Методические указания к выполнению практических работ по математике для специальности Технология продукции общественного питания (2 курс

Государственное автономное образовательное учреждение
Мурманской области среднего профессионального образования
«Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»
Методические указания
к выполнению практических работ по дисциплине
«Математика»
для специальности
19.02.10 «Технология продукции общественного питания»

Мурманск 2015 г.
Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» разработаны на основе рабочей программы учебной дисциплины «Математика» по специальностям среднего профессионального образования 19.02.10 «Технология продукции общественного питания»
Организация-разработчик: ГАОУ МО СПО «Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»
Разработчики:
Кармановская Т.В., преподаватель ГАОУ МО СПО МСК им. Н. Е.МомотаРассмотрены и одобрены
предметно-цикловой комиссией
«Естественнонаучные дисциплины»
Председатель _______ И.А. Егорова
Протокол № _____
от «___» _______________ 2015 года. Рецензент:
Содержание
Пояснительная записка………………………………………………………………4
Практическая работа №1…………………………………………………………….5
Практическая работа №2…………………………………………………………….6Практическая работа №3……………………………………………………………8
Практическая работа №4……………………………………………………………10
Практическая работа №5……………………………………………………………13
Практическая работа №6……………………………………………………………15
Практическая работа №7……………………………………………………………19
Практическая работа №8……………………………………………………………23
Практическая работа №9……………………………………………………………25
Дифференцированный зачет………………………………………………………..30
Рекомендуемая литература………………………………………………………….31
Пояснительная записка
По учебному плану в соответствии с рабочей программой на изучение дисциплины обучающимися предусмотрено аудиторных занятий 48 часов, из них практических занятий – 28 часов. В методические указания включено восемь практических работы по темам курса, включая дифференцированный зачет. Каждая практическая работа содержит сведения о цели ее проведения и практическом использовании.
Практические занятия
Номер заня-
тияНаименование темызанятия Номер
раздела, тема дисциплины Объем в часах
Аудиторных СРС
1 2 3 5 6
1-2 Теория пределов 1 2 3-6 Неопределенный интеграл 2 4 7-9 Определенный интеграл. 3 3 10-12 Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла 3 3 13-14 Множества и операции над ними 3 2 15-18 Теория вероятностей 4 4 19-22 Математическая статистика 5 4 23-24 Матрицы. Определители. 6 2 25-26 Обратная матрица. Формулы Крамера6 2 27-28 Дифференцированный зачет 2 Итого 28 Практическая работа № 1
Тема: «Пределы»
Цель: сформировать умение находить простейшие пределы с использованием основных свойств пределов, раскрывать неопределенности различного рода, использовать 1-й и 2-й замечательные пределы для нахождения пределов.
Краткие теоретические сведения к практической работе
Основные свойства пределов
10. Предел суммы равен сумме пределов
lima+b=lima+limb.
20. Предел разности равен разности пределов
lima-b=lima-limb.
30. Предел произведения равен произведению пределов
lima∙b=lima∙limb.
40. Постоянный множитель можно вынести за знак предела
limс∙a=с∙lima.
50. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю
limab=limalimb limb≠0.Замечательные пределы
1) limx→0xsinx=1 или limx→0sinxx=1 – первый замечательный предел,
2) limx→∞(1+1x)x=e или limx→0(1+x)1x=e – второй замечательный предел.
Эквивалентные бесконечно малые величины
Опр.: Две бесконечно малые величины называются эквивалентными, если их предел соотношения равен единице (см. замечательные пределы). Эквивалентность обозначается знаком ≈, таким образом
sinx≈x, sin2x≈2x, sin2x≈x2 и т. д.Пример. limx→32x-1= limx→32x- limx→31=2∙3--1=5. Пример. limx→-45-3x=5-3∙-4=5+12=17.Пример. limx→25x+x2=5∙2+22=10+4=14.Пример. limx→2x+4x-2=∞,здесь limx→2x-2=0, limx→2x+4=6≠0,limx→2x+4x-2=60=∞.Пример. limx→1x2-1x-1=00 - неопределенность, которую необходимо раскрыть следующим образом
