Методжическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №531 Красногвардейского района
Санкт-Петербурга
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ
Подготовила
учитель математики
Смирнова Галина Васильевна
г. Санкт-Петербург 2015
Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ
Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
и их значения от некоторых углов
В прямоугольном треугольнике отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе равно синусу этого угла;
В прямоугольном треугольнике отношение катета, прилежащего к углу, к гипотенузе равно косинусу этого угла;
В прямоугольном треугольнике отношение катета, противолежащего углу, к прилежащему к нему катету, равно тангенсу этого угла
В прямоугольном треугольнике отношение катета, прилежащего углу, к противолежащему к нему катету, равно котангенсу этого угла
Значения тригонометрических функций некоторых углов
13 EMBED Equation.3 1415
300
450
600
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
Задания с решением
1.В треугольнике ABC 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите AC.
Решение
Построим 13 EMBED Equation.3 1415. По свойству равнобедренного треугольника СН будет медианой, а значит АН=4,8. В прямоугольном треугольнике АСН 13 EMBED Equation.3 1415. Значит 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла А
sin 213 EMBED Equation.3 1415+ cos 213 EMBED Equation.3 1415 = 1 и подставим в него вместо 13 EMBED Equation.3 1415 его значение13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Получим соs 2A+ 13 EMBED Equation.3 1415 = 1
Тогда соs 2A = 1-13 EMBED Equation.3 1415; соs 2A =1 13 EMBED Equation.3 1415 ; соs 2A =13 EMBED Equation.3 1415
Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что A – острый угол и его косинус положителен Получаем 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ 5
2. В тупоугольном треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота AH равна 20. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник 13 EMBED Equation.3 1415. В нем 13 EMBED Equation.3 1415.По теореме Пифагора 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Но13 EMBED Equation.3 1415, так как эти углы смежные. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
По формулам приведения получаем13 EMBED Equation.3 1415
Ответ -0,6
3.В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тангенс внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AC.
Решение
Углы МАС и САH – смежные. Их сумма равна 180є.Тогда по формулам приведения 13 EMBED Equation.3 1415
Построим CH – высоту. Тогда она и медиана и потому AH=4.Из треугольника ACH 13 EMBED Equation.3 1415 Откуда 13 EMBED Equation.3 1415 Найдем 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 Подставим в это тождество найденное значение тангенса.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Получаем 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ 7
4.В треугольнике АВС угол А равен 45є, угол В равен 30є, ВС = 8. Найти АВ
Решение
Так как сумма углов в треугольнике 180є, то угол С=180є- 30є-45є=105є,
Применим теорему синусов 13 EMBED Equation.3 1415 , то есть 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415. Применим формулы сложения
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ13 EMBED Equation.3 1415
5. Трапеция вписана в окружность радиуса 12. Её большее основание образует с боковой стороной угол, синус которого равен 5/8, а с диагональю – угол, косинус которого равен 4/5. Найти площадь трапеции.
Решение
Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная
13 EMBED Equation.3 1415
Так как окружность описана около трапеции, то она описана и около треугольника ACD.Применим к этому треугольнику теорему синусов13 EMBED Equation.3 1415
получаем13 EMBED Equation.3 1415 Отсюда имеем 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
пусть СМ=h – высота. Из треугольника CMА получаем13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 По теореме Пифагора 13 EMBED Equation.3 1415
Из треугольника CMD получаем по теореме Пифагора 13 EMBED Equation.3 1415Так как трапеция равнобедренная, то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда площадь трапеции равна S=13 EMBED Equation.3 1415
Задания для самостоятельного решения
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите BC.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите BC.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AB.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AB.
В треугольнике ABC угол C равен 13 INC
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·15. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], CH высота, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите BH.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], CH высота, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AH.
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AB.
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AC.
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите высоту CH.
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите высоту CH.
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота CH равна 20. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота AH равна 4, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота AH равна 20, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], AH высота, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], AH высота, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], CH высота, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота CH равна 20, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В тупоугольном треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота AH равна 20. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В тупоугольном треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], AH высота, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В тупоугольном треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота AH равна 24, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В тупоугольном треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота AH равна 4, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота AH равна 7, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота AH равна 24, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], высота AH равна 4, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], CH высота, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите BH.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], CH высота, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AH.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите синус внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите синус внешнего угла при вершине B.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите косинус внешнего угла при вершине B.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите синус внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите синус внешнего угла при вершине B.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите косинус внешнего угла при вершине B.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите синус внешнего угла при вершине
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите синус внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите синус внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], синус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], синус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], синус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], синус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], косинус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], косинус внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Задание B6 (№ 27394)
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], косинус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], косинус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], косинус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], косинус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите BC.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тангенс внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AC.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тангенс внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите BC
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], синус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AB.
В треугольнике ABC угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], синус внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите BC.
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите синус внешнего угла при вершине A.
В треугольнике ABC [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тангенс внешнего угла при вершине A равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите AC.
В параллелограмме [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В параллелограмме ABCD [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8), с осью абсцисс.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8), с осью абсцисс.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теорема синусов и теорема косинусов
ТЕОРЕМА синусов: Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около треугольника окружности, то есть:13 EMBED Equation.3 1415
ТЕОРЕМА косинусов: Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против некоторого угла, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, то есть: 13 EMBED Equation.3 1415
Следствие.
В треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный. В треугольнике квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.
В треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник тупоугольный.
ТЕОРЕМА Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Задания с решениями
1.Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна 13 EMBED Equation.3 1415, а острый угол равен 60є.
