Методические рекомендации к практическим работам по учебной дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА основной профессиональной образовательной программы (ОПОП) по специальности СПО 100801 товароведение и экспертиза качества потребительских товаров

Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ульяновский техникум питания и торговли
Наименование документаметодические рекомендации к практическим работам по дисциплине «Математика»100801
Условное обозначение ЕН..01
Соответствует ГОСТ Р ИСО 9001-2008, ГОСТ Р 52614.2-2006
(п.п. 4.1, 4.2.3, 4.2.4, 5.5.3, 5.6.2, 8.4, 8.5) Редакция № 1
Изменение № 0 Лист PAGE 1 из
59
Экз. № 1
УТВЕРЖДАЮ
________А.А.Красников «___»._________.20___ г.

методические рекомендации
к практическим работам
по учебной дисциплине
ЕН.01 МАТЕМАТИКА
основной профессиональной образовательной программы (ОПОП)
по специальности СПО
100801 товароведение и экспертиза качества потребительских товаров
базовойподготовки
Ульяновск, 2013
РЕКОМЕНДОВАНА
на заседании цикловой методической комиссии (МК) _______________________________ дисциплин
Председатель МК
________________
Протокол заседания МК
№ ______ от ____________20___ г.
СОГЛАСОВАНО
Заместитель директора по учебной работе
___________Е.А. Осипова
_____________ 20___ г.
Авторы – разработчики:
Дедушкина Татьяна Петровна - преподаватель высшей категории ОГБОУ СПО УТПиТСодержание
Введение……………………………………………………………………………………………….
Раздел 1. Методы математического анализа………………………….
Тема 1.1. Бесконечная числовая последовательность. Предел числовой последовательности…………………………………………
Практическая работа 1.Бесконечная числовая последовательности……………………
Практическая работа 2. Вычисление предела последовательности……………………..
Практическая работа 3.Предел функции….
Практическая работа 4.Предел функции………….
Практическая работа 5.Решение прикладных задач…………….
Практическая работа 6. Производная функции
Практическая работа № 7.Исследование функции с помощью производной.
Практическая работа № 8.Вычисление интегралов
Практическая работа № 9. Вычисление площади криволинейной трапеции.
Практическая работа № 10. Частныепроизводные
Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Практическая работа № 11.Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Практическая работа № 12.Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка различными способами
Тема 1.3. Ряды
Практическая работа № 13.Числовые ряды. Разложение функции в ряд МаклоренаРаздел 2. Основы дискретной математики
Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства отношений.
Практическая работа № 14.Операции над множествами
Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики
Тема 3.1. Вероятность.
Практическая работа 15.Сложение и умножение вероятностей
Практическая работа № 16.Случайная величина, её функция распределения
Практическая работа № 17.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Раздел 4. Линейна алгебра
Тема 4.1.Основные понятия теории матриц
Практическая работа 18. Операции над матрицами
Практическая работа № 19. Вычисление определителя матрицы
Практическая работа № 20.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Литература
Приложение
.
Введение
Учебное пособие разработано для старших курсов (второго и третьего) на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников специальности 100801 Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров. Основная задача курса – обеспечение студентов математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин, разработки курсовых и дипломных проектов, для профессиональной деятельности.
В результате изучения предмета студенты должны усвоить математические понятия, производить анализ задач, применять свои знания на практике, решать прикладные математические задачи профессионального содержания.
В результате изучения курса дисциплины «Математика» у студента должны быть сформированы следующие общие и профессиональные компетенции:
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с помощью информационно-коммуникационных технологий.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности
ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.
ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметьрешать прикладные задачи в области профессиональной деятельности; знать значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы; основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики; основные методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности; основы интегрального и дифференциального исчисления.
.В пособии представлено содержание всех практических работ, которые должен выполнить студент. Каждая работа включает краткую теорию и задания. В конце каждой темы приведены задания для самостоятельного решения. Итоговая отметка выставляется на основе отметок, полученных по всем работам. Если какая-либо работа студентом не выполнена и отметка за нее не выставлена, то она оценивается как «2» - неудовлетворительно. Результаты выполнения практических работ заносятся в таблицу 1. Отчет по практической работе оформляется в рабочей тетради по образцу (Приложение 1).
Раздел 1. Методы математического анализа
Тема 1.1.Бесконечная числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Практическая работа 1. Бесконечная числовая последовательность
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
2) Знать определение последовательности, виды последовательностей.
3) Уметь определять вид последовательности.
Краткая теория
Всякий занумерованный бесконечный набор чисел X1, X2, X3,…называется числовой последовательностью.
Пример: розничный товарооборот (тыс. руб.) 1220, 13200, 14400, 16200, 17800.
Числовая последовательность Xnn = 1, 2, .. называется ограниченной, если найдется число M>0 такое, что для всех номеров n = 1, 2,…выполнено неравенство |Xn|<M, или, что то же, двустороннее неравенство –M<Xn<M. Геометрически это означает, что все точки Xn, n=1, 2,… расположены на некотором отрезке [-M, M] и, следовательно, образуют ограниченное множество.
Пример: заработная плата зависит от числа рабочих часов в день: 300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400. Эта последовательность ограничена сверху, так как Xn<M=25000 и ограничена снизу 200<X1
Пример ограниченной последовательности: Xn= ,n=1, 2, …так как для всех n= 1, 2, …|Xn|=≤1
В качестве числа М>0, ограничивающего последовательность, можно взять число М≥1.
Пример: цена и число продаж взаимосвязаныПоследовательность Xn, n=1, 2,…называется неограниченной, если какое бы большое число М >0 ни взять, всегда найдется номер nтакой, что |Xn|>M.
Числовая последовательность называется бесконечно малой, если она удовлетворяет следующему условию: каково бы ни было сколь угодно малое число ε>0, всегда найдется номер N такой, что для всех номеров n>N справедливо неравенство |αn|<ε.
Числоа называется пределом числовой последовательности Xn, n= 1, 2,…, если разность αn= Xnявляется бесконечно малой последовательностью.
Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися
Число а называется пределом числовой последовательности Xn, если для любого ε>0 найдется номер N такой, что для всех номеров n>Nсправедливо неравенство |Xn-a| <ε.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение числовой последовательности.
2.Какая последовательность называется ограниченной?
3.Какая последовательность называется неограниченной?
4.Какая последовательность называется бесконечно малой?
5.Какие последовательности называются сходящимися?
6.Дайте определение предела числовой последовательности?
Задания
1.Определите является ли последовательность ограниченной или неограниченной.
А) Xn=, n = 1, 2, 3,… ; б) Xn = n, 1, 2,… ; Какая из этих последовательностей является бесконечно большой или бесконечно малой?
2.Докажите, что последовательность:
|n+1nпри n четном
|
X= | n2 при nнечетном , ограничена снизу, но не ограничена сверху.
3.Найти предел последовательности
limn→∞n+1n 2) limn→32n-6n 3)limn→∞1+nn2 4)limn→∞nn+1*34.Найти сумму членов последовательности
(1/2), (1/2)2, (1/2)3, (1/2)4,… n=4
5.Общую полезность (У) в зависимости от дохода (Х) можно представить в виде последовательности: x3+x3+x2+x+54x3+9 Найти предел этой последовательности при условии: Х→∞
Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес 1.Владеет терминологией по теме. 2.Владеет символикой по теме работы. 3.Владеет навыками построения последовательностей на профессиональную информацию (товарооборот, спрос, …) ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. 4. Планирует устный ответ на поставленный вопрос 5. Дает четкие и точные определения математических понятий 6. Приводит примеры последовательностей профессионального характера 7. Обосновывает свои действия Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -12-14 баллов; «4» - 9-11 баллов; «3» - 5-8 баллов; «2»- 0-4 балла.
Практическая работа 2
Вычисление предела последовательности
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.
2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов.
3) Уметь определять предел последовательности, использовать свойства пределов, решать прикладные задачи на определение предела последовательности.
Краткая теория
Постоянное числоA пределом функции y= f(x)в точкеx=a, если для всех x, сколь угодно мало отличающихся ота, т.е. (|x-a|)<δ),значение функцииy сколь угодно мало отличается от числа A, т.е. (|y-A|<ε), т.е. если при x→ a, y→A, тоlimx→∞fx=A.
Правила предельного перехода:
1.Предел суммы или разности равен сумме или разности пределов lim(x+y)=limx+limy;
lim(x-y)=limx- limy.
2.Предел произведения равен произведению пределов lim(x∙y)=limx∙limy
3.Предел отношения равен отношению пределов lim{x/y)=limx/limyСвойства пределов:
1.limA=A, если А=constпредел постоянной равен этой постоянной
2. lim (C∙ y)=C ∙ limy, еслиС = constпостоянную можно вынести за знак предела.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение предела функции.
2.Сформулируйте правила предельного перехода.
3.Каковы свойства пределов.
Задания
1)Доходная эластичность определяется по формуле: е=Относительное изменение спросаОтносительное изменение дохода.
Относительное изменение спроса зависит от времени tпо формуле: относительное изменение спроса = t2-5t+6 Относительное изменение дохода = t2-6t+8
Вычислить предел эластичности при t→2
2)Вычислить предел функции:limx→3x2-9x2-3x ;limx→32x2-18x2-3x ; limx→4x2-3x-416-x2limx→0xx+1-1; limx→-2x3+3x2+2xx2-x-6limx→2x3-4x+5x2+6limx→-1(x+3)(x-2)x+2limx→3x2-3x4+x2+1limx→-1(x3-x2+1) ; limx→0(3x3+x2-8x+10)Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
1.Владеет терминологией по теме. 2. Дает четкие и точные определения математических понятий 3. Владеет навыками определения предела последовательности параметров торгового предприятия ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
4. Использует правила определения пределов
5. Предлагает свои методы решения задач.
6. Правильно применяет свойства пределов
7. Предлагает свои способы определения пределов параметров деятельности торгового предприятия ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
8.Самостоятельно решает проблему поиска решения системы.
9.Самостоятельно решает проблему поиска решения системы 10.Понимает значимость своей работы. 11. Оценивает результаты своей познавательной деятельности. 12. Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.
13.Использует приемы определения предела последовательности к определению оптимизации товарооборота 14.Использованть данные по потребности в товарах для определения предела последовательности ИТОГО: Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -24-28 баллов; «4» - 18-23 балла; «3» - 10-17 баллов; «2»- 0-9 баллов.
Практическая работа 3
Предел функции
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.
2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов, правилами раскнытия неопределенности .3) уметь решать прикладные задачи на раскрытие неопределенности .Краткая теория
Для раскрытия неопределенности вида необходимо предварительно дробь сократить, разложив на множители, а затем найти предел.
Пример 1
limx→-324x2-92x+3=limx→-32(2x-3)(2x+3)(2x+3)=
=limx→∞2x-3=-3-3=-6Здесь использовалась формула: a2-b2=(a-b)(a+b)
Пример 2
limx→5x2-7x+10x2-9x+20 = limx→5(x-5)(x-2)x-5(x-4) = = 3
В этом примере используется разложение квадратного трехчлена на множители (x-x1)(x-x2)
Пример 3
limx→1x3-1x2-1 = limx→1(x-1)(x2+x+1)(x-1)(x+1) =
Применяли: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Контрольные вопросы
1.Какой существует прием для раскрытия неопределенности ?2. Как разложить на множители квадратный трехчлен?
Задания
1) limx→03x2+xx2)limx→3x2-9x2-2x-33) limx→-2x2-4x+24) limx→33-xx3-275) limx→33x2-11x+62x2-5x-3 6) limx→3x-3x2-9Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
1.Владеет терминологией по теме. 2. Дает четкие и точные определения математических понятий 3. Владеет навыками определения предела последовательности параметров торгового предприятия, где раскрывается неопределенность 0/0 ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
4. Использует правила раскрытия неопределенности 0/0
5. Предлагает свои методы решения задач.
6. Правильно применяет приемы раскрытия неопределенности 0/0
7. Предлагает свои способы определения пределов на раскрытие неопределенности 0/0 для последовательности параметров деятельности торгового предприятия ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
8.Самостоятельно решает проблему нахождение предела при раскрытии неопределенности 0/0
9.Самостоятельно решает проблему поиска нахождения предела сложной функции 10.Понимает значимость своей работы. 11. Оценивает результаты своей познавательной деятельности. 12. Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.
13.Использует приемы раскрытия неопределенности 0/0 для последовательности к определению оптимизации товарооборота 14.Использованть данные по потребности в товарах для определения предела последовательности ИТОГО: Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -24-28 баллов; «4» - 18-23 балла; «3» - 10-17 баллов; «2»- 0-9 баллов.
Практическая работа 4
Предел функции
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.
2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов, правилами раскрытия неопределенности ∞ /∞
3) уметь решать прикладные задачи на раскрытие неопределенности ∞/∞.
Краткая теория
Для раскрытия неопределенности вида ∞∞ необходимо числитель и знаменатель разделить на x с наибольшим показателем степени.
Пример 1.
limx→∞x4-x2+2x3-x+1=limx→∞1-1x2+2x41x-1x3+1x4 ==∞
Контрольные вопросы
1. Какой существует прием для раскрытия неопределенности ∞∞ ?2. Чему равен предел отношения 1/∞ ?1/0?
Задания
1) limx→∞x3+x4x5+x6 2) limx→∞10x2-x-63x-x23)Минимальный средний уровень торговой надбавки=фактический уровень издержек1-расчетная ставка налога на добавленную стоимостьФактический уровень издержек = x3+2x2+4 расчетная ставка налога на добавленную стоимость = 4x3-3x2+5рассчитать предел при x→∞
.4)limx→∞x3+2x2+4x3-3x2+55)limx→∞2x2-5x-34x2-13x+3; 6)limx→∞x4-x2+2x4-x+1Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
1.Владеет терминологией по теме. 2. Дает четкие и точные определения математических понятий 3. Владеет навыками определения предела последовательности параметров торгового предприятия, где раскрывается неопределенность ∞/∞ ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
4. Использует правила раскрытия неопределенности ∞/∞
5. Предлагает свои методы решения задач.
6. Правильно применяет приемы раскрытия неопределенности ∞/∞ 7. Предлагает свои способы определения пределов на раскрытие неопределенности ∞/∞ для последовательности параметров деятельности торгового предприятия ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
8.Самостоятельно решает проблему нахождение предела при раскрытии неопределенности ∞/∞ 9.Самостоятельно решает проблему поиска нахождения предела сложной функции 10.Понимает значимость своей работы. 11. Оценивает результаты своей познавательной деятельности. 12. Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.
13.Использует приемы раскрытия неопределенности 0/0 для последовательности к определению оптимизации товарооборота 14.Использованть данные по потребности в товарах для определения предела последовательности ИТОГО: Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -24-28 баллов; «4» - 18-23 балла; «3» - 10-17 баллов; «2»- 0-9 баллов.
Практическая работа 5
Решение прикладных задач
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.
2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов, приемы использования замечательных пределов.
3) уметь решать прикладные комбинированные задачи на применение замечательных пределов.
Краткая теория
Первый замечательный предел: limx→0sinxx=1
Второй замечательный предел: limx→0(1+x)1x = e;
limx→∞(1+1x)x=e
Пример 1
limx→0sinx3x = 13limx→0sinxx = * 1=
Пример 2
limx→∞(1+3x)x = (limx→∞(1+3x)x3)3 =e
Контрольные вопросы
1. Чему равен предел отношения sinxxпри x→0 ?2.Чему равен предел функции вида (1+x)1/xпри x→0?
3.Чему равен предел функции вида (1+1x )xпри x→∞?
Задания
Найти предел функции:
1) limx→0sin5xx ; 2) limx→0tg3xx3) limx→0sin3xsin5x ; 4)limx→∞(1+15x)x5) limx→0(1+4x)35x 6) limx→∞( 1+xx)x/2
Самостоятельная работа
Вычислить пределы следующих функций.
1)Lim [(x2-9)2/(x2-6x+9)]
x→3
2) limx→4x2-3x-416-x2;
3) lim [(x2-5x+6)/(x2-12x+20)]
x→2
4) lim [(tg4x)/x]
x→0
5) lim [(tgx)/(sin2x)]
x→0
6) lim [x/(x+1)]x
x→∞
7) lim [(tg5x)/(sin2x)]
x→0
8) lim [(2x3-4x+1)/(x3+8)]
x→∞
9) lim [(x-9)/x]x
x→∞
10) lim [(x2+5x+6)/(x2+6x+8)]
x→-2Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
1.Владеет терминологией по теме. 2. Дает четкие и точные определения математических понятий 3. Владеет навыками определения предела последовательности параметров деятельности торгового предприятия с использованием замечательных пределов. ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
4. Использует правила применения замечательных пределов 5. Предлагает свои методы решения задач.
6. Правильно применяет замечательные пределы для поиска предела функции, описывающей деятельность торгового предприятия 7. Предлагает свои способы нахождения предела для последовательности параметров деятельности торгового предприятия ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
8.Самостоятельно решает прикладную задачу нахождения предела функции 9.Самостоятельно решает проблему поиска нахождения предела сложной функции 10.Понимает значимость своей работы. 11. Оценивает результаты своей познавательной деятельности. 12. Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.
13.Применяет приемы нахождения предела функции к оптимизации товарооборота 14.Использованть данные по потребности в товарах для определения предела последовательности ИТОГО: Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -24-28 баллов; «4» - 18-23 балла; «3» - 10-17 баллов; «2»- 0-9 баллов.
Практическая работа 6
Производная функции
.
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ПК. 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации
2) Знать определение производной функции, производные основных функций, правила нахождения производной сложной функции, геометрический смысл производной.
3) Уметь решать прикладные задачи на определение производной функции.
Краткая теория
Производной функции y=f(x) по переменной xназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента x, когда последнее стремится к нулю, т.е. yx′= limx→0ΔyΔx = limx→0fx+Δx-f(x)Δx.