limx→1x2-1x-1=limx→1(x-1)(x+1)x-1= limx→1x+1=1+1=2.Пример. limx→-329-4x23+2x=00 , раскроем неопределенность, используя формулу сокращенного умножения
limx→-329-4x23+2x=limx→-32(3-2x)(3+2x)3+2x= limx→-32(3-2x)=3-2∙-32=3+3=6.
Пример. limx→05x6-2x5+7x3x3=00. Неопределенность, которую необходимо раскрыть, преобразуя числитель следующим образом
limx→05x6-2x5+7x3x3=limx→0x35x3-2x2+7x3=limx→05x3-2x2+7==5∙0-2∙0+7=7.
Содержание практической работы
Вариант 1
Вычислить пределы:
а) limx→47x3-3x;
б) limx→12x+43x-2;
в) limx→5x2-25x-5;
г) limx→-4x2+5x+4x+4;
д) limx→06x5-2x33x3;
e) limx→∞6x5-5x3+x3x5-7x2-9;
ж) limx→08sin4x5x;
и) limx→∞1+4x334x,
к) limx→110-x-31-x,
л) limx→∞xx+13x-1.
Практическая работа № 2
Тема: «Неопределенный интеграл»
Цель: сформировать умение вычислять простейшие интегралы с использованием основных свойств интегрирования, использовать в вычислении неопределенных интегралов таблицу интегралов, применять различные методы интегрирования.
Краткие теоретические сведения к практической работе
Понятие неопределённого интеграла, формула вычисления неопределённого интеграла
Определение: Множество первообразных функции f(x) называется
неопределенным интегралом от этой функции и обозначается fxdx.
fxdx=F(x)+c, где
fxdx- подинтегральное выражение
fx – подинтегральная функция
x− переменная интегрирования.
Правила интегрирования:
10. Постоянный множитель подинтегрального выражения можно вынести за знак интеграла:
c∙fxdx=c∙fxdx.
20.Интеграла от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от каждой функции:
f(x)±φ(x)dx=fxdx±φxdx.Формулы интегрирования:
1 dx=x+c10 dx1+x2=arctgx+c2 xndx=xn+1n+1+c11 tgxdx=lncosx+c, ctgxdx==lnsinx+c3 axdx=axlna+c12 dxcos x=lntgx2+π4+c4 dxx=lnx+c13 dx1-x2=arcsinx+c5 exdx=ex+c14 dxa2-x2=arcsinxa+c= -arccosxa+c6 sinxdx=-cosx+c15 dxa2+x2=1aarctgxa+c7 cosxdx=sinx+c16 sinkx+bdx=-1kcoskx+b+c
8 dxcos2x=tgx+c17 ekx+bdx=1kekx+b+c9 dxsin2x=-ctgx+c18 coskx+bdx = 1ksinkx+b+c
Методы интегрирования
1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пример 1.
4 dx=4x+c.Пример 2.
4x-7dx=4x dx-7dx=4x1+11+1-7x+c=4x22-7x+c=2x2-7x+c.Пример 3. 67x-6e8-3xdx=67dxx-6e8-3xdx=67lnx-6-13e8-3x+c=67lnx+2e8-3x+c.Пример 4.
2x4-3x6+10x8dx=2x4dx-3x6dx+10x8dx=
=2x4+14+1-3x6+16+1+10x8+18+1+c=2x55-3x77+10x99+c.
Пример 5.
(3sin5x-2tgx)dx=3sin5xdx-2tgxdx=315-cos5x-2lncosx+c=-35cos5x-2lncosx+c.
Пример 6.
10cos3x-2xdx=10cos3x dx-2xdx=103sin3x-2xln2+c.
2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ ВСПОМОГАТЕЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ (ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ)
В подинтегральное выражение можно f(x) dx можно ввести вспомогательную переменную z, связанную с х некоторой зависимостью (предполагается, что x=φz, выражающая эту зависимость, имеет непрерывную производную). Пусть преобразованное выражение есть f1zdz (имеем: f1zdz=fφzφ'zdz), тогда fxdx=f1zdz. Если интеграл f1zdz принадлежит к табличным или сводится к ним легче, чем исходный, то преобразование достигает цели. Ниже приведены примеры на данный вид интегрирования.
Пример 12. 3x-15dx=3x-1=t3dx=dtdx=dt3=t5dt3= 13t5dt= 13∙t5+1(5+1)+c= t618+c= (3x-1)618+c.Пример 13.
4dx(7-2x)8=4(7-2x)-8dx=7-2x=t-2dx=dtdx=-dt2=4t-8dt-2=-2t-8dt=-2t-8+1-8+1+c=-2t-7-7+c=27t7+c=277-2x7+c .
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Всякое подинтегральное выражение можно бесчисленными способами представить в виде u dv u и v-функции переменной интерирования.Интегрирование по частям называется сведение данного интеграла u dv к интегралу v du с помощью формулы
u dv=uv-v du. (*)
Этот прием ведет к цели, если v du находится легче, чем u dv или если один из этих интегралов выражается через другой.
Ниже приведены примеры интегрирования по частям c помощью формулы (*).
Пример 21.
exx dx=x=udx=duex=vex dx=dv=u dv=uv-v du=exx-ex dx=
=exx-ex+c.
Пример 22.
x sinx dx=x=udx=ducosx=v-sinx dx=dv=-udv=-uv+v du=
=-x cosx+cosx dx=-x cosx+sinx+c.
Содержание практической работы
Вычислить неопределенный интеграл
Вариант 1