Решение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]13 EMBED Equation.3 1415
Так как угол А равен 60є, то угол D равен 120є. Применим теорему косинусов к треугольнику ADC.
13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то получаем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ 15
2.Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
По теореме синусов 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 . Откуда получаем 13 EMBED Equation.3 1415, 2R= 2, R=1
Ответ 1
3.Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Решение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
По теореме синусов 13 EMBED Equation.3 1415, но 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда получаем 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда следует, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как угол С тупой, то угол С равен 150є
Ответ 150є
4. Площадь треугольника АВС равна 50, АС = 10, угол С равен 30 є.Найти АВ
Решение
Площадь треугольника АВС можно найти по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.С учетом того, что АС = 10, угол С равен 30є,а S=50, получим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем АВ по теореме косинусов.13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415
5. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение
Проведем высоту СК. Так как треугольник равнобедренный, то СК медиана и АК=КВ=24
Из треугольника АСК найдем по теореме Пифагора СК.13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Из треугольника АСК найдем синус угла А.13 EMBED Equation.3 1415
По теореме синусов для треугольника АВС имеем 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 2R=50, R=25.
Ответ 25.
6. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 13 EMBED Equation.3 1415 , Основание треугольника равно 6 .Найти длину боковой стороны
Решение
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415Применим теорему косинусов 13 EMBED Equation.3 1415
Подставим значения 13 EMBED Equation.3 1415
Получаем 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415
7. Стороны треугольника равны 25 , 39 и 56 .Найти площадь треугольника и косинус большего из углов.
Решение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пусть АС=39,ВС=25,АВ=56.Тогда больший из углов –это угол С
Определим вид угла С.13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.Так как 13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415, то угол С тупой.
Найдем площадь по формуле Герона.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
С другой стороны, 13 EMBED Equation.3 1415
Получаем 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415Тогда так как угол С тупой, то
13 EMBED Equation.3 1415
Вторым способом можно найти косинус угла С по теореме косинусов: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ13 EMBED Equation.3 1415
8. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 .найти отрезки, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла треугольника.
Решение
Пусть АС=8, ВС=6
По теореме Пифагора найдем АВ.13 EMBED Equation.3 1415
Пусть СМ – биссектриса. Обозначим АМ=х, тогда МВ=10-х
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем13 EMBED Equation.3 1415, то есть получаем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
То есть АМ=13 EMBED Equation.3 1415, тогда МВ=10-13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
Задания для самостоятельного решения
Сторона AB треугольника ABC равна 40. Противолежащий ей угол C равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 36, равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите сторону AB этого треугольника.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите сторону AB этого треугольника.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Найти площадь треугольника АВС и длину стороны ВС , если АВ=10 , АС = 4, угол А равен 45є
Найти площадь треугольника АВС и длину стороны ВС , если АВ=8 , АС = 14, угол А равен 60є
Площадь треугольника АВС равна 60, АС = 15, угол С равен 30є.Найти ВС .
В треугольнике АВС угол А равен 60є, угол В равен 45є, АС = 10. Найти ВС.
В параллелограмме стороны равны 4 и 8 , а один из углов равен 135є . Найти площадь параллелограмма и его диагонали
В параллелограмме стороны равны 7 и 4 , а один из углов равен 150 є . Найти площадь параллелограмма и его диагонали
В параллелограмме стороны равны 10 и 5 , а один из углов равен 120 є . Найти площадь параллелограмма и его диагонали
В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 4\5 , Основание треугольника равно 10 .Найти длину боковой стороны.
В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 3\5 , Основание треугольника равно 8 .Найти длину боковой стороны
Стороны треугольника равны 25 , 29 и 36 .Найти площадь треугольника и косинус большего из углов
Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 .Найти площадь треугольника и косинус меньшего из углов
Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 .Найти медиану треугольника, проведенную к меньшей стороне.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13, а основание 10.Найти длину отрезков, на которые биссектриса угла при основании делит биссектрису угла при вершине треугольника.
В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 4 и 5. Найти площадь треугольника.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native\cos ACBEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native\tg A\tg A = \frac{7}{24}\cos A = \frac{7}{25}\sin A = \frac{7}{25}\cos A = \frac{7}{25}\tg A = \frac{4 \sqrt{33}}{33}AB = 25\cos AAC = 20AC = 8AC = BC = 5\sin A = \frac{7}{25}\sin A = \frac{7}{25}AB = 25AB = 8\cos AAB = 4 \sqrt{5}AC = BCAB = 1\cos A = \frac{\sqrt{17}}{17}AC = BC = 25AC = BCAB = 8\sin BACAC = BCAB = 25AC = BCAB = 25\cos BACBH = 20\cos A\sin AAC = BC = 25CH = 20\sin ACBAC = BCCH = 7\cos ACBAC = BCCH = 8AC = BCBH = 24\cos BAC\tg BACAH = 27\tg A = \frac{2}{3}BH = 12\tg A = \frac{2}{3}\sin A = 0,1\sin A = \frac{\sqrt{17}}{17}\sin A = \frac{7}{25}\cos A = \frac{7}{25}\cos A = 0,1\cos A = \frac{\sqrt{17}}{17}\tg A = \frac{7}{24}AB = 25AB = 4 \sqrt{5}AB = \sqrt{17}BC = 7\tg A\sin B\tg B\cos BAB = 5Equation NativeEquation NativeEquation NativeAB = 7AC = 4,8AB = 40AC = BCAB = 8-\frac{33}{4 \sqrt{33}}\sin A=\frac{\sqrt{21}}{5}Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native