Застосування набутих знань.За готовим малюнком
№ 300
Дано: послідовно три сторони 2см,3см, 4см
Знайти четверту сторону.
Суми довжин протилежних сторін описаного чотирикутника рівні.
2+4=3+х, х=3
№ 301
Два послідовні кути вписаного чотирикутника
дорівнюють 800 і 1200. Знайти два інші кути.
Сума двох протилежних кутів чотирикутника, вписаного в коло, дорівнює 1800, тому два інші кути 1000 та 600.
№302
Три послідовні сторони трикутника пропорційні
числам 3, 4, 6. Знайти їх, якщо четверта сторона
дорівнює 20см.
Нехай коефіцієнт пропорційності k. Маємо сторони 3 k,4 k, 6 k,см.
Суми довжин протилежних сторін описаного чотирикутника рівні.
3 k+6 k=4 k+20, 5 k=20, k=4.
VІ. Підсумок уроку.
Чи можете ви відповісти на запитання:
1. Які чотирикутники називаються вписаними та описаними?
2. Чи навколо кожного чотирикутника можна описати коло?
3. Чи в кожний чотирикутник можна вписати коло?
4. Яка умова повинна виконуватись для того, щоб в чотирикутник можна б було вписати коло?
5.Яка умова повинна виконуватись, щоб навколо чотирикутника можна було б описати коло?
6.Де знаходиться центр вписаного та описаного кіл чотирикутника?
7.Зробити висновки про описані та вписані чотирикутники.
8.Вміти доводити властивості вписаних та описаних чотирикутників.
Оцінки за урок
VІІ. Домашнє завдання. С.59 запитання
Усно с.60  №№291-296
№307, №303
Поміркуйте чи так це насправді
В одному із творів Гоголя є опис Дніпра: «Зорі горять і сяють над світом, і всі разом відбиваються в Дніпрі. Всіх їх тримає Дніпро в темнім своїм лоні; жодна не втече від нього – хіба що погасне на небі». І справді, коли стоїш на березі широкої річки, то здається, що у водяному дзеркалі відображається повністю все зоряне небо. Але чи так воно насправді? Чи всі зірки відображаються у річці?


Як відомо, коло – це геометричне місце точок, рівновіддалених від центра. Центр кола, яке описує райдуга, завжди лежить на прямій, яка проходить через Сонце і око спостерігача, тобто бачити одночасно сонце і райдугу без використання дзеркала неможливо. Для спостерігача на землі райдуга зазвичай виглядає як частина кола, а наприклад з гори чи літака можна побачити і все коло.
.
Додаток
Зразок тесту
Центр кола, описаного навколо трикутника лежить у точці перетину:
а) бісектрис; б) медіан; в) висот; г) серединних перпендикулярів;
д) сторін.
З точки проведені дві дотичні до кола. Тоді відрізки цих дотичних:
а) паралельні; б) перпендикулярні; в) рівні; г) є бісектрисами;
д) не перетинаються.
Якщо вписаний кут 20 градусів, то відповідний центральний кут дорівнює:
а) 160 ; б) 40 ; в) 50 ; г) 10; д) 180
Діагональ квадрата 10 см. Радіус кола, описаного навколо квадрата дорівнює :
а) 5см; б) 10 см; в) 20 см; г) 40 см; д) 15 см.
Бічна сторона рівнобедреної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 10 см. Знайти довжину середньої лінії трапеції:
а) 40см; б) 20см; в) 10см; г) 5 см; д) 2 см.
Три послідовні сторони прямокутної трапеції 6см, 8 см, 10см. Знайти довжину середньої лінії трапеції:
а) 6см; б) 10см; в) 8 см; г) 9см; д) 3 см.
Висота рівнобічної трапеції 20 см. Знайти радіус вписаного кола .
а) 20 см; б) 5 см; в) 10 см; г) 18 см; д) 30см.
8. Периметр рівнобічної трапеції, описаної навколо кола дорівнює 32 см.
Знайти середню лінію трапеції:
а) 32 см; б) 16 см ; в) 8 см ; г) 10 см; д ) 3,2 см.
9. Діагоналі трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Тоді центр
описаного кола знаходиться на :
а) середині меншої основи; б) середині більшої основи; в) на середній лінії
трапеції; г) в точці перетину діагоналей; д) в точці перетину висоти і
середньої лінії трапеції.
10. В чотирикутник можна вписати коло, якщо :
а) сума всіх кутів чотирикутника 360 ;
б) в одній точці перетинаються бісектриси внутрішніх кутів
чотирикутника;
в) в одній точці перетинаються серединні перпендикуляри до сторін
чотирикутника;
г) один кут чотирикутника дорівнює 90 градусів;
д) сума протилежних кутів чотирикутника 180 градусів.
11. Радіус кола, вписаного в квадрат дорівнює 8 см. Знайти периметр
квадрата.
а) 8 см; б) 4 см; в) 2 см; г ) 64 см; д) 32 см.
12. У паралелограм можна вписати коло, якщо :
а) всі сторони рівні; б) один кут прямий;
в) протилежні кути рівні;
г) діагоналі точкою перетину діляться пополам;
д) всі кути прямі.
13. Кут між дотичною і радіусом дорівнює:
а) 180 ; б) 60; в) 90; г) 40; д) 120.
14. Радіус вписаного кола в прямокутну трапецію з висотою 10см дорівнює:
а) 10 см ; б) 40 см; в) 60 см; г ) 5 см; д) 30 см; е) правильної відповіді не має.