а) 7х2+3dx,
б) 5х4+8x3-2xdx в) 3sinх+8cosх-xdx г) 792x5+3tgxdx,
д) 5x9+4x8-7e4x-1dx,
е) 2сos5x2-πdx,
ж) 2dx1-10x4,
з) 2-3x10dx,
и) 33х-54dx,
к) 12x9-3x7+8x52x5dx,
л) 4dx48x-7,
м) 3x2exdx, н) 6x dx2+3x2, о) х2sinx dxПрактическая работа №3
Тема : « Определенный интеграл»
Цель: сформировать умение находить простейшие определенные интегралы, с использованием основных свойств определенного интеграла, вычислять определенные интегралы с использованием основных методов интегрирования, вычислять площади криволинейных трапеций с использованием формулы Ньютона-Лейбница.
Краткие теоретические сведения
Определенный интеграл от функции, непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле:

где — первообразная для функции , т. е.
Формула называется формулой Ньютона — Лейбница.
Свойства определенного интеграла:

6) Если для всех , то
7) Если для всех , то
При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:

где — обратная к функция.
Формула интегрирования по частям приобретает вид:

Задание 1. Вычислить определенный интеграл:
1) 235xdx=523xdx=5x1+11+1=5x2223=5∙322-5∙222= 452-202=252.2) -214x-8dx=4-21xdx-8-21dx=(4x1+11+1-8x)-21=(2x2-8x)-21==2∙12-8∙1-2∙-22-8∙-2=-6-24=-30.3) 012x3-x2+xdx=(2x3+13+1-x2+12+1+x1+11+1)01=(x42-x33+x22)01==142-133+122-042-033+022=23.4) -aax5-x4dx=(x5+15+1-x4+14+1)-aa=(x66-x55)-aa=a66-a55--a66---a55=a66-a55-a66-a55=-2a55.Содержание практической работы
Вариант 1
Вычислить определенный интеграл
а) 012x2-3x-1dx,
б) -23x5-3x4+0,2xdx,
в) 124dx2x+5,
г) -112-3x4dx,
д) 024x-53dx,
е) -ππcos2x-πdx,
ж) -323dx4-5x3,

Практическая работа №4
Тема: «Вычисление площади криволинейной трапеции с
помощью определенного интеграла»
Цель: сформировать умение находить площадь криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Краткие теоретические сведения
Задание. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями:
а) y = x2, x=2, y=0.
Составим таблицу для функции y = x2:x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
S= 02x2dx= x3320= 233-033 = 83 (кв.ед.)
Ответ: S=83 (кв.ед.)
Содержание практической работы
Вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной следующими линиями:
Вариант 1
а) y=x3, y=0, x=0,
б) y=x2+3, y=x+5,
в) y=4x-x2, y=5, x=0, x=3,