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции.
Дифференциалом функции y=f(x) называется главное слагаемое приращения функции, линейное относительно Δx.y′=dydxФормулы дифференцирования:
1) С=сonst, (C)′=0; 2) (C∙f(x))′=C∙f′(x);
3) (f(x)+g(x))′= f′(x)+g′(x); 4) (f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g′(x);
5) (f(x)g(x) )'= f(x)'gx-g(x)'f(x)g(x)2; 6) (xn)′=n∙xn-1
7) (sinx)′=cosx; 8) (cosx)′=-sinx.
Производная сложной функции: (f(g(x)))′=f′((g(x))∙g′(x).8) y=x3∙cosx, dy=3x2∙cosx+x3(-sinx).
Контрольные вопросы
1.Дайте определение производной.
2.Что называют дифференцированием?
3.Каков геометрический смысл производной?
4.Чему равна производная сложной функции?
5.Дайте определение дифференциала функции.
Задания
Найти производную функции:
1) y=x3+1x2+1 ; 2) y=x-5-4x-3+2x-3 ;
3) y=sin2x; 4) y=2x +323x2 - 2x - + 1;
5) y=cos(x/3); 6) y=(1+x )37) Найти дифференциал функции: y=3x23-2x52+x-3Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
1.Использует правила нахождения производной функции 2.Предлагает свои методы решения задач.
3.Правильно применяет правила дифференцирования описания функции, описывающей деятельность торгового предприятия 4.Предлагает свои способы нахождения производной функции, описывающей динамику параметров деятельности торгового предприятия ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
5. Самостоятельно решает прикладную задачу нахождения предела функции 6. Самостоятельно решает проблему поиска нахождения предела сложной функции 7..Понимает значимость своей работы 8.Оценивает результаты своей познавательной деятельности. 9.Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
10.Владеет терминологией по теме. 11.Владеет навыками нахождения производных основных функций, иллюстрирующих деятельность торгового предприятия 12.Владеет методом нахождения производной сложной функции 14.Знает геометрический смысл производной, и приводит примеры из профессиональной деятельности, где используется графическое представление параметров предприятия. ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации 15. Интерпретировать математические зависимости параметров деятельности торгового предприятия с помощью производных. 16. Составлять математическую модель деятельности торгового предприятия на данных по одной их характеристик, используя при этом понятие производной. 16.Составлять примерный план некоторой характеристики торгового предприятия. Итого Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -27-32 баллов; «4» - 19-26 балла; «3» - 10-18 баллов; «2»- 0-9 баллов.
Практическая работа № 7
Исследование функции с помощью производной
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ПК. 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации
2) Знать алгоритм исследования функции с помощью производной
3) Уметь решать прикладные задачи на исследование функции с помощью производной...
Теория.
Функция y=f(x) монотонно возрастает, если большему значению аргумента х соответствует большее значение функции f(x) и производная dydx>0. Функция монотонно убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функциии производная dydx<0.
В точке экстремума производная функции равна нулю.
Признаки максимума: производная в точке максимума равна нулю, и в этой точке меняет знак с «плюса» на «минус»
Признаки минимума: производная в точке минимума равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс»
Пример 1. Исследовать функцию y=2x2-3x
А) Определим точки, в которых производная равна нулю. y′=4x– 3
4x-3=0; xо=3/4; точка экстремума xо=3/4.
Б) Определим знак производной при x<xo. y′(1/2)=4∙1/2-3= -1<0; y′(x<xo)<0.
В) Определим знак производной при x>xo. y′(1)=4∙1-3-1>0;
y′(x>xo)>0.Г) Точка экстремума x=3/4 в этой точке производная меняет знак с «-» на «+», значит в точке x=3/4 минимум. На участке (-∞; 3/4) функция убывает; на участке (3/4; ∞) функция возрастает.
Контрольные вопросы
1.Каков геометрический смысл производной функции?
2.Каков признак возрастания функции?
3.Каков признак убывания функции?
4.Каков признак минимума функции?
5.Каков признак максимума функции?
6.Чему равна производная функции в точке минимума или максимума?
Задания
.Найти экстремумы и точки минимума и максимума, участки возрастания и убывания функции:
1) y =x2 – 1; 2) y = (1/3)x3-(3/2)x2-4x+6;
3) y=4x2 – 12; 4) y=x5
5)y=3x3 6)y=x2 – 6x + 3
7)y=-2x2 + 8x – 5
Самостоятельная работа
Найдите дифференциал функций:
1)y=x3cosx; 2) y=1-x21+x; 3) y=cosx1-sinxИсследуйте функции и постройте их графики:
Y=(1/3)x3-9x
Y=3x3-x
Y=2x3-5x2-12x+2
Y=x4-4x3-8x2-1
Y=x4+x2/2-1
Y=x3+3x2-4
Y=x4+4x3-8x2-5
Y=3x4-4x3
Y= -(1/4)x4+2x2
Y = -3x5+5x3
Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
1.Использует правила нахождения производной функции и ее исследование для решения профессиональных задач 2.Предлагает свои методы решения задач.
3.Правильно применяет правила исследования функции, описывающей деятельность торгового предприятия 4.Предлагает свои способы исследования функции, описывающей динамику параметров деятельности торгового предприятия ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
5. Самостоятельно решает прикладную задачу исследования функции, иллюстрирующей деятельность торгового предприятия 6. Самостоятельно решает проблему исследования сложной функции, иллюстрирующей деятельность торгового предприятия 7..Понимает значимость своей работы 8.Оценивает результаты своей учебной работы 9.Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
10.Владеет терминологией по теме. 11.Владеет навыками нахождения производных основных функций, иллюстрирующих деятельность торгового предприятия 12.Владеет методом исследования функций, иллюстрирующих деятельность торгового предприятия 14.Знает геометрический смысл производной, и владеет умением строить график функции параметров деятельности торгового предприятия ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации 15. Интерпретировать математические зависимости параметров деятельности торгового предприятия с помощью производных. 16.Исследовать математическую модель деятельности торгового предприятия, используя при этом понятие производной. 16.Составлять примерный план некоторой характеристики торгового предприятия и изображать динамику параметров в виде графика Итого Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -27-32 баллов; «4» - 19-26 балла; «3» - 10-18 баллов; «2»- 0-9 баллов
Практическая работа № 8.
Вычисление интегралов
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 5. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 8. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.
ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации.
2) Знать определение первообразной, правила вычисления интеграла, таблицу интегралов элементарных функций
3) Уметь выполнять интегрирование элементарных функций, заменой переменных, по частям.
Краткая теория
Первообразной функцией для выражения f(x)dxназывается функция F(x), дифференциал которой равен f(x)dx. Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается fxdx. Таким образом fxdx=Fx+C, где f(x)dxназывается подынтегральным выражением, а С – произвольная постоянная интегрирования. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.
Свойства неопределенного интеграла:
1) дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: dfxdx=fxdx;
2)неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:
dFx=Fx+C;
3) постоянную величину можно вынести за знак интеграла:
a∙fxdx=a∙fxdx;4) интеграл суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов: fx+gxdx=fxdx+gxdx.
Формулы интегрирования:
1)xndx=xn+1n+1 +C. где n≠-1; 2)dxx=lnx+C;3)exdx=ex+C; 4)sinxdx=-cosx+c;5) cosxdx=sinx+C.
Пример 1.
x2+1xdx = (x2x+1x )dx=xdx+dxx = x22 + ln|x|+C.
Интегрирование способом подстановки
Пример 2
(1+x)5dx. Положим 1+x = z; продифференцируем это равенство:
.d(1+x)= dz; dx=dz; заменим в интеграле:
(1+x)5dx = z5dz = z66 +C.
Интегрирование по частям
fdg=f∙g - gdfПример 3
xsinxdx =?
Положимf = x ;dg = sinxdx; df = dxg =-cosx.
получимxsinxdx = x∙(-cosx)--cosxdx = -xcosx+sinx+C
Контрольные вопросы
1. Дайте определение первообразной функции.
2. Дайте определение неопределенного интеграла.
3. Что называют подынтегральным выражением?
4. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
5. Допишите формулы интегрирования:
xndx=?; dxx=?; exdx=?; sinxdx=?; cosxdx=?.
Задания
1)xdx; 2) x4dx ; 3) 5dx ; 4) 2-xdx ;
5) 3x-x6dx ; 6) x21+2xdx ;
7) x2dx1+x3 ; 8) sin2xdx ; 9) cos5xdx.
10) 1-xsinxdxОценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с использованием информационно-коммуникационных технологий. 1.Владеет приемами поиска прикладной информации по теме с использованием Интернета 2.Выполнять систематизацию прикладного материала по применению интегрального исчисления для анализа деятельности торгового предприятия. 3.Владеет приемами вычисления интеграла, иллюстрирующего расчеты параметров деятельности торгового предприятия 4.Владеет разными методами нахождения интегралов: заменой переменных и по частям. ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации 5.Самостоятельно определяет область профессиональной деятельности для составления и решения задач на интегрирование. 6.Владеет приемами исследовательской деятельности при решении и составлении прикладных задач профессиональной направленности. 7.Знает таблицу интегралов и умеет применять ее для расчета интегралов функций, описывающих деятельность торгового предприятия ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах 8.На основе анализа зависимости графика зависимости спроса на товар определять интегрированные параметры деятельности торгового предприятия ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации 9.Владеет приемами определения комплексных характеристик деятельности торгового предприятия используя при этом интегральное исчисление 10.Владеет приемами планирования показателей деятельности организации, используя при этом интегральное исчисление. Итого Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -18-20 баллов; «4» - 14-17 балла; «3» 8-13 баллов; «2»- 0-7 баллов
