Конспект урока по геометрии на тему Центральные и вписанные углы

 6. Вписанные, центральные углы
Вписанный угол  угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.
Центральный угол  угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Свойства вписанных углов
 
Рассмотрим примеры, после чего для вас тест по теме «Вписанные, центральные углы».
Задача 1.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 окружности.
Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Окружность составляет 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, поэтому дуга АС, которая составляет 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 окружности, равняется 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. Поэтому вписанный угол АВС равен 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, так как градусная мера вписанного угла вдвое меньше градусной меры  дуги, на которую опирается.
Ответ: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 
 
Задача 2.
Найти величину угла А0С (см. рис.), если угол АВС равен 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Заметим, тот угол АОС, что помечен на картинке, хоть и является центральным углом, но не является соответствующим для вписанного угла АВС, так как они опираются на разные дуги (угол АВС опирается на дугу АС, а угол АОС на дугуАВС).
Так как вписанный угол АВС, равный 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, опирается на дугу АС, то она равна 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. Значит дуга АВС равна 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. А значит центральный угол АОС, который измеряется градусной мерой дуги, на которую опирается, равен 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415.
Ответ: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 
Задача 3.
Найти величину угла  ВАD, изображенного на картинке:

 
Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Так как углы ВСА и ВDA опираются на одну дугу (АВ), то они равны, то есть 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415.
Теперь обратимся к треугольнику АВD. Он прямоугольный, так как угол АВD, опирающийся на диаметр, прямой. Значит, 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415.
Ответ: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 
 
Задача 4.
Найти величину угла D, изображенного на картинке:

Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
1) 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 как вертикальные.
2) Из треугольника АВS: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
3) 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, так как углы опираются на одну дугу.
Ответ: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 
Задача 5.
Центральный угол на 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.
Решение:  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Обозначим градусную меру угла АСВ за x, тогда 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Так как центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного угла, то составим уравнение: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, откуда 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Ответ: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 
Задача 6.
Найти градусную меру  угла ВАD:

Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, следовательно 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 как дуга вписанного угла. Аналогично, 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, следовательно 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. Тогда  13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. А так как  13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415  (AD диаметр), то 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. А значит, 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415.
Ответ: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 
Задача 7.
Найдите угол АСВ, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 и 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415.

Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
 
Задача 8.
Найдите величину угла АВС.

Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415  центральный для  вписанного угла 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. Угол же АОС равен 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 (например, потому, что для треугольника АОС    выполняется теорема Пифагора (13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415) ). Тогда 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415.
Ответ: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 
 
Задача 9.
Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Так как хорда АС равна  радиусу окружности, то треугольник АОС равносторонний. А значит, 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. Тогда дуга АВС составляет 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415.  Откуда следует, что дуга АС равна 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. Стало быть, вписанный угол АВС, опирающийся на дугу АС, равен 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
 
Ответ: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 
 
Задача 10.
Найти градусную меру угла, изображенного на рисунке:

Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Правильный восьмиугольник делит дугу окружности своими вершинами на восемь одинаковых частей, а значит на каждую такую часть приходится 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 опирается на дугу 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, составленную из трех дуг по 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 ( то есть  дуга 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 равна 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415), поэтому равен 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415.
Ответ: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 
Задача 11.
Найдите величину угла АВС, изображенного на рисунке:

Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Центральным углом для вписанного угла АВС является угол АОС. Будем искать его градусную меру, после чего лишь придется разделить результат на 2, получим градусную меру угла АВС.
Итак, опустим из точки С перпендикуляр СТ к прямой АО. Получили прямоугольный треугольник СТО. Гипотенуза в нем радиус окружности, то есть 4 (смотрим по клеточкам), катет СТ  равен 2. Стало быть  13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, так как напротив него лежит катет, вдвое меньший гипотенузы. То есть центральный угол АОС равен 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Поэтому искомый угол АВС равен 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415.
Ответ:  13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. 
Задача 12.
Четырёхугольник 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 вписан в окружность. Угол 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 равен 106°, угол 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 равен 64°. Найдите угол 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415. Ответ дайте в градусах.
Решение:

Вписанный угол 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 равен половине дуги 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, на которую опирается.
Заметим при этом 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415, аналогично 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Тогда 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Ответ: 42.

 вписанный угол, центральный уголРисунок 1Описание: Описание: вписанный угол, центральный уголњFarebnй LCDLCD en colo