Практическая работа №5
Тема : « Множества и операции над ними»
Цель: сформировать умение применять такие операции к множествам как: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность. Строить множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна и определять основные операции над ними.
Краткие теоретические сведения
Множество – это некоторая, вполне определенная совокупность объектов и элементов.
Множество считается заданным если его элементы однозначно определены и не приводят к каким-либо противоречиям.
А – множество,
а – элементы множества А.
а∈А-а является объектом множества А.а∉А- а не является объектом множества А.
Для элементов множеств используется два основных вида обозначений:
-константы,
-переменные.
Константа с областью значений А обозначает фиксированный элемент множества А.
Переменная область значений А обозначает произвольный, заранее не определенный элемент множества А.
Множество конечное, если все его элементы можно перечислить.
Пример. {1,2,3,4} – конечное множество.
{1,2,3,4,...} – бесконечное множество.
Часто при перечислении множества используется описание характеристического свойства элементов этого множества.
Пример. С={1, 8, 27, ..., k3, …} описывает множество кубов положительных чисел.
Пример. А={1, 4, 9, ..., k2} –описывает множество квадратов всех положительных чисел, которые меньше, либо равны k.
Конечное множество {a1, a2, ..., an} – n-элементное.
В общем случае множество задается путем указания характеристического свойства, т. е. свойства, которому удовлетворяют элементы данного множества, и только они.
Пример.
А={x, х – высокий студент данной группы}- неоднозначно определенное множество,
А={x, x – студент данной группы, рост которого выше 180 см.}.
Процедуры получения новых множеств связаны с понятие подмножества.
Множество А является подмножеством множества В (и обозначается А⊆В), если каждый элемент множества А является элементом множества В, т. е. если х∈А, то х∈В.Говорят множество А содержится в множестве В.
Если А⊆В, то А≠В, то А⊂В и А называется строгим подмножеством ( или собственным подмножеством) множества В, а символ «⊂»- символ строгого включения.
А⊄ В – множество А не является подмножеством множества В.
Если А⊄ В, если существует элемент множества А, не принадлежащий множеству В.
{1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 5} ⊄ {1, 2, 3, 4}.
А=В, если х∈ А, х ∈В.А=В⟺ ((А ⊆В) ∧(В⊆А)).Таким образом, равенство двух множеств состоит из доказательства 2-х этапов:
1) доказать, что множество А – подмножество множества В,
2) доказать, что множество В – подмножество множества А.
Множества различают:
пустое,
универсальное.
Пустое множество (∅) – множество, не содержащее элементы.
Универсальное множество (U) – это множество, обладающее таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Операции над множествами позволяют строить новые множества.
1) Пересечение множеств
A∩B=x:x∈A∧(x∈B)}. Пример:
A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {1, 3, 5, 7, 9}
A∩B=1, 3, 5A = A1∩A2∩A3
x∈A тогда и только тогда, когда x∈ А1, x∈ А2, x∈ А3.
2) Объединение множеств
A⋃B=x:x∈A⋁(x∈B)}.Пример.
А = {1, 2, 6, 7}
B = {2, 3, 5, 6}
A⋃B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}
Разность множеств
A-B=x:x∈A и x∈B.
Разностью множеств А и В называется множество элементов множества А, которые не содержаться в множестве В.
Пример.
А = {1, 2, 6, 7}
B = {2, 3, 5, 6}
А – В = {1, 7}.
Cимметрическая разность
A△B=A-B∪B-A.Симметрическая разность множеств А и В состоит из тех элементов, которые принадлежат одному из двух множеств А или В.
Пример.
А = {1, 2, 6, 7}
B = {2, 3, 5, 6}
A△B = {1, 3, 5, 7}.
Очень удобным инструментом , позволяющим изображать множества и иллюстрировать операции над ними, являются диаграммы “Эйлера-Венна”.
Пример.
А/4572023495А
А

1140460271780 В
3 4
00 В
3 4
626110294640А
2
А
2

1
А = {2, 3}
B = {3, 4}
1) A∩B= {3}
2) A⋃B = {2, 3, 4}
3) A – B = {2}
B – A = {4}
4) A△B = {2, 4}
U = {1, 2, 3, 4}.
Содержание практической работы
Вариант 1
Произвести операции над множествами:
А) А={1,3,4,5,6,7}
B={2,3,4,5,7,8}
Б) A={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6}
B={0.2,0.3,0.6,0.7}
C={0.1,0.3,0.4,0.8}
Изобразить с помощью диаграммы и произвести операции над множествами:
А={1,2,5,6}
B={1,4,6,7}
C={1,2,3,4}

Практическая работа №6
Тема : «Теория вероятностей»
Цель: сформировать умение определять в задачах достоверное и невозможное события, применять аксиомы вероятностей при решении задач, вычислять условную вероятность, вычислять вероятность суммы и полную вероятность, вычислять размещения и сочетания.
Краткие теоретические сведения
Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называется теорией вероятностей.
Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называют отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.
PA=mnПример 1: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.
n=30, m=30-2=28P=2830=1415Аксиомы вероятностей:
Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.
Если события А1, А2 … попарно несовместны, то Р(А1+А2+…)=Р(А1)+Р(А2)+…
Свойства вероятностей:
Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.
Вероятность достоверного события равна единице Р=1.
Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0<Р(А)<1.
Пример 2: Из 34 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью чисел от 1 до 34, наудачу извлекается один. Какова вероятность, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.
Решение: Найдем количество чисел от 1 до 34, кратных трем. Это числа 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Всего таких чисел 11. Таким образом, искомая вероятность
События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.
События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Пример 3: Вероятность поражения одной мишени – 0,7, а другой – 0,8. Какова вероятность, что будет поражена хотя бы одна мишень, если по ним стреляют независимо друг от друга.
Решение: Т.к. события совместны, то
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Р(А)+Р(А)=1
Условная вероятность – вероятность одного события, при условии, что другое событие уже произошло.
Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)∙Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)∙Р(В/А)
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В).
Пример 4: В двух коробках лежат ручки разного цвета. В первой коробке – 4 красных и 6 черных, во второй – 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимают по одной ручки. Найти вероятность, что обе ручки красные.
Решение: Найдем вероятности вытащить красную ручку из каждой коробки