Практическая работа № 9
Вычисление площади криволинейной трапеции
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 5. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 8. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.
ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации.
2) Знать геометрический смысл определенного интеграла, алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции.
3) Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции
Краткая теория
Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x)+C при изменении аргумента от x=a до x=b называется определенным интегралом и обозначается: abfxdx .
abfxdx = F(b)=F(a), где a- нижний предел интеграла, b- верхний предел интеграла.
Для вычисления определенного интеграла abfxdx нужно найти соответствующий неопределенный интеграл, в полученное выражение подставить вместо x сначала верхний, а затем нижний пределы определенного интеграла и из первого результата вычесть второй.
abfxdx= F(x)|ba=F(b) – F(a).
Пример 1
0π/3cosxdx=sinx|π/30 = sinπ3 -sin0=0,5.
Свойства определенного интеграла:
1) abC∙fxdx = C∙abfxdx, где С-постоянная величина.
2) abfx+gxdx =abfxdx+ abgxdx3) abfxdx = - bafxdxПлощадь фигуры, ограниченной кривой y=f(x) , где f(x)>0, осьюOx и двумя прямымиx=a и x=b, выражается определенным интеграломabfxdx.
Пример 2
Определить площадь фигуры, заключенной между ветвью кривой y=x2, осью Ох и прямыми х = 0, х = 3.
S = 03x2dx = x33|30 =333 - = 9
Контрольные вопросы
1.Дайте определение определенного интеграла.
2.Как вычислить определенный интеграл?
3.Каков геометрический смысл определенного интеграла?
Задания
Найти определенный интеграл:
1) 1/21x3dx ; 2) 012x+1dx; 3) 151xdx;
4) 0π/3sinxdx ; 5) 0π/6cos2xdxВычислить площадь криволинейной трапеции, полученной между графиком функции y=x3и прямымиy=0, x=2, x=4.
Вычислить площадь криволинейной трапеции, полученной между графиком функции y=2cosx, прямымиy=0, x = 0, x = π2.
Самостоятельная работа
Вычислите интеграл:
1)∫(2-3x)6dx; 2)∫sin(3x+5)dx; 3) ∫cos(5-x)dx
4)∫x21+x3dx; 5)∫dx; 6)03(x+5)dx
7)∫(3x-1)cosxdx ; 8)∫(3-2x)sinxdx; 9) ∫(lnx/x)dx;
10) ∫()dx
11) Вычислить площадь криволинейной трапеции, образованной линиями:
А)y=x3; y = 0; x = 2; x = 4.
Б) y = x3+3х; у=0; х=1; х=5.
Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития 1.Владеет приемами вычисления площади криволинейной трапеции 2.Владеет приемами поиска информации в сети Интернет для решения прикладных задач по определению площади криволинейной трапеции 3.Владеет приемами поиска информации для составления прикладных задач профессионального характера на расчет площади криволинейной трапеции 4.Знает область применения приема вычисления площади криволинейной трапеции для решения профессионально-ориентированных задач ОК 5. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
5. Знает правила вычисления определенного интеграла 6. Владеет умением применять правила вычисления определенного интеграла к расчету площади криволинейной трапеции в графическом представлении параметров деятельности торгового предприятия ОК 8. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
7. .Самостоятельно определяет область профессиональной деятельности для составления и решения задач на интегрирование. 8.Владеет приемами исследовательской деятельности при решении и составлении прикладных задач профессиональной направленности 9.Знает таблицу интегралов и умеет применять ее для расчета площади криволинейной трапеции графика, описывающих деятельность торгового предприятия ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах 10.На основе анализа зависимости графика зависимости спроса на товар определять интегрированные параметры деятельности торгового предприятия ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации 9.Владеет приемами определения комплексных характеристик деятельности торгового предприятия используя при этом интегральное исчисление 10.Владеет приемами планирования показателей деятельности организации, используя при этом интегральное исчисление ИТОГО Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -18-20 баллов; «4» - 14-17 балла; «3» 8-13 баллов; «2»- 0-7 баллов
Практическая работа № 10
Частныепроизводные
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности
ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.
2) Знать определение частных производных, правила их нахождения.
3) Уметь решать прикладные задачи на нахождение частных производных.
Краткая теория
Частной производной функции z = f(x, y) по переменной х в точке M(x, y) называется предел отношения частного приращения функции по переменной х к приращению Δх, при стремлении Δх к нулю.
limΔx→0fx+Δx,y-f(x,y)Δx .
Пример 1
.f(x,y)=x2y-y3+1.
∂f∂x = 2xy; ∂f∂y = x2-3y2.
Дифференциалом функцииu=f(x,y) в точке (х,у) называется выражение:du = ∂fx,y∂xΔx+∂f(x,y)∂yΔy; где ΔxиΔy – произвольные приращения аргументов.
Пример 1
Найти дифференциал функции:
U = ln(x2+y2) в точке x = 1; y = 2; при приращении Δx = 0,1;
Δy = 0,5.
Решение
∂u∂x = 1x2+y2∙x2+y2 ∙2x; ∂u∂y = 1x2+y2∙x2+y2∙2y;
Δu= 1x2+y2∙x2+y2 ∙2x∙Δx+ 1x2+y2∙x2+y2∙2y∙Δy.
Задания
Найти дифференциал функции с несколькими переменными:
1) u = z2∙x∙cos(x+2y+ex)
2) Фирма производит два типа бритв Ч и Б. Себестоимость С производства х единиц модели Ч и н единиц модели Б дается формулой:
С = 0,05х2+ 0,02ху+80х+90у+104
Найти предельные себестоимости∂C∂x ; ∂C∂u; при х = 80; у = 50.
3)Предприятие общественного питания выпускает два вида супов А и Б. Себестоимость производства х единиц супа вида А и y единиц супа вида Б дается формулой C = 0,04x2+0,01xy+50x+60y+100.
Найти предельные себестоимости.
Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
1. Самостоятельно решает проблему поиска решения нахождения частных производных 2. Оценивает результаты своего труда.
3.Решает прикладные нестандартные задачи на нахождение частных производных функции 4. Владеет методом поиска решения задач на нахождение частных производных ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
5.Владеет терминологией по теме. 6.Знает алгоритм нахождения частных производных сложной функции 7.Владеет навыками нахождения частных производных функции, иллюстрирующей деятельность торгового предприятия. 8.Владеем приемами поиска информации для составления и решения профессионально-ориентированных задач на нахождение частных производных. 9. Владеем приемами поиска информации в сети Интернет ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
10. Владеет приемами решения профессионально-ориентированных задач 11. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования 12.Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии. ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности
13. Решает нестандартные задачи на нахождение частных производных 14. Знает и может применить разнообразные методы решения задач на нахождение частных производных 15. Ориентируется в разных способах предъявления задач и выделяет главное. ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
16. Владеет приемами решения задач на нахождение частных производных уравнений, иллюстрирующих движение снаряда. 16. Знает алгоритм нахождения частных производных при решении задач, на определение некоторых характеристик военной техники ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.
17. Владеет приемами нахождения частных производных при исследовании потребности в товарах. Итого Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -28-34 балла; «4» - 20-27 баллов; «3» 12-19 баллов; «2»- 0-11 баллов
Практическая работа № 11
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Цель работы:
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности
ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
2) Знать определение дифференциальных уравнений, алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
3) Уметь решать прикладные задачи дифференциальные уравнения.
Краткая теория
Пример 1. Найти уравнение кривой, обладающей свойством, что угловой коэффициент касательной в ее любой точке равен удвоенной абсциссе.
.tgα = 2x. Как известно, коэффициент прямой равен производной функции. dydx = 2x; dy = 2x∙dx. Найдем уравнение этой кривой. Для этого выполним интегрирование. dy = 2xdx; y = 2∙x22 +C;
y = x2+C.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит только от одного независимого переменного. Общий вид дифференциального уравнения: F(x,y,y′,″y‴,…y(n) ) = 0.Максимальный порядок входящих в уравнение производных называется порядком дифференциального уравнения.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которое обращает это уравнение в тождество. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: dydx = f(x)∙g(y). Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные dyg(y) = f(x)dx; а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:dyg(y) = fxdxПример 2
Решить дифференциальное уравнение сosx-y′ = 0.
Запишем его в виде: y′ = cosx; dydx = cosx; dy=cosxdx;
dy=cosxdx ; y = sinx+C.
Пример 3
Решить уравнениеdydx=xy2 ;решение:y2dy=xdx;
y2dy=xdx. y33 =x22 +C.
Задания
Найдите общее решение дифференциального уравнения:
1) (1-x2)dydx + xy = 0; 2) xdy=ydx; 3) (1+y)dx-x∙dy = 0;
4) dyx2= dxy2=0; 5)dyx-1= dxy-2; 6) y2dx = x3dy
Оценочная ведомость