Тогда вероятность того, что обе ручки красные:
Полная вероятность. Формула Байеса
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Н1, Н2, …, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.
Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и , то выполняется равенство, называемое формулой Байеса:

Пример 5: В первой партии 20 ламп, во второй – 30 ламп и в третьей – 50 ламп. Вероятности того, что проработает заданное время, равна для первой партии 0,7, для второй – 0,8 и для третьей партии – 0,9. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает заданное время? Найти вероятность, что эта лампа принадлежит первой партии?
Решение: Пусть событие А – наудачу взятая лампа проработает заданное время.
Тогда, пусть Н1 – лампа из первой партии, Н2 – лампа из второй партии и Н3 – лампа из третьей партии. Тогда событие А/Н1 – лампа из первой партии проработает заданное время, А/Н2 – лампа из второй партии проработает заданное время и А/Н3 – лампа из третьей партии проработает заданное время. Найдем вероятности

Теперь, используя формулу Байеса найдем вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии

Формула БернуллиВероятность того, что событие А наступит ровно m раз при проведении n независимых испытаний, каждый из которых имеет ровно два исхода вычисляется по формуле Бернулли
Пример 7: Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 приобретенных билетов 2 окажутся выигрышными.
Решение:

Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна
Пример 8: Прибор состоит из шести элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за определенное время равна 0,6. Для безотказной работы прибора необходимо, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность, что за данное время прибор будет работать безотказно?
Решение:

Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее m1 и не более m2 раз вычисляется по формуле
Пример 9: Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.
Решение:

Наивероятнейшее значение m0 числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле
Размещением из n различных элементов по m элементов (m<n) называется соединение, которое отличается либо составом, либо порядком своих элементов.
Например, выпишем все размещения из элементов a, b, c, d по два элемента: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
Для любого натурального числа n произведение обозначается n!
читается n-факториал.
Формула для подсчета числа размещений:
Пример 11: Найти количество всех двузначных чисел, состоящих из чисел 1,2,3,...,9.
Решение: Это задача о размещении из 9 элементов по 2 элемента, т.к. любые двузначные числа отличаются либо составом цифр, либо их порядком.

Сочетанием из n различных элементов по m элементов (m<n) называется соединение, которое отличается только составом своих элементов.
Например, выпишем вес сочетания из элементов a,b,c,d,e по три элемента: abe, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Формула для подсчета числа сочетаний:
Пример 12. Дано 5 различных чисел a, b, c, d, e. Сколько можно составить всевозможных произведений из этих чисел, состоящих из двух различных множителей?
Решение: Это задача о числе сочетаний из 5 элементов по 2 элемента, т.к. произведения отличаются только составом множителей
Перестановками из n различных элементов называются всевозможные соединения из этих n элементов, т.е. соединения, каждое из которых содержит n различных элементов, взятых в определённом порядке.
Например, все перестановки из элементов a,b,c: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Формула для подсчета числа перестановок: Рп = n!
Пример 13. На столе находятся 5 различных геометрических фигур, (круг, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник). Сколькими способами можно разложить эти фигуры в один ряд?
Решение: Это задача о числе перестановок из 5 элементов. Р5 = 5!= 120.
Пример 14. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми ?
Решение: Эта задача уже была решена с помощью классического определения вероятности. Извлечение двух шаров равносильно последовательному их извлечению. Обозначим через А появление белого шара при первом извлечении, а через В — при втором. Событие, состоящее в появлении двух белых шаров, является совмещением событий А и В.
Р(АВ)=Р(А) Р(В|А)
Р(А)=310,Р(В|А)=29.Р(АВ)=310∙29=115.
Содержание практической работы
Вариант 1
В урне находится 8 белых и 4 чёрных шара. Найти вероятность того, что наугад вынутых три шара 2 из них будут чёрными?
В коробке 5 белых, 10 синих, 15 чёрных карандашей. Вынимают наугад 3 карандаша, какова вероятность, что 1-й белый, 2-й синий, 3-й чёрный?
В ящике 10 белых 16 жёлтых шаров. Вынимают наугад два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?
Город получает тетради от трех фабрик. Первая поставляет 30% общего числа тетрадей, вторая — 50%, третья — 20%. Среди тетрадей, сделанных на первой фабрике, — 60% имеют розовую обложку, на второй — 20%, на третьей — 80%. Какова вероятность, что купленная в этом городе наугад тетрадь будет в розовой обложке?
На полке стоят 18 книг, 7 из них в переплете. Берут наудачу три книги. Какова вероятность того, что все три книги в переплете?
Три лампочки: A, B, C соединены параллельно. Вероятность ис- правной работы A равна 0.5, B — 0.7, C — 0.8. Вычислить вероятность событий: 1) горят три лампы; 2) горит хотя бы одна.
Практическая работа №7
Тема : «Математическая статистика»
Цель: сформировать умение строить ряд распределения, вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, дисперсию дискретной случайной величины, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, строить закон распределения дискретной случайной величины.
Краткие теоретические сведения
Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.
Случайные величины обозначают прописными заглавными латинскими буквами: X, Y, Z …, а принимаемые ими значения: x1, x2, …, y1, y2, … .Пример: 1) Х – число очков, которое появляется при бросании игральной кости.
2) Y – число выстрелов до 1-го попадания в цель.
3) Z – время безотказной работы прибора и т. д.
(Рост человека, курс доллара, прибыль фирмы, выигрыш игрока и т. д.)
Дискретной случайной величиной называется величина, принимающая конечное или счетное множество значений.
Непрерывной случайной величиной называется величина, принимающая несчетное множество значений.
Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω, которая каждому элементарному событию ω ставит в соответствие Х(ω), т. е. Х= Х(ω), ω∈ Ω ( или Х=fω).
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий А⊆ S (S-δ – алгебра событий пространства Ω), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины.
Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины Х, имеющей закон распределения
pi=PX=xi , i = 1,2,3,…n называется число, равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.
Математическое ожидание вычисляется по формуле
MX=i=1nxipiДисперсией (рассеянием) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата её отклонения от своего математического ожидания.
Обозначается дисперсия DX и вычисляется по следующей формуле:
DX= i=1nxi-MX2∙piDX= i=1nxi2∙pi- MX2Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
δx= DXПример 1. В урне 8 шаров: 5 белых, остальные черные. Достают наугад 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.
Случайная величина Х – числа белых шаров выборке есть
х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3.
Найдем их вероятность
p1=PX=0=c50∙c33c83=1∙18!3!8-3!=16∙7∙81∙2∙3=156p2=PX=1=c51∙c32c83=5!1!∙5-1!∙3!2!3-2!56=5∙356=1556p3=PX=2=c52∙c31c83=5!2!∙5-2!∙3!1!3-1!56= 4∙52∙356=3056p4=X=3=c53∙c30c83=5!3!∙5-3!∙156=4∙5256=1056Составим ряд распределения
Х 0 1 2 3
Р 156155630561056Для проверки нахождения вероятностей, в сумме они дают единицу
i=14pi=156+1556+3056+1056=1Построим полигон
Пример 2. В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных
10 шт. по 500 руб.,
50 шт. по 50 руб.,
100 шт. по 10 руб.,
150 шт. по 1 руб.
Найти математическое ожидание выигрыша на 1 билет.
Составим ряд распределения
X 500 50 10 1 0
P 0,01 0,05 0,1 0,15 0,69
Случайная величина Х – выигрышный билет, а его значения
х1 = 500,
х2 = 50,
х3 = 10,
х4 = 1,
х5 = 0.
Вычислим вероятности для каждого выигрыша
p1=101000=1100=0,01p2=501000=5100=0,05p3=1001000=110=0,1p4=1501000=15100=0,15p5=1-p1+p2+p3+p4=1-0,31=0,69 – вероятность невыигрышных билетов.
MX = 500∙0,01 + 50∙0,05 + 10∙0,1 + 1∙0,15 + 0∙0,69 = 8,65 руб.
Ответ МХ = 8,65 руб.
Содержание практической работы
Вариант 1
В лотерее имеется 1 200 билетов. Из них выигрышных:
20 билетов по 700 руб.
30 билетов по 100 руб.
100 билетов по 50 руб.
160 билетов по 10 руб. Найти математическое ожидание выигрыша на 1 билет.
Дискретная величина задана рядом распределения:
X 2 4 5 6
P 0.3 0.1 0.2 ?
Найти: МХ, DX, δx и построить полигон.
Из урны, содержащей 20 шаров (9 синих и 11 желтых), наудачу извлекаются 7 шаров. Рассматривается случайная величина, значения которой равны количеству желтых шаров, оказавшихся среди извлеченных шаров. Построить закон распределения этой случайной величины, гистограмму и найти её математическое ожидание.
Дискретная случайная величина Х, математическое ожидание которой М(Х) = 5,3, распределена по закону
X 0 2 4 7 8
P ? 0.1 0.2 ? 0.1
Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
5. Случайная величина задана таблично
X -1 0 1 2
P 0.25 0.15 0.3 ?
Вычислить математическое ожидание М(Х2-1).
6. Случайная величина Х принимает значения 1, 2, 5, 7 и случайная величина Y принимает значения 4, 5, 6, 10, с одинаковой вероятностью 0,25. Проверить выполнятся ли равенство DX=DY.
Практическая работа №8
Тема: «Матрицы. Определители»
Цель: сформировать умение применять основные действия над матрицами, транспонировать матрицу, находить противоположную матрицу, вычислять определитель 2-го и 3-го порядков.
Краткие теоретические сведения
Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Обозначения: или
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
1. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) одинаковых размеров называется матрица С = (сij) тех размеров, у которой сij = аij + bij , для любых i, j.
C = A + B
Свойства сложения матриц:
A +B = B + A
(A +B) +C = A + (B + C)
A + 0 = A
A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.
Транспонирование матриц.
Матрицу В называют транспонированной матрице А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А = Ат =
Ат – транспонированная матрица.
Свойства транспонирования:
1) 3)
2) 4)
Произведением матрицы А = (аij) на число k называется матрица С = (сij)
Тех же размеров, у которой сij = k · aij для любых i,j.
C = k · A
Свойства умножения матрицы на число:
1)
2)
3)
4) для любых А, В одинаковых размеров, любых α, β RСвойства умножения матриц:
AE = EA = A
A0 = 0A = 0
(AB)D = A(BD)