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность .1. Понимает значимость выполняемой работы 2. Оформляет задачи, согласно требованиям. 3. Самостоятельно решает стандартные дифференциальные уравнения 4. Владеем приемами поиска решения нестандартных дифференциальных уравнений ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации 5. Владеет приемами решения профессионально-ориентированных задач 6. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования 7. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности
8. Решает нестандартные дифференциальные уравнения 9. Знает и может применить разнообразные методы решения к решению дифференциальных уравнений 10. Ориентируется в разных способах предъявления задач и выделяет главное. ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
11.Владеет приемами расчета некоторых характеристик военной техники с помощью решения дифференциальных уравнений ИТОГО Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -18-22 балла; «4» - 13-17 баллов; «3» - 8-12 баллов; «2»- 0-7 баллов
Практическая работа 12
Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка различными способами
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2) Знать определение однородного дифференциального уравнения, алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка
3) Уметь решать однородные дифференциальные уравнения
Краткая теория
Дифференциальные уравнения позволяют решить многие прикладные задачи.
Пример 1
При планировании товарных запасов в днях целесообразно использовать уравнение ydy=( b+ax)dx, где y- однодневный оборот квартала; x – запасы в днях;a иb –параметры уравнения; а=20; b=40. Найти решение данного уравнения.
Решение.ydy = (b+ax) dx;
y22= 40x+20∙ln|x|+C
Многие дифференциальные уравнения, не являясь уравнениями с разделяющимися переменными, приводятся к ним с помощью замены переменных. К таким уравнениям относятся однородные уравнения, общий вид которыхdydx= f(yx). (*)
При решении таких уравнений делается замена переменной y по формулеy=u(x), где u– новая переменная. Тогда
dydx = dudxx +u, а u = yx. Подставляя эти выражения в уравнение (*) получимdudxx+u = f(u), т.е. уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные получаемdufu-u = dxx. Интегрирование дает Ф(u) – ln|x| = C, где Ф(u) – одна из первообразных функций функции . заменяяu=yx получаем
Ф(yx)-ln|x| = C. Множество решений, даваемых этой формулой. Должно быть дополнено решениями вида u = uo, если f(uo)-uo = 0, или
y = uox.
Пример 2
Решить дифференциальное уравнение dydx =
Решение
Разделим и числитель и знаменатель на х2:
dydx = = u, получим dudxx + u = или
dudxx+u= ,илиdudxx = – u; dudxx= u-u21+u2Ln|uu2-1| - ln|x|=lnC; y = (y2-x2)CЛинейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида dydx =f(x)y + q(x), где функции f(x)иq(x) непрерывны на интервале (a,b). Если q(x)=0, то dydx= f(x)y. Решение последнего уравнения может быть в виде:y = CeF(x), гдеF(x) – первообразная функция по отношению кf(x). Это же уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 2
Найти общее решение уравнения dydx - = (x+1)2
Решение
Это линейное уравнение: здесь f(x) = -q(x) = -(x+1)2
Положим y = uz и продифференцируем это равенство по x:
dydx = udzdx + zdudx; подставим теперь выражения для у и dydxв данное уравнение, получим udzdx + zdudx – = (x+1)2
Или udzdx + z(dudx - ) = (x+1)2 (*)
так как одну из вспомогательных функций uили z можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения dudx - = 0. Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, имеем duu - = 0; duu = dxx+1 ;ln|u| = 2 ln|x+1|;
u = (x+1)2 Подставим теперь выражение для u в уравнение (*); тогда получим уравнение (x+1)2dzdx = (x+1)3 ; dzdx = x+1
отсюда находим dz = x+1dx; z = (x+1)22 +C
Получаем общее решение
.y = uz = (x+1)2[(x+1)22+C]Y = (x+1)42 + C(x+1)2Задания
Найти общее решение дифференциальных уравнений
1) dydx + = ; 2) dydx - = ; 3) dydx + =
4) (y-xy)dx + (x+xy)dy = 0; 5)(xy-y)dx-(x-xy)dy = 0
6)(y+x2y)dx – (xy2-x)dy=0Оценочная ведомость
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
1.Организовывает собственную деятельность при выполнении практических заданий по решению дифференциальных уравнений 2.Выбирает типовые методы и способы решения дифференциальных уравнений при расчете показателей деятельности торгового предприятия 3.Правильно применяет правила решения дифференциальных уравнений, описывающей деятельность торгового предприятия 4.Предлагает свои способы расчета параметров деятельности торгового предприятия используя правила решения дифференциальных уравнений ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность
5. Самостоятельно решает стандартные дифференциальные уравнения 6. Оформляет задачи, согласно требованиям. 7.Владеем приемами поиска решения нестандартных дифференциальных уравнений ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
8. Владеет терминологией по теме. 9. Владеет методам решения однородных дифференциальных уравнений различными способами 10. Владеет вычислительными навыками 10. Знает область применения однородных дифференциальных уравнений при расчете параметров деятельности торгового предприятия ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации 11. Владеет приемами решения профессионально-ориентированных задач 12. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования 13. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии 14.Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению способов решения дифференциальных уравнений ИТОГО Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -22-28 баллов; «4» - 16-21 балл; «3» - 10-15 баллов; «2»- 0-9 баллов
Практическая работа 13
Числовые ряды. Разложение функции в ряд МаклоренаЦель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением изученных профессиональных знаний
ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации
2) Знать определение числового ряда, признаки сходимости ряда, приемы разложения функции в числовой ряд.
3) Уметь решать прикладные задачи на определение сходимости ряда, выполнять разложение функции в ряд МаклоренаКраткая теория
Бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения u1+u2+…un называется числовым рядом. Выражение un = f(n), где f(n) функция натурального аргумента, называется общим членом ряда. Записьряда: n=1∞un . (*)
Частныесуммыряда: S1=U1; S2=U1+U2; S3=U1+U2+U3;…
Sn=U1+U2+U3+…UnПолучилась последовательность: S1, S2, S3,…Sn
Если предел limn→∞Sn= Sсуществует, то ряд называется сходящимся, а его сумма равна S.
Если limn→∞S n , бесконечен или вовсе не существует, то ряд (*) называется расходящимся.
Пример 1
Исследовать ряд на сходимость
+ + +…+1n(n+1)+…n=1∞1n(n+1)Решение
Надо узнать существует предел суммы членов или нет.
Представим каждый член ряда в виде 1kk+1 = +
Тогда сумму можно представить:
Sn = (1- )+ ( - ) + ( - )+…+(- ) + ( - ) = 1 -
limn→∞Sn=limn→∞(1-1n+1 ) = 1
Следовательно ряд имеет предел и поэтому является сходящимся.
Необходимым условием сходимости ряда является limn→∞Un =0.
Достаточные признаки сходимости ряда
– Признак Даламбера
Lim[(Un+1)/Un]= ρ; еслиρ>1 – ряд расходится:ρ<1- ряд сходится n→∞
ρ=1неопределен.
-Признак Коши
Lim (Un)1/n=ρ; еслиρ>1 – ряд расходится: ρ<1- ряд сходится
n→∞
ρ=1неопределен.
-Признак сравнения: Если для рядов U1+U2+U3+…Un+… V1+V2+V3+…Vn+… существует конечный предел
Lim (Un/Vn)=K, где К>0 тогда оба ряда одновременно сходятся или
n→∞
расходятся. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого ряда; заведомо сходящегося. Исследуемый ряд расходится, если члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.
Пример 2
Исследовать ряд на сходимость
n=1∞2n5n = + + +…++…
Решение
limn→∞.(Un+1)/(Un).=limn→∞2(n+1)5n5n2n= <1, ряд сходится.
Пример 3
Исследовать ряд на сходимость
n=1∞nn+1Решение
limn→∞nn+1 =nnnn+1n = 1 ≠ 0 Ряд расходится
Числовой ряд U1+U2+U3+…Un+… (*) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.
Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Если члены знакочередующегося ряда (*) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член Un стремится к нулю при n→∞, то ряд (*) сходится.
Знакопеременный ряд (*) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |U1|+|U2|+U3|+…|Un|+…(**), составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Степенным рядом называется ряд вида
n=0∞.anxn=ao+ a1x1+a2x2+a3x3+anxn+… (***), где числаao,a1, a2, a3, anназываются коэффициентами ряда, а член anxnназывается общим членом ряда.
Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений х, при которых данный ряд сходится. Число Rназывается радиусом сходимости ряда (***), если при |x|<Rряд сходится и притом абсолютно, а при |x|>Rряд расходится. Радиус сходимости равен пределу limn→∞|an/an+1|
Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида
.f(x) =f(a)+f′(a)(x-a)+f″(a)2!(x-a)2 + f‴(a)3! (x-a)3+…
+ f(n)(a)n! (x-a)n+…
Если =0, то получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена.
Пример 3
Разложить функцию f(x)=cosx в ряд Маклорена/f(0)=cos0=1; f ′(x) = - sinx; f ′(0)=-sin0=0; f″(x) = -cosx;
f″(0) = -cos0=-1; f‴(x) = sinx; f‴(0) = sin0=0;…
f(x)=1+ 01!x + -12!x2 + 03!x3 +…
f(x) = 1--x22!-x44! -…
Контрольные вопросы
1.Дайте определение числового ряда.
2.Каков необходимый признак сходимости числового ряда? Дайте его определение.
3.Сформулируйте достаточные признаки сходимости ряда.
4.Какой ряд называется знакопеременным? Знакочередующимся?
5.Каковы признаки сходимости знакочередующегося ряда?
6.Дайте определение степенного ряда.
7.Что называют областью сходимости степенного ряда?
8. При каком условии степенной ряд сходится?
9.Запишите общий вид ряда Тейлора и ряда Маклорена.
Задания
Исследуйте ряд на сходимость
1)n=1∞n22n2+1 2)n=1∞2n+1n2 3) n=1∞nn-1Разложите функцию в степенной ряд Маклорена1) f(x) = sinx 2)f(x)=2x5+3x4+4x3+8x2+6x+3
Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. 1.Организовывает собственную деятельность при выполнении практических заданий по исследованию сходимости ряда, состоящего из показателей деятельности торгового предприятия
2.Выбирает типовые методы и способы определения сходимости ряда при расчете показателей деятельности торгового предприятия 3.Правильно применяет правила определения сходимости ряда,состоящего из показателей деятельности торгового ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития 4. Владеет терминологией по теме.
5.Владеет методам решения однородных дифференциальных уравнений различными способами 6. Знает область применения однородных дифференциальных уравнений при расчете параметров деятельности торгового предприятия ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации 7. Владеет приемами решения профессионально-ориентированных задач 8. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования 9. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии 10. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования ОК 10. Исполнять воинскую обязанность в том числе с применением изученных профессиональных знаний 11. Знает область применения числового ряда для расчета некоторых характеристик военной техники 12. Умеет использовать свойства числового ряда для калькуляционных расчетов меню солдата ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации 13. Умеет представлять характеристики деятельности торгового предприятия в виде числового ряда ИТОГО Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -20-26 баллов; «4» - 14-19 балл; «3» - 19-13 баллов; «2»- 0-8 баллов
Раздел 2. Основы дискретной математики
2.1. Множества
Практическая работа 14
Операции над множествами
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2) Знать определение множества, действия над множествами
3) Уметь решать прикладные задачи на применение теории множеств.
Краткая теория
Любая совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы, называемых элементами, называется множеством. Или, множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п Множества обозначаются прописными буквами, а элементы – строчными. ЗаписьаϵАобозначает, что аэлемент множестваA. Если b не принадлежит множеству А, то записывается: b∉А
Если каждый элемент множества А является и элементов множества В, то говорят, что множество А является подмножеством В (А ⊆ В )Если при этом в множестве В есть элементы, не принадлежащие множеству А, то пишут А ⊂В.Сумма двух множеств А∪ В является множеством, каждый элемент которого принадлежит либо к АлибокВ. Пересечением двух множеств А ∩В является множество, каждый элемент которого принадлежит как множеству А, так и множеству В.
Множество, состоящее из некоторого натурального числа элементов, называется конечным множеством. Если не существует такого числа, определяющего количество элементов в множестве, то такое множество называется бесконечным.
N –множество натуральных чисел; Zмножество целых чисел; R- множество действительных чисел; Q- множество рациональных чисел. важные операции, которые можно производить с двумя множествами А и В – объединение двух множеств и построение их пересечения.
Объединение двух множеств – новое множество, состоящее из элементов как множества А, так и множества В. Это множество обозначается А∪ В
Пересечением двух множеств называется множество, в которое входят только те элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам А и В. Обозначается это множество через А ∩ В
Операции объединения и пересечения можно производить с любым конечным числом множеств, а также - и с бесконечным числом.
.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪(ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
Свойства:
Свойства перестановочности:
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Круги Эйлера (Эйлера-Вена) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:
Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
Контрольные вопросы
1.Дайте определение понятия множества.
2.Что такое подмножество?
3.Дайте определение суммы множеств.
4.Что называют пересечением множеств?
5.Какое множество называется конечным? Бесконечным?
Задания
1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:
а) А={е, о, р, х} В={х, у}
б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}
в) А={2n+1}, B={n+1} nєN2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:
а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}
б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}
в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN3) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:
а) только один язык?
б) испанский язык?
в) только немецкий язык?
г) знают английский и немецкий, но не знают французский?
4) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:
а) ровно два языка?
б) только французский язык?
в) знают немецкий и французский, но не знают английский?
г) не знают испанский язык?
компетенции признаки Наличие
компетенции
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. 1.Владеет терминологией по теме. 2. Умеет определять признаки множества параметров деятельности торгового предприятия. 3. Применяет алгоритм действий намножествами, определяющими деятельность торгового предприятия ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
4. Решает нестандартные задачи на выполнений операций над множествами 5. Выполняет все правила оформления задания 6. Владеет основными понятиями данной темы и применяет их к решению производственных задач ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации 7. Владеет умением поиска профессионально-ориентированной информации по теме 8. Проявляет стремление к хорошим отметкам и исследовательской работе ИТОГО Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -14-16 баллов; «4» - 10-13 балл; «3» - 6-9- баллов; «2»- 0-5 баллов
Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики
3.1. Вероятность
Практическаяработа 15
Сложениеиумножениевероятностей
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 1.1. выявлять потребность в товарах
2) Знать определение вероятности, правила сложения и умножения вероятностей.
3) Уметь решать прикладные задачи на сложение и умножение вероятностей, уметь рассчитывать вероятность событий
.
Краткая теория
Изучение явлений связано с выполнением некоторых условий, или испытаний. Всякий результата или исход испытания называется событием. События А, В называются несовместимыми, если в условиях испытаний каждый раз возможно появление только одного события. События А и В называются совместимыми, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.Событие называется случайным, если исход испытания приводит либо к появлению, либо к не появлению этого события.М – число появления некоторого события; N- число испытаний.
MN– частость.Вероятность – мера объективной возможности появления события. За появление события принимается величина, около которой группируются наблюдаемые значения частости.
Под вероятностью Р(А) наступления события принимается отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу исходов испытания. Вероятность – устойчивая частость. P(A)=mn100%
Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий без указания какого именно, равно сумме вероятностей этих событий.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности наступления первого события на условную вероятность наступления второго события, вычисленную в предположении, что первое событие имеет место.
Пример 1. В ящике 20 шаров, среди которых 8 белых. Какова вероятность появления белого шара Р(А)?
. m=8; n=20. P(A)=mn100%=100%=40%
Пример 2. Поездка пассажиров с некоторой трамвайной остановки к месту работы обслуживаются маршрутами №3 и №11. Через данную остановку проходят трамваи пяти маршрутов. Известно, что из 40 трамваев 8 – маршрута №3, 10 – маршрута №11. Найти вероятность того, что первый проходящий трамвай будет соответствовать требуемому маршруту.
.m1=8 m2=10 n=40 P(№3, №11)=m1n*m2n* 100%=100%=8%
Пример 3. В одной урне 10 шаров, из которых 5 белых, в другой – 12 шаров, из которых 8 белых. Найти вероятность того, что при одном испытании будут выбраны одновременно из первой и второй урны два шара одновременно.
.m1=5 n1=10 m2=8 n2=12 P(AB)=P(A)*P(B) =m1 n1*m2n2*100%
P(AB)=**100%=40120*100%≈33%
Контрольные вопросы
1.Что называют испытанием? Событием?
2.Какое событие называется случайным?
3.Дайте определение вероятности.
4.Сформулируйте теорему сложения вероятностей.
5.Сформулируйте теорему умножения вероятностей.
Задания
1. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются два. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два выигрышных?
2. Восемь различных книг расставляют наугад на одной полке. Какова вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом?
3. В партии из 12 деталей имеется 9 стандартных. Найдите вероятность того, что среди семи взятых наугад деталей 6 стандартных.
4. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет не менее двух очков?
5. Из 50 электролампочек имеется 4 бракованных. Какова вероятность того, что две взятые наугад лампочки окажутся бракованными?
6. В книжном магазине на полке лежит 20 книг, причем 10 книг стоят по 200 руб. каждая, 3 книги - по 400 рублей и 7 книг – по 100 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 300 рублей.
7.В магазин поступала партия товара в количестве 100 штук, которая содержит 10 штук бракованного товара. Какова вероятность того, что покупатель выберет две штуки товара и обе бракованные?
8. В магазин поступило несколько 20 партий товара. Из них две – товары фирмы А, 3- фирмы Б, остальные товары фирмы С. Какова вероятность того, что первые две продажи выпадет на товары фирмы С?

Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество 1.Правильно определяет значение случайных величин. .2.Правильно вычисляет вероятность появления случайной величины на примерах спроса на товары 3.Формулирует вывод по задаче и оценивает результаты расчета вероятности спроса на товары ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность. 4.Самостоятельно формулирует проблему по выявлению потребности в товарах на основе применения теории вероятности. 5. Решает нестандартную задачу на определение вероятности количества продаж при заданных условиях 6.Решает задачу в логически завершенной последовательности ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития 7.Владеет терминологией по теме 8.Владеет навыками вычисления вероятности, появления случайной величины 9.Владеет навыками определения значений случайной величины -количества продаж за заданный период времени. ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития 10.При решении профессионально-ориентированных задач использует различные источники информации. 11.Самостоятельно определяет направления профессионального развития, 9. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах 10. Рассчитывает вероятность продаж товара 11. Рассчитывает примерное количество продаж используя теорию вероятности Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -18-22 баллов; «4» - 12-17 балл; «3» - 7-11 баллов; «2»- 0-6 баллов
Практическая работа № 16
Случайная величина, её функция распределения
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации.
2) Знать определение функции распределения случайной величины, математического ожидания и дисперсии случайной величины.
3) уметь решать прикладные задачи на использование функции распределения случайной величины.
Краткая теория
Качественный результат случайного эксперимента – случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений – случайная величина. Случайной величиной называется действительная числовая функция ξ =ξ(ω), ω Œ Ω, такая, что при любом действительном х {ω$ ξ(ω)} Œ Z.
Пример случайной величины – число очков, выпавших при бросании игральной кости – дискретная случайная величина. Скорость молекул газа – непрерывная случайная величина.
Если ξ – случайная величина, то f(x)=fξ(x)=P(ξ<x) называется функцией распределения случайной величины.P(ξ<x) вероятность того, что случайная величина ξ принимает значение меньше Х.
Функция распределения обладает свойствами:
f(x) – определена на всей числовой прямой R
f(x) не убывает, т.е. если х1<x2, то f(x1)<f(x2)
f(-∞)=0; f(+∞)=1, т.е. limx→∞fx=1;
limx→0fx=0f(x) непрерывна справа, т.е. limx→x0fx=f(xo)Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид: x1<x2<x3<…
I 0 при x<x1
I P1при x<x2
F(x)= I P1+P2 при x<x3
I …
I 1 при x>xnФункция распределения непрерывной случайной величины имеет вид: fξ(x)=-∞xPξ(t)dt; Pξ(x)=dfξ(x)/dxОтсюда -∞∞Pxdx=1Контрольные вопросы
1.Приведите пример случайной величины.
2.Что называют функцией распределения случайной величины?
3.Дайте определение математического ожидания случайной величины.
4.Дайте определение дисперсии случайной величины.
Задания
1.Построить график функции распределения случайной дискретной величины – выбор из урны, в которой находятся разноцветные шары
2.Изобразить, в общем виде, график распределения плотности вероятности непрерывной случайной величины.
3.Изобразить приблизительной график распределения скорости молекул идеального газа.
4.Изобразить приблизительно график распределения количества продаж от производителя товара. Для какого производителя вероятность максимальных продаж наибольшая?
Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество 1.Правильно определяет вид функции распределения случайной величины .2.Правильно вычисляет вероятность появления случайной величины, используя функцию распределения. 3.Формулирует вывод по задаче и оценивает результаты расчета вероятности спроса на товары ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность. 4.Самостоятельно формулирует проблему по выявлению потребности в товарах на основе применения теории вероятности. 5. Решает нестандартную задачу на определение функции распределения количества продаж при заданных условиях 6.Решает задачу в логически завершенной последовательности ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития 7.Владеет терминологией по теме 8.Владеет навыками вычисления вероятности, появления случайной величины 9.Владеет навыками определения значений случайной величины -количества продаж за заданный период времени. ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития 10.При решении профессионально-ориентированных задач использует различные источники информации. 11.Самостоятельно определяет направления профессионального развития, 9. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации 10. На основе анализа количества продаж за определенный период, строит график функции распределения количества продаж от заданных параметров. 11. Используя функцию распределения продаж товара, составить план продаж на следующий период. Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -18-22 баллов; «4» - 12-17 балл; «3» - 7-11 баллов; «2»- 0-6 баллов
Практическая работа 17
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации
2) Знать определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.
3) Уметь решать прикладные задачи на расчет математического ожидания и дисперсии случайной величины
Краткая теория
Основной характеристикой положения или расположения случайной величины является математическое ожидание М(х), определяемое по формулам: M(x)=ik.XiPi(*) для дискретной случайной величины;
M(x) =-∞+∞xfxdx(**)для непрерывной случайной величины.xiвозможные значения случайной величины, Pi- соответствующие им вероятности, f(x) – плотность распределения случайной величины. Предполагается, что (*) и(**) абсолютно сходятся.
Дисперсия случайной величины D[x] –математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания D[x] = M[x-M(x)]2
Пример 1
В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по 100 руб. и одна по 300 руб. определить математическое ожидание чистого выигрыша для студента, если он приобрел один билет стоимостью 100 рублей, а всего билетов 50.
Решение
Х – случайная величина, характеризующая сумму чистого выигрыша для студента. Х может принимать значения: = - 1, если студент ничего не выиграл; х = 9, если выигрыш 100 рублей; х = 29, при выигрыше 300 рублей.
Вычисляем вероятность каждого выигрыша. Р(-1)=47/50 = 0,94; Р(9)=2/50=0,04; Р(29)=1/50=0,02
Определяем математическое ожидание:
M = -1∙0,94+9∙0,04+29∙0,02 = 0
Вычисляем дисперсию D(x)= (x1-M)2+(x2-M)2+(x3-M)2
D(x) = (-1-0)2+(9-0)2+(29-0)2=1+81+841=923
Задания
1.Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины x. Закон распределения задан таблицей.
x -0.1 -0.01 0 0.01 0.1
p 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
2. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
хi1 2 5
рi0,3 0,5 0,2
3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
хi2 3 5
рi0,1 0,6 0,3
4. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события в этих испытаниях.
Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество 1.Правильно рассчитывает математическое ожидание и дисперсию случайной величины .2.Правильно выполняет алгоритм нахождения математического ожидания и дисперсии количества продаж 3.Формулирует вывод по задаче и оценивает результаты расчета математического ожидания и дисперсии спроса на товары ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность. 4.Самостоятельно формулирует проблему по выявлению потребности в товарах на основе применения теории вероятности. 5. Решает нестандартную задачу на определение математического ожидания и дисперсии количества продаж при заданных условиях 6.Решает задачу в логически завершенной последовательности ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития 7.Владеет терминологией по теме 8.Владеет навыками поиска информации для вычисления математического ожидания и дисперсии параметров товарооборота, 9.Владеет навыками определения значений случайной величины -количества продаж за заданный период времени. ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития 10.При решении профессионально-ориентированных задач использует различные источники информации. 11.Самостоятельно определяет направления профессионального развития, 12. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации 11. На основе анализа количества продаж за определенный период, определяет математическое ожидание и дисперсию выбранного параметра деятельности торгового предприятия Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -18-22 баллов; «4» - 12-17 балл; «3» - 7-11 баллов; «2»- 0-6 баллов
Раздел 4
4.1.Основные понятия теории матриц
Практическая работа 18. Операции над матрицами
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
ОК5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с помощью информационно-коммуникационных технологий.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности
13. Решает нестандартные задачи на нахождение частных производных
14. Знает и может применить разнообразные методы решения задач на нахождение частных производных
15. Ориентируется в разных способах предъявления задач и выделяет главное.
16. Владеет приемами решения задач на нахождение частных производных уравнений, иллюстрирующих движение снаряда.
16. Знает алгоритм нахождения частных производных при решении задач, на определение некоторых характеристик военной техники
ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации
2) Знать определение матрицы, виды матрицы, правила выполнения действий над матрицами
3) Уметь выполнять сложение, вычитание и умножение матриц
Ход работы:
Краткая теория
Матричные модели представляют собой модели, построенные в виде таблиц (матриц).Эти модели находят широкое применение при решении плановых или экономических задач и при обработке больших массивов информации. Матрица – прямоугольная таблица чисел. Например:
товар Склад 1 Склад 2 Склад 3
Сахар 200 100 150
Соль 350 200 180
мука 400 250 260
Эти данные можно записать в виде матрицы (*)
200100150350200180400250260 = А (*)Коэффициенты при неизвестных системы линейных уравнений
3x-5y+z=14
X+3y-7z=-22
2x+y-3z=-6 можно записать в виде матрицы (**)3-5113-721-3 = А (**)
Матрица-прямоугольная таблица чисел. Любое число такого массива называется элементом матрицы. Ряд чисел, расположенных в матрице горизонтально называется строкой, а вертикально – столбцом. Количество строк – m, количество столбцов – n, если m=n – матрица квадратная
Размерность матрицы – количество элементов в ней.
А= a11a12a21a22Воображаемая линия квадратной матрицы, пересекающая ее от а11 до аmn называется главной диагональю. Квадратная матрица, в которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали – единицы, называется единичной.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом.
Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой.
Суммой (разностью) двух матриц А и В, имеющих mстрок иnстолбцов, называется матрица, полученная в результате сложения (вычитания) одноименных элементов матриц А и В. Получаемая в результате матрицы С имеет ту же размерность m*n.
Матрицу можно умножить на число, для этого надо на это число умножить каждый элемент матрицы.
Умножение матрицы-строки на матрицу-вектор:
A=(a1, a2, a3) –вектор-строка.
В= |b1b2b3 | - вектор-столбец
С=А*В = a1∙b1+ a2∙b2+a3∙b3 =i=13ai∙biПроизведением двух матриц - матрицы А(m∙n) на матрицу B(n∙p) – называется матрицаC(m∙p), каждый элемент которой вычисляется по
nформуле: Сij = ∑aik∙bkjk=1
Контрольные вопросы
1. Дайте определение матрицы.
2.Что называют элементами матрицы.
3.Какая матрица называется квадратной? Диагональной? Единичной?
Вектор-столбцом? Вектор-строкой?
4.Дайте определение суммы матриц.
5.Сформулируйте правило умножения матрицы на число.
6.Сформулируйте правило умножения матриц.
Задания
1. Сложить матрицы| 2332|= А; | 5665| = B.
2.Вычесть из матрицы А матрицу В: A=|9786 |; B=| 2314 |.
3. Умножить матрицу А на матрицу В:A= | 2 3 4 |; B=|567 | .
4. Сложить, вычесть и умножить каждую матрицу на 5 :А) А = и В = б) А = В =
Оценочная ведомость
компетенции Признаки компетенции Наличие
компетенции
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес 1..Владеет терминологией по теме, приводит примеры использования матрицы в экономических расчетах деятельности торгового предприятия 2.Дает четкие и точные определения математических понятий теории матриц в применении к деятельности торгового предприятия 3.Владеет умением использовать основные понятия теории матриц для решения прикладных задач ОК5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с помощью информационно-коммуникационных технологий. 4.Владеет приемами поиска прикладной информации по теме с использованием Интернета 5.Выполнять систематизацию прикладного материала по применению интегрального исчисления для анализа деятельности торгового предприятия 6.Владеет приемами вычисления интеграла, иллюстрирующего расчеты параметров деятельности торгового предприятия ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности 7. Ориентируется в разных способах предъявления задач и выделяет главное. 8.Знает и может применить разнообразные методы решения задач на действия с матрицами 9.Умеет использовать теорию матриц к решению производственных задач ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей). 10.Владеет приемами решения прикладных задач на использование теории матриц 11. Знает приемы умножения и вычитания матриц, при определение некоторых характеристик военной техники ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации 12. Составлять матрицы характеристик деятельности торгового предприятия 13. Выполнять действия над матрицами, иллюстрирующими действие торгового предприятия 14.Оформлять планирование в виде матрицы ИТОГО Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -24-28баллов; «4» - 17-23 баллов; «3» - 10-16 баллов; «2»- 0-9 баллов
Практическая работа 19. Вычисление определителя матрицы
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2) Знать определение определителя матрицы, алгоритм вычисления определителя матрицы
3) Уметь вычислять определитель матрицы; решать прикладные задачи с использованием определителя матрицы.
Краткая теория
Определитель второго порядка вычисляется по формуле:
, результат вычисления – любое действительное число.
2) Для вычисления определителя третьего порядка (матрицы 3×3) применяют правило треугольника (Сарруса), по которому составляют формулу, аналогичную формуле пункта 1.