(A + B)D = AD + BD
D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл).
Определителем (детерминантом) n–го порядка называется величина, характеризующая квадратную матрицу, которая вычисляется по определенному правилу.
Обозначение определителя матрицы А размером : или или ∆
Правила вычисления определителей:
Определитель квадратной матрицы первого порядка равен ее элементу, т.е. .Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле:
.
Определитель квадратной матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле:

Пример 1: Найти сумму матриц: А = и В = .
Решение: С = А + В С =
Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.
А – В = А + (-В)
Пример 3: Дана матрица А =. Найти матрицу С = 2А.
Решение: С = 2А =
Пример 4: Даны матрицы: А = и В = .
Найти произведение матриц А и В.
Определим размер матрицы С
А × В 2×3 3×1 = С2×1 , С = 3×-1+2×2+1×05×-1+-2×2+(-1)×0 С = .Пример 6. Транспонируйте матрицу
А=1032411-42AT= 1032411-42.
Пример 7. Найти , если .
Найдем BT=-134275Вычислим = 2+(-1)1+3-1+43+22+70+5=143595Пример 9. Вычислить определитель матрицы A=-34-20.A=-34-20=-3∙0-4∙-2=0+8=8.Пример 10. Вычислить определитель матрицы A=211420527.a11=2, a12=1, a13=1,a21=4, a22=2, a23=0,a31=5, a32=2, a33=7.Применим формулу для вычисления определителя 3-го порядка
A=211420527=a11∙a22∙a33+a12∙a23∙a31+a13∙a21∙a32--a13∙a22∙a31-a12∙a21∙a33-a11∙a23∙a32==2∙2∙7+1∙0∙5+1∙4∙2-1∙2∙5--1∙4∙7-2∙0∙2 = 28 + 0 + 8 – 10 – 28 – 0 = - 2.
Содержание практической работы
Вариант 1
Задание 1. Вычислить 3А-В+2С
А= 1-30311-450, В= 2-203-13-450, С= 221-350110Задание 2. Вычислить 3С-АT+2BА= 1-30311-450, В= 2-203-13-450, С= 221-350110.
Задание 3. Вычислить определитель матрицы В= 2-203-13-450Практическая работа №9
Тема: «Обратная матрица. Формулы Крамера»
Цель: сформировать умение вычислять миноры и алгебраические дополнения, находить обратную матрицу, решать СЛАУ с помощью формул Крамера.
Краткие теоретические сведения
4. Вычисление определителя квадратной матрицы разложением по строке или столбцу.
Минором Mij квадратной матрицы n –го порядка называется определитель (n -1)-го порядка, который получается из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы называется число:
Aij = (–1)i+j Mij.
Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если ==E
Матрица имеет обратную , если . Если , то матрица обратной не имеет.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Найти определитель исходной матрицы А и сделать вывод о существовании обратной.
Транспонировать матрицу А.
Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составить из них присоединенную матрицу.
Вычислить обратную матрицу по формуле
.
Сделать проверку = =E.
Укажем следующие свойства обратных матриц:
(A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 = (A-1)T.Пример 1. Найти неизвестную матрицу из уравнения
.
Решение.
Исходное уравнение запишем в матричной форме
, → X= A-1∙B , где , .
Для данной матрицы : . Следовательно, существует . Найдем ее по формуле , где алгебраическое дополнение элемента матрицы . Для данной матрицы вычислим алгебраические дополнения:
При нахождении А11 матрицы А вычеркиваем первую строку и первый столбец, в результате получаем с использованием формулы
A11=-11+1∙3=3.Аналогично находим:
A12=-11+2∙1=-1, вычеркиваем первую строку и второй столбец.
А21=-12+1∙2=-2, вычеркиваем вторую строку и первый столбец.
А22=-12+2∙(-1)=-1, вычеркиваем вторую строку и второй столбец.
Тогда
и
.
Ответ : .
Пример 2. Решить систему 7x+y=23-5x+3y=1методом Крамера.
Вычислим определитель ∆=71-53=7∙3-1∙-5=21+5=26≠0значит система имеет единственное решение.
Вычислим ∆x, заменив в исходном определителе первый столбец на свободные члены системы
∆x=23113=23∙3-1∙1=69-1=68,x=∆x∆=6826=3413,
∆y=723-51=7∙1-23∙-5=7+115=122,y=∆y∆=12226=6113,
Ответ: x=3413, y=6113.Содержание практической работы

Вариант 1
1. Найти матрицу Х
а)
б)
2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Дифференцированный зачет
Цель: проверка знаний, умений и навыков по курсу высшей математики. Итоговый контроль.
Вариант 1
1. Вычислить пределы
б) limx→27x-48x+1;
в) limx→-112144x2-112x+1;
г) limx→-15x2+x-4x+1;
д) limx→255x-1-15x-2.
2. Вычислить интегралы
а) 53х4-3x3-2dx,
б) -sin2х+12cosх-xdx,в) 9x+7tgxdx,
г) 5+7x11dx,
д) 33х-54dx,
е) 2x11-3x9+8x52x10,ж) -225x3-13x+6dx,з) -π2π4,5sin(π4+x2)dx.
3. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями
y=1-x2,Ox.
4. Найти матрицу Х

5. В ящике 8 белых 14 жёлтых шаров. Вынимают наугад два шара. Какова вероятность того, что оба шара разных цветов?
6. В магазин поступило 40% телевизоров фирмы V, остальное – фирмы P. В продукции фирмы V брак составляет 20% телевизоров; фирмы P – 15 %. Какова вероятность, что наудачу выбранный телевизор исправный?
7. Дискретная величина задана рядом распределения:
X 2 3 5 6
P 0.05 0.15 0.35 ?
Найти: МХ, DX, δx и построить полигон.
8. Из урны, содержащей 20 шаров (13 синих и 7 желтых), наудачу извлекаются 6 шаров. Рассматривается случайная величина, значения которой равны количеству желтых шаров, оказавшихся среди извлеченных шаров.Построить закон распределения этой случайной величины и найти её математическое ожидание.
Рекомендуемая литература
Основные источники:
Богомолов, Н. В. Математика: учеб. для ссузов. - М.: Дрофа, 2006. - 395 с.
Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике. - М.: Высш. шк., 2002. - 495 с.
Валуцэ, И. И. Математика для техникумов. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.мат. лит., 1990 – 576 с.: ил.
Кочетков, Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика /Учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования / Е. С. Кочетков, С. О.Смерчинская, В. В.Соколов:-2-е изд.-М.: Форум, 2008-240с.-(Профессиональное образование).
Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ А. А. Дадаян. – М.Форум, 2011. - 544 с. - (Профессиональное образование).
Математика: Учебное пособие для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ В. П. Омельченко, Э.В. Курбатова. – 3-е изд., испр. – Ростов н/Д: Феникс, 2008. – 380 с. - (Среднее профессиональное образование).
Математика: учебное пособие для студентов средних специальных учебных заведений/ Н. А. Березина, Е. Л. Максина. – М.: РИОР, 2007. – 175 с. – (Профессиональное образование).
Соловейчик, И. Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов. - М.: ООО "Издательский дом "ОНИКС 21 век", 2003. - 464 с.
Дополнительные источники:
Данко, П. Е., Попов А. Г., Кожевникова, Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 1: Учеб. Пособие для втузов. – 7-ое изд., испр. – М.: Высш.шк., 2009 – 448 с.: ил.
Данко, П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 2: Учеб. Пособие для втузов. – 7-ое изд., испр. – М.: Высш.шк., 2009. – 416 с.: ил.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – 3-е изд. – М.: Айрис –пресс, 2009. – 288 с.: ил.
Максимова, О.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов учреждений среднего профессионального образования / О. В. Максимова, А.М. Махоткина - Ростов н/Д: Феникс, 2008- 347с. (Среднее профессиональное образование).
Кочетков, Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: Учебное пособие для студентов вузов / Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская:-2-е изд.-М.: Форум, 2011-480с.-(Высшее образование).