«+»« - »
Элементы главной диагонали и ее параллелей умножаются со знаком «плюс», элементы побочной диагонали и ее параллелей – со знаком «минус», тогда:

3) Для вычисления матрицы, обратной данной, необходимо:
1. Найти определитель ∆ заданной матрицы по формулам пункта 1 и 2.
2. Найти алгебраические дополнения по формулам:

3. Составить матрицу:
Транспортировать ее (строки и столбцы поменять местами)
и найти обратную матрицу по формуле:

4. Проверка производится по формуле:
.
При решении системы уравнений по формулам Крамера необходимо:
1) Найти определитель матрицы системы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных x, y, zпо правилу треугольника.
2) Составить матрицу-столбец свободных коэффициентов.
3) Найти определитель при первом неизвестном (х). Для этого нужно вместо первого столбца матрицы системы подставить столбец свободных коэффициентов и найти .
4) Аналогично определить и .
5) Найти x, y, z по формулам Сделать проверку.
6) Если , то система решений не имеет.
Пример решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера
Коэффициенты при неизвестных составляют матрицу системы А
, а свободные коэффициентыматрицу – столбец
(определитель системы)

Если в определителе поочередно менять столбец коэффициентов при х1, х2, х3 на столбец свободных коэффициентов, то получим следующие определители:

Решением системы будет являться конечная последовательность чисел с1, с2, с3, при которых каждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство.
Особенности решения:
1)
Система имеет множество решений.
Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение:


Проверка:
Ответ: (-3; 2; -1).
Метод Гаусса (метод исключения переменных)
1) На первом месте в системе уравнений должно стоять уравнение, коэффициент перед первым неизвестным в котором самый наименьший.
2) Исключить последовательно переменные из уравнений путем уравнения коэффициентов перед ними и алгебраического сложения.
Пример 17:Решить систему уравнений:

Решение:
1) Перепишем систему в виде
2

(2)-(1)∙3(2)’
(3) –(1)∙2(3)’
2) Запишем новую систему:

3)

Проверка:
Ответ: (1; 2; 3).
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенции
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. 1. Владеет терминологией по теме, выполняет типовые действия над матрицами, иллюстрирующими деятельность торгового предприятия. 2. Владеет алгоритмом вычисления определителя матрицы 3. Выполняет оценку своих действий по решению задачи ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность. 4.Решает систему уравнений с помощью определителя матрицы 5.Владеет приемами поиска решения нестандартной задачи 6.Обосновывает свое решение нестандартной задачи ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития 7.Осуществляет поиск информации по представлению деятельности торгового предприятия в виде матрицы 8. Осуществляет поиск информации для составления матрицы деятельности торгового предприятия 9.Представляет найденную информацию в виде реферата, сообщения или доклада. ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации 10.Формулирует профессиональную проблему, которая решается путем решения системы уравнений с помощью матрицы11. Участвует в работе над проектом 12. Представляет план творческой работы ИТОГО Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -20-24 баллов; «4» - 13-19 баллов; «3» - 8-12 баллов; «2»- 0-7 баллов
Раздел 5.
5.1.Теория комплексных чисел
Практическая работа 19. Действия над комплексными числами
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации
2) Знать определение определителя комплексного числа, алгоритм действий над комплексными числами
3) Уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
Краткая теория
Сначала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой  (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.
Комплексным числом  называется число вида Z=a+bi, гдеa  и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется действительной частью Rezкомплексного числаZ , число  bназывается мнимой частьюImz  комплексного числа .
a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местамиZ=a+bi:  или переставить мнимую единицу:Z=a+bi  – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:Z=a+bi  
Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость/ Комплексная плоскость состоит из двух осей:Rez–действительная часть; Imz- мнимая часть.
Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать размерность, отмечаем:ноль;единицу по действительной оси;мнимую единицу  по мнимой оси.
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:, , , , , , , 
Рис.5.1. Рассмотрим следующие комплексные числа:z1=0; z2= -3; z3= 2  – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.Они располагаются строго на действительной оси RezЧислаz4= i; x5 = -3 i; z6 = 4i,  – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .
В числах , , ,  и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.
Сложение комплексных чисел
Пример 1. Сложить два комплексных числа , 
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Вычитание комплексных чисел
Пример 2Найти разности комплексных чисел  и , если , 
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

действительная часть в этом числе – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .
Рассчитаем вторую разность:Здесь действительная часть тоже составная: 
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
Пример 3Найти произведение комплексных чисел  , Очевидно, что произведение следует записать так: далее надо раскрыть скобки по правилу умножения многочленов.
Понятно, что 
Деление комплексных чисел
Пример 4Даны комплексные числа , . Найти частное .
Составим частное:Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем бородатую формулу  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :Далее в числителе нужно раскрыть.А в знаменателе воспользоваться формулой  (помним, что ) Подробн
Пример 5Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :


Рис. 5.2.
Модулем комплексного числа  называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длинарадиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа  стандартно обозначают:  или 
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: .
Контрольные вопросы
1. Дайте определение комплексного числа
2. Как изображается комплексное число на координатной плоскости?
3.Как вычислить сумму комплексных чисел? Разность: произведение?
4.Как разделить одно комплексное число на другое?
5.дайте определение модуля комплексного числа.
Задания
1. Вычислить сумму комплексных чисел: z1+z2-? z1=2+3iz2= 4-6i; z1=15 z2= -3i; z1=2-4iz2=2.
2.Вычислить разность этих же чисел.
3.Вычислить произведение этих же чисел.
4. Вычислить z1/z2 и z2/z1этих же чисел.
Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
1.Использует правила выполнения действий с комплексными числами 2.Предлагает свои методы решения задач.
3.Правильно применяет комплексные числа для, описания деятельности торгового предприятия 4.Предлагает свои способы описывающие динамику параметров деятельности торгового предприятия ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
5. Самостоятельно решает прикладную задачу с использованием комплексных чисел 6. Самостоятельно решает проблему поиска решения нестандартной задачи 7..Понимает значимость своей работы 8.Оценивает результаты своей познавательной деятельности. 9.Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
10.Владеет терминологией по теме. 11.Владеет навыками использования комплексных чисел, иллюстрирующих деятельность торгового предприятия 12.Владеет методом решения примеров, иллюстрирующих деятельность торгового предприятия. 14.Знает представление комплексных чисел на плоскости, и приводит примеры из профессиональной деятельности, где используется графическое представление параметров предприятия. ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации 15. Интерпретировать математические зависимости параметров деятельности торгового предприятия с помощью производных. 16. Составлять математическую модель деятельности торгового предприятия на данных по одной их характеристик, используя при этом комплексные числа. 16.Составлять примерный план некоторой характеристики торгового предприятия. Итого Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -27-32 баллов; «4» - 19-26 балла; «3» - 10-18 баллов; «2»- 0-9 баллов
Практическая работа 20. Численное решение дифференциальных уравнений
Цель:1) Формирование общих компетенций:
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
2) Знать определение дифференциального уравнения, алгоритм численного решения.
3) Уметь решать прикладные задачи на применение численного решения дифференциальных уравнений.
Краткая теория
Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:  независимую переменную X;зависимую переменную Y (функцию); первую производную функции: Y′.В некоторых случаях в уравнении первого порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек» – важно чтобы в дифференциальном уравнении была первая производная , и не было производных высших порядков – ,  и т.д.
Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
Существует множество методов решения дифференциальных уравнений через элементарные или специальные функции. Однако, чаще всего эти методы либо вообще не применимы, либо приводят к столь сложным решениям, что легче и целесообразнее использовать приближенные численные методы. В огромном количестве задач дифференциальные уравнения содержат существенные нелинейности, а входящие в них функции и коэффициенты заданы в виде таблиц и/или экспериментальных данных, что фактически полностью исключает возможность использования классических методов для их решения и анализа. 
В настоящее время существует множество различных численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений Мы ограничимся здесь рассмотрением наиболее широко используемый на практике методов Эйлера
Метод ЭйлераРассмотрим дифференциальное уравнениес начальным условием
Подставив в уравнение (1), получим значение производной в точке :
При малом  имеет место:
Обозначив  , перепишем последнее равенство в виде:         (2)
Принимая теперь за новую исходную точку, точно также получим:
В общем случае будем иметь:      (3)
Это и есть метод Эйлера. Величина  называется шагом интегрирования. Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения у , так как производная  на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной . Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции у , тем большую, чем больше . Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.
Более точным является модифицированный метод Эйлера или метод Эйлера с пересчетом. Его суть в том, что сначала по формуле (3) находят так называемое «грубое приближение»:
а затем пересчетом получают тоже приближенное, но более точное значение:
     (4)Фактически пересчет позволяет учесть, хоть и приблизительно, изменение производной на шаге интегрирования , так как учитываются ее значения  в начале и  в конце шага(рис. 1), а затем берется их среднее..
Рис. 6.1. Геометрическое представление метода Эйлера с пересчетом.
Контрольные вопросы:
1.Дайте определение дифференциального уравнения.
2.В чем заключается особенность численного решения дифференциальное уравнения?
Задание.
Найти численное решение дифференциального уравнения:dydx=x2y2при y(1)=1
Оценочный лист
Компетенции Признаки компетенции Наличие компетенций
ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес 1.Владеет терминологией по теме. 2.Владеет символикой по теме работы. 3.Владеет умением использовать численное решение дифференциальное уравнение для получения профессиональной информации (товарооборот, спрос, …) ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. 4. Планирует устный ответ на поставленный вопрос 5. Дает четкие и точные определения математических понятий 6. Приводит примеры последовательностей профессионального характера 7. Обосновывает свои действия ИТОГО Шкала оценки:
0 баллов - признак отсутствует
1 балл - признак присутствует частично
2 балла - признак присутствует в полном объеме
Оценка: «5» -12-14 баллов; «4» - 9-11 баллов; «3» - 5-8 баллов; «2»- 0-4 балла.
Литература
Барашников А.С. Математика. Высшее образование. – М.: Филол. О-во СЛОВО, Изд-во Эксмо, 2005. – 480 с.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних спец. учеб.заведений. – М.: Высш. Шк., 2003. – 495 с.
Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб.для студ. Учреждений сред. Проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 320 с.
Филимонова Е.В., Тер-Симонян Н.А. математика и информатика: Учебное пособие. – М.: Издательско-книготорговый центр «Маркетинг», 2002. – 384 с.
Приложение 1
Образец оформления отчета по практической работе
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Практическая работа №
Тема: «__________________________________________________________»
Цель работы:……
Ответы на контрольные вопросы:….
Выполнение задания….
Отметка
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------